2022-2023学年浙江省金华第一中学高二上学期12月阶段性测试数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年浙江省金华第一中学高二上学期12月阶段性测试数学试题（解析版），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．直线与直线的位置关系是（ ）
A．垂直B．平行C．相交D．重合
【答案】B
【分析】根据两直线斜率和截距判断位置关系.
【详解】直线化成斜截式方程为，
直线化成斜截式方程为，
两直线斜率相等，在y轴上截距不相等，所以两直线的位置关系是平行.
故选：B
2．已知是两条不同直线，是三个不同平面，下列命题中正确的是
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】D
【详解】 不正确，因为垂直于同一条直线的两个平面平行； 不正确，垂直于同一个平面的两个平面平行或相交； 平行于同一条直线的两个平面平行或相交；正确.
3．已知直线过点，且与，轴的正半轴分别交于，两点．若的面积为12（为坐标原点），则直线的截距式方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设出直线的截距式方程，根据题意求出待定系数，可得结论．
【详解】解：设直线的方程为，则的面积为①．
因为直线过点，所以②．
联立①②，解得，，
故直线的方程为，
故选：A．
4．已知双曲线，其中一条渐近线的倾斜角为，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．2D．
【答案】C
【分析】根据双曲线方程及渐近线的倾斜角，可得，从而可求离心率.
【详解】由已知得．∴，
∴．
故选：C．
5．一个正四面体的棱长为2，则这个正四面体的外接球的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】将正四面体补形成正方体，借助正方体求出外接球半径作答.
【详解】如图，四面体是正四面体，棱长，将其补形成正方体，
则正方体的棱长，此正方体的体对角线长为，
正四面体与正方体有相同的外接球，则正四面体的外接球半径，
所以正四面体的外接球体积为．
故选：A
6．An aquarium（养鱼缸）has a rectangular base that measures 100cm by 40cm and has a height f 50cm. It is filled with water t a height f 40cm.A brick（砖）with a rectangular base that measures 40cm by 20cm and a height f 10cm is placed in the aquarium. By hw many centimeters des that water rise?（ ）
A．0.5B．1C．1.5D．2
【答案】D
【分析】先求出砖的体积，再列出方程求解即可.
【详解】由题意，养鱼缸底面长为100cm，宽为40cm，高为50cm，里面装满高40cm的水.现在其内部打算放置一块长为40cm，宽为20cm，高为10cm的砖，
砖的体积为，设水位上升了cm，
则，解得，即水位上升了.
故选：D.
7．设倾斜角为α的直线l经过抛物线C：的焦点F，与抛物线C交于A、B两点，设A在x轴上方，点B在x轴下方．若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由抛物线的性质，抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，在直角三角形中求出倾斜角为的余弦值.
【详解】过，分别作准线的垂线交准线于，，过作于，则，
由抛物线的性质可得，，，
因为，∴，
所以，即.
故选：A．
8．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C：就是其中之一（如图）．给出下列三个结论：①曲线C恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过；③曲线C关于x轴对称．其中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①B．②C．①②D．①②③
【答案】C
【分析】用替换曲线方程中的，方程不变，所以曲线关于轴对称，根据对称性结合曲线的图形即可判断各个结论的真假．
【详解】根据题意，曲线，用替换曲线方程中的，方程不变，所以曲线关于轴对称，
对于①，当时，即为，可得，
所以曲线经过点，，，，再根据对称性可知，曲线还经过点，，故曲线恰好经过6个整点，①正确；
对于②，由上可知，当时，，即曲线右侧部分的点到原点的距离都不超过，再根据对称性可知，曲线上的所有点到原点的距离都不超过，②正确；
对于③，曲线，用替换曲线方程中的，方程改变，所以曲线不关于轴对称，③错误．
正确结论的序号是：①②．
故选：C
二、多选题
9．若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】根据向量共面的知识对选项进行分析，由此确定正确选项.
【详解】选项A，因为，所以共面；
选项B，因为，所以共面；
选项C，在构成的平面内，不在这个平面内，不符合.
选项D，因为共线，所以共面.
故选：ABD
10．已知A，B是抛物线上两点，焦点为F，抛物线上存在一点到准线的距离为4，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．若，则直线AB恒过定点
C．若外接圆与抛物线C的准线相切，则该圆半径为
D．若，则直线AB的斜率为
【答案】ABC
【分析】根据抛物线定义可判断A；由直线方程与抛物线方程联立，由韦达定理法可判断B；利用直线与圆的位置关系可判断C；由直线方程与抛物线方程联立，由韦达定理法及条件可判断D.
【详解】根据抛物线定义可知，得，故A正确；
设，，因为直线AB斜率必不为0，设直线，
代入，得，
∴，，
∴，即，
所以直线AB恒过定点，故B正确；
外接圆圆心横坐标为，外接圆半径为，故C正确；
因为，所以AB过焦点，且，
可设直线，则
代入，得，
∴，，，
解得，即直线AB的斜率为，故D错误.
故选：ABC．
11．关于方程且所对应的图形，下列说法正确的是（ ）
A．若方程表示一个圆，则
B．无论为何值时，该方程只可能表示一个圆或一个椭圆
C．当时，方程表示一个焦点在轴上的椭圆
D．当时，方程表示一个焦点在轴上的椭圆
【答案】AD
【分析】根据给定方程逐一分析各选项中的条件即可判断作答.
【详解】对于A，方程表示一个圆，则，解得：，A正确；
对于B，当时，，方程表示焦点在y轴上的双曲线，B不正确；
当时，，方程表示一个焦点在轴上的椭圆，C不正确，D正确.
故选：AD
12．如图，在平面四边形中，，，M为的中点，现将沿翻折，得到三棱锥，记二面角的大小为，，下列说法正确的是（ ）
A．存在，使得
B．存在，使得
C．与平面所成角的正切值最大为
D．记三棱锥外接球的球心为O，则的最小值为
【答案】BCD
【分析】利用反证法可排除A；翻折过程中点M为半圆上的一点，圆心为的中点N，可得进而判断B；由，知与平面所成的角也达到最大，进而求得其夹角判断C；找到三棱锥外接球的球心O，此时，要使最小，则O与G重合，进而求得可判断D.
【详解】对于A，由条件知，沿翻折得到的几何体是圆锥，若，则在平面上的射影，
由线面垂直的判定定理及性质定理知，根据已知的长度不可能，排除A；
对于B，翻折过程中点M为半圆上的一点，圆心为的中点N，则必存在，使得，即，B正确；
对于C，此时与圆相切于点M，即与平面所成的角也达到最大，因为圆半径为，切线长为所以正切值为，C正确；
对于D，首先设正的中心为G，过点G的直线平面，沿翻折过程中，
过中点且垂直的平面必过点M且与直线l相交，交点即为三棱锥外接球的球心O，此时，
要使切线长最小，即最小，则O与G重合，易知，所以，D正确.
故选：BCD
三、填空题
13．正方体中，P为的中点，则直线PB与AC所成的角为________．
【答案】
【分析】根据题意，由平面，可得直线与互相垂直.
【详解】与相交于，如图所示：
底面正方形中，，
在正方体中，平面，平面，，
平面，，
∴平面，平面，则有，即直线与所成的角为.
故答案为：．
14．已知圆锥的顶点为，母线，所成角的余弦值为，与圆锥底面所成角为45°，若的面积为，则该圆锥的侧面积为__________．
【答案】
【分析】先根据三角形面积公式求出母线长,再根据母线与底面所成角得底面半径，最后根据圆锥侧面积公式求出结果.
【详解】因为母线，所成角的余弦值为，所以母线，所成角的正弦值为，因为的面积为，设母线长为所以，
因为与圆锥底面所成角为45°，所以底面半径为，
因此圆锥的侧面积为．
【整体点评】根据三角形面积公式先求出母线长，再根据线面角求出底面半径，最后根据圆锥侧面积公式求出侧面积，思路直接自然，是该题的最优解．
15．已知为椭圆C：的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为________．
【答案】
【分析】根据已知可得，设，利用勾股定理结合，求出，四边形面积等于，即可求解.
【详解】因为为上关于坐标原点对称的两点，
且，所以四边形为矩形，
设，则，
所以，
，即四边形面积等于.
故答案为：.
16．在平面直角坐标系中，，，若动点在直线上，圆过、、三点，则圆的面积最小值为_________.
【答案】
【分析】要使圆的面积尽可能小，则点位于第一象限，设，再求出的中垂线方程，设设圆心坐标为，根据，得到，参变分离求出的最小值，即可求出，从而求出面积最小值.
【详解】解：要使圆的面积尽可能小，则点位于第一象限，设，
又，，所以线段的中垂线方程为，则圆心在直线上，不妨设圆心坐标为，圆的半径为，
所以，
即，
则，
所以，
所以，当且仅当即时取等号，
所以，所以圆的面积最小值为，此时；
故答案为：
四、解答题
17．在平面直角坐标系中有两点及圆．
（1）若直线过点且与圆C相切，求直线的方程．
（2）已知直线平行于直线，且交圆C于两点，若，求的面积．
【答案】（1）；（2）或．
【分析】（1）将圆的一般方程化为圆的标准方程，写出圆心坐标和半径的大小，设出直线的方程，根据直线与圆相切，圆心到直线的距离等于半径，求得斜率，得到直线方程；
（2）利用斜率公式求得，设直线的方程为，利用圆中半弦长、弦心距和圆的半径构成直角三角形，勾股定理求得的值，进而求得三角形的面积..
【详解】（1）圆C的标准方程为，
则圆C的圆心为，半径为．
由题意，斜率存在，设直线的方程为，
根据直线与圆相切得，解得，
所以直线的方程为．
（2），
所以设直线的方程为圆心C到直线的距离为．
由于，则，
得，从而或．
当直线的方程为时，B到的距离为，
故．
当直线的方程为时，B到的距离为，
故．
故的面积为或．
【点睛】方法点睛：该题考查的是有关直线与圆的问题，解题方法如下：
（1）根据直线与圆相切的条件为圆心到直线的距离等于半径，求得直线的斜率，得到切线方程；
（2）注意利用好圆中半弦长、弦心距和圆的半径构成直角三角形，利用勾股定理得到等量关系式，求得参数值，利用三角形的面积公式求得结果.
18．外形是双曲面的冷却塔具有众多优点，如自然通风和散热效果好，结构强度和抗变形能力强等，其设计原理涉及到物理学、建筑学等学科知识.如图1是中国华电集团的某个火力发电厂的一座冷却塔，它的外形可以看成是由一条双曲线的一部分绕着它的虚轴所在直线旋转而成，其轴截面如图2所示.已知下口圆面的直径为80米，上口圆面的直径为40米，高为90米，下口到最小直径圆面的距离为80米.
（1）求最小直径圆面的面积；
（2）双曲面也是直纹曲面，即可以看成是由一条直线绕另一条直线旋转而成，该直线叫做双曲面的直母线.过双曲面上的任意一点有且只有两条相交的直母线（如图3），对于任意一条直母线，均存在一个轴截面和它平行，此轴截面截双曲面所得的双曲线有两条渐近线，且直母线与其中一条平行.广州电视塔（昵称“小蛮腰”，如图4）就是根据这一理论设计的，极大地方便了建造、节约了成本（主钢梁在直母线上，钢筋不需要弯曲）.若图1中的冷却塔也采用直母线主钢梁，求主钢梁的长度（精确到0.01米，参考数据：）.
【答案】（1）；（2）
【分析】由题设，则有在双曲线上，代入得解双曲线方程，得到最小直径圆面是以双曲线的实轴为直径的圆面得解
（2）求得一条渐近线方程为 ，由题意知上下轴截面平行且直母线与渐近线其中一条平行，所以四边形是平行四边形，求得得解
【详解】
由题设，则有在双曲线上，所以
解得
因为最小直径圆面是以双曲线的实轴为直径的圆面
此时圆面的面积为
（2）由（1）问得：的一条渐近线方程为
如图由题意知上下轴截面平行且直母线与渐近线其中一条平行，所以四边形是平行四边形，所以所求主钢梁的长度即为

【点睛】建立适当坐标系得到双曲线方程，利用直母线与渐近线其中一条平行，得到四边形是平行四边形是解题关键.
19．如图，在四棱锥中，是等边三角形，平面且为中点．
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【分析】（1）取边的中点E，即可证明四边形为平行四边形，再根据线面平行的判定定理即可证明；
（2）取边的中点G，由，即可得到直线与平面所成角即为与平面所成角，再由等体积法求得，即可求得直线与平面所成角的正弦值．
【详解】解：（1）如图所示：
取边的中点E，连，
则三角形中位线可知：且，
由题可知：且，
且，
即四边形为平行四边形，
又平面平面，
故平面；
（2）取边的中点G，
则，且，
直线与平面所成角即为与平面所成角，
又，且易得,所以
由等体积法，，得，
与平面所成角的正弦值为，
故直线与平面所成角的正弦值为．
【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是利用等体积法求出点到平面的距离.
20．已知三角形内接于抛物线，抛物线的焦点为F，三角形顶点到抛物线C准线的距离为10．
（1）求的值．
（2）若的重心恰是抛物线的焦点F，求所在的直线方程．
【答案】（1），；（2）.
【分析】（1）根据抛物线上的点到准线的距离，列出等量关系式，求得的值，得到抛物线的方程，将点的坐标代入抛物线方程求得的值；
（2）设，利用三角形重心坐标公式得到，根据抛物线上的点满足抛物线方程，求得点的坐标，进而求得直线方程.
【详解】（1）因为A到抛物线C准线的距离为，
代入抛物线，得．
（2）由（1）得，设，
则，
故，于是
所以，即．
【点睛】思路点睛：该题考查的是有关直线与抛物线的问题，解题方法如下：
（1）根据题意，列出等量关系式求得的值，得到抛物线的方程，利用点在抛物线上点的坐标满足抛物线方程，求得的值；
（2）根据题意，设出点的坐标，根据重心坐标公式，列出等量关系式，根据点在抛物线上，点的坐标满足抛物线方程，联立求得点的坐标，进而求得直线方程.
21．如图，在三棱柱中，，，，点M为线段的中点．
(1)求证：．
(2)求二面角的大小．
(3)求三棱锥的体积．
【答案】(1)证明过程见解析；
(2)；
(3).
【分析】（1）取的中点，连接、、，证明平面，进而可得出；
（2）利用二面角的定义可知，二面角的平面角为，利用余弦定理求出，求出，即可得解；
（3）以点原点，、所在直线为、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线与平面所成角的正弦值，然后利用三棱锥体积公式进行求解即可.
【详解】（1）取的中点为，由于和为正三角形，则，，
又，故平面，又平面，故；
（2）由于，，故为二面角的平面角．
由于，，
由余弦定理得，
从而，故二面角的大小为；
（3）如图以点原点，、所在直线为、轴建立如下图所示的空间直角坐标系．
则、、、、，
由于，，，
设平面的法向量为，
由，可得，取，则，，则，
设直线与平面所成角为，则由于，，
从而.
所以点到平面的距离为：，
由（1）可知：，而，所以，
所以三棱锥的体积为.
22．如图所示，、分别为椭圆的左、右顶点，离心率为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点作两条互相垂直的直线，与椭圆交于，两点，求面积的最大值.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）由离心率及联立方程求解即可；
（2）设的直线方程为：，，，联立直线与椭圆方程，由一元二次方程根与系数的关系及可利用向量数量积为0化简求出，据此可得三角形的面积，化简后换元利用均值不等式求最值即可.
【详解】（1）由已知可得：，解得：，，
∴椭圆的方程为：.
（2）∵，
设的直线方程为：，，，
联立方程：，
整理得：，
∴，，
∵，，
，
即，
，
，
，
整理得，解得或（舍去），
∴，
，
∴，
令，
则，
由对勾函数单调性知，，
所以，当且仅当时，即时等号成立，
此时最大值为.
【点睛】关键点点睛：由题意可设的直线方程为：，联立椭圆方程后由根与系数的关系及的向量表示化简运算求出是解题的第一个关键点，求出后知直线过定点，据此可选取恰当的表示三角形面积的方法是第二个关键点，表示出三角形面积后化简换元，利用均值不等式求最值是第三个关键点，对运算能力要求非常高.