2022-2023学年新疆喀什地区伽师县高二上学期期中数学试题（解析版）

2022-2023学年新疆喀什地区伽师县高二上学期期中数学试题

一、单选题

1．在空间直角坐标系中，已知，则以下错误的是（    ）

A． B．夹角的余弦值为

C．A，B，C，D共面 D．点O到直线AB的距离是

【答案】B

【分析】根据空间向量数量积的坐标运算以及夹角计算公式即可求解A,B,根据共面向量基本定理可判断C，根据点线距离的向量法即可判断D.

【详解】因为，所以，A正确；

夹角的余弦值为，所以B错误；

因为，所以，所以A，B，C，D共面，所以C正确；

因为，所以，所以点O到直线AB的距离是，D正确．

故选:B．

2．已知点，则直线的倾斜角为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由两点坐标，求出直线的斜率，利用，结合倾斜角的范围即可求解.

【详解】设直线AB的倾斜角为，

因为，

所以直线AB的斜率，即，

因为，所以.

故选：A

3．若椭圆上一点A到焦点的距离为3，则点A到焦点的距离为（    ）

A．6 B．5 C．4 D．3

【答案】B

【分析】根据椭圆的定义可求解.

【详解】由椭圆的定义知，，

故选：B

4．已知分别是直线和圆上的动点，圆与轴正半轴交于点，则的最小值为

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由题意画出图形，求出关于直线的对称点的坐标，再求出到圆心的距离，则答案可求．

【详解】如图，圆的圆心为，半径.

设点关于的对称点为，

则解得即.

连接，交直线于点，交圆于点，

此时取得最小值为.

故选C.

【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查了数形结合的思想方法和转化的思想方法，是中档题．

5．已知椭圆，双曲线，其中.若与的焦距之比为，则的渐近线方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】首先表示出椭圆与双曲线的焦距以及双曲线的渐近线方程，依题意得到方程，即可得到，即可得解；

【详解】解：椭圆的焦距为，双曲线的焦距为，渐近线为，因为与的焦距之比为，所以，所以，即，所以，所以双曲线的渐近线为，即；

故选：A

6．已知a，b都是实数，那么“”是“方程表示圆”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【详解】方程，即，

表示圆则需，解得，

因为，而反之不成立，

所以“”是“方程表示圆”的充分不必要条件，

故选：A

7．三棱柱中，记，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】根据向量加减法运算求解即可得答案.

【详解】解：如图，根据向量的加减法运算法则得：

，

故选：C.

8．已知向量，，，，的夹角为，若存在实数m，使得，则m的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据，可得，即，则只要，求得即可的解.

【详解】解：由，得，又，所以，

若存在实数m，使得，则，

因为，所以，故.

故选：C．

二、多选题

9．下列说法正确的是（    ）

A．已知直线与直线垂直，则实数a的值是

B．直线必过定点

C．直线在y轴上的截距为

D．经过点且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为

【答案】BC

【分析】根据直线垂直关系列方程求，判断选项A；将直线方程化为点斜式即可判断选项B；根据截距的定义判断选项C，根据条件求出满足要求的直线方程，判断选项D.

【详解】解：对A：因为直线与直线垂直，

则，解得或，A不正确；

对B：直线可变为，因此直线必过定点，即B正确；

对C：由直线方程取，得，

所以直线在y轴上的截距为，所以C正确．

对D：经过点且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为或，所以D不正确；

故选：BC．

10．已知点P在曲线上，点P与点Q关于y轴对称，点P与点R关于x轴对称，点R与点S关于直线对称，则下列说法正确的是（    ）

A．点Q与点R关于原点对称

B．点S在曲线

C．设O为坐标原点，的值不随点P位置的改变而改变

D．当且仅当点P与点Q重合时，取最小值

【答案】ACD

【分析】本题需要先作图，在图像上进行分析，并标注好每个点的坐标.

【详解】依题意，作图如下：

设点P坐标为，，则，，故A正确；

设点S的坐标为，S与R的中点为B，由于S与R关于y=x对称，所以B必然在直线y=x上，并且直线SR与直线y=x垂直，

则：……①，……②，

联立①②，解得，，即S点的坐标为，

将S点坐标代入，得，故B错误；

延长PS，交x轴于C点，设，直线PO的倾斜角为，

则，，，

由于，，故C正确；

由两点距离公式得：，

设，当x=0时，取得最小值=1，即取最小值=2，

此时P与Q重合，故D正确；

故答案为：ACD.

11．在三棱锥A－BCD中，DA，DB，DC两两垂直，且DB＝DC，E为BC的中点，则直线AE和BC（    ）

A．垂直 B．相交 C．共面 D．异面

【答案】ABC

【分析】因为E为BC的中点，则直线AE和BC相交于点，可判断选项B,C，D，利用基底向量表示出向量，求出，从而可判断选项A,得出答案.

【详解】因为E为BC的中点，则直线AE和BC相交于点，所以选项B,C正确，选项D不正确.

因为E为BC的中点，所以

因为在三棱锥A－BCD中，DA，DB，DC两两垂直，且DB＝DC，

所以

所以， 故选项A正确.

故选:ABC.

12．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线的离心率为，且双曲线C的左焦点在直线上，A，B分别是双曲线C的左，右顶点，点P是双曲线C的右支上位于第一象限的动点，记PA，PB的斜率分别为，，则下列说法正确的是（    ）

A．双曲线C的渐近线方程为 B．双曲线C的方程为

C．为定值 D．存在点P，使得

【答案】BC

【详解】因为双曲线C的左焦点在直线上，

所以，

又离心率为，

所以，

故，

所以双曲线方程为，

故双曲线的渐近线方程为，故A错误；B正确；

由题意可得，设P(m, n)，

可得，即有，

所以，故C正确；

因为点P是双曲线C的右支上位于第一象限的动点，

所以，

则，当且仅当时，等号成立，

由A，B为左右顶点，可得，

所以，故D错误.

故选：BC

【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程，双曲线的简单几何性质，直线的斜率，属于中档题.

三、填空题

13．在正方体中，E为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为_________.

【答案】

【分析】以为原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量可以求得结果.

【详解】以为原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，如图：

设正方体的棱长为1，则，，，，

所以，，

设异面直线与所成角为，则.

故答案为：.

【点睛】本题考查了利用空间向量求异面直线所成角，属于基础题.

14．已知圆的方程为，则它的圆心坐标为__________．

【答案】##

【分析】将圆的一般方程转化成标准方程即可得到答案

【详解】由可得，所以圆心坐标为，

故答案为：

15．抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射之后沿对称轴方向射出．今有抛物线(如图)一条平行x轴的光线射向C上一点P点，经过C的焦点F射向C上的点Q，再反射后沿平行x轴的方向射出，若两平行线间的最小距离是4，则C的方程是____________．

【答案】

【解析】先由题意得到必过抛物线的焦点，设出直线的方程，联立直线与抛物线方程，利用韦达定理表示出弦长，得出的最小值，进而可求出的值，得出抛物线方程．

【详解】由抛物线的光学性质可得：必过抛物线的焦点，

当直线斜率不存在时，易得；

当直线斜率存在时，设的方程为，，

由，得，整理得，

所以，

所以；

综上，当直线与轴垂直时，弦长最短，

又因为两平行光线间的最小距离为，故，

所以抛物线方程为．

故答案为：．

【点睛】本题主要考查了直线与抛物线位置关系，解决这类问题通常需要联立直线与抛物线方程，结合韦达定理、弦长公式等求解，属于中档题．

四、双空题

16．已知函数，则___________；的最大值为___________

【答案】         

【分析】将代入解析式即可求的值；利用二倍角公式化简，令，转化为关于的二次函数，利用二次函数的性质即可求最值.

【详解】因为，

所以，

，

令，则，对称轴为，开口向上，

所以当时，

所以的最大值为，

故答案为：；.

五、解答题

17．已知的三个顶点是，求：

（1）BC边上的高AD所在直线的一般式方程；

（2）BC边上的中线AM所在直线的一般式方程.

【答案】（1）（2）

【分析】（1）求出直线的斜率，根据两直线垂直的斜率关系，利用点斜式求出直线方程，最后化成一般式；

（2）求的中点的坐标，求出，利用点斜式求出直线方程，最后化成一般式；

【详解】解：（1），

所以直线的方程为：

故

（2）的中点

所以直线的方程为：

故

【点睛】本题查直线的一般式方程，属于基础题．

18．在中，，，所对的角分别为，，，已知.

（1）求；

（2）若，为的中点；且，求的面积.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）根据题意，由正弦定理得出，再由两角和的正弦公式化简得，由于，从而可求得，最后根据同角三角函数的平方关系，即可求出；

（2）法1：在中由余弦定理得出，再分别在和中，由余弦定理得出和，再由，整理化简的出边，最后根据三角形的面积公式，即可求出结果.

法2：由平面向量的加法运算法则得出，两边平方并利用平面向量的数量积运算化简得，从而可求出边，最后根据三角形的面积公式，即可求出结果.

【详解】解：（1）因为，

由正弦定理得，

因为，

所以，

因为，所以，所以，

因为，所以.

（2）法1：在中，由余弦定理得，

即，

在中，由余弦定理得，

在中，由余弦定理得，

因为，所以，

即，

所以，

整理得，解得：或（舍去），

所以.

法2：因为为的中点，所以，

两边平方得，

即，即，解得或（舍），

所以.

19．已知直线，．圆满足条件：①经过点；②当时，被直线平分；③与直线相切．

（1）求圆的方程；

（2）对于，求直线与圆相交所得的弦长为整数的弦共有几条．

【答案】（1）；（2）条．

【分析】（1）根据圆的圆心在直线上，设出圆的方程，根据条件圆心到点与到直线的距离相等，列出方程求解的值，得到圆的方程；

（2）判定直线过定点，且点在圆内，可得过点的最长弦长为10，最短弦长为4，从而可得弦长为正数的直线的条数．

【详解】（1）由②可知圆的圆心在直线上，

故可设圆的方程为

由①③，圆心到点与到直线的距离相等，即

，

解得

所以，圆的方程为，

（2）由可得：，

令，

直线过定点

又，在⊙内

直线与⊙交于两点，设为

当直线过圆心时，取最大值10，此时，

当直线时，取最小值，，，而此时不存在

所以，

故弦长为整数的值有各有2条

而时有1条，故弦长为整数的弦共有7条．

20．已知直三棱柱中，，E，F分别为AC和的中点，D为棱上的点，．

(1)证明：；

(2)若D为中点，求平面与平面DFE所成锐角的余弦值．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）证得BA，BC，两两垂直．建立空间直角坐标系，利用空间向量即可证明；

（2）分别求出平面与平面DFE的法向量，结合空间向量的夹角坐标公式即可求出结果.

【详解】（1）因为三棱柱是直三棱柱，所以底面ABC，所以

因为，，所以，又，所以平面．所以BA，BC，两两垂直．以B为坐标原点，分别以BA，BC，所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图．

所以，，，，，，

，．由题设．

因为，，所以，所以．

（2）因为D为中点，则

因为平面，所以面的法向量为

而，

设面DEF的法向量为，，即

解得，

所以平面与平面DFE所成锐角的余弦值.

21．如图，四棱锥P－ABCD的底面是平行四边形，AD=2AB=6，，PD⊥AB，AC=BD，点M在侧棱PD上，且PD=3MD．

(1)证明：平面PAB⊥平面PAD；

(2)求平面PAB与平面MAC所成锐二面角的余弦值．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）先证明线面垂直，再证明面面垂直即可；

（2）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，再分别求出两平面的法向量，用向量的夹角公式计算即可.

【详解】（1）因为底面ABCD是平行四边形，且AC=BD，所以底面ABCD是矩形，所以有,又PD⊥AB，且,平面PAD,

所以平面PAD，又平面PAB，

所以平面PAB⊥平面PAD；

（2）

取的中点,因为，可得,由（1）可得，

而，且平面,

所以平面.

所以以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.

所以.

设，由PD=3MD．有，可得，所以.

所以

设平面PAB的法向量为，则有，可取，

设平面MAC的法向量为，则有，可取，

设平面PAB与平面MAC所成锐二面角为，

则平面PAB与平面MAC所成锐二面角的余弦值为.

22．如图，在平面直角坐标系中，圆：与轴的正半轴交于点，以点为圆心的圆：与圆交于，两点.

(1)当时，求的长；

(2)当变化时，求的最小值；

(3)过点的直线与圆切于点，与圆分别交于点，，若点是的中点，试求直线的方程.

【答案】(1)；

(2)；

(3)

【分析】（1）根据半径，得到圆的标准方程；因为是两个圆的交点，联立两个圆可得到两个交点坐标，利用两点间距离公式即可求得的长．

（2）根据圆关于轴对称，可设，代入到圆中，用表示；根据向量数量积的坐标运算，得到，根据的取值范围即可得到的最小值．

（3）取的中点，连结，可知 与 相似，根据中点性质和勾股定理，在和中，联立方程求得的值；设出直线方程，根据点到直线距离公式即可求出直线方程．

【详解】（1）解：当 时，

联立方程 得，

所以

（2）解：由对称性，设，则

所以

因为，所以当时，的最小值为

（3）解：取的中点，连结，

所以，由垂径定理和切线的性质得

所以，

所以，，从而 ，

因为点是的中点，

所以，不妨记，

在中，有，即①

在中，有，即②

由①②解得

由题直线的斜率不为0，可设直线的方程为： ，

由点A到直线的距离等于，则，所以，

所以，直线的方程为