重庆市中考数学一轮复习-专题03 因式分解（讲义）

2021年中考数学一轮专题复习
学案03 因式分解

中考命题说明


考点
课标要求
考查角度
1
因式
分解
①理解因式分解的概念；
②会用提公因式法、公式法等方法进行因式分解．
考查因式分解的两种方法．
以选择题、填空题为主．

思维导图



知识点1：因式分解的概念

知识点梳理


因式分解的定义:把一个多项式化成几个整式的 　积　的形式，这样的变形叫做这个多项式的因式分解． 
典型例题

【例1】（2020•河北3/26）对于①x-3xy = x(1-3y)，②(x+3)(x-1) = x2+2x-3，从左到右的变形，表述正确的是（ ）
A．都是因式分解 B．都是乘法运算
C．①是因式分解，②是乘法运算 D．①是乘法运算，②是因式分解
【考点】因式分解—提公因式法；因式分解的意义；多项式乘多项式
【分析】根据因式分解的定义（把一个多项式化成几个整式积的形式，叫因式分解，也叫分解因式）判断即可．
【解答】解：①x-3xy = x(1-3y)，从左到右的变形是因式分解；
②(x+3)(x-1) = x2+2x-3，从左到右的变形是整式的乘法，不是因式分解；
所以①是因式分解，②是乘法运算．
故选：C．
【点评】此题考查了因式分解．解题的关键是掌握因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解．
【例2】下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（ ）
A．x（a–b）＝ax–bx B．x2–1+y2＝（x–1）（x+1）+y2
C．x2–1＝（x+1）（x–1） D．ax+bx+c＝x（a+b+c）
【分析】A．等号右边不是几个整式乘积的形式，故不是因式分解；
B．等号右边不是几个整式乘积的形式，故不是因式分解；
C．等号右边是几个整式乘积的形式，且变形正确，左右两边相等，故是因式分解；
D．左右两边不相等，故不是因式分解.
【答案】C．

知识点2：因式分解的方法与步骤

知识点梳理


1.一般方法：
（1）提公因式法：
用字母表示：ma＋mb＋mc＝m(a＋b＋c)．
公因式的确定：取各项系数的最大公约数，取各项相同的因式及其最低次幂．
（2）运用公式法：
①a2－b2＝(a＋b)(a－b)；
②a2±2ab＋b2＝(a±b)2．
（3）十字相乘法：x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)．
（4）分组分解法：先分组，再提公因式或运用公式．
2.一般步骤：一提（提公因式）；二套（套公式）；三验（检验是否分解彻底）．
典型例题

利用提公因式法分解因式
【例3】（2020•海南13/22）因式分解：x2-2x = ．
【考点】因式分解—提公因式法
【分析】原式提取x即可得到结果．
【解答】解：原式= x(x-2)，
故答案为：x(x-2)
【点评】此题考查了因式分解—提公因式法，熟练掌握提取公因式的方法是解本题的关键．
【例4】把–6x3y2–3x2y2+8x2y3因式分解时，应提的公因式是（ ）
A．–3x2y2 B．–2x2y2 C．6x2y2 D．–x2y2
【分析】–6x3y2–3x2y2+8x2y3＝–x2y2（6x+3–8y）．
故把–6x3y2–3x2y2+8x2y3因式分解时，应提的公因式是：–x2y2．
故选D．
【答案】D
利用平方差公式分解因式
【例5】分解因式：（2x+y）2–（x+2y）2．
【解答】解：原式＝（2x+y+x+2y）（2x+y–x–2y）＝（3x+3y）（x–y）＝3（x+y）（x–y）．
【答案】3（x+y）（x–y）．
利用完全平方公式分解因式
【例6】下列各式能用完全平方公式进行分解因式的是（ ）
A．x2 ＋1 B．x2＋2x－1
C．x2＋x＋1 D．x2＋4x＋4
【分析】A．不符合完全平方公式的结构，不能用完全平方公式分解因式；
B．不符合完全平方公式的结构，不能用完全平方公式分解因式；
C．不符合完全平方公式的结构，不能完全平方公式分解因式；
D．符合完全平方公式的结构，能用完全平方公式分解因式；
故选D．
【答案】D．
利用十字相乘法分解因式
【例7】已知二次三项式x2+bx+c分解因式为（x–3）（x+1），则b+c的值为（ ）
A．1 B．–1 C．–5 D．5
【分析】∵二次三项式x2+bx+c分解因式为（x–3）（x+1），
∴x2+bx+c＝（x–3）（x+1）＝x2–2x–3，∴b＝–2，c＝–3，故b+c＝–5．故选C．
【答案】C．
【例8】分解因式：x2–2x–24= ．
【分析】x2–2x–24＝（x–6）（x+4）．
【答案】（x–6）（x+4）．
利用分组分解法分解因式
【例9】因式分解：x2 – y2 –2x+2y
【分析】利用分组分解法分解，先分别分解前两项和后两项，再提取公因式x–y即可.
【答案】x2 – y2–2x+2y = (x2 – y2 )–( 2x–2y )
= ( x+y ) ( x –y ) –2 ( x–y )
= ( x–y ) ( x+y–2 ) ．
几种方法的综合运用
【例10】（2020•宁夏9/26）分解因式：3a2-6a+3= ．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用
【分析】首先提取公因式3，进而利用完全平方公式分解因式得出答案．
【解答】解：原式=3(a2-2a+1)=3(a-1)2．
故答案为：3(a-1)2．
【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用乘法公式是解题关键．
【例11】（2020•新疆兵团11/23）分解因式：am2-an2 = ．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用
【分析】原式提取a，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式= a(m2-n2 )= a(m+n)(m-n)，
故答案为：a(m+n)(m-n)
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
【例12】在实数范围内分解因式：a3–3a．
【答案】原式＝a（a2–3）＝a（a）（a）．
巩固训练

1.（2020•广东11/25）分解因式： ．
2.（2020•吉林7/26）分解因式： ．
3.分因式分解：a2﹣2a= ．
4.分因式分解：3a2﹣6a= ．
5.分解因式：2a2－6a=　 ．
6.若a=2，a－2b=3，则2a2－4ab的值为　 　．
7.（2020•兴安盟•呼伦贝尔14/26）分解因式： ．
8.（2020•青海2/28）分解因式： ；不等式组的整数解为　　 ．
9.（2020•安徽12/23）分解因式： ．
10.（2019•赤峰15/26）因式分解：x3﹣2x2y+xy2＝ ．
11.（2019·安徽9/23）已知三个实数a，b，c满足a﹣2b+c＝0，a+2b+c＜0，则（　　）
A．b＞0，b2﹣ac≤0 B．b＜0，b2﹣ac≤0
C．b＞0，b2﹣ac≥0 D．b＜0，b2﹣ac≥0
12.（2019•呼和浩特11/25）因式分解：x2y﹣4y3＝　 　．
13.（2018·呼和浩特11/25）分解因式：a2b﹣9b＝ ．
14.（2018·兴安盟·呼伦贝尔13/26）分解因式：a3 (x-3)+(3-x) a= ．
15.（2018·赤峰13/26）分解因式：2a2﹣8b2＝ ．
16.（2018·巴彦淖尔11/24）分解因式：8a2﹣8a3﹣2a＝ ．
17.分解因式：3x2－27 =　 ．
18.分解因式：x3y－2x2y+xy =　 　．
19.分解因式：ma2－mb2= ．
20.分解因式：3x2－12= ．
21.分解因式：x3－x = .
22.因式分解： x3y－xy= ．
23.分解因式：= ．
24.a﹣4ab2分解因式结果是　 ．
25.将（a﹣1）2﹣1分解因式，结果正确的是（　　）
A．a（a﹣1） B．a（a﹣2） C．（a﹣2）（a﹣1） D．（a﹣2）（a+1）
巩固训练解析

1.（2020•广东11/25）分解因式：　　．
【考点】因式分解—提公因式法
【分析】直接提取公因式，进而分解因式得出答案．
【解答】解：．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
2.（2020•吉林7/26）分解因式：　　．
【考点】因式分解提公因式法
【分析】直接把公因式提出来即可．
【解答】解：．
【点评】本题主要考查提公因式法分解因式，准确找出公因式是是解题的关键．
3.分因式分解：a2﹣2a= ．
【考点】因式分解-提公因式法．
【专题】 因式分解．
【分析】 先确定公因式是a，然后提取公因式即可．
【解答】解：a2﹣2a=a（a﹣2）．
故答案为：a（a﹣2）．
【点评】 本题考查因式分解，较为简单，找准公因式即可．
4.分因式分解：3a2﹣6a= ．
【考点】 因式分解-提公因式法．
【分析】 直接提取公因式3a，进而分解因式即可．
【解答】解：3a2﹣6a=3a（a﹣2）．
故答案为：3a（a﹣2）．
【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确得出公因式是解题关键．
5.分解因式：2a2－6a=　 ．
【考点】因式分解-提公因式法．
【分析】观察原式，找到公因式2a，提出即可得出答案．
【解答】解：2a2－6a=2a（a－3）．
故答案为：2a（a－3）．
【点评】此题主要考查了因式分解的基本方法一——提公因式法．本题只要将原式的公因式2a提出即可．
6.若a=2，a－2b=3，则2a2－4ab的值为　 　．
【考点】因式分解-提公因式法．21世纪教育
【分析】首先提取公因式2a，进而将已知代入求出即可．
【解答】解：∵a=2，a﹣2b=3，
∴2a2﹣4ab=2a（a﹣2b）=2×2×3=12．
故答案为：12．
【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确提取公因式是解题关键．
7.（2020•兴安盟•呼伦贝尔14/26）分解因式：　　．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用
【分析】先提取公因式，再根据平方差公式进行二次分解．平方差公式：．
【解答】解：

．
故答案为．
【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行二次分解，注意分解要彻底．
8.（2020•青海2/28）分解因式：　或　；不等式组的整数解为　　．
【考点】一元一次不等式组的整数解；提公因式法与公式法的综合运用
【分析】直接提取公因式，进而利用平方差公式分解因式即可；分别解不等式，进而得出不等式组的解集．
【解答】解：
；
或原式；
，
解①得：，
解②得：，
，
不等式的整数解为：2．
故答案为：或；2．
【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式和不等式组的解法，正确解不等式组是解题关键．
9.（2020•安徽12/23）分解因式：　　．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用
【分析】原式提取，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式，
故答案为：
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
10.（2019•赤峰15/26）因式分解：x3﹣2x2y+xy2＝　x（x﹣y）2　．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【分析】原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：原式＝x（x2﹣2xy+y2）＝x（x﹣y）2，
故答案为：x（x﹣y）2
【点评】此题考查了提公因式与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
11.（2019·安徽9/23）已知三个实数a，b，c满足a﹣2b+c＝0，a+2b+c＜0，则（　　）
A．b＞0，b2﹣ac≤0 B．b＜0，b2﹣ac≤0
C．b＞0，b2﹣ac≥0 D．b＜0，b2﹣ac≥0
【考点】因式分解的应用；不等式的性质．
【分析】根据a﹣2b+c＝0，a+2b+c＜0，可以得到b与a、c的关系，从而可以判断b的正负和b2﹣ac的正负情况，本题得以解决．
【解答】解：∵a﹣2b+c＝0，a+2b+c＜0，
∴a+c＝2b，b＝，
∴a+2b+c＝（a+c）+2b＝4b＜0，
∴b＜0，
∴b2-ac＝-ac＝-ac＝＝≥0，
即b＜0，b2﹣ac≥0，
故选：D．
【点评】本题考查因式分解的应用、不等式的性质，解答本题的关键是明确题意，判断出b和b2﹣ac的正负情况．
12.（2019•呼和浩特11/25）因式分解：x2y﹣4y3＝　 　．
【解答】解：原式＝y（x2﹣4y2）＝y（x﹣2y）（x+2y）．
故答案为：y（x﹣2y）（x+2y）．
13.（2018·呼和浩特11/25）分解因式：a2b﹣9b＝　b（a+3）（a﹣3）　．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【分析】首先提取公因式b，进而利用平方差公式分解因式即可．
【解答】解：a2b﹣9b
＝b（a2﹣9）
＝b（a+3）（a﹣3）．
故答案为：b（a+3）（a﹣3）．
【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练掌握公式法分解因式是解题关键．
14.（2018·兴安盟·呼伦贝尔13/26）分解因式：a3 (x-3)+(3-x) a= ．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用
【分析】直接提取公因式，进而利用平方差公式分解因式即可．
【解答】解：

．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．
15.（2018·赤峰13/26）分解因式：2a2﹣8b2＝　2（a﹣2b）（a+2b）　．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【分析】先提取公因式2，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
【解答】解：2a2﹣8b2，
＝2（a2﹣4b2），
＝2（a+2b）（a﹣2b）．
故答案为：2（a+2b）（a﹣2b）．
【点评】本题主要考查提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式，熟记公式是解题的关键，难点在于要进行二次分解因式．
16.（2018·巴彦淖尔11/24）分解因式：8a2﹣8a3﹣2a＝　﹣2a（2a﹣1）2　．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【分析】首先提取公因式﹣2a，进而利用完全平方公式分解因式即可．
【解答】解：8a2﹣8a3﹣2a
＝﹣2a（4a2﹣4a+1）
＝﹣2a（2a﹣1）2．
故答案为：﹣2a（2a﹣1）2．
【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用公式是解题关键．
17.分解因式：3x2－27 =　 ．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．.
【专题】因式分解．
【分析】观察原式3x2﹣27，找到公因式3，提出公因式后发现x2﹣9符合平方差公式，利用平方差公式继续分解．
【解答】解：3x2﹣27，
=3（x2﹣9），
=3（x+3）（x﹣3）．
故答案为：3（x+3）（x﹣3）．
【点评】本题主要考查提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式，熟记公式是解题的关键，难点在于要进行二次分解因式．
18.分解因式：x3y－2x2y+xy =　 　．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【专题】计算题．
【分析】原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：原式=xy（x2﹣2x+1）=xy（x﹣1）2．
故答案为：xy（x﹣1）2
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
19.分解因式：ma2－mb2= ．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【分析】应先提取公因式m，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
【解答】解：ma2﹣mb2，
=m（a2﹣b2），
=m（a+b）（a﹣b）．
【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，关键在于提取公因式后继续利用平方差公式进行因式分解．
20.分解因式：3x2－12= ．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．.
【分析】原式提取3，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式=3（x2﹣4）
=3（x+2）（x﹣2）．
故答案为：3（x+2）（x﹣2）．
【点评】本题考查因式分解．因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式．公式包括平方差公式与完全平方公式，要能用公式法分解必须有平方项，如果是平方差就用平方差公式来分解，如果是平方和需要看还有没有两数乘积的2倍，如果没有两数乘积的2倍还不能分解．解答这类题时一些学生往往因分解因式的步骤、方法掌握不熟练，对一些乘法公式的特点记不准确而误选其它选项．要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以提取公因式的要先提取公因式．
21.分解因式：x3－x = .
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．.
【专题】因式分解．
【分析】本题可先提公因式x，分解成x（x2﹣1），而x2﹣1可利用平方差公式分解．
【解答】解：x3﹣x，
=x（x2﹣1），
=x（x+1）（x﹣1）．
故答案为：x（x+1）（x﹣1）．
【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，先提取公因式后再利用平方差公式继续进行因式分解，分解因式一定要彻底．
22.因式分解： x3y－xy= ．
【解析】试题分析：首先提取公因式xy，再运用平方差公式进行二次分解．
y﹣xy=xy（﹣1）=xy（x+1）（x﹣1）．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用
23.分解因式：= ．
【考点】因式分解-运用公式法．.
【分析】直接利用平方差公式分解因式得出即可．
【解答】解：（a﹣b）2﹣4b2
=（a﹣b+2b）（a﹣b﹣2b）
=（a+b）（a﹣3b）．
故答案为：（a+b）（a﹣3b）．
【点评】此题主要考查了公式法分解因式，熟练应用平方差公式是解题关键．
24.a﹣4ab2分解因式结果是　 ．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【分析】首先提取公因式a，再利用平方差公式进行二次分解即可．
【解答】解：原式=a（1﹣4b2）=a（1﹣2b）（1+2b），
故答案为：a（1﹣2b）（1+2b）．
【点评】此题主要考查了提公因式法和公式法分解因式，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
25.将（a﹣1）2﹣1分解因式，结果正确的是（　　）
A．a（a﹣1） B．a（a﹣2） C．（a﹣2）（a﹣1） D．（a﹣2）（a+1）
【分析】原式利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式=（a﹣1+1）（a﹣1﹣1）
=a（a﹣2）．