初中数学沪科版九年级下册24.2.2 垂径定理精品课件ppt

教学目标

1.进一步认识圆，了解圆是轴对称图形.

2.理解垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用它解决一些简单的计算、证明和作图问题.

3.灵活运用垂径定理解决有关圆的问题.

教学重难点

重点：理解垂径定理及其推论，并能应用它解决一些简单的计算、证明和作图问题.

难点：灵活运用垂径定理解决有关圆的问题.

教学过程

导入新课

宝宝要过生日了！妈妈买来了蛋糕，要把蛋糕平均分成四块，你会分吗？

教师提问：在切蛋糕的过程中，你有什么发现？

探究新知

合作探究

1.动手操作：在纸上画一个圆，并把这个圆剪下来，再沿着圆的一条直径所在的直线对折，重复做几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？

师生活动：学生按要求进行操作，教师引导发现规律.

教师追问：圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？

【归纳总结】圆的对称性：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴.

教师强调：圆是轴对称图形，对称轴是圆所在平面内任意一条过圆心的直线（直径所在的直线），它有无数条对称轴.

2.垂径定理及其推论

（1）垂径定理

问题情境： 如图，AB是⊙O的一条弦，直径CD⊥AB， 垂足为E.你能发现图中有哪些相等的线段和劣弧?

师生活动：学生独立思考并找出图中相等的线段和劣弧，教师巡视并指导.

【解】相等线段： AE＝BE.

相等劣弧：＝，＝.

理由：连接OA，OB，把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，点A与点B重合，AE与BE重合，与重合，与重合.             

教师追问：你能用语言来描述我们的发现吗？

师生活动：学生小组交流讨论，师生归纳，教师最后整理并板书.

【归纳总结】垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧.

教师追问：能不能用所学过的知识证明垂径定理？

师生活动：（引发学生思考）要证明垂径定理，已知条件是什么？结论是什么？用什么方法证明?

【解】已知：如图，在⊙O中，CD是直径，AB是弦，AB⊥CD，垂足为E.

求证：AE＝BE，.

证明：如图，连接OA，OB.

∵ OA＝OB，CD⊥AB，

∴ AE＝BE.

又∵ ⊙O关于直径CD对称，

∴ A点和B点关于直径CD对称，

∴当圆沿着直径CD对折时，点A与点B重合，与重合，

因此.

同理得到.

【归纳总结】根据图形写出已知和求证，再构造等腰三角形，利用等腰三角形“三线合一”的性质，证得结论成立.

推导格式

∵ CD是直径，CD⊥AB，垂足为E，

∴ AE＝BE，.

定理辨析：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？

①                ②              ③           ④

师生活动：（引发学生思考）垂径定理具备的条件.

【解】图①具备；图②不具备，因为没有垂直；图③具备；图④不具备，因为CD没过圆心（或AB没过圆心）.

【归纳总结】（学生总结，老师点评）垂径定理具备的条件是过圆心且垂直，两个条件缺一不可.

【归纳总结】垂径定理的几个基本图形：

①                 ②           ③           ④

（2）垂径定理的推论

平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.

推导格式

教师追问：“不是直径”这个条件能去掉吗？如果不能，请举出反例.

师生活动：学生独立思考并举反例，师生共同归纳.

【归纳总结】圆的两条直径是互相平分的，但是不一定相互垂直.                                           

一条直线满足下面五个条件中的两个条件，即可推出其他三个.

①过圆心；

②垂直于弦；

③平分弦（非直径）；

④平分弦所对优弧；

⑤平分弦所对劣弧.

【新知应用】

例1　赵州桥建于1 400年前的隋朝，是我国石拱桥中的代表性桥梁，桥的下部呈圆弧形，桥的跨度（弧所对的弦长）为 37.4 m，拱高（弧的中点到弦的距离，也叫弓形高）为7.2 m，求桥拱所在圆的半径.（精确到0.1 m）

师生活动：学生尝试解决问题，教师引导.

【解】如图，过桥拱所在圆的圆心O作AB的垂线，交于点C，交AB于点D，则CD＝7.2 m.

由垂径定理，得

AD＝AB＝×37.4＝18.7（m）.

设⊙O的半径为R m，在Rt△AOD中，AO＝R，OD＝R-7.2，AD＝18.7.

由勾股定理，得

AO2＝OD2+AD2.

∴ R2＝（R-7.2）2+18.72.

解方程，得R≈27.9.

答：赵州桥桥拱所在圆的半径约为27.9 m.

【归纳总结】在圆中解决有关弦长、半径等问题，常常需要作垂直于弦的直径或半径，连接弦的端点与圆心作半径，这样就可以把垂径定理与勾股定理结合起来，得到圆的半径r、弦心距d、弦长a的一半之间的关系式：.

【拓展延伸】　

例2　已知⊙O的半径为13，弦AB＝24，弦CD＝10，AB∥CD，求这两条平行弦AB，CD之间的距离.

师生活动：（引发学生思考）要求两条平行弦AB，CD之间的距离，想到垂直，又在圆中已知弦长，则可以想到垂径定理和勾股定理，根据这些怎么作图呢？根据题中数据怎样求解呢？

【解】分两种情况讨论：（1）当弦AB和CD在圆心同侧时，如图①，过点O作OF⊥CD于点F，交AB于点E，连接OC，OA.

由题意可知，OA＝OC＝13.

∵ AB∥CD，OF⊥CD，∴ OE⊥AB.

又∵ AB＝24，CD＝10，

∴ AE＝ AB＝12，CF＝ CD＝5，

∴ OE＝＝5，OF＝＝12，

∴ EF＝OF-OE＝7.

（2）当弦AB和CD在圆心异侧时，如图②，过点O作OF⊥CD于点F，反向延长OF交AB于点E，连接OC，OA.

同（1）可得，OE＝5，OF＝12，∴ EF＝OF+OE＝17.

综上，两条平行弦AB与CD之间的距离为7或17.

①               ②

【归纳总结】（学生总结，老师点评）解此类题时，要考虑两弦在圆心的同侧还是异侧，再结合实际作出半径和弦心距（圆心到弦的距离），利用勾股定理和垂径定理求解即可.

【拓展归纳】

（1）涉及垂径定理时辅助线的添加方法

在圆中有关弦长a，半径r， 弦心距d（圆心到弦的距离），弓形高h的计算题时，常常通过连半径或作弦心距构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解.

（2）弓形中重要的数量关系

弦长a，弦心距d，弓形高h，半径r之间有以下关系：

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布置作业

教材第17页练习，第25页第3题

板书设计

24.2　圆的基本性质

第2课时　垂径分弦

1.垂径定理

垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧.

推导格式

∵ CD是直径，CD⊥AB，垂足为E，

∴ AE＝BE，.

2.垂径定理的推论

平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.

推导格式

3.方法：将垂径定理与勾股定理有机结合，化圆中问题为三角形问题，经常需要添加辅助线——半径、弦的垂线.