初中数学沪科版九年级下册24.7.1 弧长与扇形面积获奖ppt课件

教学目标

1.了解弧长计算公式及扇形面积计算公式，并会应用公式解决问题.

2.能运用弧长公式和扇形面积公式解决相关的实际问题.

教学重难点

重点：理解弧长和扇形面积公式的探求过程.

难点：会利用弧长和扇形面积的计算公式进行计算.

教学过程

导入新课

问题1：如图，在运动会的800米长跑比赛中，甲和乙分别在第4跑道和第5跑道，为什么他们的起跑线不在同一处？

因为这些弯道的“展直长度”是不一样的.

问题2：怎样来计算弯道的“展直长度”？

探究新知

1.扇形的概念

如下图，我们把两条半径与所夹弧围成的图形叫做扇形.

2.弧长公式的推导

思考:（1）半径为R的圆的周长是多少？

（2）1°的圆心角所对弧长是多少？

（3）n°圆心角所对的弧长是1°圆心角所对的弧长的多少倍？

（4）n°的圆心角所对弧长是多少？

师生活动：引导学生层层深入，逐步分析，使学生明确探索一个新知识要从学过的知识入手，找寻它们的联系，探究规律.板书弧长公式.

【解】（1）　（2）　（3）n倍　（4）

【归纳总结】弧长公式在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长为.

注意：1.圆心角的度数，它是不带单位的.

2.公式中出现的三个量C1，n，R，只要已知其中任意两个量，就能求出第三个量.

【新知应用】

例1　制造弯形管道时，经常要先按中心线计算“展直长度”，再下料，试计算如图所示的管道的展直长度L(结果取整数).

师生活动：学生独立思考，教师引导，要求管道的展直长度L，关键是求的弧长，已知圆心角和半径，代入弧长公式计算即可.

【解】由弧长公式，得的长

，

因此所要求的展直长度L＝2×700+1 570＝2 970（mm）.

答：管道的展直长度为2 970 mm.

【归纳总结】利用弧长公式先求的弧长，再根据L等于线段AC、BD和的和求解.

3.扇形面积公式

如果扇形的半径为R，圆心角为n°，那么扇形面积的计算公式为.

教师追问：扇形的面积公式与什么公式类似？

师生活动：学生思考并小组交流，发现与弧长公式的相似之处，师生共同总结.

拓展：∵ ，

∴

【新知应用】

例2　如图，已知圆O的半径为1.5 cm，圆心角∠AOB＝58o，求 的长(结果精确到0.1 cm)以及扇形AOB的面积(结果精确到0.1 cm2).

师生活动：引导学生独立解决，已知扇形的圆心角和半径，代入弧长公式和扇形面积公式即可.

【解】∵ r＝1.5 cm，n＝58，

∴ 的长＝，

.

【归纳总结】(学生总结，老师点评)如果已知条件直接给出了半径和圆心角，弧长和扇形面积的计算只要直接代入公式就可以解决.如果题目中没有直接给出半径和圆心角，需要结合已经学过的知识求出需要的条件.

例3　如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6 m，其中水面高0.3 m，求截面上有水部分的面积（结果保留小数点后两位）.

师生活动：小组讨论交流，教师进行分析引导，图中阴影部分的面积没有直接的公式可求，需要转化为图形组合的和差问题，即求扇形面积与三角形面积之差，作辅助线利用垂径定理求出圆心角的度数，再根据公式分别求出扇形面积与三角形面积，问题得以解决.

【解】如图，连接OA，OB，作弦AB的垂直平分线，垂足为D，交于点C，连接AC.

∵ OC＝0.6 m，DC＝0.3 m，

∴ OD＝OC-DC＝0.3 m，

∴ OD＝DC.

又 AD ⊥DC，

∴ AD是线段OC的垂直平分线，

∴ AC＝AO＝OC.

从而 ∠AOD＝60˚，∠AOB＝120˚.

故有水部分的面积

【归纳总结】求阴影图形的面积，要利用图形面积的和差或者图形变化来转化.

【拓展延伸】

例4　如图，两个同心圆被两条半径截得的弧AB的长为6π cm，弧CD的长为10π cm，又AC＝12 cm，求阴影部分ABDC的面积.

师生活动：(引发学生思考)图中的阴影部分是圆环的一部分，要求阴影部分的面积，需求扇形COD的面积与扇形AOB的面积之差.根据扇形面积S＝C1R，C1已知，则需要求两个半径OC与OA，因为OC＝OA＋AC，AC已知，所以只要能求出OA即可.

【解】设OA＝R，OC＝R＋12，∠O＝n°.

根据已知条件有 

两式相除，得.

∴ 3(R＋12)＝5R，

∴ R＝18.

∴ OC＝18＋12＝30.

∴ S阴影＝S扇形COD－S扇形AOB＝×10π×30－×6π×18＝96π（cm2）.

∴ 阴影部分的面积为96π cm2.

【归纳总结】(学生总结，老师点评)利用我们所学的知识，不能直接求出阴影部分的面积，需要将它转化为两个扇形的面积之差.在求不规则图形的面积时，需要将其转化为规则图形面积的和(差)形式，从而解决问题.

 课堂小结

布置作业

教材第56页练习第1，2，3题

板书设计

24.7　弧长与扇形面积

第1课时  弧长和扇形面积公式

1.弧长：（180，n没有单位）.

例1：

2.扇形面积：.

例2：