2022-2023学年四川省泸州市泸县第五中学高二上学期12月月考试数学（理）试题（解析版）

这是一份2022-2023学年四川省泸州市泸县第五中学高二上学期12月月考试数学（理）试题（解析版），共16页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．抛物线y＝4x2的焦点坐标是（ ）
A．（0，1）B．（1，0）C．D．
【答案】C
【分析】将抛物线方程化为标准方程，由此可抛物线的焦点坐标得选项.
【详解】解：将抛物线y＝4x2的化为标准方程为x2＝y，p＝，开口向上，焦点在y轴的正半轴上，故焦点坐标为（0，）.
故选：C．
2．下图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据（单位：件）若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则和的值分别为
A．5，5B．3，5C．3，7D．5，7
【答案】B
【分析】利用茎叶图、中位数、平均数的性质直接求解．
【详解】由茎叶图得：
∵甲、乙两组各5名工人某日的产量数据（单位：件）若这两组数据的中位数相等，
∴65＝60+y，解得y＝5，
∵平均值也相等，
∴，
解得x＝3．
故选B．
【点睛】本题考查实数值的求法，考查茎叶图、中位数、平均数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
3．已知命题，命题的否定是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】根据命题的否定的定义，写出命题的否定，然后判断．
【详解】命题的否定是：．
故选：B．
4．已知且，下列不等式正确的是（ ）
A．B．C．a-b>0D．a+b>0
【答案】C
【解析】根据不等式性质一一判断即可.
【详解】A选项：当时，故错误；
B选项：当时，故错误；
C选项：成立，故正确；
D选项：当时，故错误
故选：C
5．在如图所示的程序框图中，如果输入的，那么输出的i等于（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】C
【解析】根据程序框图逐次计算每次判断的奇偶性前各变量的值，结合的值判断循环何时终止，从而得到输出的的值.
【详解】解：由框图知：
第一次判断为奇偶性前，，；
第二次判断为奇偶性前，，；
第三次判断为奇偶性前，，；
第四次判断为奇偶性前，，；
第五次判断为奇偶性前，，；
第六次判断为奇偶性前，，；
此时判断，终止循环输出.
故选：C.
6．若x，y满足约束条件，z=2x-3y的最大值为（ ）
A．9B．6C．3D．1
【答案】A
【解析】画出不等式组表示的可行域，数形结合即可求解.
【详解】作出可行域：
由得，它表示斜率为纵截距为的直线，当直线经过点时，直线的纵截距最小，最大，此时，，
故选：A
7．已知直线和直线互相平行，则（ ）
A．1B．C．D．0
【答案】C
【分析】根据两直线互相平行斜率相等可得答案.
【详解】由，解得，经检验均满足题意.
故选：C.
8．已知命题，命题，则下列判断正确的是（ ）
A．是真命题B．q是真命题
C．是真命题D．是真命题
【答案】C
【分析】先根据基本不等式判断命题的真假，根据指数函数的单调性判断命题的真假，再根据命题的命题与逻辑连接词关系判断选项.
【详解】命题：当时，，根据基本不等式可得，当且仅当即时等号成立，因为当时，故等号不成立，命题为真命题；
命题：因为在定义域内为增函数，故，命题为假命题，为真命题.
故选：C
9．设为实数，若直线与圆相交于M，N两点，且，则（ ）
A．3B．-1C．3或-1D．-3或1
【答案】C
【分析】化出圆的标准方程，求出圆心和半径，利用垂径定理列方程求解即可.
【详解】圆的标准方程为，圆心为，半径为，
直线的一般方程为
则由已知得，
解得或
故选：C.
10．已知双曲线的两条渐近线互相垂直，则该双曲线的右焦点到其中一条渐近线的距离为（ ）
A．B．4C．D．
【答案】A
【分析】由双曲线的两条渐近线互相垂直，即可求得双曲线的渐近线方程为，然后可以求得右焦点坐标，最后利用点到直线距离公式即可求解.
【详解】∵双曲线的两条渐近线互相垂直，
∴双曲线的两条渐近线的斜率为，
∴双曲线的渐近线方程为，
又∵，，∴，∴，即右焦点的坐标为，
则右焦点到渐近线的距离为.
故选：.
11．过点P(3，5)作圆C：(x+2)2+y2=10的切线，若切点为A，B，则直线AB的方程是
A．x+y+2=0B．x+y﹣2=0C．x+y=0D．x+y﹣3=0
【答案】C
【解析】求出以为直径的圆的方程，两个圆方程相减可得直线方程．
【详解】圆的圆为，由切线性质知在以为直径的圆上，的中点为，
，所以以为直径的圆方程为，即，圆的方程为，两式相减得，即，此即为直线方程．
故选：C．
【点睛】本题考查切点弦所在直线方程，由圆的性质知圆外点，圆心，两切点四点共圆，此圆直线就是，而是两圆的公共弦．
12．设椭圆的右焦点为，过点作与轴垂直的直线交椭圆于，两点（点在第一象限），过椭圆的左顶点和上顶点的直线与直线交于点，且满足，设为坐标原点，若，，则该椭圆的离心率为
A．B．C．或D．
【答案】A
【详解】分析：根据向量共线定理及，，可推出，的值，再根据过点作与轴垂直的直线交椭圆于，两点（点在第一象限），可推出，两点的坐标，然后求出过椭圆的左顶点和上顶点的直线的方程，即可求得点的坐标，从而可得，，三者关系，进而可得椭圆的离心率.
详解：∵、、三点共线，
∴
又∵
∴或
∵
∴
∵过点作与轴垂直的直线交椭圆于，两点（点在第一象限）
∴，
∵过椭圆的左顶点和上顶点的直线与直线交于点
∴直线的方程为为
∴
∵
∴，即.
∴，即.
∴
∵
∴
故选A.
点睛：本题考查了双曲线的几何性质，离心率的求法，考查了转化思想以及运算能力，双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，转化为的齐次式，然后转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得 (的取值范围)．
二、填空题
13．已知直线过抛物线：的焦点，则______．
【答案】
【分析】根据直线过抛物线的焦点，可确定抛物线的焦点坐标，即可求得答案.
【详解】因为直线与轴交点坐标为 ，
又过抛物线的焦点，则即为抛物线的焦点，
所以，故，
故答案为：3.
14．设，，若是的充分条件，则实数的取值范围是______．
【答案】
【分析】根据题目条件得到，从而求出实数的取值范围.
【详解】是的充分条件，故，所以，
实数的取值范围为.
故答案为：
15．已知，，且，则的最小值为______.
【答案】4
【分析】利用“1”的妙用，运用基本不等式即可求解.
【详解】∵，即，
∴
又∵，，∴，当且仅当且，
即，时，等号成立，则的最小值为4.
故答案为：.
16．已知正三棱锥的所有顶点都在球的球面上，棱锥的底面是边长为的正三角形，侧棱长为1，则球的表面积为___________.
【答案】
【分析】设为正三角形ABC的中心，则⊥平面ABC，正三棱锥S−ABC的外接球的球心O在上，在Rt△中利用勾股定理求出SA的长，再在Rt△中利用勾股定理即可求出R的值，从而得到球O的表面积．
【详解】如图所示：
设为正三角形ABC的中心，连接，则⊥平面ABC，正三棱锥S−ABC的外接球的球心O在上，
设球的半径为R，连接AO，，
∵△ABC的边长为，
∴，
又∵，
∴在Rt△中，，
在Rt△中，OA＝R，，，
∴，解得：，
∴球O的表面积为．
故答案为：．
三、解答题
17．为了解某市家庭用电量的情况，该市统计局调查了若干户居民去年一年的月均用电量（单位：），得到如图所示的频率分布直方图.
(1)估计月均用电量的众数；
(2)求a的值；
(3)为了既满足居民的基本用电需求，又提高能源的利用效率，市政府计划采用阶梯电价，月均用电量不高于平均数的为第一档，高于平均数的为第二档，已知某户居民月均用电量为，请问该户居民应该按那一档电价收费，说明理由.
【答案】(1)175
(2)0.004
(3)该居民该户居民应该按第二档电价收费，理由见解析
【分析】（1）在区间对应的小矩形最高，由此能求出众数；
（2）利用各个区间的频率之和为1，即可求出值；
（3）求出月均用电量的平均数的估计值即可判断.
【详解】（1）由题知，月均用电量在区间内的居民最多，可以将这个区间的中点175作为众数的估计值，所以众数的估计值为175.
（2）由题知：，解得
则的值为0.004.
（3）平均数的估计值为：
，
则月均用电量的平均数的估计值为，
又∵
∴该居民该户居民应该按第二档电价收费.
18．已知命题方程表示椭圆，命题：．
（1）若命题为真，求实数m的取值范围；
（2）若为真，为真，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）或.
【分析】（1）分类讨论及结合一元二次不等式的性质进行求解即可；
（2）若为真，为真，则为假命题，为真命题，建立不等式关系求解即可.
【详解】（1）命题：，为真命题，
当时，，
即，解得；
当时，不等式等价为，为真命题；
当时，不等式恒成立.
综上知，.
（2）若为真，则，解得且，
若为真，为真，则为假命题，为真命题，
所以 或 或，
解得或.
即实数的取值范围是或.
【点睛】本题主要考查复合命题之间的关系，根据条件合理转化，建立不等式关系是解决本题的关键，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力，属于基础题.
19．已知函数.
（1）解不等式：；
（2）当时，求的最小值.
【答案】（1）；（2）最小值是3.
【解析】（1）把化为，解不等式即可；
（2）利用均值不等式求最值.
【详解】（1）由，得，又，解之得：或.
即原不等式的解集为；
（2）当时，.
当且仅当时，即或0(舍)时，“=”成立.
所以的最小值是3.
【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
(1)“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
(2)“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方．
20．已知点F是拋物线C:y2=2px(p>0)的焦点,点M(x0,1)在C上,且|MF|=.
(1)求p的值;
(2)若直线l经过点Q(3,-1)且与C交于A,B(异于M)两点,证明:直线AM与直线BM的斜率之积为常数.
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）抛物线定义知|，则 ，求得x0=2p，代入抛物线方程， ；
（2）由（1）得M（1，1），拋物线C：y2=x，
当直线l经过点Q（3，-1）且垂直于x轴时，直线AM的斜率 ，直线BM的斜率 ， ．
当直线l不垂直于x轴时，直线l的方程为y+1=k（x-3），代入抛物线方程，由韦达定理及斜率公式求得 ，即可证明直线AM与直线BM的斜率之积为常数．
【详解】(1)由抛物线定义知|MF|=x0+,则x0+=x0,解得x0=2p,
又点M(x0,1)在C上,所以2px0=1,解得x0=1,p=.
(2)由(1)得M(1,1),C:y2=x.
当直线l经过点Q(3,-1)且垂直于x轴时,不妨设A(3,),B(3,-),
则直线AM的斜率kAM=,直线BM的斜率kBM=,所以kAM·kBM=-×=-.
当直线l不垂直于x轴时,设A(x1,y1),B(x2,y2),
则直线AM的斜率kAM===,同理直线BM的斜率kBM=,∴kAM·kBM=·=.
设直线l的斜率为k(显然k≠0且k≠-1),则直线l的方程为y+1=k(x-3).
联立消去x,得ky2-y-3k-1=0,
所以y1+y2=,y1y2=-=-3-,故kAM·kBM===-.
综上,直线AM与直线BM的斜率之积为-.
【点睛】本题考查抛物线的标准方程，直线与抛物线的位置关系，考查直线的斜率公式及韦达定理的综合应用，考查计算能力，属于中档题．
21．如图，C是以为直径的圆上异于的点，平面平面分别是的中点.
(1)证明：平面；
(2)若直线与平面所成角的正切值为2，求锐二面角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由分别是的中点，得到，在由是圆的直径，所以，结合面面垂直的性质定理，证得面，即可证得面；
（2）以C为坐标原点，为x轴，为y轴，过C垂直于面的直线为z轴，建立空间直角坐标系，分别求得平面与平面的一个法向量，结合向量的夹角公式，即可求解.
【详解】（1）证明：在，因为分别是的中点，所以，
又因为是圆的直径，所以，
又由平面平面，平面平面，且平面，
所以面，
因为，所以面.
（2）解：由（1）知面，所以直线与平面所成角为，
由题意知，以C为坐标原点，为x轴，为y轴，过C垂直于面的直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
可得，
则，，
设面的法向量为，则，
取，可得，所以，
设面的法向量为，则，
取，可得，所以，
则，所以锐二面角的余弦值为.
22．设为坐标原点，过椭圆：的左焦点作直线与椭圆交于A，B两点，点在椭圆上.
(1)求椭圆的方程；
(2)求面积的取值范围；
(3)是否存在实数，使直线的斜率等于时，椭圆上存在一点满足?若存在，求出的所有值；若不存在，说明理由.
【答案】(1)
(2)
(3)不存在，理由见解析
【分析】（1）根据条件直接列关于的方程求解即可；
（2）设直线的方程为，，联立方程，然后利用韦达定理表示出，利用对勾函数的性质求其最值即可；
（3）先假设存在，然后由（2）利用韦达定理及向量的坐标运算求出，进而可得结论.
【详解】（1）由已知得，解得，
所以椭圆的方程为；
（2）设直线的方程为，，
联立，消去得，
则
令，，则，
当，
由对勾函数的性质可知在上单调递增，
，
则，
面积的取值范围为；
（3）假设存在实数，使直线的斜率等于时，椭圆上存在一点满足，
设为，
则由（2）得
，，
，
解得，此时直线的方程为，其斜率不存在.
故不存在实数，使直线的斜率等于时，椭圆上存在一点满足.