重庆市中考数学一轮复习-专题21 图形的变化（讲义）

2021年中考数学一轮专题复习
学案21 图形的变化

中考命题说明



考点
课标要求
考查角度
1
图形的
平移
①通过具体实例认识平移，探索它的基本性质，理解对应点连线平行且相等的性质；②能按要求作出简单平面图形平移后的图形．利用平移进行图案设计，认识和欣赏平移在现实生活中的应用．
常以选择题、填空题的形式考查图形平移的概念和性质，以解答题的形式考查平移作图和相关计算．
2
图形的
轴对称
①通过具体实例认识轴对称，探索它的基本性质，理解对应点所连的线段被对称轴垂直平分的性质；②能够作出简单平面图形经过一次或两次轴对称后的图形；探索简单图形之间的轴对称关系，并能指出对称轴；③探索基本图形（等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正多边形、圆）的轴对称性及其相关性质．能利用轴对称进行图案设计．
常以选择题、填空题的形式考查轴对称图形的概念和性质，以解答题的形式考查轴对称作图和相关的推理计算．
3
图形的
旋转
①通过具体实例认识旋转，了解中心对称的概念，探索它的基本性质，理解对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等的性质；②能够按要求作出简单平面图形旋转后的图形；③探索图形之间的变换关系（轴对称、平移、旋转及其组合）．灵活运用轴对称、平移和旋转的组合进行图案设计．
多以选择题、填空题、解答题的形式考查图形的旋转、中心对称的概念和性质，有时将图形的轴对称、图形的平移、图形的旋转综合起来考查．
4
图形的
相似
①了解比例的基本性质，了解线段的比、成比例线段，通过建筑、艺术上的实例了解黄金分割；②通过具体实例认识图形的相似，探索相似图形的性质，知道相似多边形的对应角相等，对应边成比例，面积的比等于对应边比的平方；③了解两个三角形相似的概念，探索两个三角形相似的条件；④通过典型实例观察和认识现实生活中物体的相似，利用图形的相似解决一些实际问题．
常以选择题、填空题、解答题的形式考查比例的基本性质、相似图形的性质和判定，近年来部分地市常结合函数、三角形、四边形等知识以综合题的形式考查．
5
图形的
位似
了解图形的位似，能够利用位似将一个图形放大或缩小．
常以选择题、填空题、作图题的形式考查图形的位似，一般为低中档题．

知识点1：图形的平移


知识点梳理

1．平移的定义：把一个图形整体沿某一方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同，图形的这种移动叫做平移变换，简称平移．
2．平移的性质：
（1）平移不改变图形的大小和形状，平移前后的图形全等，但图形上的每个点都沿同一方向进行了移动．
（2）图形平移后，对应线段相等且平行，对应角相等，且对应角的两边分别平行，方向相同．
（3）连接各组对应点的线段平行（或在同一直线上）且相等．
3. 确定一个平移运动的条件是：平移的方向和距离．
4. 平移的规则：图形上的每一个点都沿同一个方向移动相同的距离．
5. 画平移图形：必须找出平移方向和距离，其依据是平移的性质．
典型例题

【例1】（2020•上海6/25）如果存在一条线把一个图形分割成两个部分，使其中一个部分沿某个方向平移后能与另一个部分重合，那么我们把这个图形叫做平移重合图形．下列图形中，平移重合图形是（ ）
A．平行四边形 B．等腰梯形 C．正六边形 D．圆
【考点】平移的性质
【分析】证明平行四边形是平移重合图形即可．
【解答】解：如图，平行四边形ABCD中，取BC，AD的中点E，F，连接EF．

∵四边形ABEF向右平移可以与四边形EFDC重合，
∴平行四边形ABCD是平移重合图形，
故选：A．
【点评】本题考查平移的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
【例2】（2020•青海4/28）如图，将周长为8的△ABC沿BC边向右平移2个单位，得到△DEF，则四边形ABFD的周长为 ．

【考点】平移的性质
【分析】利用平移的性质得到AD=CF=2，AC=DF，而AB+BC+AC=8，所以AB+BC+DF=8，然后计算四边形ABFD的周长．
【解答】解：∵△ABC沿BC边向右平移2个单位，得到△DEF，
∴AD=CF=2，AC=DF，
∵△ABC的周长为8，
∴AB+BC+AC=8，
∴AB+BC+DF=8，
∴四边形ABFD的周长=AB+BC+CF+DF+AD
=AB+BC+DF+AD+CF
=8+2+2
=12．
故答案为12．
【点评】本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行（或共线）且相等．
知识点2：图形的轴对称


知识点梳理

1. 轴对称的定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．
2．图形轴对称的性质：
（1）轴对称图形变换不改变图形的 形状 和 大小 ，只改变图形的 位置 ．关于某条直线对称的两个图形是全等形，对应线段、对应角相等．
（2）如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线．
（3）两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上．
3．轴对称的判定：如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称．
4．轴对称图形的定义：把一个图形沿着某条直线折叠，如果直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴．
5. 轴对称与轴对称图形的区别与联系：
（1）轴对称图形和图形的轴对称之间的的区别是：轴对称图形是一个具有特殊性质的图形，而图形的轴对称是说两个图形之间的位置关系．
（2）两者之间的联系是：若把轴对称的两个图形视为一个整体，则它就是一个轴对称图形；若把轴对称图形在对称轴两旁的部分视为两个图形，则这两个图形就形成轴对称的位置关系．
典型例题

【例3】（2020•山西2/23）自新冠肺炎疫情发生以来，全国人民共同抗疫，各地积极普及科学防控知识，下面是科学防控知识的图片，图片上有图案和文字说明，其中的图案是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】轴对称图形
【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形进行分析即可．
【解答】解：A、不是轴对称图形；
B、不是轴对称图形；
C、不是轴对称图形；
D、是轴对称图形．
故选：D．
【点评】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的定义．
【例4】（2020•青海16/28）剪纸是我国传统的民间艺术．将一张纸片按图中①，②的方式沿虚线依次对折后，再沿图③中的虚线裁剪，最后将图④中的纸片打开铺平，所得图案应该是（ ）

A． B． C． D．
【考点】剪纸问题
【分析】对于此类问题，只要依据翻折变换，将图（4）中的纸片按顺序打开铺平，即可得到一个图案．
【解答】解：按照图中的顺序，向右对折，向上对折，从斜边处剪去一个直角三角形，从直角顶点处剪去一个等腰直角三角形，展开后实际是从原菱形的四边处各剪去一个直角三角形，从菱形的中心剪去一个正方形，可得：
．
故选：A．
【点评】本题主要考查了剪纸问题，解决这类问题要熟知轴对称图形的特点，关键是准确的找到对称轴．一般方法是动手操作，拿张纸按照题目的要求剪出图案，展开即可得到正确的图案．
知识点3： 图形的旋转


知识点梳理

1. 旋转的定义：把一个图形绕某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转，其中O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角．
2．旋转的性质：
（1）对应点到旋转中心的距离相等．
（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．
3. 中心对称的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
4. 中心对称的性质：
（1）关于中心对称的两个图形是全等形．
（2）关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分．
（3）关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一直线上）且相等．
5. 中心对称的判定：如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称．
6. 中心对称图形的定义：把一个图形绕某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
7. 中心对称与中心对称图形区别与联系：
（1）中心对称与中心对称图形的区别：中心对称是两个图形的位置关系，必须涉及两个图形，中心对称图形是指一个图形；中心对称是指其中一个图形沿对称中心旋转180°后，两个图形重合；中心对称图形是指该图形绕对称中心旋转180°，与原图形重合．
（2）中心对称与中心对称图形的联系：如果把两个成中心对称的图形拼在一起，看成一个整体，那么它就是中心对称图形；如果把中心对称图形看成以对称中心为分点的两个图形，那么这两个图形成中心对称．
8. 中心对称与轴对称的区别与联系：
（1）中心对称与轴对称的区别：中心对称有一个对称中心——点；图形绕中心旋转180°，旋转后与另一个图形重合．轴对称有一条对称轴——直线．图形沿直线翻折180°，翻折后与另一个图形重合．
（2）中心对称与轴对称的联系：如果一个轴对称图形有两条互相垂直的对称轴，那么它必是中心对称图形，这两条对称轴的交点就是它的对称中心，但中心对称图形不一定是轴对称图形．
典型例题

【例5】（2020•赤峰3/26）下列图形绕某一点旋转一定角度都能与原图形重合，其中旋转角度最小的是（　　）
A． 等边三角形 B． 平行四边形
C． 正八边形 D． 圆及其一条弦
【考点】旋转对称图形．有
【答案】C
【分析】求出各旋转对称图形的最小旋转角度，继而可作出判断．
【解答】解：A、最小旋转角度＝＝120°；
B、最小旋转角度＝＝180°；
C、最小旋转角度＝＝45°；
D、不是旋转对称图形；
综上可得：旋转一定角度后，能与原图形完全重合，且旋转角度最小的是C．
故选：C．
【点评】本题考查了旋转对称图形的知识，求出各图形的最小旋转角度是解题关键．
【例6】（2020•海南7/22）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，AC=1 cm，将Rt△ABC绕点A逆时针旋转得到Rt△AB′C′，使点C′落在AB边上，连接BB′，则BB′的长度是（ ）

A．1 cm B．2 cm C． D．
【考点】旋转的性质；含30度角的直角三角形
【分析】由直角三角形的性质得到AB=2AC=2，然后根据旋转的性质和等腰三角形的判定得到AB′= BB′．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，AC=1 cm，
∴，则AB=2AC=2 cm．
又由旋转的性质知，，B′C′⊥AB，
∴B′C′是△ABB′的中垂线，
∴AB′= BB′．
根据旋转的性质知AB= AB′= BB′=2 cm．
故选：B．
【点评】本题主要考查了旋转的性质和含30度角的直角三角形，此题实际上是利用直角三角形的性质和旋转的性质将所求线段BB′与已知线段AC的长度联系起来求解的．
【例7】（2020•江西16/23）如图，在正方形网格中，△ABC的顶点在格点上．请仅用无刻度直尺完成以下作图（保留作图痕迹）．
（1）在图1中，作△ABC关于点O对称的△A′B′C′；
（2）在图2中，作△ABC绕点A顺时针旋转一定角度后，顶点仍在格点上的△AB′C′．

【考点】作图—旋转变换
【分析】（1）分别作出A，B，C的对应点A′，B′，C′即可．
（2）根据，，AC=5，利用数形结合的思想解决问题即可．
【解答】解：（1）如图1中，△A′B′C′即为所求．
（2）如图2中，△AB′C′即为所求．

【点评】本题考查作图旋转变换，解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
【例8】（2020•北京4/28）下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】轴对称图形；中心对称图形．
【答案】D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，不合题意；
D、既是中心对称图形，又是轴对称图形，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查中心对称图形和轴对称图形的知识，关键是掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180°后与原图重合．
知识点4：坐标系中对称点的特征


知识点梳理

1. 关于x轴对称的点的特征：两个点关于x轴对称时，它们的坐标中，x相等，y的符号相反，即点P（x，y）关于x轴的对称点为P′（x，-y）.
2. 关于y轴对称的点的特征：两个点关于y轴对称时，它们的坐标中，y相等，x的符号相反，即点P（x，y）关于y轴的对称点为P′（-x，y）.
3. 关于原点对称的点的特征：两个点关于原点对称时，它们的坐标的符号相反，即点P（x，y）关于原点的对称点为P′（-x，-y）.
典型例题

【例9】（2020•广东3/25）在平面直角坐标系中，点（3，2）关于x轴对称的点的坐标为（ ）
A．（-3，2） B．（-2，3） C．（2，-3） D．（3，-2）
【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标
【分析】根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”解答即可．
【解答】解：点（3，2）关于x轴对称的点的坐标为（3，-2）．
故选：D．
【点评】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
【例10】（2019·河南省10/23）如图，在△OAB中，顶点O（0，0），A（﹣3，4），B（3，4），将△OAB与正方形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第70次旋转结束时，点D的坐标为（　　）

A．（10，3） B．（﹣3，10） C．（10，﹣3） D．（3，﹣10）
【考点】规律型：点的坐标；坐标与图形变化﹣旋转．
【分析】先求出AB＝6，再利用正方形的性质确定D（﹣3，10），由于70＝4×17+2，所以第70次旋转结束时，相当于△OAB与正方形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转2次，每次旋转90°，此时旋转前后的点D关于原点对称，于是利用关于原点对称的点的坐标特征可出旋转后的点D的坐标．
【解答】解：∵A（﹣3，4），B（3，4），
∴AB＝3+3＝6，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AD＝AB＝6，
∴D（﹣3，10），
∵70＝4×17+2，
∴每4次一个循环，第70次旋转结束时，相当于△OAB与正方形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转2次，每次旋转90°，
∴点D的坐标为（3，﹣10）．
故选：D．
【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．
知识点5： 相似三角形


知识点梳理

1．比例的有关概念和性质：
（1）线段的比：在同一 单位长度 下，两条线段的长度之比，叫做两条线段的比．
（2）表示两个比相等的式子叫作比例式，简称比例．
（3）第四比例项：若或a:b=c:d，那么d叫作a、b、c的第四比例项．
（4）比例中项：若或a:b=b:c，b叫作a，c的比例中项．
（5）成比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于 另外两条线段 的比，那么这四条线段叫做成比例线段．
（6）比例的基本性质：．
（7）合比性质：．
（8）等比性质：．
（9）黄金分割：若线段AB上的一点P，把线段AB分成AP、BP两部分，并且使，即较长线段（AP）是原线段AB与较短线段（BP）的比例中项，就叫作把这条线段黄金分割．即AP2=AB·BP，．一条线段的黄金分割点有两个．
（10）平行线分线段成比例定理：
①三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
②平行于三角形一边截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．
③如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．
④平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例．
2．相似三角形：
（1）定义：如果两个三角形的对应角 相等 ，对应边 成比例 ，那么这两个三角形叫做相似三角形．
相似比：相似三角形的对应边的比，叫做两个相似三角形的相似比．
（2）相似三角形的性质：
①对应角相等．
②对应边 成比例 ．
③对应高、对应中线、对应角平分线的比都等于相似比．
④周长之比等于 相似比 ．
⑤面积之比等于相似比的平方．
（3）相似三角形的判定：
①平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所截得的三角形与原三角形相似．
②两角对应相等，两三角形相似．
③两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．
④三边对应成比例，两三角形相似．
⑤两个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似．
⑥直角三角形中被斜边上的高分成的两个三角形都与原三角形相似．
3．相似多边形的性质：
（1）相似多边形对应角相等，对应边成比例．
（2）相似多边形周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方．
4．图形的位似：
（1）定义：如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，这样的图形叫做位似图形．这个点叫做位似中心．
（2）性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比．
典型例题

【例11】（2020•吉林12/26）如图，AB∥CD∥EF．若，BD=5，则DF= ．

【考点】平行线分线段成比例
【分析】利用平行线分线段成比例定理得到，然后根据比例性质求DF的长．
【解答】解：∵AB∥CD∥EF，
∴，
∴DF=2BD=2×5=10．
故答案为10．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
【例12】（2020•通辽22/26）如图，⊙O的直径AB交弦（不是直径）CD于点P，且PC2=PB·PA，求证：AB⊥CD．

【考点】圆周角定理；相似三角形的判定与性质
【分析】连接AC、BC，如图，根据圆周角定理得到∠A=∠D，∠C=∠B，则可判断△APC∽△BPD，利用相似比得到PC·PD=PA·PB ，利用PC2=PB·PA 得到PC=PD，然后根据垂径定理得到结论．
【解答】证明：连接AC、BC，如图，

∵∠A=∠D，∠C=∠B，
∴△APC∽△BPD，
∴PC：PB=PA：PD，
∴PC·PD=PA·PB，
∵PC2=PB·PA，
∴PC=PD，
∵AB为直径，
∴AB⊥CD．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形，灵活运用相似三角形的性质表示线段之间的关系；也考查了圆周角定理和垂径定理．
【例13】（2020•上海14/25）《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图所示，在井口B处立一根垂直于井口的木杆BD，从木杆的顶端D观察井水水岸C，视线DC与井口的直径AB交于点E，如果测得AB=1.6米，BD=1米，BE=0.2米，那么井深AC为 米．

【考点】相似三角形的应用
【分析】根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【解答】解：∵BD⊥AB，AC⊥AB，
∴BD∥AC，
∴△ACE∽△BDE，
∴，
∴，
∴AC=7（米），
答：井深AC为7米．
【点评】本题考查了相似三角形的应用，正确地识别图形是解题的关键．
【例14】（2020•重庆B卷6/26）如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心．已知OA：OD=1：2，则△ABC与△DEF的面积比为（ ）

A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：5
【考点】位似变换
【分析】根据位似图形的概念求出△ABC与△DEF的相似比，根据相似三角形的性质计算即可．
【解答】解：∵△ABC与△DEF是位似图形，OA：OD=1：2，
∴△ABC与△DEF的位似比是1：2．
∴△ABC与△DEF的相似比为1：2，
∴△ABC与△DEF的面积比为1：4，
故选：C．
【点评】本题考查的是位似图形的概念、相似三角形的性质，掌握位似的两个三角形是相似三角形、相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
巩固训练

1.（2019•苏州）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AC＝4，BD＝16，将△ABO沿点A到点C的方向平移，得到△A′B′O′，当点A′与点C重合时，点A与点B′之间的距离为(　　)
A. 6 B. 8 C. 10 D. 12

2.（2020•呼和浩特1/24）下面四幅图是我国传统文化与艺术中的几个经典图案，其中不是轴对称图形的是　　
A． B．
C． D．
3.（2020•重庆A卷2/26）下列图形是轴对称图形的是　　
A． B．
C． D．
4.（2020•天津4/25）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是　　
A． B． C． D．
5.（2020•吉林19/26）图①、图②、图③都是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．，，均为格点．在给定的网格中，按下列要求画图：

（1）在图①中，画一条不与重合的线段，使与关于某条直线对称，且，为格点．
（2）在图②中，画一条不与重合的线段，使与关于某条直线对称，且，为格点．
（3）在图③中，画一个△，使△与△关于某条直线对称，且，，为格点．
6.（2020•山西22/23）综合与实践
问题情境：
如图①，点为正方形内一点，，将Rt△ABE绕点按顺时针方向旋转，得到△（点的对应点为点．延长交于点，连接．
猜想证明：
（1）试判断四边形的形状，并说明理由；
（2）如图②，若，请猜想线段与的数量关系并加以证明；
解决问题：
（3）如图①，若，，请直接写出的长．

7.（2020•天津11/25）如图，在△中，，将△绕点顺时针旋转得到△，使点的对应点恰好落在边上，点的对应点为，延长交于点，则下列结论一定正确的是　　

A． B． C． D．
8.（2020•宁夏13/26）如图，直线与轴、轴分别交于、两点，把△绕点逆时针旋转后得到△，则点的坐标是 ．

9.（2020•安徽16/23）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了以格点（网格线的交点）为端点的线段，线段在网格线上．
（1）画出线段关于线段所在直线对称的线段（点，分别为，的对应点）；
（2）将线段绕点顺时针旋转得到线段，画出线段．

10.（2020•重庆B卷26/26）△ABC为等边三角形，，于点，为线段上一点，．以为边在直线右侧构造等边三角形，连接，为的中点．
（1）如图1，与交于点，连接，求线段的长；
（2）如图2，将△AEF绕点逆时针旋转，旋转角为，为线段的中点，连接，．当时，猜想的大小是否为定值，并证明你的结论；
（3）连接，在△AEF绕点逆时针旋转过程中，当线段最大时，请直接写出△ADN的面积．

11.（2020•河北10/26）如图，将△绕边的中点顺时针旋转．嘉淇发现，旋转后的△与△构成平行四边形，并推理如下：

小明为保证嘉淇的推理更严谨，想在方框中“，”和“四边形”之间作补充，下列正确的是　　

A．嘉淇推理严谨，不必补充 B．应补充：且
C．应补充：且∥ D．应补充：且
12.（2020•兴安盟•呼伦贝尔3/26）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是　　
A． B． C． D．
13.（2020•福建4/25）下列给出的等边三角形、平行四边形、圆及扇形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是　　
A． B．
C． D．
14.（2019•呼和浩特9/25）已知正方形的对称中心在坐标原点，顶点A、B、C、D按逆时针依次排列，若A点的坐标为（2，），则B点与D点的坐标分别为（　　）
A．（﹣2，），（2，﹣） B．（﹣，2），（，﹣2）
C．（﹣，2），（2，﹣） D．（，）（，）
15.（2020•兴安盟•呼伦贝尔24/26）如图，⊙O是△ABC的外接圆，直线与⊙O相切于点，EG∥BC，连接交于点．
（1）求证：平分；
（2）若的平分线交于点，且，，求的长．

16.（2020•通辽9/26）如图，交双曲线于点，且，若矩形的面积是8，且AB∥x轴，则的值是　　

A．18 B．50 C．12 D．
17.（2020•包头11/26）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于点A和点B，C是线段AB上一点．过点C作CD⊥x轴，垂足为D，CE⊥y轴，垂足为E，S△BEC：S△CDA＝4：1，若双曲线y＝（x＞0）经过点C，则k的值为（　　）

A． B． C． D．
18.（2020•鄂尔多斯23/24）（1）【操作发现】
如图1，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上．
①请按要求画图：将△ABC绕点A顺时针方向旋转90°，点B的对应点为点B′，点C的对应点为点C′．连接BB′；
②在①中所画图形中，∠AB′B＝ °．
（2）【问题解决】
如图2，在Rt△ABC中，BC＝1，∠C＝90°，延长CA到D，使CD＝1，将斜边AB绕点A顺时针旋转90°到AE，连接DE，求∠ADE的度数．
（3）【拓展延伸】
如图3，在四边形ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，∠BAE＝∠ADC，BE＝CE＝1，CD＝3，AD＝kAB（k为常数），求BD的长（用含k的式子表示）．

19.（2020•吉林13/26）如图，在△ABC中，，分别是边，的中点．若△ADE的面积为，则四边形的面积为 ．

20.（2020•海南11/22）如图，在□ABCD中，，，的平分线交于点，交的延长线于点，于点，若，则△CEF的周长为（ ）

A．16 B．17 C．24 D．25
21.（2020•海南12/22）如图，在矩形中，，，点、在边上，和交于点，若，则图中阴影部分的面积为　　

A．25 B．30 C．35 D．40
22.（2020•福建3/25）如图，面积为1的等边三角形中，，，分别是，，的中点，则△DEF的面积是　　

A．1 B． C． D．
23.（2020•福建23/25）如图，为线段外一点．
（1）求作四边形，使得CD∥AB，且；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的四边形中，，相交于点，，的中点分别为，，求证：，，三点在同一条直线上．

24.（2020•上海18/25）在矩形中，，，点在对角线上，⊙O的半径为2，如果⊙O与矩形的各边都没有公共点，那么线段长的取值范围是 ．
25.（2020•山西15/23）如图，在Rt△ABC中，，，，，垂足为，为的中点，与交于点，则的长为 ．

26.（2020•河南9/23）如图，在△ABC中，，边在轴上，顶点，的坐标分别为和．将正方形沿轴向右平移，当点落在边上时，点的坐标为　　

A．， B． C．， D．
27.（2020•山西5/23）泰勒斯是古希腊时期的思想家，科学家，哲学家，他最早提出了命题的证明．泰勒斯曾通过测量同一时刻标杆的影长，标杆的高度，金字塔的影长，推算出金字塔的高度，这种测量原理，就是我们所学的　　

A．图形的平移 B．图形的旋转 C．图形的轴对称 D．图形的相似
28.（2020•河北8/26）在如图所示的网格中，以点为位似中心，四边形的位似图形是　　

A．四边形 B．四边形 C．四边形 D．四边形
29.（2020•宁夏17/26）在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别是，，．
（1）画出△ABC关于轴成轴对称的△；
（2）画出△ABC以点为位似中心，位似比为的△．

30.（2020•重庆A卷8/26）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是，，，以原点为位似中心，在原点的同侧画△DEF，使△DEF与△ABC成位似图形，且相似比为，则线段的长度为　　

A． B．2 C．4 D．
巩固训练解析

1.（2019•苏州）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AC＝4，BD＝16，将△ABO沿点A到点C的方向平移，得到△A′B′O′，当点A′与点C重合时，点A与点B′之间的距离为(　　)
A. 6 B. 8 C. 10 D. 12

【答案】C．　
【解答】∵四边形ABCD是菱形，AC＝4，BD＝16，∴AC⊥BD，AO＝CO＝2，BO＝DO＝8.∵将△ABO沿AC方向平移得到△A′B′O′，∴B′O′⊥AO′，∵点C与点A′重合，∴CO′＝A′O′＝AO＝2，B′O′＝BO＝8，∴AO′＝6，在Rt△AB′O′中，由勾股定理得AB′＝＝10.
2.（2020•呼和浩特1/24）下面四幅图是我国传统文化与艺术中的几个经典图案，其中不是轴对称图形的是　　
A． B．
C． D．
【考点】轴对称图形
【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴可得答案．
【解答】解：A、是轴对称图形，故此选项不合题意；
B、是轴对称图形，故此选项不合题意；
C、是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D、不是轴对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
【点评】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的概念．
3.（2020•重庆A卷2/26）下列图形是轴对称图形的是　　
A． B．
C． D．
【考点】轴对称图形
【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：B、C、D都不是轴对称图形，A是轴对称图形，
故选：A．
【点评】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的概念，找出图形的对称轴．
4.（2020•天津4/25）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是　　
A． B． C． D．
【考点】轴对称图形
【分析】直接利用轴对称图形的性质分析得出答案．
【解答】解：A、不是轴对称图形，不合题意；
B、不是轴对称图形，不合题意；
C、是轴对称图形，符合题意；
D、不是轴对称图形，不合题意；
故选：C．
【点评】此题主要考查了轴对称图形的性质，正确掌握相关定义是解题关键．
5.（2020•吉林19/26）图①、图②、图③都是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．，，均为格点．在给定的网格中，按下列要求画图：

（1）在图①中，画一条不与重合的线段，使与关于某条直线对称，且，为格点．
（2）在图②中，画一条不与重合的线段，使与关于某条直线对称，且，为格点．
（3）在图③中，画一个△，使△与△关于某条直线对称，且，，为格点．
【考点】作图轴对称变换
【分析】（1）根据对称性在图①中，画一条不与重合的线段与对称即可；
（2）根据对称性即可在图②中，画一条不与重合的线段与对称；
（3）根据对称性在图③中，画一个△，使△与△关于某条直线对称即可．
【解答】解：（1）如图①，即为所求；

（2）如图②，即为所求；
（3）如图③，△即为所求．
【点评】本题考查了作图轴对称变换，解决本题的关键是掌握轴对称性质．
6.（2020•山西22/23）综合与实践
问题情境：
如图①，点为正方形内一点，，将Rt△ABE绕点按顺时针方向旋转，得到△（点的对应点为点．延长交于点，连接．
猜想证明：
（1）试判断四边形的形状，并说明理由；
（2）如图②，若，请猜想线段与的数量关系并加以证明；
解决问题：
（3）如图①，若，，请直接写出的长．

【考点】四边形综合题
【分析】（1）由旋转的性质可得，，，由正方形的判定可证四边形是正方形；
（2）过点作于，由等腰三角形的性质可得，，由“”可得△≌△，可得，由旋转的性质可得，可得结论；
（3）利用勾股定理可求，再利用勾股定理可求的长．
【解答】解：（1）四边形是正方形，
理由如下：
将Rt△ABE绕点按顺时针方向旋转，
，，，
又，
四边形是矩形，
又，
四边形是正方形；
（2）；
理由如下：如图②，过点作于，

，，
，，
，
四边形是正方形，
，，
，
，
又，，
∴△≌△（AAS），
，
将Rt△ABE绕点按顺时针方向旋转，
，
四边形是正方形，
，
，
；
（3）如图①，过点作于，

四边形是正方形，
，
，，，
，
，
，
由（2）可知：，，
，
．
【点评】本题是四边形综合题，考查了正方形的判定和性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
7.（2020•天津11/25）如图，在△中，，将△绕点顺时针旋转得到△，使点的对应点恰好落在边上，点的对应点为，延长交于点，则下列结论一定正确的是　　

A． B． C． D．
【考点】旋转的性质
【分析】依据旋转可得，△≌△，再根据全等三角形的性质，即可得出结论．
【解答】解：由旋转可得，△≌△，
，故A选项错误，
，故B选项错误，
，故C选项错误，
，
又，
，
，
，即，故D选项正确，
故选：D．

【点评】本题主要考查了旋转的性质，解题时注意：旋转前、后的图形全等．
8.（2020•宁夏13/26）如图，直线与轴、轴分别交于、两点，把△绕点逆时针旋转后得到△，则点的坐标是　　．

【考点】一次函数图象上点的坐标特征；一次函数的性质；坐标与图形变化旋转
【分析】首先根据直线来求出点和点的坐标，的横坐标等于，而纵坐标等于，即可得出答案．
【解答】解：在中，令得，，
令，得，解得，
，，，
由旋转可得△≌△，，
，，，，
，
轴，
点的纵坐标为的长，即为；
横坐标为，
故点的坐标是，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了旋转的性质以及一次函数与坐标轴的交点问题，利用基本性质结合图形进行推理是解题的关键．
9.（2020•安徽16/23）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了以格点（网格线的交点）为端点的线段，线段在网格线上．
（1）画出线段关于线段所在直线对称的线段（点，分别为，的对应点）；
（2）将线段绕点顺时针旋转得到线段，画出线段．

【考点】作图旋转变换；作图轴对称变换
【分析】（1）分别作出，的对应点，即可．
（2）作出点的对应点即可．
【解答】解：（1）如图线段即为所求．
（2）如图，线段即为所求．

【点评】本题考查作图旋转变换，轴对称变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
10.（2020•重庆B卷26/26）△ABC为等边三角形，，于点，为线段上一点，．以为边在直线右侧构造等边三角形，连接，为的中点．
（1）如图1，与交于点，连接，求线段的长；
（2）如图2，将△AEF绕点逆时针旋转，旋转角为，为线段的中点，连接，．当时，猜想的大小是否为定值，并证明你的结论；
（3）连接，在△AEF绕点逆时针旋转过程中，当线段最大时，请直接写出△ADN的面积．

【考点】几何变换综合题
【分析】（1）如图1中，连接，．解直角三角形求出，再利用全等三角形的性质证明，利用三角形的中位线定理即可解决问题．
（2）结论：是定值．利用全等三角形的性质证明，再利用三角形的中位线定理，三角形的外角的性质证明即可．
（3）如图中，取的中点，连接，．首先证明当点在的延长线上时，的值最大，如图中，过点作于，设交于，连接．解直角三角形求出即可解决问题．
【解答】解：（1）如图1中，连接，．

∵△ABC是等边三角形，，
，，
，
，
，
，
∵△ABC，△AEF是等边三角形，
，，，
，
∴△BAE≌△CAF（SAS），
，
，，
．
（2）结论：是定值．

理由：连接，．同法可证△BAE≌△CAF（SAS），
，
，
，
，，
∴MN∥CF，
，
，，
∴DN∥BE，
，
，
．
（3）如图中，取的中点，连接，．

，，
，
，
，
，
当点在的延长线上时，的值最大，如图中，过点作于，设交于，连接．

，，
，
在Rt△HKN中，，，
，
．
【点评】本题属于几何变换综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
11.（2020•河北10/26）如图，将△绕边的中点顺时针旋转．嘉淇发现，旋转后的△与△构成平行四边形，并推理如下：

小明为保证嘉淇的推理更严谨，想在方框中“，”和“四边形”之间作补充，下列正确的是　　

A．嘉淇推理严谨，不必补充 B．应补充：且
C．应补充：且∥ D．应补充：且
【考点】平行四边形的判定；旋转的性质
【分析】根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形判定即可．
【解答】解：，，
四边形是平行四边形，
故应补充“”，
故选：B．
【点评】本题考查平行四边形的判定，旋转变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
12.（2020•兴安盟•呼伦贝尔3/26）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是　　
A． B． C． D．
【考点】轴对称图形；中心对称图形
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
故选：C．
【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
13.（2020•福建4/25）下列给出的等边三角形、平行四边形、圆及扇形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是　　
A． B．
C． D．
【考点】中心对称图形；轴对称图形
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A．等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形；
B．平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形；
C．圆既是轴对称图形又是中心对称图形；
D．扇形是轴对称图形，不是中心对称图形．
故选：C．
【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
14.（2019•呼和浩特9/25）已知正方形的对称中心在坐标原点，顶点A、B、C、D按逆时针依次排列，若A点的坐标为（2，），则B点与D点的坐标分别为（　　）
A．（﹣2，），（2，﹣） B．（﹣，2），（，﹣2）
C．（﹣，2），（2，﹣） D．（，）（，）
【解答】解：如图，连接OA、OD，过点A作 AF⊥x轴于点F，过点D作DE⊥x轴于点E，

易证△AFO≌△OED（AAS），
∴OE＝AF＝，DE＝OF＝2，
∴D（，﹣2），
∵B、D关于原点对称，
∴B（﹣，2），
故选：B．
15.（2020•兴安盟•呼伦贝尔24/26）如图，⊙O是△ABC的外接圆，直线与⊙O相切于点，EG∥BC，连接交于点．
（1）求证：平分；
（2）若的平分线交于点，且，，求的长．

【考点】切线的性质；三角形的外接圆与外心；相似三角形的判定与性质；圆周角定理
【分析】（1）连接，利用垂径定理、圆周角、弧、弦的关系证得结论；
（2）根据题意证明，得到的长，再证明△EBD∽△EAB得，求出，从而得到．
【解答】解：（1）连接．

直线与⊙O相切于，
，
∵l∥BC，
，
，
．
平分；
（2）如图：

平分，
，
，
，
平分，
，
，即，
，
，，
，
，，
∴△EBD∽△EAB，
，即，
，
．
【点评】本题考查了垂径定理，圆周角定理，圆周角、弧、弦的关系，相似三角形的判定和性质，掌握定理并熟练运用是解题必备的能力．
16.（2020•通辽9/26）如图，交双曲线于点，且，若矩形的面积是8，且AB∥x轴，则的值是　　

A．18 B．50 C．12 D．
【考点】矩形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征；反比例函数系数的几何意义
【分析】延长，交轴于，通过证得三角形相似求得△AOE的面积，根据反比例函数系数的几何意义，即可求得的值．
【解答】解：延长DA、交x轴于E，

∵四边形ABCD是矩形，且AB∥x轴，
∴∠CAB=∠AOE，
∴DE⊥x轴，CB⊥x轴，
∴∠AEO=∠ABC
∴△AOE ∽△CAB，
∴，
∵矩形ABCD的面积是8，OC：OA=5:3，
∴△ABC的面积为4，AC：OA=2:3，
∴，
∴S△AOE=9，
∵双曲线y=经过点A，
∴S△AOE=|k|=9，
∵k＞0，
∴k=18，
故选：A．
【点评】本题考查了反比例函数系数的几何意义，根据题意作出辅助线，构造出相似三角形是解答此题的关键．
17.（2020•包头11/26）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于点A和点B，C是线段AB上一点．过点C作CD⊥x轴，垂足为D，CE⊥y轴，垂足为E，S△BEC：S△CDA＝4：1，若双曲线y＝（x＞0）经过点C，则k的值为（　　）

A． B． C． D．
【考点】一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征；反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征．
【答案】A
【分析】根据直线y＝﹣x+3可求出与x轴、y轴交点A和点B的坐标，即求出OA、OB的长，再根据相似三角形可得对应边的比为1：2，设未知数，表示出长方形ODCE的面积，即求出k的值．
【解答】解：∵直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于点A和点B，
∴A（2，0），B（0，3），即：OA＝2，OB＝3；
∵S△BEC：S△CDA＝4：1，又△BEC∽△CDA，
∴，
设EC＝a＝OD，CD＝b＝OE，则AD＝a，BE＝2b，
有，OA＝2＝a+a，解得，a＝，
OB＝3＝3b，解得，b＝1，
∴k＝ab＝，
故选：A．

【点评】本题考查反比例函数、一次函数的图象上点的坐标特征，求出点的坐标和线段的长是正确求解的关键．
18.（2020•鄂尔多斯23/24）（1）【操作发现】
如图1，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上．
①请按要求画图：将△ABC绕点A顺时针方向旋转90°，点B的对应点为点B′，点C的对应点为点C′．连接BB′；
②在①中所画图形中，∠AB′B＝　45　°．
（2）【问题解决】
如图2，在Rt△ABC中，BC＝1，∠C＝90°，延长CA到D，使CD＝1，将斜边AB绕点A顺时针旋转90°到AE，连接DE，求∠ADE的度数．
（3）【拓展延伸】
如图3，在四边形ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，∠BAE＝∠ADC，BE＝CE＝1，CD＝3，AD＝kAB（k为常数），求BD的长（用含k的式子表示）．

【考点】几何变换综合题．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）①根据旋转角，旋转方向画出图形即可．
②只要证明△ABB′是等腰直角三角形即可．
（2）如图2，过点E作EH⊥CD交CD的延长线于H．证明△ABC≌△EAH（AAS）即可解决问题．
（3）如图3中，由AE⊥BC，BE＝EC，推出AB＝AC，将△ABD绕点A逆时针旋转得到△ACG，连接DG．则BD＝CG，只要证明∠GDC＝90°，可得CG＝，由此即可解决问题．
【解答】解：（1）①如图，△AB′C′即为所求．

②由作图可知，△ABB′是等腰直角三角形，
∴∠AB′B＝45°，
故答案为45．
（2）如图2中，过点E作EH⊥CD交CD的延长线于H．

∵∠C＝∠BAE＝∠H＝90°，
∴∠B+∠CAB＝90°，∠CAB+∠EAH＝90°，
∴∠B＝∠EAH，
∵AB＝AE，
∴△ABC≌△EAH（AAS），
∴BC＝AH，EH＝AC，
∵BC＝CD，
∴CD＝AH，
∴DH＝AC＝EH，
∴∠EDH＝45°，
∴∠ADE＝135°．
（3）如图③中，连接AC，
∵AE⊥BC，BE＝EC，
∴AB＝AC，
将△ABD绕点A逆时针旋转得到△ACG，连接DG．则BD＝CG，

∵∠BAD＝∠CAG，
∴∠BAC＝∠DAG，
∵AB＝AC，AD＝AG，
∴∠ABC＝∠ACB＝∠ADG＝∠AGD，
∴△ABC∽△ADG，
∵AD＝kAB，
∴DG＝kBC＝2k，
∵∠BAE+∠ABC＝90°，∠BAE＝∠ADC，
∴∠ADG+∠ADC＝90°，
∴∠GDC＝90°，
∴CG＝＝．
∴BD＝CG＝．
【点评】本题属于几何变换综合题，考查了等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用旋转法添加辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题．
19.（2020•吉林13/26）如图，在△ABC中，，分别是边，的中点．若△ADE的面积为，则四边形的面积为　　．

【考点】三角形中位线定理；三角形的面积
【分析】根据三角形中位线定理得到DE∥BC，，证明△ADE ∽△ABC，根据相似三角形的性质求出△ABC的面积，即可得到答案．
【解答】解：，分别是△ABC的边，的中点，
是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，，
∴△ADE ∽△ABC，
，
∵△ADE的面积为，
∴△ABC的面积为2，
四边形的面积，
故答案为：．
【点评】本题考查的是三角形中位线定理、相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
20.（2020•海南11/22）如图，在□ABCD中，，，的平分线交于点，交的延长线于点，于点，若，则△CEF的周长为（ ）

A．16 B．17 C．24 D．25
【考点】平行四边形的性质；等腰三角形的判定与性质；相似三角形的判定与性质
【分析】先计算出△ABE的周长，然后根据相似比的知识进行解答即可．
【解答】解：∵在□ABCD中，CD=AB=10，BC=AD=15，∠BAD的平分线交BC于点E，
∴AB∥DC，∠BAF=∠DAF，
∴∠BAF=∠F，
∴∠DAF=∠F，
∴DF=AD=15，
同理BE=AB=10，
∴CF=DF-CD=15-10=5；
∴在△ABG中，BG⊥AE，AB=10，BG=8，可得：AG=6，
∴AE=2AG=12，
∴△ABE的周长等于10+10+12=32，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴△CEF∽△BEA，相似比为5:10=1:2，
∴△CEF的周长为16．
故选：A．

【点评】本题意在综合考查平行四边形、相似三角形和勾股定理等知识的掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对数学中的数形结合思想的考查，相似三角形的周长比等于相似比，难度较大．
21.（2020•海南12/22）如图，在矩形中，，，点、在边上，和交于点，若，则图中阴影部分的面积为　　

A．25 B．30 C．35 D．40
【考点】相似三角形的判定与性质；矩形的性质
【分析】过点作于，延长交于，通过证明△EFG∽△CBG，可得，可求，的长，由面积的和差关系可求解．
【解答】解：过点G作GN⊥AD于N，延长NG交BC于M，

∵四边形ABCD是矩形，
∴AD =BC，AD∥BC，
∵EF=AD，
∴EF=BC，
∵AD∥BC，GN⊥AD，
∴△EFG∽△CBG，GM⊥BC，
∴GN：GM=EF：BC=1:2，
又∵MN=BC=6，
∴GN=2，GM=4，
∴S△BCG=×10×4=20，
∴S△EFG=×5×2=5，S矩形ABCD=6×10=60，
∴S阴影=60-20-5=35．
故选：C．
【点评】本题主要考查了相似三角形的性质，求出阴影部分的面积可以转化为几个规则图形的面积的和或差的关系．
22.（2020•福建3/25）如图，面积为1的等边三角形中，，，分别是，，的中点，则△DEF的面积是　　

A．1 B． C． D．
【考点】三角形中位线定理；等边三角形的性质
【分析】根据三角形的中位线定理和相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【解答】解：∵D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，
∴DE=AC，DF=BC，EF=AB，
∴，
∴△DEF∽△ABC，
∴，
∵等边三角形ABC的面积为1，
∴△DEF的面积是，
故选：D．
【点评】本题考查了三角形中位线定理，等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握三角形的中位线定理是解题的关键．
23.（2020•福建23/25）如图，为线段外一点．
（1）求作四边形，使得CD∥AB，且；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的四边形中，，相交于点，，的中点分别为，，求证：，，三点在同一条直线上．

【考点】相似三角形的判定与性质；作图复杂作图
【分析】（1）利用尺规作图作，且，即可作出四边形；
（2）在（1）的四边形中，根据相似三角形的判定与性质即可证明，，三点在同一条直线上．
【解答】解：（1）如图，四边形ABCD即为所求；

（2）证明：如图，

∵CD∥AB，
∴∠ABP=∠CDP，∠BAP=∠DCP，
∴△ABP∽△CDP，
∴，
∵AB，CD的中点分别为M，N，
∴AB=2AM，CD =2CN，
∴，
连接MP，NP，
∵∠BAP=∠DCP，
∴△APM∽△CPN，
∴∠APM=∠CPN，
∵点P在AC上，
∴∠APM+∠CPM=180°，
∴∠CPN+∠CPM=180°，
∴M，P，N三点在同一条直线上．
【点评】本题考查了作图复杂作图、相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握相似三角形的判定与性质．
24.（2020•上海18/25）在矩形中，，，点在对角线上，⊙O的半径为2，如果⊙O与矩形的各边都没有公共点，那么线段长的取值范围是　　．
【考点】直线与圆的位置关系；矩形的性质
【分析】根据勾股定理得到，如图1，设⊙O与边相切于，连接，如图2，设⊙O与边相切于，连接，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：在矩形中，，，，
，
如图1，设⊙O与边相切于，连接，

则，
，
∴△AOE∽△ACD，
，
，
，
如图2，设⊙O与边相切于，连接，

则，
，
∴△COF∽△CAB，
，
，
，
，
如果⊙O与矩形的各边都没有公共点，那么线段长的取值范围是，
故答案为：．
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，正确的作出图形是解题的关键．
25.（2020•山西15/23）如图，在Rt△ABC中，，，，，垂足为，为的中点，与交于点，则的长为　　．

【考点】勾股定理；相似三角形的判定与性质
【分析】如图，过点作于．首先证明，设，，根据，构建方程求解即可．
【解答】解：如图，过点F作FH⊥AC于H．

在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4，
∴AB=，
∵CD⊥AB，
∴S△ABC=·AC·BC=·AB·CD，
∴CD=，AD=，
∴FH∥EC，
∴，
∵EC=EB=2，，
∴，设FH=2k，AH=3k，CH=3-3k，
∵tan∠FCH=，
∴，
∴k=，
∴FH=，CH=3-，
∴CF=，
∴DF=，
故答案为．
【点评】本题考查解直角三角形，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
26.（2020•河南9/23）如图，在△ABC中，，边在轴上，顶点，的坐标分别为和．将正方形沿轴向右平移，当点落在边上时，点的坐标为　　

A．， B． C．， D．
【考点】正方形的性质；坐标与图形变化平移
【分析】根据已知条件得到，，，求得，根据正方形的性质得到，求得，根据相似三角形的性质得到，于是得到结论．
【解答】解：如图，设正方形D′C′O′E′是正方形OCDE沿x轴向右平移后的正方形，

∵顶点A，B的坐标分别为（-2，6）和（7，0），
∴AC=6，OC=2，OB=7，
∴BC=9，
∵四边形OCDE是正方形，
∴DE=OC=OE=2，
∴O′E′= O′C′=2
∵E′O′⊥BC，
∴∠BO′E′=∠BCA=90°，
∴E′O′∥AC，
∴△BO′E′∽△BCA，
∴，
∴，
∴BO′=3，
∴OC′=7-2-3=2，
∴当点E落在AB边上时，点D的坐标为（2，2），
故选：B．
【点评】本题考查了正方形的性质，坐标与图形性质，相似三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．
27.（2020•山西5/23）泰勒斯是古希腊时期的思想家，科学家，哲学家，他最早提出了命题的证明．泰勒斯曾通过测量同一时刻标杆的影长，标杆的高度，金字塔的影长，推算出金字塔的高度，这种测量原理，就是我们所学的　　

A．图形的平移 B．图形的旋转 C．图形的轴对称 D．图形的相似
【考点】平行投影；几何变换的类型；轴对称图形；相似三角形的应用
【分析】根据图形的变换和相似三角形的应用等知识直接回答即可．
【解答】解：泰勒斯曾通过测量同一时刻标杆的影长，标杆的高度，金字塔的影长，推算出金字塔的高度，这种测量原理，就是我们所学的图形的相似，
故选：D．
【点评】考查了相似三角形的应用、图形的变换等知识，解题的关键是了解物高与影长成正比，难度不大．
28.（2020•河北8/26）在如图所示的网格中，以点为位似中心，四边形的位似图形是　　

A．四边形 B．四边形 C．四边形 D．四边形
【考点】位似变换
【分析】由以点为位似中心，确定出点对应点，设网格中每个小方格的边长为1，则，，，，，，，，，，由，得点对应点，点对应点，点对应点，即可得出结果．
【解答】解：以点为位似中心，
点对应点，
设网格中每个小方格的边长为1，
则，，，，，，，，，，
，
点对应点，点对应点，点对应点，
以点为位似中心，四边形的位似图形是四边形，
故选：A．
【点评】本题考查了位似变换、勾股定理等知识；熟练掌握位似中心，找出点对应点是解题的关键．
29.（2020•宁夏17/26）在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别是，，．
（1）画出△ABC关于轴成轴对称的△；
（2）画出△ABC以点为位似中心，位似比为的△．

【考点】作图轴对称变换；作图位似变换
【分析】（1）将△ABC的各个点关于轴的对称点描出，连接即可．
（2）在△ABC同侧和对侧分别找到，，所对应的，，的坐标，连接即可．
【解答】解：（1）由题意知：△ABC的三个顶点的坐标分别是，，，
则△ABC关于轴成轴对称的△的坐标为，，，
连接，，
得到△．
如图所示△为所求；
（2）由题意知：位似中心是原点，
则分两种情况：
第一种，△和△ABC在同一侧
则，，，
连接各点，得△．
第二种，△在△ABC的对侧
，，，
连接各点，得△．
综上所述：如图所示△为所求；

【点评】本题主要考查了位似中心、位似比和轴对称相关知识点，正确掌握位似中心、位似比的概念及应用是解题的关键．
30.（2020•重庆A卷8/26）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是，，，以原点为位似中心，在原点的同侧画△DEF，使△DEF与△ABC成位似图形，且相似比为，则线段的长度为　　

A． B．2 C．4 D．
【考点】位似变换；坐标与图形性质
【分析】把、的横纵坐标都乘以2得到、的坐标，然后利用两点间的距离公式计算线段的长．
【解答】解：以原点为位似中心，在原点的同侧画△DEF，使△DEF与△ABC成位似图形，且相似比为，
而，，
，，
．