数学九年级下册27.4 正多边形和圆一等奖ppt课件

教学目标

1.了解正多边形的有关概念，掌握用等分圆周画圆的内接正多边形的方法.

2.理解依次连结圆的n等分点所得的多边形是正n边形.

3.理解并掌握正多边形的半径和边长、边心距、中心角之间的关系，并解决正多边形和圆有关的计算问题.

教学重难点

重点：理解并掌握正多边形的半径和边长、边心距、中心角之间的关系.

难点：会应用正多边形和圆的有关知识解决实际问题.

教学过程

复习旧知

多边形的内角和定理：n边形的内角和等于(n - 2)·180°.

导入新课

问题1：  观察下面的多边形，它们的边、角有什么特点？

特点:各边相等，各内角都相等.

问题2： 观看大屏幕上这些美丽的图案,都是在日常生活中我们经常能看到的.你能从这些图案中找出类似的图形吗?

探究新知

1.正多边形的定义：各条边相等,各个角也相等的多边形叫做正多边形.

问题：  矩形是正多边形吗？为什么？菱形是正多边形吗？为什么？正方形是正多边形吗？为什么？

（1）       （2）     （3）

师生活动：引起学生思考，什么图形是正多边形？教师引导.

【解】（1）不是，因为矩形不符合各边相等.

（2）不是，因为菱形不符合各角相等.

（3）是，因为正方形的各边相等，各角也相等.

【归纳总结】辨析概念，认识正多边形必须满足两个条件，即各边相等，各角相等.这两个条件缺一不可.

2.正多边形的对称性

【问题】正三角形、正方形、正五边形、正六边形，…，正n边形都是轴对称图形吗？都是中心对称图形吗？

师生活动：学生尝试画以上图形的对称轴，教师适时点拨.

【归纳总结】正n边形都是轴对称图形，都有n条对称轴，只有边数为偶数的正多边形才是中心对称图形.

3.正多边形与圆的关系

【问题1】怎样把一个圆进行四等分？依次连结各等分点，得到一个什么图形？

【解】按圆心角的度数为90°将圆四等分，得到一个正方形.

【问题2】把⊙O 进行五等分,依次连结各等分点得到五边形ABCDE .这个五边形是⊙O的内接正五边形吗？

【解】∵ ＝＝＝＝,

∴ AB＝BC＝CD＝DE＝EA,

＝＝3,

∴ ∠A＝∠B.

同理∠B＝∠C＝∠D＝∠E.

又五边形ABCDE的顶点都在⊙O上,

∴ 五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形.

（1）正多边形的有关概念

（2）正多边形的有关计算

如图，已知半径为4的圆内接正六边形ABCDEF：

①       它的中心角等于       度 .

②       OC       BC  (填＞、＜或＝）.

③       △OBC是        三角形.

④圆内接正六边形的面积是△OBC面积的      倍.

⑤圆内接正n边形面积公式:________________________.

师生活动：引导学生思考，正多边形的中心角怎么计算？边长a、半径R、边心距r有什么关系？正多边形的面积如何计算？

【解】①60　② ＝  ③等边  ④6 

⑤

【归纳总结】

（1）正n边形的每个内角都等于.

（2）正n边形的每个中心角都等于.

（3）

【新知应用】

例1　如图，公园里有一个亭子,它的地基是半径为4 m的正六边形,求地基的周长和面积 (精确到0.1 m2).

师生活动：引导学生将实际问题转化成数学问题，将多边形转化成三角形来解决.

【解】如图，连结OB,OC.因为六边形ABCDEF是正六边形，所以它的中心角等于60º,所以△OBC是等边三角形，从而正六边形的边长等于它的半径.

因此，亭子地基的周长l＝6×4＝24（m）.

过点O作OP⊥BC，垂足为P.

在Rt△OPC中,OC＝4 m, PC＝,

利用勾股定理,

可得边心距（m）,

亭子地基的面积.

【归纳总结】将正多边形的中心、半径、中心角、边心距等一些量集中到一个三角形中来研究，可以利用勾股定理进行计算，进而能够求得正多边形的周长和面积.

（3）正多边形的画法

①已知⊙O的半径为2 cm，求作圆的内接正三角形.

用量角器度量，使∠AOB＝∠BOC＝∠COA＝120°，依次连结AB，BC，CA即可.

②你能用以上方法画出正四边形、正五边形、正六边形吗？

③你能用尺规作出正方形、正八边形吗？

师生活动：教师引导学生发现，只要作出已知⊙O的互相垂直的直径即得圆内接正方形，再过圆心作各边的垂线与⊙O相交，或作各中心角的角平分线与⊙O相交，即得圆内接正八边形，照此方法依次可作正十六边形、正三十二边形、正六十四边形……

④你能用尺规作出正六边形、正三角形、正十二边形吗？

作法：以半径长在圆周上截取六段相等的弧，依次连结各等分点，则作出正六边形.先作出正六边形，则可作正三角形，正十二边形，正二十四边形……

【拓展延伸】

例2　如图，点G，H分别是正六边形ABCDEF的边BC、CD上的点，且BG＝CH，AG交BH于点P.求∠APH的度数.

师生活动：(引发学生思考)要求∠APH的度数，结合图形特点，需要将其转化为求其他角的度数.根据正六边形的性质能得到AB＝BC，∠ABC＝∠C＝120°，又因为BG＝CH，同学们可以求出哪两个三角形全等？那么可以转化成求哪个角的度数，即可求得∠APH的度数？

【解】∵ 在正六边形ABCDEF中，AB＝BC，∠ABC＝∠C＝120°，

又BG＝CH，∴ △ABG≌△BCH，∴ ∠BAG＝∠HBC.

∴ ∠BAG＋∠ABP＝∠HBC＋∠ABP，∴ ∠APH＝∠ABC＝120°.

【归纳总结】(学生总结，老师点评)本题从问题本身出发，不容易得到解决问题的方法，则需要将所求问题结合已知条件进行等价转化.结合已知条件和正六边形的性质，很容易得到两个三角形全等，利用三角形的外角可求得∠APH的度数.

课堂小结

布置作业

教材第67页练习第1－3题，第67页习题27.4第1－3题.

板书设计

27.4  正多边形和圆

1.正多边形和圆的有关概念.

2.正多边形的半径R、中心角、边长a、边心距r之间的等量关系：

①正n边形的每个中心角都等于；②.

③正n边形的面积＝n个等腰三角形的面积之和＝2n个直角三角形的面积之和.

3.画正多边形的方法：

方法一：用量角器作一个角等于,以此角为圆心角作正n 边形.

方法二：尺规作正方形、正六边形等.