2022-2023学年四川省广安市第二中学校高二上学期第二次月考数学（理）试题（解析版）

2022-2023学年四川省广安市第二中学校高二上学期第二次月考数学（理）试题

一、单选题

1．直线的倾斜角为（    ）

A．30° B．60° C．120° D．150°

【答案】C

【分析】由直线的一般式方程得到直线的斜率，再由求解倾斜角.

【详解】直线的斜率

，

∴.

故选：C

【点睛】本题考查了直线的一般式方程、直线的斜率和直线的倾斜角的关系，考查了学生转化，运算的能力，属于基础题.

2．为了解某地区的中小学生视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是

A．简单随机抽样 B．按性别分层抽样

C．按学段分层抽样 D．系统抽样

【答案】C

【详解】试题分析：符合分层抽样法的定义，故选C.

【解析】分层抽样．

3．若a∈R，则“a=1”是“|a|=1”的

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充要条件 D．既不充分又不必要条件

【答案】A

【详解】试题分析：先判断“a=1”⇒“|a|=1”的真假，再判断“|a|=1”时，“a=1”的真假，进而结合充要条件的定义即可得到答案．

解：当“a=1”时，“|a|=1”成立

即“a=1”⇒“|a|=1”为真命题

但“|a|=1”时，“a=1”不一定成立

即“|a|=1”时，“a=1”为假命题

故“a=1”是“|a|=1”的充分不必要条件

故选A

点评：本题考查的知识点是充要条件，其中根据绝对值的定义，判断“a=1”⇒“|a|=1”与“|a|=1”时，“a=1”的真假，是解答本题的关键．

4．如图所示，，分别为椭圆的左，右焦点，椭圆上点的横坐标等于右焦点的横坐标，其纵坐标等于短半轴长的，则椭圆的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距长分别为a、b、c，可得M（c，b），利用勾股定理与椭圆的定义建立关于a、b、c的等式，化简整理得ba，从而得出ca，即可算出该椭圆的离心率．

【详解】设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距长分别为a、b、c，

可得焦点为F1（﹣c，0）、F2（c，0），点M的坐标为（c，b），

∵Rt△MF1F2中，F1F2⊥MF2，

∴|F1F2|2+|MF2|2＝|MF1|2，即4c2b2＝|MF1|2，

根据椭圆的定义得|MF1|+|MF2|＝2a，

可得|MF1|2＝（2a﹣|MF2|）2＝（2ab）2，

∴（2ab）2＝4c2b2，整理得4c2＝4a2ab，

可得3（a2﹣c2）＝2ab，所以3b2＝2ab，解得ba，

∴ca，因此可得e，

即该椭圆的离心率等于．

故选：A．

【点睛】本题已知椭圆满足的条件，求椭圆的离心率的大小，着重考查了椭圆的定义、标准方程与简单几何性质等知识，考查了勾股定理的应用，属于中档题．

5．命题“”的否定是

A．不存在 B．

C． D．

【答案】D

【详解】命题的否定是

故选D

6．某校高一学生550人，高二学生500人，高三学生450人，现有分层抽样，在高三抽取了18人，则高二应抽取的人数为（    ）

A．24 B．22 C．20 D．18

【答案】C

【分析】根据分层抽样的知识求得正确答案.

【详解】设高二应抽取的人数为人，则，解得人.

故选：C

7．在抛物线上，横坐标为的点到焦点的距离为，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由抛物线方程可求得准线方程，进而根据其定义得知，求得．

【详解】解：抛物线的准线方程为，

由抛物线的定义知，

解得．

故选：D．

8．某班有学生人，现将所有学生按随机编号，若采用系统抽样的方法抽取一个容量为的样本（等距抽样），已知编号为号学生在样本中，则（    ）

A．14 B．34 C．48 D．50

【答案】C

【分析】利用系统抽样的特征可求出、，进而可求解.

【详解】样本容量为，

样本间隔为，

编号为号学生在样本中，

，，

.

故选：C

【点睛】本题考查了系统抽样，考查了基本知识的掌握情况，属于基础题.

9．从编号依次为，，，的人中选取人，现从随机数表的第一行第列和第列数字开始，由左向右依次选取两个数字，则第五个编号为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据随机数表，依次进行选择即可得到结论．

【详解】依题意，选取方法是从随机数表第一行第列和第列数字开始，

由左向右依次选取两个数字，

若选到的数字和已经入选的编号重复，则直接跳过，继续向后选，

这样，由左到右依次选取两个数字中小于的编号依次为：，，，，，

则第五个个体的编号为．

故选：A．

10．在椭圆内，通过点，且被这点平分的弦所在的直线方程为

A． B．

C． D．

【答案】A

【详解】试题分析：设以点为中点的弦的端点分别为，则，又，两式相减化简得，即以点为中点的弦所在的直线的斜率为，由直线的点斜式方程可得，即，故选A.

【解析】直线与椭圆的位置关系.

11．方程表示的曲线是

A．两条直线 B．两条射线 C．两条线段 D．一条直线和一条射线

【答案】D

【详解】由，

得2x+3y−1=0或.

即2x+3y−1=0(x⩾3)为一条射线，或x=4为一条直线.

∴方程表示的曲线是一条直线和一条射线.

故选D.

点睛：在直角坐标系中，如果某曲线C（看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹）上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系：

（1）曲线上点的坐标都是这个方程的解；

（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．

那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线．

在求解方程时要注意变量的范围.

12．已知函数，若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】由题意得，，则为奇函数且在上单调递增，不等式对任意实数恒成立，则在恒成立，分离参数，又因为（当且仅当时，取等号），则，故选D.

【点睛】本题主要考查函数的恒成立问题的转化，基本不等式的应用，解题的关键是由已知函数的解析式判断出函数的单调性及函数的奇偶性，利用参变分离法是解决不等式恒成立问题常用方法.

二、填空题

13．一个容量为n的样本分成若干个小组，已知某组的频数和频率分别是48和0.3，则n＝________.

【答案】160

【分析】根据计算可得；

【详解】解：因为

所以

故答案为：

14．已知焦点在轴上的椭圆的焦距为，则的值为____________.

【答案】

【分析】根据焦点在轴上和焦距长，可直接构造方程求得.

【详解】椭圆的焦点在轴上，焦距，解得：.

故答案为：.

15．若对圆上任意一点，的取值与、无关，则实数的取值范围是________.

【答案】

【解析】由题意可得知可以看作点到直线与直线距离之和的倍，进一步分析说明圆位于两直线中间，再由点到直线的距离公式求解直线与圆相切时的值，则答案可求．

【详解】设，

故可以看作点到直线与直线距离之和的倍，

的取值与、无关，

这个距离之和与点在圆上的位置无关，

如图所示：可知直线平移时，点与直线、的距离之和均为、的距离，

即此时圆在两直线中间，

当直线与圆相切时，，

化简得，解得或（舍去），.

因此，实数的取值范围是.

故答案为：.

【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系，以及点到直线的距离公式，考查数学转化思想方法，属于难题．

16．是圆：的直径，是椭圆：上的一点，则的取值范围是______ ．

【答案】

【分析】首先根据平面向量的线性运算及其数量积运算，将转化为，设，

得，根据点在椭圆上将代入转化成二次函数，最后根据二次函数的性质求解取值范围即可.

【详解】设，已知为圆上的直径，点为椭圆上一点.

，，，，

，，

的取值范围是：

故答案为：

三、解答题

17．已知命题：方程无解，命题：，恒成立，若是真命题，且也是真命题，求的取值范围．

【答案】.

【分析】先求出当，为真时命题的等价条件，再利用复合命题及其真假求解即可．

【详解】当为真时，有：，解得：；

当命题为真时，有：，对恒成立，即，

由是真命题，且也是真命题得：与都是真命题；即

综上，所求的取值范围是

【点睛】本题考查了复合命题及其真假，考查二次方程及恒成立问题，正确求解命题为真的条件是关键，是中档题

18．已知抛物线的顶点为，焦点坐标为．

（1）求抛物线方程；

（2）过点且斜率为1的直线与抛物线交于，两点，求线段的值．

【答案】（1）．（2）

【解析】（1）由题得，解之即得抛物线的方程；（2）设直线方程为，利用弦长公式求解.

【详解】解：（1）∵焦点坐标为

∴，，

∴抛物线的方程为．

（2）设直线方程为，设，，

联立

消元得，

∴，，，

∴

．

∴线段的值为．

【点睛】本题主要考查抛物线方程的求法，考查弦长的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和计算能力.

19．某小学调查学生跳绳的情况，在五年级随机抽取了100名学生进行测试，得到频率分布直方图如下，且规定积分规则如下表：

(1)求频率分布直方图中，跳绳个数在区间的小矩形的高；

(2)依据频率分布直方图，把第40百分位数划为合格线，低于合格分数线的学生需补考，试确定本次测试的合格分数线；

(3)依据积分规则，求100名学生的平均得分.

【答案】(1)

(2)

(3)分

【分析】（1）根据频率之和为列方程来求得跳绳个数在区间的小矩形的高.

（2）根据百分位数的计算方法计算出合格分数线.

（3）根据平均数的求法求得名学生的平均得分.

【详解】（1）设跳绳个数在区间的小矩形的高为，

则，

解得.

（2）第一组的频率为，第二组的频率为，

第三组的频率为，第四组的频率为，

第五组的频率为，第六组的频率为，

所以第百分位数为.

也即合格分数线为.

（3）名学生的平均得分为分.

20．已知圆C：（x﹣a）2+（y﹣2）2＝4（a＞0）及直线l：x﹣y+3＝0．当直线l被圆C截得的弦长为时，求

（Ⅰ）a的值；

（Ⅱ）求过点（3，5）并与圆C相切的切线方程．

【答案】（Ⅰ）a＝1；（Ⅱ）5x﹣12y+45＝0或x＝3．

【分析】（Ⅰ）根据圆的方程找出圆心坐标与圆的半径，然后利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线l的距离d，然后根据垂径定理得到弦心距，弦的一半及圆的半径成直角三角形，利用勾股对了列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值，然后由a大于0，得到满足题意a的值；

（Ⅱ）把（Ⅰ）求出a的值代入圆的方程中确定出圆的方程，即可得到圆心的坐标，并判断得到已知点在圆外，分两种情况：当切线的斜率不存在时，得到x＝3为圆的切线；当切线的斜率存在时，设切线的斜率为k，由（3，5）和设出的k写出切线的方程，根据直线与圆相切时圆心到直线的距离等于圆的半径，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d，让d等于圆的半径即可列出关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值，把k的值代入所设的切线方程即可确定出切线的方程．综上，得到所有满足题意的切线的方程．

【详解】解：（Ⅰ）依题意可得圆心C（a，2），半径r＝2，

则圆心到直线l：x﹣y+3＝0的距离，

由勾股定理可知，代入化简得|a+1|＝2，

解得a＝1或a＝﹣3，

又a＞0，所以a＝1；

（Ⅱ）由（1）知圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝4，圆心坐标为（1，2），圆的半径r＝2

由（3，5）到圆心的距离为r＝2，得到（3，5）在圆外，

∴①当切线方程的斜率存在时，设方程为y﹣5＝k（x﹣3）

由圆心到切线的距离dr＝2，

化简得：12k＝5，可解得，

∴切线方程为5x﹣12y+45＝0；

②当过（3，5）斜率不存在直线方程为x＝3与圆相切．

由①②可知切线方程为5x﹣12y+45＝0或x＝3．

【点睛】此题考查学生掌握直线与圆相切时所满足的条件，灵活运用垂径定理及勾股定理化简求值，灵活运用点到直线的距离公式化简求值，是一道综合题

21．已知椭圆经过点，且右焦点为.

（1）求椭圆的标准方程.

（2）过点的直线交椭圆于，两点，记，若的最大值和最小值分别为，，求的值.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）根据椭圆经过点，且右焦点为，由求解；

（2）当直线的斜率存在时，设直线的方程为，与椭圆方程联立，，，结合韦达定理，得到，转化为，求解；当直线斜率不存在时，由为定值判断即可.

【详解】（1）由题意可知，，解得，，

故椭圆的标准方程为.

（2）当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，.

联立，消去，得.

因为在椭圆内部，所以，

所以，.

则，

，

，

，

，

所以，，

则.

∴，即.

设，是的两根，∴.

当直线斜率不存在时，联立，得.

不妨设，，

则，，

.此时为定值，不存在最大值与最小值.

综上所述：.

22．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线 的参数方程为 （为参数），曲线的极坐标方程为 .

(1)求曲线的直角坐标方程，并指出该曲线是什么曲线；

(2)若直线 与曲线的交点分别为 ，求.

【答案】（1），曲线表示焦点坐标为，对称轴为轴的抛物线.（2）10

【详解】分析：（1）直接利用转换关系，把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化．

（2）利用直线和曲线的位置关系，建立方程组，利用根和系数的关系求出结果．

详解：(1)因为，所以，

即，

所以曲线表示焦点坐标为，对称轴为轴的抛物线.

(2)直线过抛物线的焦点，且参数方程为 （ 为参数），

代入曲线的直角坐标方程，得，

所以.

所以.

点睛：利用直线参数方程中参数的几何意义求解问题

经过点P(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为 (t为参数)．若A，B为直线l上两点，其对应的参数分别为，线段AB的中点为M，点M所对应的参数为，则以下结论在解题中经常用到：

(1) ；(2) ；(3) ；(4) ．

23．已知函数.

（1）求不等式的解集；

（2）已知函数的最小值为，正实数、、满足，证明：.

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【分析】（1）根据的解析式，利用分类讨论求绝对值不等式的解集即可；

（2）由（1）得，结合条件等式，应用基本不等式证明不等式，注意等号成立条件.

【详解】（1）由题设，，

∴要使，

由，无解；由，可得；由，可得；

综上，的解集为.

（2）由（1）知：的最小值为，即.

∴，而，

∵、、为正实数，

∴，当且仅当时等号成立，

∴，得证.