2022-2023学年四川省雅安市雅安中学高二上学期期中数学试题（解析版）

2022-2023学年四川省雅安市雅安中学高二上学期期中数学试题

一、单选题

1．抛物线的准线方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】把抛物线方程化成标准形式，直接写出准线方程作答.

【详解】抛物线的标准方程为，所以所求准线方程为.

故选：D

2．椭圆上的一点到两个焦点的距离之和为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由椭圆定义可直接求得结果.

【详解】由椭圆方程知：；

根据椭圆定义可知：椭圆上一点到两个焦点的距离和为.

故选：D.

3．下列说法正确的是（    ）

A．经过定点的直线都可以用方程表示

B．方程不能表示平行轴的直线

C．经过点，倾斜角为的直线方程为

D．经过两点，的直线方程为

【答案】D

【分析】根据点斜式不能表示斜率不存在的直线判断A选项；

特殊值的思路，当时直线与轴平行，即可判断B选项；

根据正切函数的定义域即可判断C选项；

根据斜率公式和点斜式即可判断D选项.

【详解】A选项：当斜率不存在时，直线方程不能用表示，故A错；

B选项：当时，直线方程为，跟轴平行，故B错；

C选项：当时，不存在，故C错；

D选项：经过，两点时，直线斜率为，再根据点斜式得到直线方程为，故D正确.

故选：D.

4．若直线与直线平行，则m＝（    ）

A． B． C．或 D．不存在

【答案】B

【分析】根据直线平行，即可求解.

【详解】因为直线与直线平行，

所以，解得：或，

当时，两直线重合，不符合题意；当时，符合题意.

故选：B.

5．双曲线上的点到左焦点的距离为9，则到右焦点的距离为（    ）

A．5 B．1 C．1或17 D．17

【答案】D

【分析】根据双曲线的定义可求到右焦点的距离，要注意双曲线上点到焦点距离的最小值为.

【详解】设双曲线的左焦点为，右焦点为，

则，故，故或.

由双曲线性质知，到焦点距离的最小值为，

所以舍去.

故选：D.

6．要计算的结果，如图程序框图中的判断框内可以填（　　）

A．n＜2017 B．n≤2017 C．n＞2017 D．n≥2017

【答案】B

【分析】根据输出结果，以及程序循环结构，分析即得解

【详解】由题意，输出

故程序一直循环，直到

故程序框图中的判断框内可以填：n≤2017

故选：B

7．圆与圆的公切线有（    ）

A．条 B．条 C．条 D．条

【答案】C

【分析】判断两圆的位置关系，可得出结论.

【详解】圆的圆心为，半径为，

圆的圆心为，半径为，

因为，故两圆外切，

故圆与圆的公切线有条.

故选：C.

8．过抛物线的焦点的直线交抛物线于、两点，且，则线段的中点到轴的距离为（    ）

A．1 B．4 C．3 D．7

【答案】C

【分析】设出，由抛物线焦点弦公式得到，进而求出线段的中点横坐标为，得到答案.

【详解】由题意得：，设，

则，解得：，

则线段的中点横坐标为，

故线段的中点到轴的距离为3.

故选：C

9．已知两点，给出下列曲线方程：

①；②；③；④．

在曲线上存在点P满足的所有曲线方程是（    ）

A．①③ B．②④ C．①②③ D．②③④

【答案】D

【分析】先求线段MN的垂直平分线的方程，再分别与四个曲线方程联立，由判别式来判断直线与曲线是否有交点，若有则存在，若无则不存在.

【详解】∵ 

∴MN的中点坐标为 ，

∴MN的垂直平分线的方程为： ，即： 

①    ∵直线与直线平行

∴曲线上不存在点P使得|MP|=|NP|.

②    联立  得：

∴直线与曲线有交点

∴曲线上存在点P使得|MP|=|NP|.

③    联立得：

∴直线与曲线有交点

∴曲线上存在点P使得|MP|=|NP|.

④    联立得：

∴直线与曲线有交点

∴曲线上存在点P使得|MP|=|NP|.

综述：曲线上存在点P满足|MP|=|NP|的所有曲线方程是：②③④

故选：D.

10．已知直线l：和圆C：相交于M，N两点，下列说法错误的是（    ）

A．的取值范围是 B．圆心C到直线l距离的取值范围是

C．∠MCN的最小值是 D．面积的最大值是2

【答案】D

【分析】根据直线恒过的定点，以及过圆内一点截圆所得弦长最值的求解，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.

【详解】对直线，，

其恒过与的交点；

对圆，其圆心为，半径；

对A：当直线过圆心时，此时取得最大值为；

当时，取得最小值为，故A正确；

对B：当直线过圆心时，圆心C到直线l距离取得最小值为；

当时，圆心C到直线l距离取得最大值为，故正确；

对：当，在△中，由余弦定理可得：

，故，

当时，，故，故正确；

对：当时，三点可以构成三角形，

则其面积；

综上的面积没有最大值为，故错误.

故选：.

11．已知F是椭圆的一个焦点，若存在直线与椭圆相交于A，B两点，且，则椭圆离心率的取值范围是（    ）．

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由椭圆的性质可得四边形为平行四边形，可得，在三角形中有余弦定理及均值不等式可得离心率的取值范围．

【详解】解：连接，与左右焦点，的连线，

由，由椭圆及直线的对称性可得四边形为平行四边形，，

在三角形中，，

所以，即，当且仅当时等号成立，又直线的斜率存在，故，

即，可得，

所以椭圆的离心率.

故选：A．

12．古希腊数学家阿波罗尼斯与欧几里得､阿基米德齐名，他发现：“平面内到两个定点A，B的距离之比为定值的点的轨迹是圆”.人们将这个圆以他的名字命名为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.在平面直角坐标系中，，点P满足.设点的轨迹为，则下列结论正确的是（    ）

A．圆的方程为 B．轨迹圆的面积为

C．在上存在使得 D．当，，三点不共线时，射线是的平分线

【答案】D

【分析】设点P的坐标，根据题意把几何关系转化为代数方程可判断A、B，同样求出点K的轨迹方程，与P点的轨迹方程联立判断C，由角平分线的性质可判断D.

【详解】选项A，在平面直角坐标系中，，，点满足，

设，则，化简可得，故A错误；

选项B，又圆：的半径，则圆的面积为，故B错误；

选项C，若存在点，使得，可设，即有，化简可得，联立，可得方程组无解，故不存在，故C错误；

选项D，当A，B，P三点不共线时，由，可得射线是的平分线，故D正确.

故选：D.

二、填空题

13．若点到直线的距离等于3，则a的值为______．

【答案】或7

【分析】结合已知条件，利用点到直线的距离公式即可求解.

【详解】因为，点到直线3x－4y＝2的距离等于3，

所以，解得或，

故答案为：或7.

14．执行如图所示的程序框图，输出的值为___________

【答案】

【分析】列举出程序的每一步，可得出输出的的值.

【详解】第一次循环，成立，，；

第二次循环，成立，，；

第三次循环，成立，，，

不成立，跳出循环体，输出的值为.

故答案为：.

15．已知、满足约束条件 则的最大值是________.

【答案】

【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．

【详解】解：由约束条件作出可行域如图：

将目标函数转化为表示为斜率为，纵截距为的直线，

当直线过点时，取得最大值，

显然点，则.

故答案为：.

16．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，第一象限的A，B两点在C上，若，|FA|＝7，|FB|＝25，若直线AB的倾斜角为θ，则__．

【答案】##0.75

【分析】由抛物线的定义可知，从而可求得，再根据勾股定理可求得，根据倾斜角与斜率的关系即可求解.

【详解】如图所示，设抛物线C的准线为l，分别过A，B作l的垂线，

垂足分别为D，E，过A作AP⊥BE于点P，

由抛物线的定义可知|，

所以，

又因为，

所以，

所以，

所以直线AB的斜率为，即tanθ，

所以，

故答案为：．

三、解答题

17．已知曲线C的方程为，根据下列条件，求实数m的取值范围：

(1)曲线C是椭圆；

(2)曲线C是双曲线．

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）根据椭圆的标准方程可得，即求；

（2）利用双曲线的标准方程可得，即求.

【详解】（1）∵曲线C的方程为，

∴，又曲线C是椭圆，

∴，解得且，

∴实数m的取值范围为；

（2）∵曲线C是双曲线，

∴，

解得或，

故实数m的取值范围为.

18．已知点，，：

(1)求过点且与平行的直线方程；

(2)若中点为，求过点与的直线方程；

(3)求过点且在轴和轴上截距相等的直线方程.

【答案】(1)

(2)

(3)或

【分析】（1）由题意知，所求直线的斜率与斜率相等，可得直线的点斜式方程；

（2）由题意知，由中点坐标公式可得点坐标，可得直线的两点式方程；

（3）可将直线设为截距式，由直线在坐标轴上的截距相等，且点在直线上，可求直线的截距式方程.

【详解】（1）设所求直线的斜率为，则有，又直线过点，

∴直线方程为：，

即：.

（2）∵为中点，∴，即，

∴直线的方程为：，

即：.

（3）当所求直线在轴和轴上的截距都为0时，即直线经过点和坐标原点，此时直线方程为：，即：；

当所求直线在轴和轴上的截距都不为0时，设直线方程为：，，

由题意有：，解得：，所以直线方程为：，

即：,

综上：所求直线方程为：或.

19．已知圆C：

(1)与直线平行，求此时切线l的方程；

(2)过圆外一点P（）作圆C的切线，求此时切线l的方程.

【答案】(1)

(2)或.

【分析】（1）首先设出直线方程，再结合直线与圆相切的条件，即可求解.

（2）首先根据题意，分别讨论直线斜率是否存在，当斜率不存在时，可以直接求出直线方程，当斜率存在时，先利用点斜式设出方程，再利用直线与圆相切的条件，即可求解.

【详解】（1）由题意知，圆心为C，半径 设切线：

圆心C到切线的距离 ，

所求切线：.

(2)当的斜率不存在时，此时的方程为，

C到的距离，满足条件.

当的斜率存在时，设斜率为，得的方程为，即，

则 ，解得.

∴的方程为，即.

综上，满足条件的切线的方程为或.

20．已知抛物线经过点（a为正数），F为抛物线的焦点，且．

(1)求抛物线C的标准方程；

(2)若点Q为抛物线C上一动点，点M为线段的中点，求点M的轨迹方程．

【答案】(1)

(2)

【分析】(1)根据抛物线过点，得出，再利用即可求出抛物线方程；

(2) 设，利用中点坐标公式求出再利用点Q为抛物线C上一动点，即可求解.

【详解】（1）由抛物线经过点，

可得，可得，

又，可得，

解得，

故抛物线C的标准方程为；

（2）由（1）知，则，

设，

根据点M为线段的中点，

可得即

由点Q为抛物线C上一动点，可得，

整理可得点M的轨迹方程为．

21．已知椭圆：的左右焦点分别为，上顶点为，长轴长为，若为正三角形.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)过点，斜率为的直线与椭圆相交两点，求的长；

(3)过点的直线与椭圆相交于两点，，求直线的方程.

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）根据题干条件求出即可得到椭圆标准方程；

（2）联立直线和椭圆方程，直接利用弦长公式进行求解；

（3）联立直线和椭圆方程，结合韦达定理，列方程组求解.

【详解】（1）

依题意，，则，由为正三角形，则，故，于是，故椭圆的标准方程为：；

（2）由（1）知，，故该直线为：，和椭圆联立：

，整理可得，故，由弦长公式，

（3）显然的斜率存在（否则轴，根据对称性，，与题设矛盾），设直线为：，和椭圆方程联立得，，

，则，故，

由韦达定理可得：，，

于是，，故，

即，

化简可得，解得，

故直线为：

22．已知椭圆：（）的离心率为，是椭圆的左，右焦点，点是椭圆上任意一点且满足.

(1)求椭圆方程；

(2)设为椭圆右顶点，过点的直线与椭圆交于，两点（异于），直线，分别交直线于，两点.求证：，两点的纵坐标之积为定值.

【答案】(1)

(2)证明见解析.

【分析】（1）由题知，，进而解方程即可求得答案；

（2）先讨论直线的斜率不存在时得，两点的纵坐标之积为，再讨论直线的斜率存在时，设直线的方程为，，进而得，再联立方程，结合韦达定理求解即可.

【详解】（1）解：因为是椭圆的左，右焦点，点是椭圆上任意一点且满足，

所以，解得，

因为椭圆的离心率为，

所以，解得.

所以，，

所以，椭圆方程为.

（2）解：由（1）知，，

当直线的斜率不存在时，方程为，此时，，

直线方程为，直线方程为，

所以，，

所以，，两点的纵坐标之积为，

当直线的斜率存在时，因为过点的直线与椭圆交于，两点（异于），

所以直线的斜率不为，设直线的方程为，

设，

则直线方程为，直线方程为，

因为直线，分别交直线于，两点

所以，

联立直方程得，

所以，，

所以，，

所以，，两点的纵坐标之积为

所以，，两点的纵坐标之积为定值.