2022-2023学年重庆市永川区永川北山中学校高二上学期期中数学试题（解析版）

2022-2023学年重庆市永川区永川北山中学校高二上学期期中数学试题

一、单选题

1．若方程x2＋y2－x＋y＋m＝0表示一个圆，则实数m的取值范围是（    ）

A．m＜ B．m≤

C．m＜2 D．m≤2

【答案】A

【分析】根据表示圆的条件D2＋E2－4F＞0，解不等式即可.

【详解】解：由D2＋E2－4F＞0得(－1)2＋12－4m＞0，解得m＜.

故选：A.

2．已知双曲线的焦距为4，则的值为（    ）

A．1 B． C．7 D．

【答案】B

【分析】根据双曲线方程确定，根据，即可得的值.

【详解】解：已知双曲线的焦距为4，则，

又，解得.

故选：B.

3．设点是关于坐标平面的对称点，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据空间直角坐标系的坐标特点得点坐标，根据空间中两点间的距离公式计算即可得.

【详解】解：因为点是关于坐标平面的对称点，所以

所以.

故选：A.

4．设，则“”是“直线直线平行”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件

【答案】A

【分析】利用充分不必要条件的定义判断即可.

【详解】当时，，，此时.

所以“”是“”的充分条件.

当时，则有，解得或，

若，则；若，则.

所以“”推不出“”即“”是“”的不必要条件.

故“”是“直线直线平行”的充分不必要条件.

故选：A.

【点睛】本题考查充分不必要条件的判断，考虑两个条件之间的推出关系是基本方法，本题属于容易题.

5．已知平面上一点M（5，0），若直线上存在点P使，则称该直线为“切割型直线”，下列直线中是“切割型直线”的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】求点到直线的距离即可.

【详解】若直线为“切割型直线”，则点M到该直线的距离不大于4，

点M（5，0）到直线的距离为，故A错误；

点M（5，0）到直线的距离为，故B错误；

点M（5，0）到直线的距离为，故C正确；

点M（5，0）到直线的距离为，故D错误．

故选：C．

6．已知空间向量，，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由题知，进而结合题意，根据向量模的计算得，再求向量夹角余弦值即可.

【详解】解：因为，所以，

因为，，

所以，即，

所以，

所以.

故选：C

7．美学四大构件是：史诗、音乐、造型（绘画、建筑等）和数学．素描是学习绘画的必要一步，它包括明暗素描和结构素描，而学习几何体结构素描是学习素描最重要的一步．某同学在画切面圆柱体（用与圆柱底面不平行的平面去截圆柱，底面与截面之间的部分叫做切面圆柱体，原圆柱的母线被截面所截剩余的部分称为切面圆柱体的母线）的过程中，发现“切面”是一个椭圆，若切面圆柱体的最长母线与最短母线所确定的平面截切面圆柱体得到的截面图形是有一个底角为60度的直角梯形，则该椭圆的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】设圆柱的底面半径为，由题意知，，椭圆的长轴长，短轴长为，可以求出的值，即可得离心率.

【详解】设圆柱的底面半径为，依题意知，最长母线与最短母线所在截面如图所示．

．

从而．

因此在椭圆中长轴长，

短轴长，

．

，

故选：A．

【点睛】本题主要考查了椭圆的定义和椭圆离心力的求解，属于基础题.

8．在棱长为1的正方体中，点E为底面内一动点，则的取值范围是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】依题意建立空间直角坐标系，设，表示出，，根据向量数量积的坐标运算及二次函数的性质计算可得；

【详解】解：如图建立空间直角坐标系，则，，设则，，所以，，所以，因为，，所以，，所以，

故选：A

二、多选题

9．下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是（    ）

A．两条不重合直线的方向向量分别是，，则

B．直线l的方向向量，平面α的法向量是，则

C．两个不同的平面的法向量分别是，，则

D．直线l的方向向量，平面α的法向量是，则

【答案】AC

【分析】根据条件结合空间向量的平行和垂直，对各选项逐项判断即可．

【详解】对于A，两条不重合直线l1，l2的方向向量分别是，

则，所以，即，故A正确；

对于B，直线l的方向向量，平面的法向量是，

则，所以，即或，故B错误；

对于C，两个不同的平面的法向量分别是，

则，所以，故C正确；

对于D，直线l的方向向量，平面a的法向量是，

则，所以，即，故D错误．

故选：AC

10．已知曲线C：，则（    ）

A．当m=n=2时，C为圆 B．当m=n=1时，C为抛物线

C．C不可能为椭圆 D．C可能为双曲线

【答案】ABD

【分析】根据圆的方程和圆锥曲线的方程的结构特征即可判断答案.

【详解】当时，C为圆，A正确；

当时，C为抛物线，B正确；

当，且时，C为椭圆，C错误；

当，时，C为双曲线，D正确.

故选：ABD.

11．已知圆，则下列四个命题表述正确的是（    ）

A．圆上有且仅有2个点到直线的距离都等于

B．点在圆上，则的取值范围是

C．若直线与圆相交，则点在圆外

D．过点作圆的两条切线，切点分别为，，则直线的方程为

【答案】BCD

【分析】根据点与圆，直线与圆，圆与圆的位置关系判断即可．

【详解】解：对于A，圆心到直线的距离，又半径，

圆上有且仅有3个点到直线的距离都等于，故A错误；

对于B，设点，则即圆上一点与的斜率取值范围，如下图所示，

当与圆相切时，可得斜率的临界值，则直线方程为，

则圆心到直线的距离为，解得，

结合图形可知取值范围是，故B正确；

对于C，若直线与圆相交，则圆心到直线得距离满足，

所以，即，则点在圆外，故C正确；

对于D，如下图，因为，不妨设切点在轴上，另一个切点为，连接，取中点为，

则，所以，

因为，所以点，，，在以为圆心，为半径的圆上，

又，在圆上，两圆方程对减，化简可得直线的方程为，故D正确.

故选：BCD.

12．泰戈尔说过一句话：世界上最远的距离，不是树枝无法相依，而是相互了望的星星，却没有交汇的轨迹；世界上最远的距离，不是星星之间的轨迹，而是纵然轨迹交汇，却在转瞬间无处寻觅.已知点，直线，动点到点的距离是点到直线的距离的一半.若某直线上存在这样的点，则称该直线为“最远距离直线”，则下列结论中正确的是（    ）

A．点的轨迹方程是

B．直线：是“最远距离直线”

C．平面上有一点，则的最小值为5.

D．点P的轨迹与圆：是没有交汇的轨迹（也就是没有交点）

【答案】ABC

【分析】对A，设，根据定义建立关系可求出；对B，联立直线与椭圆方程，判断方程组是否有解即可；对C，根据定义转化为求即可；对D，易判断为交点.

【详解】设，因为点到点的距离是点到直线的距离的一半，所以，化简得，故A正确；

联立方程可得，解得，故存在，所以直线：是“最远距离直线”，故B正确；

过P作PB垂直直线，垂足为B，则由题可得，则，则由图可知，的最小值即为点A到直线的距离5，故C正确；

由可得，即圆心为，半径为1，易得点P的轨迹与圆交于点，故D错误.

故选：ABC.

三、填空题

13．若, ,则与同方向的单位向量是_______.

【答案】

【分析】先由已知求出的坐标，再除以可得答案

【详解】因为,，

所以

所以与同方向的单位向量为，

故答案为：

14．一条直线经过点，并且它的倾斜角等于直线的倾斜角的倍，则这条直线的方程为__________

【答案】

【分析】由已知直线方程求其倾斜角的正切值，即可确定倾斜角的大小，再由二倍角求正切值得所求直线的斜率，代入直线方程的点斜式得答案．

【详解】解：由直线，得其斜率为，

设其倾斜角为，则，所以

要求直线的斜率为．

又直线过点，

直线方程为，即．

故答案为：．

15．空间四点共面，但任意三点不共线，若为该平面外一点且，则实数的值为____________

【答案】

【分析】先设，然后把向量，，分别用向量，，，表示，再把向量用向量，，表示出，对照已知的系数相等即可求解．

【详解】解：因为空间，，，四点共面，但任意三点不共线，

则可设，

又点在平面外，则

，

即，

则，

又，

所以，解得，.

故答案为：．

16．已知点，若圆上存在点使得，则实数的取值范围是____．

【答案】

【分析】先把圆上存在点使得，转化为圆与圆相交，利用，解不等式即可.

【详解】因为直径所对的圆周角为90°，而，

所以以AB为直径的圆与圆存在公共点，

故两圆相交或相切，

所以

解得.

故答案为：

【点睛】圆C1和圆C2 的半径分别为R和r，圆心距为d，圆与圆的位置关系由5种：

（1）相离；（2）相外切；（3）相交；（4）相内切；（5）相内含；

四、解答题

17．已知的顶点，AC边上的高BD所在直线方程为．AC边上的中线BE所在直线方程为．

(1)求点B的坐标；

(2)求点C的坐标及BC边所在直线方程．

【答案】(1)；

(2)；.

【分析】（1）解直线BD与直线BE的方程组成的方程组，即可得点B的坐标.

（2）求出直线AC的方程，与直线BE的方程联立求出点E的坐标，再利用中点坐标公式求出点C的坐标，进而求出直线BC方程作答.

【详解】（1）依题意，点B是直线BD与直线BE的交点，由解得，

所以点B的坐标是.

（2）因，则设直线AC的方程为，而点，则，解得，

直线AC：，由解得，于是得边AC的中点，

因此点C的坐标为，直线BC的方程为，即，

所以点C的坐标为，BC边所在直线方程.

18．已知双曲线.

（1）求与双曲线有共同的渐近线，且过点的双曲线的标准方程；

（2）若直线与双曲线交于A、B两点，且A、B的中点坐标为（1，1），求直线的斜率.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）设所求双曲线方程为，代入点坐标，求得k，即可得答案；

（2）设，利用点差法，代入A、B的中点坐标为（1，1），即可求得斜率.

【详解】（1）因为所求双曲线与双曲线有共同的渐近线，

所以设所求双曲线方程为，代入，得，

所以所求双曲线方程为；

（2）设，因为、在双曲线上，

所以，（1）-（2）得，

因为A、B的中点坐标为（1，1），即，

所以.

19．如图，在平面直角坐标系中，已知以为圆心的圆及其上一点．

(1)设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x＝6上，求圆N的标准方程；

(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B，C两点，且BC＝OA，求直线l的方程．

【答案】(1)

(2)或

【分析】（1）设，则圆为：，，从而得到，由此能求出圆的标准方程．

（2）由题意得，，设，则圆心到直线的距离：，由此能求出直线的方程．

【详解】（1）解： 在直线上，设，

圆与轴相切，圆为：，，

又圆与圆外切，圆，即圆，圆心，半径；

，解得，

圆的标准方程为．

（2）解：由题意得，，设，

则圆心到直线的距离：，

则，，即，

解得或，

直线的方程为：或．

20．如图，矩形和梯形，，，平面平面，且，，过的平面交平面于．

(1)求证：；

(2)当为中点时，求点到平面的距离；

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）根据线面平行的判定定理和性质定理证明即可；

（2）建立空间直角坐标系，根据空间向量的坐标关系求解点到平面的距离即可.

【详解】（1）证明：因为矩形，所以，

平面，平面，

所以平面．

因为过的平面交平面于，

由线面平行性质定理，得；

（2）解：由平面平面其交线为，平面，

所以平面，

又四边形为矩形，所以以为原点，以为轴建立如图空间直角坐标系．

由，，得，，，

则，

设平面法向量，

则，取得．

因为，所以点到平面的距离.

21．已知为等腰直角三角形，，将沿底边上的高线折起到位置，使，如图所示，分别取的中点.

（1）求二面角的余弦值；

（2）判断在线段上是否存在一点，使平面？若存在，求出点的位置，若不存在，说明理由．

【答案】（1）（2）点是线段的中点时，平面．

【详解】试题分析：（1）以所在直线为轴建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的一个法向量，根据空间向量夹角余弦公式，可得结果；（2）假设在线段上存在一点，使平面，设，根据可求得.

试题解析：由题知，且，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，则点．

（1），设平面的法向量为，则

，得，得，当时，得，同理可得平面的一个法向量为，那么，

所以二面角的余弦值为；

（2）假设在线段上存在一点，使平面，设，

则由，得，得，

那么，当平面时，，

即存在实数，使，解得，那么，

即点是线段的中点时，平面．

【方法点晴】本题主要考查利用空间向量求二面角的大小以及存在性问题，属于中档题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.

22．已知：的上顶点到右顶点的距离为，离心率为，过椭圆左焦点作不与轴重合的直线与椭圆相交于、两点，直线的方程为：，过点作垂直于直线交直线于点.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)求证线段必过定点，并求定点的坐标.

【答案】(1)

(2)证明见解析，

【分析】（1）根据题意可列方程，求解即可得椭圆的标准方程；

（2）由题意知，结合对称性可知点在轴上，设直线方程：，设，，，代入椭圆方程可得，，求解直线直线方程，求解其与轴的交点，即可确定点坐标.

【详解】（1）解：由题可知：，所以，，

故椭圆的标准方程为；

（2）解：由题意知，结合对称性可知点在轴上，又，

设直线方程：，设，，，

联立方程得得

所以，

又

所以直线方程为：

令，则.

所以直线过定点.