2022-2023学年四川省内江市第六中学高二上学期期中考试数学（文）试题（解析版）

这是一份2022-2023学年四川省内江市第六中学高二上学期期中考试数学（文）试题（解析版），共16页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年四川省内江市第六中学高二上学期期中考试数学（文）试题 一、单选题1．点到直线的距离是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用点线距离公式即可求解.【详解】因为点线距离公式为，所以.故选：B.2．已知直线经过点，且与直线平行，则直线的方程是（    ）A． B．  C．  D． 【答案】A【分析】由题知直线的斜率为，再根据点斜式方程求解即可.【详解】解：因为直线的斜率为，直线与直线平行，所以，直线的斜率为，因为直线经过点，所以，直线的方程为：，即故选：A3．若为圆的弦的中点，则直线的方程是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出圆心坐标，可得圆心与点P连线的斜率，进而得到直线AB的斜率，再由点斜式得解．【详解】圆的圆心为(1，0)，半径为5，则圆心与点P连线的斜率为，则直线AB的斜率为－1，由点斜式可得，直线AB的方程为y－1＝－(x－2)，即x＋y－3＝0．故选：A．4．某程序框图如图所示，则输出的结果是（    ）A．-1 B． C． D．2【答案】C【分析】由初始条件输入循环体，求出每一次S的值，探求规律即可求解作答.【详解】执行模拟程序，输入初始值：，第一次进入循环体，；第二次进入循环体，；第三次进入循环体，；…，照此执行下去，S的值构成以3为周期的一列数，当时结束循环，而，所以输出的S值是.故选：C5．已知直线，的斜率是方程的两个根，则（    ）A． B．C．与相交但不垂直 D．与的位置关系不确定【答案】C【分析】设直线的斜率为，直线的斜率为，根据判别式以及韦达定理可得到结果.【详解】设直线的斜率分别为，因为，所以方程有两个不相等的实数根，所以与相交．又，所以与不垂直．故选：C6．《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，其第十一卷中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥．若一个直角圆锥的侧面积为，则它的体积为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题中定义，结合圆锥的侧面积和体积公式进行求解即可.【详解】设直角圆角的底面半径为，母线为，高为，因为直角圆锥的轴截面为等腰直角三角形，所以有，因为直角圆锥的侧面积为，所以有，即，因此，所以该直角圆锥的体积为，故选：B7．已知，满足约束条件，则的最大值为（    ）A． B．1 C． D．2【答案】B【分析】先画出可行域，由于表示点与连线的斜率，所以结合图形可求得其最小值.【详解】可行域如图所示，表示点与连线的斜率，由图可知，直线过点时，直线的斜率最大，由，得，即，所以所以的最大值为1.故选：B8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（　　）A． B． C． D．【答案】C【分析】由三视图知该几何体是下面为圆柱体，上面为长方体的组合体，进一步求出几何体的表面积.【详解】由三视图知该几何体是下面为圆柱体，上面为长方体的组合体，所以组合体的表面积由圆柱体的表面积加上长方体的侧面积.其表面积为：.故选：C9．圆与圆恰有两条公切线．则a的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先求出两圆的圆心坐标与半径，依题意两圆相交，则，即可得到不等式组，解得即可.【详解】解：圆，即，圆心，半径，圆的圆心，半径，因为两圆恰有两条公切线，则两圆相交，所以，即，解得，即；故选：A10．如图为一正方体的平面展开图，在这个正方体中，有下列四个命题：①；  ②与成角；③与成异面直线且夹角为.其中正确的是（    ）A．①② B．②③ C．③ D．①②③【答案】B【分析】还原正方体直观图，根据直观图直观可判断①；利用正三角形性质和线线平行可判断②③．【详解】将正方体纸盒展开图还原成正方体，如图知与不平行，故①错误；连接、，因为为正三角形，且，则与成角，故②正确；同理与成角，由图可知与成异面直线，故③正确．故选：B．11．已知直线与圆相交于，两点，若，则实数的取值范围为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用垂径定理及勾股定理表示出弦长，列出关于的不等式，求出不等式的解集，即可得到的范围.【详解】由圆的方程得：圆心，半径，圆心到直线即的距离，，变形整理得，即，解得，的取值范围是，故选：D.12．已知过点的动直线l与圆C：交于A，B两点，过A，B分别作C的切线，两切线交于点N．若动点，则的最小值为（    ）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】B【分析】先判断出四点在以为直径的圆上，求出该圆方程，进而求得方程，由点在直线上得出点轨迹为，又在圆上，进而将的最小值即为圆心到直线的距离减去半径，即可求解.【详解】易得圆心，半径为4，如图，连接，则，则四点在以为直径的圆上，设，则该圆的圆心为，半径为，圆的方程为，又该圆和圆的交点弦即为，故，整理得，又点在直线上，故，即点轨迹为，又在圆上，故的最小值为圆心到直线的距离减去半径1，即.故选：B. 二、填空题13．已知点和，P为直线上的动点，则的最小值为__________．【答案】【分析】求出点关于直线的对称点，当三点共线时，最小.【详解】由题意可得点与在直线的同侧，故设点关于的对称点.则有，解得，则.当点为和直线交点时，即三点共线时，最小，最小值为.故答案为：.14．在三棱锥中，，且两两互相垂直，则三棱锥的外接球的体积为__________．【答案】【分析】根据题意，将三棱锥补形为立方体，从而求出立方体的体对角线即为外接球的直径，求出半径，进而求出外接球的体积.【详解】因为，且两两互相垂直，所以三棱锥可补形为立方体，三棱锥的外接球即为立方体的外接球，则立方体的体对角线为其外接球的直径，设三棱锥的外接球的半径为，则，所以，则外接球体积为.故答案为：15．如图，直三棱柱中，侧棱平面，若，，则异面直线与所成的角为_________.【答案】【分析】连接，由，得或其补角是异面直线与所成的角，判断的形状，由此能求出异面直线与所成的角．【详解】连接，在三棱柱中，且，所以，四边形为平行四边形，，所以，异面直线与所成的角为或其补角，直三棱柱中，侧棱平面，、平面，，，且，则，同理可得，所以，为等边三角形，则.因此，异面直线与所成的角为.故答案为：.【点睛】本题考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．16．在平面直角坐标系中，点，若在曲线上存在点使得，则实数的取值范围为__________【答案】【分析】根据题意，设P（x，y），分析可得若|PB|＝2|PA|，则有（x﹣4）2+y2＝4（x﹣1）2+4y2，变形可得x2+y2＝4，进而可得P的轨迹为以O为圆心，半径为2的圆；将曲线C的方程变形为（x﹣a）2+（y﹣2a）2＝9，可得以（a，2a）为圆心，半径为3的圆；据此分析可得若曲线C上存在点P使得|PB|＝2|PA|，则圆C与圆x2+y2＝4有公共点，由圆与圆的位置关系可得3﹣22+3，解可得a的取值范围，即可得答案．【详解】根据题意，设P（x，y），若|PB|＝2|PA|，即|PB|2＝4|PA|2，则有（x﹣4）2+y2＝4（x﹣1）2+4y2，变形可得：x2+y2＝4，即P的轨迹为以O为圆心，半径为2的圆，曲线Cx2﹣2ax+y2﹣4ay+5a2﹣9＝0，即（x﹣a）2+（y﹣2a）2＝9，则曲线C是以（a，2a）为圆心，半径为3的圆；若曲线C上存在点P使得|PB|＝2|PA|，则圆C与圆x2+y2＝4有公共点，则有3﹣22+3，即1|a|≤5，解可得：a或a，即a的取值范围为：[，]∪[，]；故答案为[，]∪[，]．【点睛】判断圆与圆的位置关系的常见方法(1)几何法：利用圆心距与两半径和与差的关系．(2)切线法：根据公切线条数确定． 三、解答题17．在三角形中，已知点，，.(1)求边上中线所在的直线方程；(2)若某一直线过点，且轴上截距是轴上截距的倍，求该直线的一般式方程.【答案】(1)(2)或 【分析】（1）求出中点，利用点斜式求方程即可；（2）直线过原点和不过原点利用截距式方程求解即可【详解】（1）∵，，∴线段的中点的坐标为，又边上的中线经过点，∴，即，故边上中线所在的直线方程（2）当直线在轴和轴上的截距均为0时，可设直线的方程为，代入点，则，解得，所以所求直线的方程为，即；当直线在轴和轴上的截距均不为0时，可设直线的方程为，代入点，则，解得，所以所求直线的方程为，综上所述，该直线的一般式方程为或.18．已知直线与直线交于点(1)求过点且平行于直线的直线的方程；(2)在（1）的条件下，若直线与圆交于两点，求直线与圆截得的弦长【答案】(1)(2) 【分析】（1）先求出交点坐标，设出直线方程，利用待定系数法求解；（2）利用垂径定理求解弦长.【详解】（1）由所以，令，将代入得：.（2）圆心到直线的距离，所以19．如图是一个简单的几何体的三视图．(1)求此几何体的表面积S与体积V；(2)对任意实数a、b，若的运算原理如图所示，求（1）中S、V的运算；(3)求该几何体外接球的表面积．【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）根据三视图可得该几何体为直三棱柱，根据三视图中的数据，代入体积、表面积公式，可得答案；（2）根据S＞V，结合已知的程序框图，可得运算结果．（3）取B1C1的中点D1，由DD1⊥面ABC，∠CAB＝90°，BC的中点为D，则外接球的球心为DD1的中点O，进而可求得球的半径和表面积．【详解】（1）该几何体为直三棱柱如图所示：取BC的中点D，连接AD，则AD＝BD＝CD＝2，BC＝4，AD⊥BC，则∠CAB＝90°，AB＝AC＝，该几何体的底面ABC的面积为，底面ABC的周长为，高为CC1＝4，故表面积，体积．（2），由已知的程序框图，可得．（3）取B1C1的中点D1，连接DD1，∵CC1⊥面ABC，∴DD1⊥面ABC，又∠CAB＝90°，BC的中点为D，则外接球的球心为DD1的中点O，连接OB，则外接球半径R＝OB＝，所以该几何体外接球的表面积为．20．在四棱锥中,底面为梯形,.设的中点分别为.(1)求证:四点共面;(2)若,且,求异面直线与所成角的大小.【答案】（1）见解析（2）60°.【解析】（1）由条件可知,,可知，可证明四点共面；（2）由条件可知(或其补角)即为异面直线与所成的角，再求解.【详解】解析 (1)证明:因为,,,的中点分别为,所以为的中位线,为梯形的中位线.所以,,所以,所以四点共面.(2)因为为的中位线,所以.又,所以(或其补角)即为异面直线与所成的角.又,所以.在中,,所以.所以异面直线与成的角为60°.【点睛】本题考查四点共面和异面直线所成的角，意在考查推理，证明能力，属于基础题型.21．在平面直角坐标系中，圆C经过三点．(1)求圆C的方程；(2)若经过点的直线l与圆C相交于M，N两点，且，求直线l的方程．【答案】(1)；(2)和. 【分析】（1）设圆的一般方程，由点在圆上列方程组求参数，即可得圆的方程；（2）由圆的方程写出圆心、半径，由题设易得圆心到直线l距离为，讨论直线l与x轴的位置关系，应用点斜式、点线距离公式求参数，进而确定直线方程.【详解】（1）设圆C方程为，经过三点，所以，解得，所以圆C方程为.（2）圆C方程化为，所以圆C的圆心为，半径为5．因为，设MN中点为E，则且，从而．即到直线l的距离为，且经过点．当直线l与x轴垂直时，直线l为，点到直线l的距离为，满足题意；当直线l与x轴不垂直时，设直线l为，即．所以，解得，此时直线l为．因此，满足题意的直线l的方程为和.22．已知圆的方程为，过点的动直线与圆相交于两点，线段的中点为.(1)设动点的轨迹为曲线，求曲线的方程.(2)已知，过点D作直线，交曲线于P，Q两点，P，Q不在y轴上.过点D作与直线垂直的直线，交曲线于E，F两点，记四边形EPFQ的面积为S，求S的最大值；【答案】(1)(2)7 【分析】（1）由圆的性质知，利用勾股定理及两点之间的距离公式即可求解；（2）由弦长公式求得 ，分类讨论当直线斜率不存在时，求得，当直线斜率存在，可求得，结合基本不等式即可求解.【详解】（1）设，由圆的性质知,则，即，化简可得曲线的方程为.（2）显然直线的斜率存在，设直线方程为，即，则圆心到直线的距离，所以 ，若，则直线斜率不存在，则，，则，若，则直线得方程为 ，即 ，则圆心到直线的距离，所以 ，则 ，当且仅当 ，即 时，取等号，综上所述，因为 ，所以S的最大值为7.