2022-2023学年四川省泸州市龙马高中高二上学期第二次月考数学（文）试题（解析版）

2022-2023学年四川省泸州市龙马高中高二上学期第二次月考数学（文）试题

一、单选题

1．椭圆的长半轴长（     ）

A．11 B．7 C．5 D．2

【答案】C

【分析】直接由椭圆标准方程求解即可.

【详解】由椭圆标准方程知，长半轴长.

故选：C.

2．若直线与直线平行，则实数a的值为（    ）

A．2 B． C． D．4

【答案】D

【解析】讨论的值，由直线平行的性质，求解即可.

【详解】当时，直线与直线不平行，不满足题意；

当时，由直线与直线平行，则

解得：

故选：D

【点睛】本题主要考查了由直线平行求参数，属于中档题.

3．已知a，b，c，d为实数，且，则下列不等式一定成立的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】取特殊值可判断ABD；利用不等式的性质可判断C..

【详解】对于A，若，，，，不等式不成立；

对于B，取，，，，不等式不成立；

对于C，因为且，，所以由不等式的同项可加性，，不等式成立；

对于D，当，时，不等式不成立.

故选：C.

4．已知具有线性相关的变量、，设其样本点为，回归直线方程为，若，（为坐标原点），则（    ）

A． B． C．2 D．5

【答案】A

【分析】首先求得样本中心点，然后利用线性回归方程的性质求解即可．

【详解】因为，所以.

因为，所以.

因为线性回归直线经过样本中心点，则，即，解得．

故选：A

5．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．

根据该折线图，下列结论错误的是（    ）

A．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳

B．年接待游客量逐年增加

C．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月

D．月接待游客量逐月增加

【答案】D

【分析】由折线图逐项分析求解即可

【详解】对于A：由折线图可知：

各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳，故A正确；

对于B：由折线图可知：2014年至2016年的同一个月月接待游客量均在增加，

故年接待游客量逐年增加，故B正确；

对于C：由折线图可知：各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月，故C正确；

对于D：由折线图可知：2014年8月至9月，游客接待量由35万人下降到30万人，

故D错误；

故选：D

6．执行右面的程序框图，若输入的k=0，a=0，则输出的k为（    ）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】C

【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，即可求得答案.

【详解】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出的值

模拟程序的运行过程

第1次循环，，为否

第2次循环，，为否

第3次循环，，为否

第4次循环，，为是

退出循环

输出.

故选：C.

【点睛】本题考查求循环框图的输出值，解题关键是掌握模拟循环语句运行的计算方法，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.

7．某赛季甲乙两名篮球运动员在若干场比赛中的得分情况如下：

甲：21、22、23、25、28、29、30、30；

乙：14、16、23、26、28、30、33、38.

则下列描述合理的是（    ）

A．甲队员每场比赛得分的平均值大 B．乙队员每场比赛得分的平均值大

C．甲队员比赛成绩比较稳定 D．乙队员比赛成绩比较稳定

【答案】C

【分析】计算均值，再根据数据的集中度判断．

【详解】甲的均值为，

乙的均值为，

两者均值相同，甲的方差为

乙的方差为

，

甲的方差小于乙的方差，甲稳定．

故选：C．

8．下图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（    ）

A．6+4 B．4+4 C．6+2 D．4+2

【答案】C

【分析】根据三视图特征，在正方体中截取出符合题意的立体图形，求出每个面的面积，即可求得其表面积.

【详解】根据三视图特征，在正方体中截取出符合题意的立体图形

根据立体图形可得：

根据勾股定理可得：

是边长为的等边三角形

根据三角形面积公式可得：

该几何体的表面积是：.

故选：C.

【点睛】本题主要考查了根据三视图求立体图形的表面积问题，解题关键是掌握根据三视图画出立体图形，考查了分析能力和空间想象能力，属于基础题.

9．已知变量，满足约束条件，则的最小值为（    ）

A． B．5 C．4 D．22

【答案】A

【分析】画出可行域，由目标函数的几何意义判断最小的位置即可.

【详解】可行域如图所示，由得，即最小时取最小值，此时直线过时，故最小.

故选：A

10．已知抛物线的焦点为，准线为，过抛物线上一点作准线的垂线，垂足为，若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由抛物线定义可知为正三角形，根据可知，由此可求得，由此可得.

【详解】

由抛物线定义可知：，，为正三角形.

设准线与轴交于点，由抛物线方程可知：，

，，，.

故选：A.

11．设，为椭圆的两焦点，点在椭圆上，若线段的中点在轴上，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】根据题意可得轴，从而可得，再利用椭圆的定义可得，即求.

【详解】因为线段的中点在y轴上，

所以轴，，，

所以．

故选：C

12．在平面直角坐标系中，已知点，，圆C：，在圆上存在点P满足，则实数m的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据给定条件，求出点P的轨迹，再利用两圆有公共点的充要条件求解作答.

【详解】设点，由得：，整理得：，

即点P的轨迹是以点为圆心，2为半径的圆，而圆C的圆心，半径为，

依题意，圆与圆C有公共点，即有，即，而，解得，

所以实数m的取值范围是.

故选：D

二、填空题

13．已知双曲线，则的渐近线方程为______．

【答案】

【分析】根据双曲线的渐近线方程求解即可.

【详解】解：由题知双曲线的焦点在轴上，，

所以，的渐近线方程为.

故答案为：

14．抛物线的焦点到直线的距离为______．

【答案】

【分析】求出抛物线的焦点坐标，利用点到直线的距离公式即可求得答案.

【详解】由题意可得抛物线的焦点为，

则焦点到直线的距离为 ，

故答案为：

15．在三棱锥P－ABC中，，AC⊥平面PAB，则三棱锥P－ABC的外接球O的体积为______．

【答案】##．

【分析】如图所示，设底面的中心为, 连接,取的中点，连接.求出底面三角形外接圆的半径和球的半径即得解.

【详解】解：如图所示，设底面的中心为, 连接,取的中点，连接.

由正弦定理得.

因为

因为AC⊥平面PAB，平面PAB，所以,

所以四边形是矩形，所以.

所以球的半径为.

所以外接球O的体积为.

故答案为：

16．如图，某公园内有一个边长为的正方形区域，点处有一个路灯，点到的距离是，到的距离是，现过点建一条直路交正方形区域两边于点和点，若对区域进行绿化，则此绿化区域面积的最小值为______．

【答案】

【分析】以为原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系，可得，设，，直线方程为，，利用基本不等式可得答案.

【详解】如图，以为原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系，

则，根据题意可得直线的斜率存在，设，，则直线方程为，

所以，且，所以，当且仅当，

即时等号成立，

所以，

则此绿化区域面积的最小值为96．

故答案为：96.

三、解答题

17．已知圆C的圆心在直线上，且与y轴相切于点.

(1)求圆C的方程

(2)若圆C与直线l：交于A，B两点，，求m的值.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）令圆心为，由题意得求得，且半径，即可写出圆的方程；

（2）由题意知到直线l的距离为，利用点线距离公式列方程求参数m.

【详解】（1）由题意，设圆心为，又与y轴相切于点，故，即，

所以，且半径，故圆C的方程为.

（2）由（1）及题意，如下图示：，，故到直线l的距离为，

所以，可得.

18．已知函数，．

(1)若的解集为，求a的值；

(2)求关于x的不等式的解集．

【答案】(1)2

(2)答案见解析

【分析】（1）由不等式的解集得到和1是的两个根，由韦达定理得到方程组，求出a的值；

（2）对不等式进行变形得到，分，和三种情况，求出不等式的解集.

【详解】（1）若的解集为，则和1是的两个根，

则，解得a＝2；

（2）由得，即，

当，即时，不等式的解集为或；

当，即时，不等式可化为，不等式的解集为；

当，即时，不等式的解集为或；

综上：当时，不等式的解集为或；

当时，不等式解集为；

当时，不等式的解集为或.

19．某种植园在芒果临近成熟时，随机从一些芒果树上摘下100个芒果，其质量分布在，，，，（单位：克）中，经统计频率分布直方图如图所示．

(1)估计这组数据的平均数；

(2)某经销商来收购芒果，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表，用样本估计总体，该种植园中共有芒果大约10000个，经销商提出以下两种收购方案：

方案①：所有芒果以10元/千克收购；

方案②：对质量低于350克的芒果以3元/个收购，对质量高于或等于350克的芒果以5元/个收购．

请通过计算确定种植园选择哪种方案获利更多？

【答案】(1)387（克）

(2)方案②获利更多

【分析】（1）由频率分布直方图分析数据，直接求平均数；

（2）分别求出方案①和方案②的收入，进行比较，下结论.

【详解】（1）由频率分布直方图可得这组数据的平均数为：

（克）；

（2）方案①收入：（元）；

方案②收入：由题意得低于350克的收入：（元）；

高于或等于350克的收入：（元）．

故总计（元），由于，

故种植园选择方案②获利更多．

20．已知抛物线的焦点为F，过点的直线l交C于M，N两点，当l与x轴垂直时，．

(1)求C的方程：

(2)在x轴上是否存在点P，使得恒成立（O为坐标原点）？若存在求出坐标，若不存在说明理由．

【答案】(1)

(2)存在，

【分析】（1）易知，求出即可；

（2）设，，，由题可知直线l斜率不为零，

设，代入抛物线方程消去x，得，

由可得，利用斜率公式，根与系数的关系求解即可

【详解】（1）当l与x轴垂直时，由题意易得，

从而，解得p＝1，

所以C的方程为；

（2）设，，，由题可知直线l斜率不为零，

设，代入抛物线方程消去x，得，

从而，，①

由可得

将①代入上式，得恒成立，

所以，

因此存在点P，且满足题意，P点坐标为．

21．如图，在四棱锥P－ABCD中，，AB⊥平面PAD，PA＝AD＝DC＝2AB＝4，，M是PC的中点．

(1)证明：平面ABM⊥平面PCD；

(2)求三棱锥M－PAB的体积．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】(1) 取PD中点N，要证平面ABM⊥平面PCD，即证PD⊥平面ABN，再证明四点共面，证明PD⊥平面ABMN

(2) ，根据求解.

【详解】（1）（1）取PD中点N，连接MN，AN，

因为PA＝AD，所以AN⊥PD，

由AB⊥平面PAD，平面PAD，所以AB⊥PD，

又由，且AN，平面ABN，所以PD⊥平面ABN，

因为MN是△PCD中位线，所以，

所以ABMN四点共面，于是PD⊥平面ABM，平面PCD，

所以平面ABM⊥平面PCD

（2）由（1）可得，且平面PAB，所以平面PAB，

所以，

因为AB⊥平面PAD，可得，

又由，，AN⊥PD，

所以，，

所以．

22．已知曲线C上的任意一点到点的距离和它到直线l：的距离的比是常数，过点F作不与x轴重合的直线与曲线C相交于A，B两点，过点A作AP垂直于直线l，交直线l于点P，直线PB与x轴相交于点M.

(1)求曲线C的方程；

(2)求面积的最大值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由题意列出曲线方程化简即可求解；

（2）设直线AB的方程为，，，表示出，联立直线与椭圆方程消去，表示出关于的韦达定理，结合求出直接PB的方程，令，求出坐标，进而得到，由求出面积，结合换元法和对勾函数性质可求面积的最大值.

【详解】（1）设曲线C上的任意一点的坐标为，

由题意，得，即，所以曲线C的方程为；

（2）由题意，设直线AB的方程为，，，则.

联立方程得，则，

所以，，所以.

又因为，所以直接PB的方程为.

令，则，

所以，.

因为

，

所以.

令，，则.

又因为在上单调递减，所以当时，，

故面积的最大值为.

【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：

（1）设直线方程，设交点坐标为；

（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；

（3）列出韦达定理；

（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；

（5）代入韦达定理求解.