2022-2023学年新疆乌鲁木齐市第七十中学高二上学期期中考试数学试题（解析版）

2022-2023学年新疆乌鲁木齐市第七十中学高二上学期期中考试数学试题

一、单选题

1．已知圆C的圆心坐标为（2，3），半径为4，则圆C的标准方程为（       ）

A．(x-2)2+(y-3)2 =4 B．(x+2)2+(y+3)2 =16

C．(x+2)2+(y+3)2=4 D．(x-2)2+(y-3)2 =16

【答案】D

【分析】直接利用圆的标准方程求解即可．

【详解】解：由圆的标准方程得：

圆心坐标为（2，3），半径为4的圆的标准方程是：

．

故选：．

2．“”是“直线与直线平行”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据两直线平行系数满足的关系，列出方程，即可得到结果.

【详解】由，且，

解得或，

故是直线与直线平行充分不必要条件，

故答案选:A

3．设是椭圆：上任意一点，为的右焦点，的最小值为，则椭圆的离心率为（    ）

A． B． C． D．1

【答案】A

【分析】根据题意的最小值为可得，结合的关系式可求得a，即可求得答案.

【详解】是椭圆上任意一点，为的右焦点，的最小值为，

可得，所以，即，

所以，解得，

所以.

故选：A

4．三棱锥中，是棱的中点，若，则值为（    ）

A．0 B．-1 C．1 D．

【答案】A

【分析】由向量的线性运算,先求出,再利用平行四边形法则,即可得出,,,即可得出结果.

【详解】解:由题可知, ,由向量线性运算得，

即,

所以,,则.

故选：A.

5．在△ABC中，，，点C在直线上，则△ABC的重心G的轨迹方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】设 ，，由△ABC的重心为G得，即可结合向量的坐标表示得，即可得代入直线即可得轨迹方程

【详解】∵△ABC的重心为G，则，

设 ，，

则，

即，

又点C在直线上，则.

故△ABC的重心G的轨迹方程为

故选：B

6．椭圆上的点到直线：的距离的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据椭圆的方程,采用三角代换,利用点到直线的距离公式表示出点到直线：的距离，结合辅助角公式即可求得答案.

【详解】由，可知（为参数）  ，故设，

设点到直线：的距离为d，

所以有，

其中，

所以当时，d有最小值，

故选：B

7．平面直角坐标系 中，已知点 ，圆O：，则下列结论正确的是（    ）

A．过点P与圆O相切的直线方程为

B．过点P的直线与圆O相切于 ，则直线的方程为

C．过点P的直线与圆O相切于，则

D．过点P的直线m与圆O相交于 两点，若 ，则直线m的方程为

【答案】C

【分析】对于A，考虑切线斜率是否存在，结合圆心到直线的距离等于半径求得切线方程，即可判断；对于B,利用直线为圆与圆的公共弦，将两圆方程相减即可判断；对于C,求得切线长即可判断；对于D，根据可得圆心到直线的距离，设出直线方程，利用点到直线的距离公式计算，可求出直线方程，即可判断.

【详解】对于A：当直线的斜率不存在时，则直线的方程为，圆心到直线的距离，所以是过点的圆的切线，

当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，

圆心到直线的距离，解得，

此时直线的方程为，

过点的圆的切线方程为或，故A错误，

对于B；在以为圆心， 以为直径的圆上，不妨设位置如图示，

直线为圆与圆的公共弦，

两圆方程相减得：，即直线的方程为，故B错误，

对于C；，，故C正确，

对于D：过点的直线与圆相交于两点，若，则，

圆心到直线的距离，

由题意可知直线的斜率存在，设直线方程为，

即，，解得或7，

直线方程为或，故D错误，

故选：C

8．椭圆（）的左、右焦点分别是，，斜率为1的直线l过左焦点，交C于A，B两点，且的内切圆的面积是，若椭圆C的离心率的取值范围为，则线段AB的长度的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由题可求得，，即可得出，再根据离心率范围即可求出

【详解】解：设的内切圆的圆心为，半径为，则，解得，

，

又

,

，，

，，则，

即线段的长度的取值范围是，

故选：C

二、多选题

9．以下命题正确的是（    ）

A．直线l的方向向量为，直线m的方向向量，则l不能与m垂直

B．直线l的方向向量，平面的法向量，则

C．两个不同平面，的法向量分别为，，则

D．平面经过三点，，，向量是平面的法向量，则

【答案】ACD

【分析】由空间位置关系的向量证明判断A，B，C；利用平面的法向量计算判断D作答.

【详解】对于A，，，则，则有不垂直，即直线与不垂直，A正确；

对于B，因，，则，有，于是得，直线l与平面不垂直，B不正确；

对于C，由，得，，即与共线，则， C正确；

对于D，点，，，则，，

又向量是平面的法向量，则，解得，D正确.

故选：ACD

10．已知点和点，是直线上的一点，则的可能取值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】ABC

【分析】过点作直线的对称点，设，运用中点坐标公式和两直线垂直的条件，解方程可得，，连接，由三点共线的性质可得的范围，从而可得结论．

【详解】解：点和点，是直线上的一点，

过点作直线的对称点，设，

可得，，

解得，，即，

连接，可得，

当且仅当，，三点共线时，取得最小值为，

结合选项可知的可能取值是，，．

故选：ABC．

11．已知圆C：及点，则下列说法正确的是（    ）

A．直线与圆C始终有两个交点

B．圆C与轴不相切

C．若点在圆C上，则直线PQ的斜率为

D．若M是圆C上任一点，则|MQ|的取值范围为

【答案】BD

【分析】求出圆C的圆心坐标和半径，求出直线过的定点判断A；求出点C到x轴距离判断B；求出m值，再计算斜率判断C；求出长并求出范围判断D作答.

【详解】依题意，圆C：，圆心，半径，

对于A，直线恒过定点，而点在圆C外，则过点的直线与圆C可能相离，A不正确；

对于B，点到x轴距离为7，大于圆C的半径，则圆C与轴相离，即圆C与x轴不相切，B正确；

对于C，点在圆C上，则，解得，而点，

则直线PQ的斜率为，C不正确；

对于D，，点Q在圆C外，由得：，D正确.

故选：BD

12．为了迎接二十大的召开，我国全体航空人以昂扬的精神面貌､实际行动，践行“航空报国､航空强国”的初心使命.2022年4月16日9时56分，神舟十三号返回舱成功着陆，返回舱是宇航员返回地球的座舱，返回舱的轴截面可近似看作是由半圆和半椭圆组成的“曲圆”，如图，在平面直角坐标系中，半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的焦点，椭圆的短轴与半圆的直径重合，下半圆与y轴交于点G.若过原点O的直线与上半椭圆交于点A，与下半圆交于点B，则（    ）

A．椭圆的长轴长为

B．线段AB长度的取值范围是

C．的周长为

D．不算椭圆在x轴上的端点，x轴上方椭圆上存在2个点A，使得

【答案】ABC

【分析】根据给定条件，求出椭圆短半轴长、半焦距，求出长轴长判断A；求出OA长范围判断B；利用椭圆定义求出焦点三角形周长判断C；计算判断D作答.

【详解】依题意，半椭圆所在椭圆的半焦距，短半轴长，得长半轴长，则长轴长，A正确；

，因此，B正确；

因点F，G是椭圆的两个焦点，则的周长，C正确；

显然，在中，，

因此不可能为直角，除椭圆在x轴上的端点外，x轴上方椭圆上不存在点A，使，D不正确.

故选：ABC

三、填空题

13．已知焦点在x轴上的椭圆的离心率为，则k的值为___________.

【答案】

【分析】根据给定方程，结合椭圆离心率的意义求解作答.

【详解】依题意，，解得，又椭圆离心率为，则有，解得，

所以k的值为.

故答案为：

14．已知空间向量则向量在向量上的投影向量的坐标是___________.

【答案】

【分析】按照投影向量的定义，代入计算即可得到结果.

【详解】因为，

依题意向量在向量上的投影向量的坐标是

.

故答案为:

15．斜率为的直线与椭圆相交于，两点，且过的左焦点，线段的中点为，的右焦点为，则的周长为______.

【答案】

【分析】由题意易知直线l的方程为，则可知，利用点差法化简可得，即可解出的值，再由的周长为求出答案.

【详解】由题意知：直线l的方程为，

当时，，所以，

设，，则则，

整理得，

所以，

则的周长为.

故答案为：.

16．曲线与直线有两个交点，则实数的取值范围为___________.

【答案】

【分析】明确曲线的几何意义，作出其表示的图象，结合直线曲线与直线有两个交点，数形结合，即可求得答案.

【详解】方程可化为且，

所以曲线的轨迹为以为圆心，1为半径的圆上纵坐标大于等于1的点的集合，

直线表示过点且斜率存在的直线，作图可得:

因为曲线与直线有两个交点,

观察图象可得，

又，，所以，

所以实数的取值范围为，

故答案为：.

四、解答题

17．求过直线和的交点P，且与直线垂直的直线l的方程.

【答案】

【分析】解法一：先取得两直线的交点，再根据与直线垂直求解；解法二：根据直线l垂直于直线，设直线l的方程为，再将.与的交点代入求解；解法三：根据直线l过与的交点，设直线l的方程为，再根据与直线垂直求解.

【详解】解法一：由，解得

直线的斜率为，

直线的斜率为4.

因此满足条件的直线l的方程为：，即.

解法二：直线l垂直于直线.

设直线l的方程为.

与的交点为，

，

解得从而.

所以直线l的方程为.

解法三：因为直线l过与的交点，

设直线l的方程为，

即，

与直线垂直，

，解得.

直线l的方程为.

18．如图所示，在直二面角D-AB-E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，△AEB是等腰直角三角形，其中∠AEB=90°，求点D到平面ACE的距离.

【答案】

【分析】根据条件建立空间直角坐标系，写出各点的坐标，求出平面的一个法向量，根据点到平面的距离公式即可求出.

【详解】

取AB的中点O，连接OE.

因为△AEB是等腰直角三角形，所以，.

由已知得，平面平面，平面平面，

所以平面.

以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz（其中z轴平行于BC），则

，，，，

所以，，，

设平面的一个法向量为，

则，即

令，.

故点到平面的距离.

19．已知椭圆C关于x轴､y轴都对称，并且经过两点，.

(1)求椭圆C的离心率和焦点坐标；

(2)线段l经过椭圆的左焦点且垂直椭圆的长轴，与椭圆交于D､E两点，求BDE的面积.

【答案】(1)离心率为，焦点坐标为

(2)3

【分析】（1）设出椭圆方程，代入点的坐标，求出椭圆方程，进而求出离心率和焦点坐标；

（2）在第一问的基础上，得到D､E两点的坐标，从而求出三角形的面积.

【详解】（1）设椭圆方程为：，

将，代入，

，解得：，

故椭圆方程为，显然焦点在轴上，

离心率为，焦点坐标为；

（2）由题意得：左焦点为，

故线段l所在直线方程为：，

将代入中，解得：，

不妨设，故，

点到直线的距离为，

所以.

20．已知圆，直线．

（1）求证：直线l恒过定点；

（2）判断直线l与圆C的位置关系；

（3）当时，求直线l被圆C截得的弦长．

【答案】（1）证明见解析；（2）点A在圆C内，从而直线l与圆C相交（无论m为何实数）；（3）.

【分析】（1）将直线方程整理为关于参数m的方程，可令求解，即可证结论.

（2）由（1）所得定点，根据定点到圆心距离与半径的关系，即可判断直线l与圆C的位置关系；

（3）由圆的弦长与半径、弦心距的关系，求直线l被圆C截得的弦长．

【详解】（1）证明：直线l的方程可化为，又，

∴，解得，

∴直线l恒过定点．

（2）圆心，，

∴点A在圆C内，从而直线l与圆C相交（无论m为何实数）．

（3）当时，直线l的方程为，圆心到直线l的距离．

∴此时直线l被圆C截得的弦长为．

21．如图，在四面体中，，分别是线段，的中点，，，，.

（1）证明：EF⊥平面；

（2）求二面角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【分析】（1）首先根据题意易证，，再利用线面垂直的判定证明EF⊥平面即可；

（2）以为原点，分别为轴，垂直的直线为轴，建立空间直角坐标系，再利用向量法求解二面角即可.

【详解】（1）因为，分别是线段，的中点，

所以，且.

在中，，则，

在中，，，，

所以，即.

又因为.

所以平面.

（2）如图所示：以为原点，分别为轴，垂直的直线为轴，

建立空间直角坐标系，

，，，，，

，，，

设平面的法向量，

则，令，即，

设平面的法向量，

则，令，即，

则，

又因为二面角为锐角，

所以二面角的正弦值为.

22．已知椭圆的离心率是，左、右焦点分别为，，点，在线段的垂直平分线上．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）如果圆被椭圆所覆盖，求圆的半径的最大值．

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）由点，在线段的垂直平分线上可求得值，由离心率求得，然后求出值，得椭圆方程；

（2）圆心，设是椭圆上任意一点，求出，利用点在椭圆上，求得的最小值即为半径的最大值．

【详解】（1）由椭圆的离心率，得，

其中，椭圆的左、右焦点分别为，．

又在线段的垂直平分线上，

，，

解得，，，

椭圆的标准方程为．

（2）设是椭圆上任意一点，

则，，

当时，．

圆的半径的最大值为．