24.2.3 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系（课件+教案+练习）
展开第24章 圆
24.2 圆的基本性质
第3课时 圆心角、弧、弦、弦心距间的关系
教学目标 1.理解圆心角的概念，掌握圆的中心对称性和旋转不变性. 2.探索圆心角、弧、弦、弦心距间的关系定理的证明，并利用其解决相关问题. 3.理解圆心角、弧、弦、弦心距间关系定理中的“在同圆或等圆中”条件的意义. 教学重难点 重点： 探索圆心角、弧、弦、弦心距间的关系定理并利用其解决相关问题. 难点：理解圆心角、弧、弦、弦心距间关系定理中的“在同圆或等圆中”条件的意义. 教学过程 导入新课 问题情境：将圆绕圆心旋转180°后，得到的图形能与原图形重合吗？由此你得到什么结论呢？ 师生活动：学生观察图形思考，并回答问题，教师引导. 【归纳总结】圆是中心对称图形. 教师追问：把圆绕圆心旋转任意一个角度呢？仍与原来的圆重合吗？ 【归纳总结】圆是中心对称图形，对称中心是圆心，而且把圆绕圆心旋转任意一个角度，都能与圆重合，这是圆的旋转不变性. 探究新知 1.圆心角 （1）定义：顶点在圆心的角叫做圆心角，如∠AOB . （2）圆心角∠AOB 所对的弧为. （3）圆心角∠AOB 所对的弦为AB. 辨析概念：判断下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由.
（1） （2） （3） （4） 师生活动：学生根据圆心角的定义回答问题，教师引导强调概念. 【解】（1）不是，顶点不在圆心； （2）不是，顶点在圆外； （3）不是，顶点不在圆心； （4）是圆心角. 【归纳总结】圆心角的顶点在圆心上. 2.圆心角、弧、弦、弦心距间的关系定理 问题情境：在⊙O中，当圆心角∠AOB＝∠COD，那么它们所对的弦AB和弦CD相等吗？所对的和相等吗？为什么？ 师生活动：（引发学生思考）如何证明线段相等？如何证明两条弧相等？ 【解】∵ 圆具有旋转不变性， 把∠AOB连同绕圆心O旋转，使射线OA与OC重合，∠AOB＝∠COD， ∴ 射线OB与OD重合. 又∵ OA＝OC，OB＝OD， ∴ 点A与点C重合，点B与点D重合， ∴ AB与CD重合，和重合，OE与OF也重合，∴ AB＝CD，＝，OE＝OF. 【归纳总结】 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距相等. ∠AOB＝∠COD 3.圆心角、弧、弦、弦心距间关系定理的推论 在同圆或等圆中，如果两个圆心角以及这两个角所对的弧、所对的弦、所对弦的弦心距中，有一组量相等，那么其余各组量都分别相等. 【归纳总结】在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.即知一得三. 教师追问：定理“在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等”中，可否把条件“在同圆或等圆中”去掉？为什么？ 师生活动：学生小组讨论，在教师的引导下，举出反例. 【解】不可以，如图. 【新知应用】 例1 已知：如图，等边三角形ABC的三个顶点都在⊙O上.求证：∠AOB＝∠BOC＝∠COA＝120°. 师生活动：学生先独立思考，尽量自己完成，教师巡视，个别指导，引导学生分析题目. 【证明】∵ AB＝BC＝CA， ∴ ∠AOB＝∠BOC＝∠COA ＝×360°＝120°. 【归纳总结】（学生总结，老师点评）通过观察图形，利用圆心角、弧、弦、弦心距间的关系定理解决问题. 例2 如图，AB，CD为⊙O的两条直径，CE为⊙O的弦，且CE∥AB， 为40°，求∠BOD的度数. 师生活动：学生独立思考，教师加以引导. 【解】连接OE. ∵ 为40°，∴ ∠COE＝40°. ∵ OC＝OE， ∴ ∠C＝ ＝70°. ∵ CE∥AB， ∴ ∠AOD＝∠C＝70°， ∴ ∠BOD＝180°-70°＝110°. 例3 如图，已知AB是⊙O的直径，M，N分别是AO，BO的中点，CM⊥AB，DN⊥AB.求证：. 师生活动：（引发学生思考）求证，由圆心角、弧、弦、弦心距间的关系定理，可以转化为证明什么？转化后的结论又应该怎样证明？ 【证明】如图，连接OC，OD. ∵ AB是⊙O的直径，M，N分别是AO，BO的中点， ∴ OM＝ON. ∵ CM⊥AB，DN⊥AB，∴ ∠OMC＝∠OND＝90°. 在Rt△OMC和Rt△OND中， ∵ ∴ Rt△OMC≌Rt△OND（HL）， ∴ ∠COM＝∠DON，∴ . 【归纳总结】（学生总结，老师点评）在同圆或等圆中，如果两条弧（一般同为优弧或劣弧）、两条弦、两个圆心角中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等. 课堂小结 布置作业 教材第20页练习 板书设计 24.2 圆的基本性质 第3课时 圆心角、弧、弦、弦心距间的关系 1.圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角. 2.在同圆或等圆中，圆心角相等弧相等弦相等弦心距相等.
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