2022-2023学年四川省泸州市龙马高中高二上学期期中考试数学（理）试题（解析版）

2022-2023学年四川省泸州市龙马高中高二上学期期中考试数学（理）试题

一、单选题

1．直线的倾斜角为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据方程得到直线的斜率，然后可得答案.

【详解】由可得此直线的斜率为，倾斜角为，

故选：A

2．抛物线的焦点到准线的距离为（    ）

A．4 B．2 C．1 D．

【答案】C

【分析】利用抛物线的标准方程可得，由焦点到准线的距离为，从而得到结果.

【详解】抛物线的焦点到准线的距离为， 由抛物线标准方程可得，

故选：C.

3．若，则下列叙述成立的是（    ）

A． B．  C．  D．

【答案】B

【分析】由不等式的性质即可判断.

【详解】若，则，即；

若，则，即；

所以.

故选：B

4．直线与直线垂直，则k等于（    ）

A． B．2 C． D．

【答案】C

【分析】由两直线垂直则,即可得出答案.

【详解】因为直线与直线垂直，

所以，

解得

故选:C

5．已知，是两个不同的平面，l，m，n是三条不同的直线，下列条件中，可以得到的是（    ）

A．，，， B．，

C．， D．，

【答案】D

【分析】根据线面垂直的定义和空间直线垂直平行的性质即可判定D正确，举反例可判定ABC错误.

【详解】对于A，若，，，，当平行时，与平面可平行，可在内，也可斜交，也可垂直，故A错误；

对于B，若，设过的平面与交于，则根据线面平行的性质定理可得，在平面内，作直线,则，而此时在平面内，故B错误；

对于C， 若，设，在平面内作直线，则，由线面平行的判定定理可得，而此时在平面内，故C错误；

对于D，若，则直线与平面内的所有直线都垂直，又，∴与平面内的所有直线都垂直，根据线面垂直的定义可得，故D正确；

故选：D

6．在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先将两个异面直线平移到同一平面上，画出两条异面直线的夹角，然后构造三角形，算出三角形的边长，利用余弦定理计算出其夹角的余弦值即可.

【详解】连接，显然，所以异面直线与所成角为,

不妨设，因为，所以，,得，又因为，所以，，因为，，由勾股定理可知，在中由余弦定理得，所以异面直线与所成角的余弦值为.

故选：B

7．若实数x，y满足约束条件，则的最小值为（    ）

A． B． C．2 D．4

【答案】C

【分析】根据约束条件得可行域，根据目标函数的几何意义即可求解最值.

【详解】根据约束条件画出可行域如图所示，作出直线，可知z要取最小值，即直线经过点A，解方程组得，所以，

故选：C．

8．直线l：与圆C：交于A，B两点，则当弦AB最短时直线l的方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据直线方程，求所过定点，探究弦在垂直时取的最短，结合垂直直线斜率乘积为，由点斜式方程，可得答案.

【详解】由，，则令，解得，故直线过定点，由，则圆心，半径，

当时，弦最短，直线的斜率，则直线的斜率，

故直线为，则.

故选：B.

9．已知抛物线的焦点为，定点，点为抛物线上一点，则的最小值为（    ）

A．8 B． C．6 D．

【答案】A

【分析】由抛物线的几何性质知：，由图知为的最小值，求长度即可

【详解】点是抛物线的焦点，其准线方程为，作于，作于，

∴，当且仅当为与抛物线的交点时取得等号，

∴的最小值为.

故选：A

10．已知圆与圆恰有三条公切线，则实数a的值是（    ）

A．4 B．6 C．8 D．16

【答案】D

【分析】由题可知，圆与圆外切，则有圆心距.

【详解】圆化为：，

则圆心为，半径，

圆，圆心为，半径，

若圆与圆恰有三条公切线，则两圆外切.

两圆心的距离，

则有，即，解得.

故选：D

11．已知函数是幂函数，一次函数的图像过点，则的最小值是（    ）

A．3 B． C． D．5

【答案】B

【分析】根据幂函数定义，求出点，代入一次函数中，得到，再利用基本不等式求的最小值.

【详解】由是幂函数，可得，，即，，

又由点在一次函数的图像上，所以，

因为，，所以由基本不等式，得

，

当且仅当时取等号，即当，时，，

故选：B.

12．已知双曲线，的左右焦点记为，，直线过且与该双曲线的一条渐近线平行，记与双曲线的交点为P，若所得的内切圆半径恰为，则此双曲线的离心率为（    ）

A．2 B． C． D．

【答案】A

【分析】根据给定条件探求出的内切圆圆心坐标，再借助点到直线距离公式计算作答.

【详解】令双曲线的半焦距为c，则，由对称性不妨令与平行的渐近线为，

直线方程为：，即，

令的内切圆与三边相切的切点分别为A，B，C，令点，如图，

由切线长定理及双曲线定义得：，

即，而轴，圆半径为，则有，

点到直线的距离：，整理得，即，而，解得，

所以双曲线的离心率为2.

故选：A

【点睛】方法点睛：求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a，c，代入公式；

②根据给定条件得到关于a，b，c的齐次式，再转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围).

二、填空题

13．在空间直角坐标系中，与点关于平面对称的点为_____.

【答案】

【分析】点关于对称的点，即把纵坐标变为相反数，其他两个坐标不变.

【详解】关于平面对称的点为.

故答案为：

14．双曲线 = 1的右焦点F到其中一条渐近线的距离为________.

【答案】

【分析】利用点到直线的距离公式直接求解即可.

【详解】由题意可知：，

所以右焦点F的坐标为，

该双曲线的一条渐近线的方程为：，

所以F到一条渐近线的距离为：，

故答案为：.

15．已知球的体积为，正四棱锥的顶点为，底面的四个顶点均在球的球面上，底面边长为4，则其高为___________.

【答案】1

【分析】由题可得球的半径为3，然后利用球及正棱锥的性质即得.

【详解】设球的半径为，则，

所以，则该正四棱锥的侧棱长为3，

因为该正四棱锥的底面边长为4，

所以底面对角线长为，

故该正四棱锥的高为.

故答案为：1.

16．已知离心率为的椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上，点为的内心，且、、的面积分别为、、，若，则的值为__________．

【答案】5

【分析】先根据离心率求得a、c的关系，再根据已知条件用a、c表示出，求得结果.

【详解】据题意，因为离心率

，

设

点为的内心，设半径为r，

得

化简得，

设

故答案为5.

【点睛】本题目考查了椭圆的离心率、定义以及性质，结合三角形类型的知识的综合问题，属于较难题.

三角形的内心：角平分线的交点；

三角形的外心：垂直平分线的交点；

三角形的重心：中线的交点.

三、解答题

17．已知圆C经过坐标原点O和点（4，0），且圆心在x轴上

(1)求圆C的方程；

(2)已知直线l：与圆C相交于A、B两点，求所得弦长的值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）求出圆心和半径，写出圆的方程；（2）求出圆心到直线距离，进而利用垂径定理求出弦长.

【详解】（1）由题意可得，圆心为(2，0)，半径为2．则圆的方程为；

（2）由（1）可知：圆C半径为，设圆心（2，0）到l的距离为d，则，由垂径定理得：．

18．已知抛物线C：，经过点．

(1)求抛物线C的方程及准线方程；

(2)设O为原点，直线与抛物线相交于A，B两点，求证：OA⊥OB．

【答案】(1)，

(2)证明见解析

【分析】（1）把点代入抛物线方程即可求解；

（2）设，，联立，利用根于系数的关系，由平面向量的数量积证明，即可得证

【详解】（1）因为点在抛物线上，

所以，解得，

故抛物线的方程为，

准线方程为；

（2）设，

联立得

，

，

因为

所以

所以

19．已知函数 ，不等式 的解集是 .

(1)求的解析式；

(2)若对于任意 ,不等式恒成立，求的取值范围.

【答案】(1);

(2).

【分析】（1）由题意可得2和3是方程的两个根，运用韦达定理求得 ，进而得到所求解析式；

（2）由题意可得对于任意恒成立．再由二次函数在闭区间上的最值求法可得最大值，解二次不等式可得所求范围．

【详解】（1）由不等式的解集是，

知2和3是方程的两个根，

由根与系数的关系，得 ，

即 ，所以 ；

（2）不等式对于任意恒成立，

即对于任意恒成立,

由于图象的对称轴是 ，

故当时，取最大值， ，

所以只需 ，即 ，解得或，

故t的取值范围为．

20．已知点，，动点满足直线与的斜率积为，记的轨迹为曲线.

(1)求曲线的方程，并说明是什么曲线；

(2)已知直线：与曲线交于两点，且在曲线存在点，使得，求的值及点的坐标.

【答案】(1)：（），是除去左右两个端点的双曲线

(2)时，，当时，.

【分析】（1）利用斜率公式列出方程即可；

（2）将直线与曲线联立消去，设，利用韦达定理得和，再设 ，由列方程解出的值即可.

【详解】（1）动点满足直线与的斜率积为

即：（），是除去左右两个端点的双曲线

（2）将直线与曲线联立得，

设，则，

设，由得，

即，又因为，解得，

所以当时，，当时，.

21．如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，点E在线段PC上，PC⊥平面BDE.

(1)证明：BD⊥平面PAC；

(2)若，求二面角B—PC—A的正切值.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）证明PA⊥BD，PC⊥BD，即可证明BD⊥平面PAC．

（2）由PC⊥平面BDE，得∠BFO为二面角B－PC－A 的平面角，在在Rt△BFO中，即可求解二面角B－PC－A的正切值．

【详解】（1）因为PA⊥平面ABCD，且BD平面ABCD，所以，

又因为PC⊥平面BDE，BD平面BDE，所以，

且平面PAC、PC平面PAC

所以BD⊥平面PAC ．

（2）（2）设AC，BD的交点为O，过点O作于点F，连接BF

由（1）知，BD⊥平面PAC，且OF平面PAC，所以，

即△OBF为直角三角形且，OF平面BDF，

BO平面BDF，所以PC⊥平面BOF，BF平面BOF，

所以，所以∠BFO为二面角B—PC—A的平面角

由（1）知，所以ABCD为正方形.

且

在Rt△BFO中，，则，

所以二面角B—PC—A的正切值为．

22．如图，已知椭圆长轴长为4，离心率．

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)点为椭圆C上一点，设是经过右焦点F的任一弦（不经过点P），直线与直线相交于点M，记的斜率分别为，求证：．

【答案】(1)；

(2)证明过程见解析.

【分析】（1）根据长轴长和离心率求出，从而求出，得到椭圆方程；

（2）先得到直线的斜率一定存在，设出直线的方程，求出，直线的方程与椭圆方程联立，得到两根之和，两根之积，进而表达出，从而得到.

【详解】（1）由题意得：，，解得：，

所以，

所以椭圆的标准方程为：；

（2）因为，，是经过右焦点F的任一弦（不经过点P），

所以直线的斜率一定存在，

设直线：，当时，，故，

将与联立得：，

设，

则，

，

则

.

【点睛】直线与圆锥曲线综合题目，通常要设出直线方程，与圆锥曲线方程联立，得到两根之和，两根之积，再根据题目中条件列出方程，或者表达出弦长或面积，进行求解.