2022-2023学年四川省乐山沫若中学高二上学期第二次月考（期中考试）数学（文）试题（解析版）

这是一份2022-2023学年四川省乐山沫若中学高二上学期第二次月考（期中考试）数学（文）试题（解析版），共18页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，该几何体的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由三视图画出该几何体的直观图，结合图中数据求出该几何体的体积．
【详解】由三视图画出该几何体的直观图，如图所示；
由图可知：圆锥的母线长为5，圆柱的高为4，底面圆直径为8，故该几何体的体积为
．
故选:B
2．已知方程表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用椭圆的性质列出不等式求解即可．
【详解】方程1表示焦点在y轴上的椭圆，
可得，解得1＜m．
则m的取值范围为：（1，）．
故选B．
【点睛】本题考查椭圆的方程及简单性质的应用，基本知识的考查．
3．加斯帕尔·蒙日（图1）是18～19世纪法国著名的几何学家，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”（图2）．则椭圆 的蒙日圆的半径为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】A
【分析】由蒙日圆的定义，确定出圆上的一点即可求出圆的半径.
【详解】由蒙日圆的定义，可知椭圆 的两条切线的交点
在圆上，
所以，
故选：A
4．过椭圆的左焦点作斜率为1的弦，则弦的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】首先求出椭圆左焦点，然后写出直线方程为，再联立椭圆解出两交点坐标，最后依据两点之间距离公式得到弦长.
【详解】由,得椭圆方程,
左焦点为,
过左焦点的直线为,代入椭圆方程得
，解得或，
，
故选：D.
5．在正方体中，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】法一：作出辅助线，找到就是与夹角或其补角，利用余弦定理进行求解；
法二：建立空间直角坐标系，利用空间向量求解异面直线的夹角余弦值.
【详解】法一：设正方体的棱长为2，取的中点，连接，，
∵是的中点，
∴，
故就是与夹角或其补角，
由勾股定理得：，，
由余弦定理得：，
故异面直线与所成角的余弦值为；
法二：设正方体的棱长为2，以，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，
，，，，
，，
，
故异面直线与所成角的余弦值为；
故选：A.
6．已知椭圆的两个焦点为，，过的直线交椭圆于，两点，若的周长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】运用椭圆的定义进行求解即可.
【详解】由.
因为，是椭圆的上的点，、是椭圆的焦点，
所以，
因此的周长为，
故选：D
7．已知为椭圆的焦点，M为椭圆上一点，垂直于x轴，且，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】在直角中，由得到的等量关系，结合计算即可得到离心率.
【详解】由已知，得，则,
又在椭圆中通径的长度为，，
故,
即,
解得
故选：C
8．已知，是椭圆C：的两个焦点，P为椭圆C上一点，且，若的面积为9，则（ ）
A．3B．9C．D．12
【答案】A
【分析】结合三角形的面积、勾股定理、椭圆的定义列方程，化简求得的值.
【详解】设,
依题意，
整理得，即.
故选：A
9．已知三棱锥P-ABC中，底面ABC，PA＝AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，则三棱锥P-ABC的外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由平面，可将此三棱锥补成直三棱柱，则三棱柱的外接球就是三棱锥的外接球，
三棱柱上下两个底面的外心连线的中点就是球心，然后通过计算可得外接球的半径，从而可求得外接球的表面积.
【详解】将三棱锥还原成直三棱柱，则三棱柱的外接球即为球，为上下底面的外心，
为的中点，为底面外接圆的半径，
由余弦定理得
由正弦定理得，由，得，
所以球的表面积为．
故选：C
10．已知大小为的二面角棱上有两点，，，，，，若，，，则的长为（ ）．
A．22B．49C．7D．
【答案】C
【分析】过作且，连接、，易得，通过线面垂直的判定定理可得平面，继而得到，即可求出答案．
【详解】解：过作且，连接、，
则四边形是平行四边形，则
因为，所以平行四边形是矩形，
因为，即，而，
则是二面角的平面角，即，
因为，即为正三角形，所以，
因为，即，，，平面，
所以平面，因为平面，所以，
所以在中，
故选：C．
11．已知椭圆右顶点为，若是椭圆上的一动点，为坐标原点，则的最大值为（ ）
A．0B．3C．8D．9
【答案】C
【分析】根据题意得，故设，进而根据向量数量积运算得，最后结合二次函数性质与的有界性求解即可.
【详解】解：由题知，椭圆中，，，
所以，设
所以，
，
所以当时，取得最大值为.
故选：C
12．如图，在棱长为1的正方体中，是上的动点，则下列说法不正确的是（ ）
A．直线与是异面直线
B．平面
C．的最小值是2
D．当与重合时，三棱锥的外接球半径为
【答案】C
【分析】选项A，利用平面可说明直线与是异面直线；
选项B，先证明平面平面，再由平面，得平面；
选项C，通过作辅助线，将的最小值转化为求的值，在中，利用勾股定理求出的值；
选项D，认识到当与重合时，三棱锥的外接球与正方体的外接球是同一个，利用正方体来求外接球半径.
【详解】A选项，因为直线与平面相交于点，直线在平面内，所以由线线位置关系知，直线与是异面直线，故选项A正确；
B选项，连接，，由正方体性质，易知，，，所以四边形为平行四边形，
有，又平面，平面，所以平面，
同理可证平面，
又，都在平面内，且相交于点，所以平面平面，
又平面，所以平面，故选项B正确；
C选项，延长到，使得，连接，
在上取点，使得，
则，有.
故.
过点作，交于点，
在中，因为，所以，又，
所以，，，，
所以的最小值为，故选项C错误；
D选项，当P与重合时，三棱锥的外接球即为正方体的外接球，
又正方体的棱长为1，故其外接球半径，故选项D正确.
故选：C
二、填空题
13．点P(2,1)在椭圆的内部______.（正确或错误）
【答案】错误
【分析】根据椭圆内部，外部的条件判断.
【详解】∵，∴点P(2,1)在椭圆的外部，
故答案为：错误.
14．若圆锥的轴截面是边长为1的正三角形．则圆锥的侧面积是_________．
【答案】
【分析】根据题意可得圆锥的底面半径和母线长，进而根据圆锥侧面积公式求得结果.
【详解】若圆锥的轴截面是边长为1的正三角形，则圆锥的底面半径，母线，
故圆锥的侧面积.
故答案为：.
15．设椭圆的左，右焦点分别为，，过的直线l与C交于A，B两点（点A在x轴上方），且满足，则直线l的斜率为______.
【答案】
【分析】设出直线的方程并与椭圆方程联立，结合根与系数关系以及求得直线的斜率.
【详解】椭圆，
由于在轴上方且直线的斜率存在，所以直线的斜率不为，
设直线的方程为，且，
由，消去并化简得，
设，，
则①，②，
由于，所以③，
由①②③解得.
所以直线的方程为，斜率为.
故答案为：
16．设分别是椭圆（）的左、右焦点，若椭圆上存在点P，使得，其中O为坐标原点，且，则该椭圆的离心率为______
【答案】
【分析】设A是线段的中点，连接，由得，结合椭圆定义及，可得，即可由勾股定理得出a、c的齐次方程，即可求离心率.
【详解】设A是线段的中点，连接.
由于，所以，
由于是线段的中点，所以，
由于，所以，
所以，
所以.
故答案为：
三、解答题
17．已知为的两个顶点，为的重心，边上的两条中线长度之和为6，求点的轨迹的方程.
【答案】
【分析】根据题意可知，的和为定值，利用椭圆的定义可求得轨迹方程.
【详解】解：因为为的重心，所以
且边上的两条中线长度之和为6，
所以，
故由椭圆的定义可知的轨迹是以为焦点的椭圆（不包括长轴的端点），
且，所以，
所以,的轨迹的方程为.
18．如图，在正三棱柱中，D是棱BC上的点（不与点C重合），.
(1)证明：平面平面；
(2)若，求与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2).
【分析】（1）首先由垂直底面得到，又因为，则由线面垂直的判定定理得到平面，而面，最终证明面面；
（2）在平面中，作于点E，由平面得，又因为，可得平面，故为与平面所成的角，再利用等边三角形三线合一、勾股定理得到的值，最终计算出其正弦值.
【详解】（1）证明：在正三棱柱中，平面，
因为平面，所以.
又，，，平面，
所以平面.
又因为面，
所以面面.
（2）在平面中，作于点E.
由（1）可知平面，
因为平面，所以，
又，，平面，
所以平面.
因此为与平面所成的角.
因为在正三棱柱中，为正三角形，
由平面，平面，得，
所以D为BC的中点，.
在Rt中，，即，
所以与平面所成角的正弦值为.
19．已知椭圆经过点和点，一直线与椭圆相交于A、B两点，弦AB的中点坐标为.
（1）求椭圆的方程.
（2）求弦AB所在的直线方程.
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）椭圆经过点和点，可得，求出椭圆方程；
（2）根据题意 设出直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理及弦的中点坐标为，求出斜率，即可求得直线的方程.
【详解】（1）由题意知，点，分别是椭圆的长轴和短轴的一个端点，且椭圆的焦点在x轴上，所以，，故所求椭圆的标准方程为；
（2）解：设经过点的直线方程为，代入椭圆方程，
整理得，
设A、B的横坐标分别为、，
则，
解之得，
故AB方程为，即所求的方程为.
【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系，考查弦中点问题，解题的关键是直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理求解，是基础题.
20．如图，在四棱锥中，底面为正方形，且底面.
（1）求证：平面平面；
（2）若为棱的中点，在棱上求一点F，使平面.
【答案】（1）证明见解析；（2）点F为棱的中点（证明见解析）
【分析】(1)先证平面,即可证明平面平面,
(2)取的中点,的中点,连接、、,证四边形为平行四边形，从而得，即可证明平面平面.从而得F点即为的中点.
【详解】（1）证明：因为底面，平面,所以；
又底面为正方形，所以,,所以平面,
又平面，所以平面平面,得证.
（2）如图所示，取的中点,的中点,连接、、,
所以会有,,又,,
所以且,
所以四边形为平行四边形，
所以,面,面,
所以平面平面,
所以点，即为我们要找的F点.
21．如图，菱形的边长为6，对角线交于点，，将沿折起得到三棱锥，点在底面的投影为点．
（1）求证：；
（2）当为的重心时，求到平面的距离．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证明平面，利用线面垂直的定义可得命题成立；
（2）利用三棱锥的等体积法求出点面距离即可．
【详解】（1）证明：因为折叠前，所以，，
因为，所以平面，
又平面，所以．
（2）当为的重心时，如图，，
因为，，
所以，，故，，
因为平面，所以，
在中，，，
在中，，，
由勾股定理可得点A到BD的距离为，
所以，
设到平面的距离为，
因为，，则．
即到平面的距离等于．
22．已知椭圆的一个顶点为，离心率为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)斜率为1的直线与椭圆交于两点，
①若，求直线方程；
②求面积的最大值（为坐标原点）
【答案】(1)；
(2)①或；②.
【分析】（1）根据已知条件，求得，则椭圆方程得解；
（2）设出直线方程，联立椭圆方程，得到的坐标关系；
①根据，则，即可带值计算，求得直线方程；
②利用弦长公式和点到直线的距离公式，将三角形的面积转化为含变量的函数，求其最大值即可.
【详解】（1）椭圆的焦点在轴上，根据题意，显然有：，，又，
解得：，故椭圆的标准方程为：.
（2）设直线的方程为：，联立椭圆方程：，
可得：，
因直线与椭圆交于两点，故，解得：；
设坐标分别为，则；
①若，则，即，
，即，
故，解得，，
此时，直线方程为：或；
②，
又点到直线的距离
设的面积为，则，
令，故，
当时，的面积取得最大值.
【点睛】关键点点睛：本题考查椭圆方程的求解，以及椭圆中直线方程的求解和三角形面积的最值；处理问题的关键是转化为，以及正确的利用弦长公式，属综合中档题.