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高中物理高考 考点46 洛伦兹力 带电粒子在磁场中的运动-备战2021年高考物理考点一遍过
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这是一份高中物理高考 考点46 洛伦兹力 带电粒子在磁场中的运动-备战2021年高考物理考点一遍过，共43页。试卷主要包含了洛伦兹力与电场力的比较，洛伦兹力与安培力的联系及区别，带电粒子在匀强磁场中的运动等内容，欢迎下载使用。
内容
要求
要点解读
洛伦兹力、洛伦兹力的方向
Ⅰ
热点。要求考生会用左手定则判断洛伦兹力的方向，知道安培力是洛伦兹力的宏观表现。
洛伦兹力公式
Ⅱ
高频点或热点。要求考查能熟练运用洛伦兹力公式，常结合带电粒子在磁场中的运动综合考查。
带电粒子在匀强磁场中的运动
Ⅱ
热点也是难点。考查形式有选择题，也有压轴计算题，多涉及有界磁场，还会考查电、磁复合场，对考生各种能力要求较高。复习时要注意多研究一些以最新科技成果为背景的题目，注意将实际问题模型化能力的培养。
1．洛伦兹力与电场力的比较
洛伦兹力
电场力
性质
磁场对在其中运动的电荷的作用力
电场对放入其中电荷的作用力
产生条件
v≠0且v不与B平行
电场中的电荷一定受到电场力作用
大小
F=qvB（v⊥B）
F=qE
力方向与场方向的关系
一定是F⊥B，F⊥v，与电荷电性无关
正电荷受力与电场方向相同，负电荷受力与电场方向相反
做功情况
任何情况下都不做功
可能做正功、负功，也可能不做功
力为零时场的情况
F为零，B不一定为零
F为零，E一定为零
作用效果
只改变电荷运动的速度方向，不改变速度大小
既可以改变电荷运动的速度大小，也可以改变电荷运动的方向
2．洛伦兹力与安培力的联系及区别
（1）安培力是洛伦兹力的宏观表现，二者是相同性质的力，都是磁场力。
（2）洛伦兹力对电荷不做功；安培力对通电导线可做正功，可做负功，也可不做功。
3．带电粒子在匀强磁场中的运动
（1）如何确定“圆心”
①由两点和两线确定圆心，画出带电粒子在匀强磁场中的运动轨迹。确定带电粒子运动轨迹上的两个特殊点（一般是射入和射出磁场时的两点），过这两点作带电粒子运动方向的垂线（这两垂线即为粒子在这两点所受洛伦兹力的方向），则两垂线的交点就是圆心，如图（a）所示。
②若只已知过其中一个点的粒子运动方向，则除过已知运动方向的该点作垂线外，还要将这两点相连作弦，再作弦的中垂线，两垂线交点就是圆心，如图（b）所示。
③若只已知一个点及运动方向，也知另外某时刻的速度方向，但不确定该速度方向所在的点，如图（c）所示，此时要将其中一速度的延长线与另一速度的反向延长线相交成一角（∠PAM），画出该角的角平分线，它与已知点的速度的垂线交于一点O，该点就是圆心。
（2）如何确定“半径”
方法一：由物理方程求，半径；
方法二：由几何方程求，一般由数学知识（勾股定理、三角函数等）计算来确定。
（3）如何确定“圆心角与时间”
①速度的偏向角φ=圆弧所对应的圆心角（回旋角）θ=2倍的弦切角α，如图（d）所示。
②时间的计算方法。
方法一：由圆心角求，
方法二：由弧长求，
4．带电粒子在有界匀强磁场中运动时的常见情形
直线边界（粒子进出磁场具有对称性）
平行边界（粒子运动存在临界条件）
圆形边界（粒子沿径向射入，再沿径向射出）
5．带电粒子在有界磁场中的常用几何关系
（1）四个点：分别是入射点、出射点、轨迹圆心和入射速度直线与出射速度直线的交点。
（2）三个角：速度偏转角、圆心角、弦切角，其中偏转角等于圆心角，也等于弦切角的2倍。
6．求解带电粒子在匀强磁场中运动的临界和极值问题的方法
由于带电粒子往往是在有界磁场中运动，粒子在磁场中只运动一段圆弧就飞出磁场边界，其轨迹不是完整的圆，因此，此类问题往往要根据带电粒子运动的轨迹作相关图去寻找几何关系，分析临界条件（①带电体在磁场中，离开一个面的临界状态是对这个面的压力为零；②射出或不射出磁场的临界状态是带电体运动的轨迹与磁场边界相切），然后应用数学知识和相应物理规律分析求解。
（1）两种思路
一是以定理、定律为依据，首先求出所研究问题的一般规律和一般解的形式，然后再分析、讨论临界条件下的特殊规律和特殊解；
二是直接分析、讨论临界状态，找出临界条件，从而通过临界条件求出临界值。
（2）两种方法
一是物理方法：
①利用临界条件求极值；
②利用问题的边界条件求极值；
③利用矢量图求极值。
二是数学方法：
①利用三角函数求极值；
②利用二次方程的判别式求极值；
③利用不等式的性质求极值；
④利用图象法等。
（3）从关键词中找突破口：许多临界问题，题干中常用“恰好”、“最大”、“至少”、“不相撞”、“不脱离”等词语对临界状态给以暗示。审题时，一定要抓住这些特定的词语挖掘其隐藏的规律，找出临界条件。
1．若v∥B，带电粒子不受洛伦兹力，在匀强磁场中做匀速直线运动．
2．若v⊥B，带电粒子仅受洛伦兹力作用，在垂直于磁感线的平面内以入射速度v做匀速圆周运动．
如下图，带电粒子在磁场中，①中粒子做匀速圆周运动，②中粒子做匀速直线运动，③中粒子做匀速圆周运动．
3．半径和周期公式：(v⊥B)
（2020·广东省高二期中）一束等离子体含有大量带等量正电和负电的微粒，不考虑其重力及电荷间的相互作用，沿图中箭头所示的方向垂直于磁场方向射入一匀强磁场，磁场方向垂直纸面，粒子运动的轨迹如图中a、b所示，则以下说法中正确的是
A．a是带负电的微粒的运动轨迹
B．b是带负电的微粒的运动轨迹
C．a是带正电的微粒的运动轨迹
D．a是带正电微粒及负电微粒的共同轨迹
【参考答案】BC
【详细解析】由左手定则可知，a是带正电的微粒的运动轨迹，b是带负电的微粒的运动轨迹，故选BC.
1．（2020·广东省高二期中）如图所示，用丝线吊一个质量为m的带电(绝缘)小球处于匀强磁场中，空气阻力不计，当小球分别从A点和B点向最低点O运动且两次经过O点时( )
A．小球的动能相同
B．丝线所受的拉力相同
C．小球所受的洛伦兹力相同
D．小球的向心加速度相同
【答案】AD
【解析】带电小球在重力与拉力及洛伦兹力共同作用下，绕固定点做圆周运动，由于拉力与洛伦兹力始终垂直于速度方向，它们对小球不做功．因此仅有重力作功，则有机械能守恒．从而可以确定动能是否相同，并由此可确定拉力与洛伦兹力．由向心加速度公式和牛顿第二定律列式分析．
A、小球运动过程中，所受的细线的拉力与洛伦兹力对小球不做功，仅仅有重力作功，则小球机械能守恒，所以小球分别从A点和B点向最低点O运动且两次经过O点时的动能相同;故A正确.
B、小球经过最低点时速度大小不变，则根据牛顿第二定律可知，由于速度方向不同，导致产生的洛伦兹力的方向也不同，则拉力的大小也不同;故B错误.
C、小球经过最低点时速度大小不变，由于速度方向不同，导致产生的洛伦兹力的方向也不同，则洛伦兹力不相同;故C错误.
D、小球的动能相同则速度的大小相等，据知，v、r相同，可知小球所受的向心力相同,向心加速度相同;故D正确.故选AD.
【点睛】本题考查对小球进行受力分析，并得出力做功与否，根据机械能守恒定律来解题是突破口，同时注意洛伦兹力方向随着速度的方向不同而不同．最后由牛顿第二定律来分析向心力与向心加速度．
2．（多选）如图所示，两匀强磁场的方向相同，以虚线MN为理想边界，磁感应强度分别为B1、B2，今有一质量为m、电荷量为e的电子从MN上的P点沿垂直于磁场方向射入匀强磁场B1中，其运动轨迹为如图虚线所示的“心”形图线。则以下说法正确的是
A．电子的运行轨迹为PDMCNEP
B．电子运行一周回到P用时为
C．B1=2B2
D．B1=4B2
【答案】AC
【解析】根据左手定则可知：电子从P点沿垂直于磁场的方向射入匀强磁场B1时，受到的洛伦兹力方向向上，所以电子的运行轨迹为PDMCNEP，故A正确；电子在整个过程中，在匀强磁场B1中运动两个半圆，即运动一个周期，在匀强磁场B2中运动半个周期，所以，故B错误；由图象可知，电子在匀强磁场B1中运动半径是匀强磁场B2中运动半径的一半，根据可知，B1=2B2，故D错误，C正确。故选AC。
【名师点睛】本题是带电粒子在磁场中运动的问题，要求同学们能根据左手定则判断洛伦兹力的方向，能结合几何关系求解，知道半径公式及周期公式，难度适中。
单边界即直线边界，进、出磁场具有对称性，如图所示
（2020·衡水市中学高二月考）带电粒子M经小孔垂直进入匀强磁场，运动的轨迹如图中虚线所示。在磁场中静止着不带电的粒子N。粒子M与粒子N碰后粘在一起在磁场中继续运动，碰撞时间极短，不考虑粒子M和粒子N的重力。下列说法正确的是（ ）
A．碰后粒子做圆周运动的半径减小
B．碰后粒子做圆周运动的周期减小
C．碰后粒子做圆周运动的动量减小
D．碰后粒子做圆周运动的动能减小
【参考答案】D
【详细解析】带电粒子在磁场中做圆周运动的向心力由洛伦兹力提供，由向心力公式得
解得带电粒子在磁场中做圆周运动的半径
带电粒子在磁场中做圆周运动的周期
ABC．设粒子M的电量为q，质量为，速度为。粒子N的质量为，碰撞前
碰撞前后两粒子动量守恒，则
碰撞后
即碰后新粒子做圆周运动的半径不变，周期增大，动量不变，故ABC错误；
D．碰撞后粘在一起，机械能有损失，动能减小，选项D正确。
故选D。
1．（2020·广东省中山中学高二期中）如图所示，直线MN上方有垂直纸面向里的匀强磁场，电子1从磁场边界上的a点垂直MN且垂直磁场方向射入磁场，经t1时间从b点离开磁场．之后电子2也由a点沿图示方向以相同速率垂直磁场方向射入磁场，经t2时间从a、b连线的中点c离开磁场，则为( )
A． B．2 C． D．3
【答案】D
【解析】
电子2以相同速率垂直磁场方向射入磁场，由带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的半径公式可知，两电子运动半径相同，由周期公式可知，周期也相同，由几何关系可知，电子1运动的圆心角为，电子2运动的圆心角为，由时间 可得：，D正确。故选D。
2．（2020·宁夏回族自治区高三三模）如图所示，直线MN是一匀强磁场的边界，三个相同的带正电粒子分别沿图示1、2、3三个方向以相同的速率从O点射入磁场，沿箭头1、3两个方向的粒子分别经t1、t3时间均从p点离开磁场，沿箭头2方向(垂直于MN)的粒子经t2时间从q点离开磁场，p是Oq的中点，则t1、t2、t3之比为
A．1：2：3 B．2：3：4 C．1：3：5 D．2：3：10
【答案】C
【解析】各个粒子的圆心所在位置如图所示：
由于粒子运动的速度相等，所以三个粒子的轨道半径也相等，粒子2在磁场中运动了半个周期，所用时间 ，根据几何关系知粒子1转过的圆心角为 ，所用时间为 ,粒子3运动转过的圆心角为 所用时间为 ，所以
故C正确；
故选C
平行边界，存在临界条件，如图所示．
（2020·辽宁省高三三模）如图所示，边界OA与OC之间分布有垂直纸面向里的匀强磁场，边界OA上有一粒子源S。 某一时刻，从S平行于纸面向各个方向发射出大量带正电的同种粒子（不计粒子的重力及粒子间的相互作用），所有粒子的初速度大小相同，经过一段时间有大量粒子从边界OC射出磁场。 已知∠AOC=60°，从边界OC射出的粒子在磁场中运动的最长时间等于（T为粒子在磁场中运动的周期），则从边界OC射出的粒子在磁场中运动的时间可能为（ ）
A． B． C． D．
【参考答案】CD
【详细解析】粒子在磁场做匀速圆周运动，粒子在磁场中出射点和入射点的连线即为轨迹的弦，初速度大小相同，根据
则
轨迹半径相同，如图所示
设，当出射点D与S点的连线垂直于OA时，DS弦最长，轨迹所对的圆心角最大，周期一定，则由粒子在磁场中运动的时间最长，由此得到，轨迹半径为
当出射点E与S点的连线垂直于OC时，弦ES最短，轨迹所对的圆心角最小，则粒子在磁场中运动的时间最短，则
由几何知识，得，最短时间
所以，粒子在磁场中运动时间范围为，AB错误CD正确。故选CD。
1．（2020·张家口市宣化第一中学高二期末）如图所示，一个电子（电量为e）以速度v0垂直射入磁感应强度为B，宽为d的匀强磁场中，穿出磁场的速度方向与电子原来的入射方向的夹角为30°，（电子重力忽略不计），求：
（1）电子的质量是多少？
（2）穿过磁场的时间是多少？
（3）若改变初速度大小，使电子刚好不能从A边射出，则此时速度v是多少？
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】
（1）电子在磁场中运动，只受洛伦兹力作用，故其轨迹是圆弧的一部分，设圆心为O点，如图所示
根据几何关系可得
解得R=2d
根据洛伦兹力提供向心力，则有
解得
（2）电子穿过磁场的时间是
由于
解得
（3）电子刚好不能从A边射出时，轨迹恰好与磁场右边界相切，由几何知识得
根据洛伦兹力提供向心力，则有
又
联立解得
（2020·衡水市中学高二月考）如图所示，边界OM与ON之间分布有垂直纸面向里的匀强磁场，边界ON上有一粒子源S．某一时刻，从离子源S沿平行于纸面，向各个方向发射出大量带正电的同种粒子（不计粒子的重力及粒子间的相互作用），所有粒子的初速度大小相等，经过一段时间有大量粒子从边界OM射出磁场。已知∠MON＝30°，从边界OM射出的粒子在磁场中运动的最长时间等于T（T为粒子在磁场中运动的周期），则从边界OM射出的粒子在磁场中运动的最短时间为（ ）
A．T B．T C．T D．T
【参考答案】A
【详细解析】粒子在磁场中运动做匀速圆周运动，入射点是S，出射点在OM直线上，出射点与S点的连线为轨迹的一条弦。当从边界OM射出的粒子在磁场中运动的时间最短时，轨迹的弦最短，根据几何知识，作ES⊥OM，则ES为最短的弦，粒子从S到E的时间即最短。
由题意可知，粒子运动的最长时间等于，设OS＝d，则DS＝OStan30°＝，粒子在磁场中做圆周运动的轨道半径为：
，
由几何知识有：
ES＝OSsin30°＝d，cosθ＝＝，则：θ＝120°，
粒子在磁场中运动的最长时间为：
tmin＝，故A正确，BCD错误。
1．【2019·学科网第一次高考原创押题预测江苏卷】（多选）如图所示，等腰直角三角形abc区域内（包含边界）有垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度的大小为B，在bc的中点O处有一粒子源，可沿与ba平行的方向发射大量速率不同的同种粒子，这些粒子带负电，质量为m，电荷量为q，已知这些粒子都能从ab边离开abc区域，ab=2l，不考虑粒子的重力及粒子间的相互作用。关于这些粒子，下列说法正确的是
A．速度的最大值为 B．速度的最小值为
C．在磁场中运动的最短时间为 D．在磁场中运动的最长时间为
【答案】ACD
【解析】粒子从ab边离开磁场时的临界运动轨迹如图所示：
由几何知识可知：，，解得：。AB、粒子在磁场中做圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得：，解得：，故粒子的最大速度为，最小速度，故A正确，B错误。CD、由粒子从ab边离开磁场区域的临界运动轨迹可知，粒子转过的最大圆心角θmax=180°，最小圆心角：θmin=45°，粒子做圆周运动的周期：，则粒子在磁场中运动的最短时间；最长时间，故C、D均正确。故选ACD。
2．（2020·江苏省如皋中学高一月考）如图所示，等腰直角三角形OPQ，直角边OP、OQ长度均为L，直角三角形平面内（包括边界）有一垂直平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B，在PQ边下方放置一带电粒子发射装置，它由P向Q缓慢移动的同时沿垂直PQ边发射出速率都是v的相同正粒子，已知带电粒子的比荷为，粒子的重力、粒子之间的相互作用力不计。则粒子在磁场中运动的最长时间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
根据
代入数据，可知带电粒子在磁场中运动的轨道半径
根据左手定则可知，粒子恰好与PO边相切时运动时间最长，如图所示
根据对称性可知，运动轨迹也恰好与OQ相切，恰好运动了半径圆周，因此运动的最长时间为
D正确，ABC错误。故选D。
圆形边界，沿径向射入必沿径向射出，如图所示。
【2019·学科网第三次全国大联考新课标Ⅰ卷】（多选）如图，半径为R的圆形区域（纸面）内存在着匀强磁场，磁场方向垂直于纸面，半径OA与半径OC夹角α=60°，CD为直径。电子、质子均从A点沿与OA夹角θ=30°方向垂直射入匀强磁场中，电子经磁场偏转后从C点以速率v射出磁场，质子从D点垂直AO方向射出磁场。已知电子与质子的质量之比为k，重力及粒子间的作用均不计，则
A．磁场方向垂直圆面向外
B．电子在磁场中运动的路程为πR
C．质子在磁场中运动的速率为kv
D．电子、质子通过磁场所用的时间之比为1:2
【参考答案】BC
【详细解析】电子、质子在磁场中运动的轨迹如图所示。电子在磁场中偏转通过C，根据左手定则判断知磁感应强度方向垂直纸面向里，选项A错误；由几何关系知：△AOC、△AO1C均为正三角形且全等，则电子做匀速圆周运动的半径r1=R=，在磁场中运动的路程L1=2πr1=πR，选项B正确；电子在磁场中运动的时间t1=，由几何关系知：圆心O2在⊙O的圆周上，四边形AODO2是边长为R的菱形，∠AO2D=120°，质子在磁场中运动的轨迹半径r2=R=，得v2=v=kv，选项C正确；质子在磁场中运动的时间t2=，则，选项D错误。
1．（2020·山东省高三模拟）如图所示，半径分别为R、2R的两个同心圆，圆心为O，大圆和小圆之间区域有垂直于纸面向外的匀强磁场，其余区域无磁场。一重力不计的带正电粒子从大圆边缘的P点沿PO方向以速度v1射入磁场，其运动轨迹所对的圆心角为120°。若将该带电粒子从P点射入的速度大小变为v2，不论其入射方向如何，都不可能射入小圆内部区域，则最大为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】ABCD．粒子在磁场中做圆周运动，如图
由几何知识得
洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得
解得
当粒子竖直向上射入磁场时，粒子不能进入小圆区域，则所有粒子都不可能进入小圆区域，粒子竖直向上射入磁场粒子恰好不能进入磁场时粒子轨道半径
洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得
解得，则
ACD错误B正确。故选B。
2．（多选）如图所示是一个半径为R的竖直圆形磁场区域，磁感应强度大小为B，磁感应强度方向垂直纸面向内。有一个粒子源在圆上的A点不停地发射出速率相同的带正电的粒子，带电粒子的质量均为m，运动的半径为r，在磁场中的轨迹所对应的圆心角为α。下列说法正确的是
A．若r=2R，则粒子在磁场中运动的最长时间为
B．若r=2R，粒子沿着与半径方向成45°角斜向下射入磁场，则有关系成立
C．若r=R，粒子沿着磁场的半径方向射入，则粒子在磁场中的运动时间为
D．若r=R，粒子沿着与半径方向成60°角斜向下射入磁场，则圆心角α为150°
【答案】BD
【解析】若r=2R，粒子在磁场中时间最长时，磁场区域的直径是轨迹的一条弦，作出轨迹如图1所示，因为r=2R，圆心角θ=60°，粒子在磁场中运动的最长时间，故A错误。若r=2R，如图2所示，粒子沿着与半径方向成45°角斜向下射入磁场，根据几何关系，有，故B正确。若r=R，粒子沿着磁场的半径方向射入，粒子运动轨迹如图3所示，圆心角90°，粒子在磁场中运动的时间，故C错误。若r=R，粒子沿着与半径方向成60°角斜向下射入磁场，轨迹如图4所示，图中轨迹圆心与磁场圆心以及入射点和出射点构成菱形，圆心角150°，故D正确。
图1 图2 图3 图4
（2020·北京高二期中）如图所示，正方形区域内有匀强磁场，现将混在一起的质子H和α粒子加速后从正方形区域的左下角射入磁场，经过磁场后质子H从磁场的左上角射出，α粒子从磁场右上角射出磁场区域，由此可知（ ）
A．质子和α粒子具有相同的速度
B．质子和α粒子具有相同的动量
C．质子和α粒子具有相同的动能
D．质子和α粒子由同一电场从静止加速
【参考答案】A
【详细解析】A．根据洛伦兹力提供向心力得
设质子的比荷为，则α粒子的比荷为，质子的半径是α粒子的一半，所以二者的速度相同，故A正确；
B．他们具有相同的速度，但是质量不同，所以动量不同，故B错误；
C．他们具有相同的速度，但是质量不同，所以动能不同，故C错误；
D．如果由同一电场从静止加速，那么电场力做的功应该相同，即动能相同，但是他们的动能不相同，所以不是从同一电场静止加速，所以D错误。故选A。
1．（2019·山东省菏泽市高三下学期第一次模拟考试）如图所示，abcd为边长为L的正方形，在四分之一圆abd区域内有垂直正方形平面向外的匀强磁场，磁场的磁感应强度为B。一个质量为m、电荷量为q的带电粒子从b点沿ba方向射入磁场，结果粒子恰好能通过c点，不计粒子的重力，则粒子的速度大小为
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】粒子沿半径方向射入磁场，则出射速度的反向延长线一定经过圆心，由于粒子能经过c点，因此粒子出磁场时一定沿ac方向，轨迹如图：
由几何关系可知，粒子做圆周运动的半径为，根据牛顿第二定律得： 解得：，故C正确。
2．（多选）如图所示，在一个边长为的正六边形区域内存在磁感应强度为，方向垂直于纸面向里的匀强磁场。三个相同的带电粒子，比荷大小均为，先后从点沿方向以大小不等的速度射人匀强磁场区域，粒子在运动过程中只受磁场力作用。已知编号为的粒子恰好从点飞出磁场区域，编号为的粒子恰好从点飞出磁场区城，编号为的粒子从边上的某点垂直边界飞出磁场区城。则
A．三个带电粒子均带正电
B．编号为的粒子进人磁场区城的初速度大小为
C．编号为的粒子在磁场区城内运动的时间为
D．编号为的粒子在边上飞出的位置与点的距离为
【答案】ABD
【解析】由于三个粒子的偏转方向均向上，根据左手定则可知，三个粒子带同种正电荷，故A正确；根据题意作出三个粒子的运动轨迹，如图所示：
设编号为的粒子在正六边形区域磁场中做圆周运动的半径为，初速度大小为，由几何关系得：，根据，解得：，故B正确；设编号为的粒子在正六边形区域磁场中做圆周运动的半径为，初速度大小为，周期为，由几何关系可得，粒子在正六边形区域磁场运动过程中，转过的圆心角为，则粒子在磁场中运动的时间，故C错误；设编号为的粒子在正六边形区域磁场中做圆周运动的半径为，在磁场中转了，由几何关系可得：，，，则，故D正确；故选ABD。
【名师点睛】分析各粒子的运动情况，由几何关系求出各自的半径，再由洛伦兹力充当向心力即可求得速度大小；再根据几何关系求出圆心角，再根据时间与周期间的关系即可明确时间大小。
1．（2020·景东彝族自治县第一中学高三模拟）如图所示，在x>0、y>0的空间中有恒定的匀强磁场，磁感应强度的大小为B，方向垂直于xOy平面向里。现有一质量为m、电量为q的带正电粒子，从x轴上的某点P沿着与x轴成角的方向射入磁场。不计重力影响，则可以确定的物理量是（ ）
A．粒子在磁场中运动的时间 B．粒子运动的半径
C．粒子从射入到射出的速度偏转角 D．粒子做圆周运动的周期
2．（2020·维西县傈僳族自治县第二中学高二期末）如图所示，在边长为2a的正三角形区域内存在方向垂直于纸面向里的匀强磁场．一个质量为m、电荷量为－q的带电粒子(重力不计)从AB边的中心O以速度v进入磁场，粒子进入磁场时的速度方向垂直于磁场且与AB边的夹角为60°，若要使粒子能从AC边穿出磁场，则匀强磁场的大小B需满足( )
A．B> B．B<
C．B> D．B<
3．（2020·山东省高三模拟）圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，在圆上A点沿半径方向射入粒子a，粒子a经磁场偏转的偏转角为60°，轨迹如图所示，若仍从A点沿半径方向射入粒子b，粒子经磁场偏转，从磁场出射时，出射速度与a粒子的出射速度方向相反，已知a、b粒子的质量相等，电荷量相等，不计粒子的重力，则 （ ）
A．a、b粒子均带正电
B．a、b粒子在磁场中做圆周运动的半径之比为
C．a、b粒子在磁场中运动的速度大小之比为3：1
D．a、b粒子在磁场中运动的时间之比为1：2
4．（2020·河南省高三三模）如图所示，直线MN两侧分布着垂直纸面向里的匀强磁场，左侧磁场磁感应强度为B1，右侧磁感应强度为B2，2B1=3B2=6T。一个带正电的粒子，比荷为1×106C/kg，从O点以v0=4×104m/s的速度垂直于MN进入右侧的磁场区域，边界MN上的P点位于O点上方4cm处，不计离子重力，则粒子从进入磁场到通过P点所用的时间可能为（ ）
A．×10-6s B．×10-6s C．×10-6s D．×10-6s
5．（2020·玉龙纳西族自治县田家炳民族中学高二期中）质谱仪的原理如图所示，虚线AD上方区域处在垂直纸面向外的匀强磁场中，C、D处有一荧光屏。同位素离子源产生a、b两种电量相同的离子，无初速度进入加速电场，经同一电压加速后，垂直进入磁场，a离子恰好打在荧光屏C点，b离子恰好打在D点。离子重力不计。则
A．a离子质量比b的大
B．a离子质量比b的小
C．a离子在磁场中的运动时间比b的短
D．a，b离子在磁场中的运动时间相等
6．（2020·湖北省嘉鱼一中高二期末）如图所示，OACD是一长为OA= l的矩形，其内存在垂直纸面向里的匀强磁场，一质量为m、带电量为q的粒子从O点以速度v0垂直射入磁场，速度方向与OA的夹角为a，粒子刚好从A点射出磁场，不计粒子的重力，则（ ）
A．粒子一定带正电
B．匀强磁场的磁感应强度为
C．粒子从O到A所需的时间为
D．矩形磁场的宽度最小值为
7．（2020·山东省高三三模）如图所示，纸面内有一直角坐标系xOy，P、Q为坐标轴上的两点，它们到原点距离分别为L、2L，直线MN过Q点且可绕Q在坐标平面内转动，MN右侧存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。一质量为m、电荷量为e的电子从P点沿x轴正方向射入第一象限，设MN与x轴负方向的夹角为θ，当θ取合适值时，电子恰能从Q点射出。电子重力不计。
(1)若电子经过Q点时速度沿y轴负方向，求角θ的值和电子的初速度v1；
(2)若电子的初速度为，求电子从P运动到Q的时间。
8．如图所示，正六边形abcdef区域内有垂直于纸面的匀强磁场。一带正电的粒子从f点沿fd方向射入磁场区域，当速度大小为vb时，从b点离开磁场，在磁场中运动的时间为tb，当速度大小为vc时，从c点离开磁场，在磁场中运动的时间为tc，不计粒子重力。则
A．vb:vc=2:2，tb:tc=1:2 B．vb:vc=1:2，tb:tc=2:1
C．vb:vc=2:1，tb:tc=2:1 D．vb:vc=1:2，tb:tc=1:2
9．一质量为m、带电量为q的粒子以速度从O点沿y轴正方向射入磁感强度为B的一圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直于纸面，粒子飞出磁场区后，从b处穿过x轴，速度方向与x轴正向夹角为30°，如图所示（粒子重力忽略不计）。试求：
（1）圆形磁场区的最小面积；
（2）粒子从O点进入磁场区到达b点所经历的时间；
（3）b点的坐标。
10．如图所示，以O为圆心、半径为R的圆形区域内存在垂直圆面向里、磁感应强度为B的匀强磁场，一粒子源位于圆周上的M点，可向磁场区域内垂直磁场沿各个方向发射质量为m、电荷量为的粒子，不计粒子重力，N为圆周上另一点，半径OM和ON间的夹角，且满足．
（1）若某一粒子以速率v，沿MO方向射入磁场，恰能从N点离开磁场，求此粒子的速率移v；
（2）若大量此类粒子以速率，从M点射入磁场，方向任意，则这些粒子在磁场中运动的最长时间为多少？
（3）若由M点射入磁场各个方向的所有粒子速率均为题中计算出的，求磁场中有粒子通过的区域面积。
1．（2020·全国高考真题）一匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外，其边界如图中虚线所示，为半圆，ac、bd与直径ab共线，ac间的距离等于半圆的半径。一束质量为m、电荷量为q（q>0）的粒子，在纸面内从c点垂直于ac射入磁场，这些粒子具有各种速率。不计粒子之间的相互作用。在磁场中运动时间最长的粒子，其运动时间为（ ）
A． B． C． D．
2．（2020·天津高考真题）如图所示，在Oxy平面的第一象限内存在方向垂直纸面向里，磁感应强度大小为B的匀强磁场。一带电粒子从y轴上的M点射入磁场，速度方向与y轴正方向的夹角。粒子经过磁场偏转后在N点（图中未画出）垂直穿过x轴。已知，粒子电荷量为q，质量为m，重力不计。则（ ）
A．粒子带负电荷 B．粒子速度大小为
C．粒子在磁场中运动的轨道半径为a D．N与O点相距
3．（2020·浙江省高考真题）某种离子诊断测量简化装置如图所示。竖直平面内存在边界为矩形、方向垂直纸面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场，探测板平行于水平放置，能沿竖直方向缓慢移动且接地。a、b、c三束宽度不计、间距相等的离子束中的离子均以相同速度持续从边界水平射入磁场，b束中的离子在磁场中沿半径为R的四分之一圆弧运动后从下边界竖直向下射出，并打在探测板的右边缘D点。已知每束每秒射入磁场的离子数均为N，离子束间的距离均为，探测板的宽度为，离子质量均为m、电荷量均为q，不计重力及离子间的相互作用。
(1)求离子速度v的大小及c束中的离子射出磁场边界时与H点的距离s；
(2)求探测到三束离子时探测板与边界的最大距离；
(3)若打到探测板上的离子被全部吸收，求离子束对探测板的平均作用力的竖直分量F与板到距离L的关系。
4．（2019·新课标全国Ⅱ卷）如图，边长为l的正方形abcd内存在匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面（abcd所在平面）向外。ab边中点有一电子发射源O，可向磁场内沿垂直于ab边的方向发射电子。已知电子的比荷为k。则从a、d两点射出的电子的速度大小分别为
A．， B．， C．， D．，
5．（2019·新课标全国Ⅲ卷）如图，在坐标系的第一和第二象限内存在磁感应强度大小分别为和B、方向均垂直于纸面向外的匀强磁场。一质量为m、电荷量为q（q>0）的粒子垂直于x轴射入第二象限，随后垂直于y轴进入第一象限，最后经过x轴离开第一象限。粒子在磁场中运动的时间为
A． B． C． D．
6．（2019·北京卷）如图所示，正方形区域内存在垂直纸面的匀强磁场。一带电粒子垂直磁场边界从a点射入，从b点射出。下列说法正确的是
A．粒子带正电
B．粒子在b点速率大于在a点速率
C．若仅减小磁感应强度，则粒子可能从b点右侧射出
D．若仅减小入射速率，则粒子在磁场中运动时间变短
7．（2018·北京卷）某空间存在匀强磁场和匀强电场。一个带电粒子(不计重力)以一定初速度射入该空间后，做匀速直线运动；若仅撤除电场，则该粒子做匀速圆周运动，下列因素与完成上述两类运动无关的是
A．磁场和电场的方向 B．磁场和电场的强弱
C．粒子的电性和电量 D．粒子入射时的速度
8．（2017·新课标全国Ⅱ卷）如图，虚线所示的圆形区域内存在一垂直于纸面的匀强磁场，P为磁场边界上的一点。大量相同的带电粒子以相同的速率经过P点，在纸面内沿不同的方向射入磁场。若粒子射入速率为，这些粒子在磁场边界的出射点分布在六分之一圆周上；若粒子射入速率为，相应的出射点分布在三分之一圆周上。不计重力及带电粒子之间的相互作用。则为
A． B． C． D．
9．（2019·新课标全国Ⅰ卷）如图，在直角三角形OPN区域内存在匀强磁场，磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向外。一带正电的粒子从静止开始经电压U加速后，沿平行于x轴的方向射入磁场；一段时间后，该粒子在OP边上某点以垂直于x轴的方向射出。已知O点为坐标原点，N点在y轴上，OP与x轴的夹角为30°，粒子进入磁场的入射点与离开磁场的出射点之间的距离为d，不计重力。求
（1）带电粒子的比荷；
（2）带电粒子从射入磁场到运动至x轴的时间。
10．（2019·江苏卷）如图所示，匀强磁场的磁感应强度大小为B．磁场中的水平绝缘薄板与磁场的左、右边界分别垂直相交于M、N，MN=L，粒子打到板上时会被反弹（碰撞时间极短），反弹前后水平分速度不变，竖直分速度大小不变、方向相反．质量为m、电荷量为-q的粒子速度一定，可以从左边界的不同位置水平射入磁场，在磁场中做圆周运动的半径为d，且d
（2）欲使粒子从磁场右边界射出，求入射点到M的最大距离dm；
（3）从P点射入的粒子最终从Q点射出磁场，PM=d，QN=，求粒子从P到Q的运动时间t．
1．D【解析】AC．粒子在磁场中做圆周运动，由于P点位置不确定，粒子从x轴上离开磁场或粒子运动轨迹与y轴相切时，粒子在磁场中转过的圆心角最大，为
粒子在磁场中的最长运动时间
粒子最小的圆心角为P点与坐标原点重合，最小圆心角
粒子在磁场中的最短运动时间
粒子在磁场中运动所经历的时间为
说明无法确定粒子在磁场中运动的时间和粒子的偏转角，故AC错误；
B．粒子在磁场中做圆周运动，由于P点位置不确定，粒子的偏转角不确定，则无法确定粒子的运动半径，故B错误；
D．粒子在磁场中做圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，则
且
则得，说明可确定粒子做圆周运动的周期，故D正确。故选D。
2．B【解析】粒子刚好达到C点时，其运动轨迹与AC相切，如图所示：
则粒子运动的半径为
洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得：
解得
粒子要从AC边射出，则，故
故B正确；故选B。
3．CD【解析】A．两粒子在磁场中做圆周运动的轨迹如图所示，根据左手定则可以判断，a粒子带正电，b粒子带负电，A项错误；
B．设圆形有界磁场圆的半径为R，根据几何关系可知
因此，B项错误；
C．根据牛顿第二定律，得
得到，C项正确；
D．由可知，两粒子在磁场中做圆周运动的周期相同，由几何关系可知，a、b粒子在磁场中做圆周运动的轨迹所对的圆心角分别为60°、120°，由此可知，a、b两粒子在磁场中运动的时间之比为1：2，选项D正确。
故选CD。
4．BD【解析】粒子在MN左侧磁场中运动的半径
粒子在MN右侧磁场中运动的半径
粒子运动轨迹如图；
粒子在左侧磁场中运动的周期
在右侧磁场中运动的周期
第一次经过P点的时间为
第二次经过P点的时间为，故选BD。
5．BC【解析】AB．设离子进入磁场的速度为v，，在磁场中，联立解得：，由图知，离子b在磁场中运动的轨道半径较大，a、b为同位素，电荷量相同，所以离子b的质量大于离子a的，所以A错误；B正确；
CD．在磁场运动的时间均为半个周期，即，由于离子b的质量大于离子a的，故离子b在磁场中运动的时间较长，C正确；D错误。
6．BCD【解析】A．由题意可知，粒子进入磁场时所受洛伦兹力斜向右下方，由左手定则可知，粒子带负电，故A错误；B．粒子运动轨迹如图所示，由几何知识可得
粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得
解得，故B正确；
C．由几何知识可知，粒子在磁场中转过的圆心角
粒子在磁场中做圆周运动的周期，粒子在磁场中的运动时间
故C正确；
D．根据图示，由几何知识可知，矩形磁场的最小宽度
故D正确。故选BCD。
7．【答案】(1)45°，；(2) 或者
【解析】
(1)电子的运动轨迹如图甲所示，由几何关系可知：θ=45°
电子在磁场中运动的轨道半径r1=L
由牛顿第二定律，有
解得
(2)设电子在磁场中运动轨道半径为r2，则由牛顿第二定律，有
解得r2=2L，电子运动有如图所示两种情况。
第一种情况，如图乙所示，
电子在磁场中轨迹圆心为O2，则由几何关系，得θ=30°，∠CO2Q=，PC=（2-）L，
电子从P到C的时间
从C到Q的时间为
电子从P运动到Q的时间为
第二种情况，如图丙所示，电子在磁场中轨迹圆心为O2′，
则由几何关系，有θ=150°
在磁场中运动轨迹的圆心角为，PC=（2+）L
电子从P到C的时间
从C到Q的时间为
电子从P运动到Q的时间为
8．B 【解析】粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，根据牛顿第二定律有得；粒子在磁场中运动的轨迹如图，从b点离开磁场的粒子，圆心在a点，半径等于正六边形的边长，即rb=a；从c点离开磁场的粒子，圆心是O点，半径等于正六边形边长的2倍，即rc=2a；根据半径公式得，，从b点离开磁场的粒子，圆心角θb=120°；从c点离开磁场的粒子，圆心角θc=60°；根据，得，故B正确，ACD错误。
9．【答案】（1） （2） （3）
【解析】（1）带电粒子在磁场中作匀速圆周运动，根据牛顿第二定律，解得
根据图可知
磁场区域最小半径
磁场区域最小面积
（2）粒子从O至a做匀速圆周运动的时间
从a飞出磁场后做匀速直线运动，所以，
所以
（3）因为，，所以，故b点坐标为
【名师点睛】带电粒子在匀强磁场中运动时，洛伦兹力充当向心力，从而得出半径公式，周期公式，运动时间公式，知道粒子在磁场中运动半径和速度有关，运动周期和速度无关，画轨迹，定圆心，找半径，结合几何知识分析解题。
10．【答案】（1） （2） （3）
【解析】（1）粒子以速率沿MO方向射入磁场，恰能从N点离开磁场，轨迹如图：
设轨迹半径为，则
解得：
由牛顿第二定律可得
解得：
（2）大量此类粒子以速率从M点射入磁场
由牛顿第二定律可得
解得：
粒子方向任意，粒子在磁场中运动时间最长时，弧长（劣弧）最长，对应的弦长最长（磁场圆的直径），轨迹如图：
则
解得：
粒子在磁场中运动的最长时间
（3）粒子沿各个方向以进入磁场做匀速圆周时的轨迹半径都为，且不变。由图可知，粒子在磁场中通过的面积S等于以O3为圆心的半圆形MO3O的面积S1、以M为圆心的扇形MOQ的面积S2和以O点为圆心的圆弧 MQ与直线MQ围成的面积S3之和。
、、
所以
【名师点睛】本题的难点在第三问，要找到粒子能到达的区域，首先要考虑的是粒子的偏转方向--顺时针；其次要考虑的极端情况①从M点竖直向上射出，则可以做完整的圆周运动。②然后把这个完整的圆绕M点转动1800，则该圆与磁场区域公共部分，就是粒子能达到的区域。
1．C【解析】粒子在磁场中做匀速圆周运动，
可得粒子在磁场中的周期
粒子在磁场中运动的时间
则粒子在磁场中运动的时间与速度无关，轨迹对应的圆心角越大，运动时间越长。采用放缩圆解决该问题，粒子垂直ac射入磁场，则轨迹圆心必在ac直线上，将粒子的轨迹半径由零逐渐放大。当半径和时，粒子分别从ac、bd区域射出，磁场中的轨迹为半圆，运动时间等于半个周期。
当0.5R
2．AD【解析】A．粒子向下偏转，根据左手定则判断洛伦兹力，可知粒子带负电，A正确；
BC．粒子运动的轨迹如图
由于速度方向与y轴正方向的夹角，根据几何关系可知
，
则粒子运动的轨道半径为
洛伦兹力提供向心力
解得，BC错误；
D．与点的距离为，D正确。故选AD。
3． 【答案】(1)，0.8R；(2)；(3)当时：；当时：；当时：
【解析】(1)离子在磁场中做圆周运动
得粒子的速度大小
令c束中的离子运动轨迹对应的圆心为O，从磁场边界边的Q点射出，则由几何关系可得
，
4．B 【解析】a点射出粒子半径Ra= =，得：va= =，d点射出粒子半径为，R=，故vd= =，故B选项符合题意
5．B 【解析】运动轨迹如图。
即运动由两部分组成,第一部分是个周期,第二部分是个周期, 粒子在第二象限运动转过的角度为90°，则运动的时间为；粒子在第一象限转过的角度为60°，则运动的时间为；则粒子在磁场中运动的时间为：，故B正确，ACD错误。.
6．C 【解析】由左手定则确粒子的电性，由洛伦兹力的特点确定粒子在b、a两点的速率，根据确定粒子运动半径和运动时间。由题可知，粒子向下偏转，根据左手定则，所以粒子应带负电，故A错误；由于洛伦兹力不做功，所以粒子动能不变，即粒子在b点速率与a点速率相等，故B错误；若仅减小磁感应强度，由公式得：，所以磁感应强度减小，半径增大，所以粒子有可能从b点右侧射出，故C正确，若仅减小入射速率，粒子运动半径减小，在磁场中运动的偏转角增大，则粒子在磁场中运动时间一定变长，故D错误。
7．C 【解析】由题可知，当带电粒子在复合场内做匀速直线运动，即.，则.，若仅撤除电场，粒子仅在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，说明要满足题意需要对磁场与电场的方向以及强弱程度都要有要求，例如：电场方向向下，磁场方向垂直纸面向里等，但是对电性和电量无要求，故选项C正确，ABD错误。
【名师点睛】本题考查了带电粒子在复合场中的运动，实际上是考查了速度选择器的相关知识，注意当粒子的速度与磁场不平行时，才会受到洛伦兹力的作用，所以对电场和磁场的方向有要求的。
8．C 【解析】当粒子在磁场中运动半个圆周时，打到圆形磁场的位置最远。则当粒子射入的速度为，如图，由几何知识可知，粒子运动的轨道半径为；同理，若粒子射入的速度为，由几何知识可知，粒子运动的轨道半径为；根据，则，故选C。
【名师点睛】此题是带电粒子在有界磁场中的运动问题；解题时关键是要画出粒子运动的轨迹草图，知道能打到最远处的粒子运动的弧长是半圆周，结合几何关系即可求解。
9．【答案】（1） （2）
【解析】（1）设带电粒子的质量为m，电荷量为q，加速后的速度大小为v。由动能定理有
①
设粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为r，由洛伦兹力公式和牛顿第二定律有
②
由几何关系知d=r③
联立①②③式得④
（2）由几何关系知，带电粒子射入磁场后运动到x轴所经过的路程为⑤
带电粒子从射入磁场到运动至x轴的时间为⑥
联立②④⑤⑥式得⑦
10．【答案】（1） （2） （3）
【解析】（1）粒子的运动半径解得
（2）如图4所示，粒子碰撞后的运动轨迹恰好与磁场左边界相切
由几何关系得dm=d（1+sin60°）解得
（3）粒子的运动周期
设粒子最后一次碰撞到射出磁场的时间为t'，则
（a）当 时，粒子斜向上射出磁场，解得
（b）当时，粒子斜向下射出磁场解得
内容
要求
要点解读
洛伦兹力、洛伦兹力的方向
Ⅰ
热点。要求考生会用左手定则判断洛伦兹力的方向，知道安培力是洛伦兹力的宏观表现。
洛伦兹力公式
Ⅱ
高频点或热点。要求考查能熟练运用洛伦兹力公式，常结合带电粒子在磁场中的运动综合考查。
带电粒子在匀强磁场中的运动
Ⅱ
热点也是难点。考查形式有选择题，也有压轴计算题，多涉及有界磁场，还会考查电、磁复合场，对考生各种能力要求较高。复习时要注意多研究一些以最新科技成果为背景的题目，注意将实际问题模型化能力的培养。
1．洛伦兹力与电场力的比较
洛伦兹力
电场力
性质
磁场对在其中运动的电荷的作用力
电场对放入其中电荷的作用力
产生条件
v≠0且v不与B平行
电场中的电荷一定受到电场力作用
大小
F=qvB（v⊥B）
F=qE
力方向与场方向的关系
一定是F⊥B，F⊥v，与电荷电性无关
正电荷受力与电场方向相同，负电荷受力与电场方向相反
做功情况
任何情况下都不做功
可能做正功、负功，也可能不做功
力为零时场的情况
F为零，B不一定为零
F为零，E一定为零
作用效果
只改变电荷运动的速度方向，不改变速度大小
既可以改变电荷运动的速度大小，也可以改变电荷运动的方向
2．洛伦兹力与安培力的联系及区别
（1）安培力是洛伦兹力的宏观表现，二者是相同性质的力，都是磁场力。
（2）洛伦兹力对电荷不做功；安培力对通电导线可做正功，可做负功，也可不做功。
3．带电粒子在匀强磁场中的运动
（1）如何确定“圆心”
①由两点和两线确定圆心，画出带电粒子在匀强磁场中的运动轨迹。确定带电粒子运动轨迹上的两个特殊点（一般是射入和射出磁场时的两点），过这两点作带电粒子运动方向的垂线（这两垂线即为粒子在这两点所受洛伦兹力的方向），则两垂线的交点就是圆心，如图（a）所示。
②若只已知过其中一个点的粒子运动方向，则除过已知运动方向的该点作垂线外，还要将这两点相连作弦，再作弦的中垂线，两垂线交点就是圆心，如图（b）所示。
③若只已知一个点及运动方向，也知另外某时刻的速度方向，但不确定该速度方向所在的点，如图（c）所示，此时要将其中一速度的延长线与另一速度的反向延长线相交成一角（∠PAM），画出该角的角平分线，它与已知点的速度的垂线交于一点O，该点就是圆心。
（2）如何确定“半径”
方法一：由物理方程求，半径；
方法二：由几何方程求，一般由数学知识（勾股定理、三角函数等）计算来确定。
（3）如何确定“圆心角与时间”
①速度的偏向角φ=圆弧所对应的圆心角（回旋角）θ=2倍的弦切角α，如图（d）所示。
②时间的计算方法。
方法一：由圆心角求，
方法二：由弧长求，
4．带电粒子在有界匀强磁场中运动时的常见情形
直线边界（粒子进出磁场具有对称性）
平行边界（粒子运动存在临界条件）
圆形边界（粒子沿径向射入，再沿径向射出）
5．带电粒子在有界磁场中的常用几何关系
（1）四个点：分别是入射点、出射点、轨迹圆心和入射速度直线与出射速度直线的交点。
（2）三个角：速度偏转角、圆心角、弦切角，其中偏转角等于圆心角，也等于弦切角的2倍。
6．求解带电粒子在匀强磁场中运动的临界和极值问题的方法
由于带电粒子往往是在有界磁场中运动，粒子在磁场中只运动一段圆弧就飞出磁场边界，其轨迹不是完整的圆，因此，此类问题往往要根据带电粒子运动的轨迹作相关图去寻找几何关系，分析临界条件（①带电体在磁场中，离开一个面的临界状态是对这个面的压力为零；②射出或不射出磁场的临界状态是带电体运动的轨迹与磁场边界相切），然后应用数学知识和相应物理规律分析求解。
（1）两种思路
一是以定理、定律为依据，首先求出所研究问题的一般规律和一般解的形式，然后再分析、讨论临界条件下的特殊规律和特殊解；
二是直接分析、讨论临界状态，找出临界条件，从而通过临界条件求出临界值。
（2）两种方法
一是物理方法：
①利用临界条件求极值；
②利用问题的边界条件求极值；
③利用矢量图求极值。
二是数学方法：
①利用三角函数求极值；
②利用二次方程的判别式求极值；
③利用不等式的性质求极值；
④利用图象法等。
（3）从关键词中找突破口：许多临界问题，题干中常用“恰好”、“最大”、“至少”、“不相撞”、“不脱离”等词语对临界状态给以暗示。审题时，一定要抓住这些特定的词语挖掘其隐藏的规律，找出临界条件。
1．若v∥B，带电粒子不受洛伦兹力，在匀强磁场中做匀速直线运动．
2．若v⊥B，带电粒子仅受洛伦兹力作用，在垂直于磁感线的平面内以入射速度v做匀速圆周运动．
如下图，带电粒子在磁场中，①中粒子做匀速圆周运动，②中粒子做匀速直线运动，③中粒子做匀速圆周运动．
3．半径和周期公式：(v⊥B)
（2020·广东省高二期中）一束等离子体含有大量带等量正电和负电的微粒，不考虑其重力及电荷间的相互作用，沿图中箭头所示的方向垂直于磁场方向射入一匀强磁场，磁场方向垂直纸面，粒子运动的轨迹如图中a、b所示，则以下说法中正确的是
A．a是带负电的微粒的运动轨迹
B．b是带负电的微粒的运动轨迹
C．a是带正电的微粒的运动轨迹
D．a是带正电微粒及负电微粒的共同轨迹
【参考答案】BC
【详细解析】由左手定则可知，a是带正电的微粒的运动轨迹，b是带负电的微粒的运动轨迹，故选BC.
1．（2020·广东省高二期中）如图所示，用丝线吊一个质量为m的带电(绝缘)小球处于匀强磁场中，空气阻力不计，当小球分别从A点和B点向最低点O运动且两次经过O点时( )
A．小球的动能相同
B．丝线所受的拉力相同
C．小球所受的洛伦兹力相同
D．小球的向心加速度相同
【答案】AD
【解析】带电小球在重力与拉力及洛伦兹力共同作用下，绕固定点做圆周运动，由于拉力与洛伦兹力始终垂直于速度方向，它们对小球不做功．因此仅有重力作功，则有机械能守恒．从而可以确定动能是否相同，并由此可确定拉力与洛伦兹力．由向心加速度公式和牛顿第二定律列式分析．
A、小球运动过程中，所受的细线的拉力与洛伦兹力对小球不做功，仅仅有重力作功，则小球机械能守恒，所以小球分别从A点和B点向最低点O运动且两次经过O点时的动能相同;故A正确.
B、小球经过最低点时速度大小不变，则根据牛顿第二定律可知，由于速度方向不同，导致产生的洛伦兹力的方向也不同，则拉力的大小也不同;故B错误.
C、小球经过最低点时速度大小不变，由于速度方向不同，导致产生的洛伦兹力的方向也不同，则洛伦兹力不相同;故C错误.
D、小球的动能相同则速度的大小相等，据知，v、r相同，可知小球所受的向心力相同,向心加速度相同;故D正确.故选AD.
【点睛】本题考查对小球进行受力分析，并得出力做功与否，根据机械能守恒定律来解题是突破口，同时注意洛伦兹力方向随着速度的方向不同而不同．最后由牛顿第二定律来分析向心力与向心加速度．
2．（多选）如图所示，两匀强磁场的方向相同，以虚线MN为理想边界，磁感应强度分别为B1、B2，今有一质量为m、电荷量为e的电子从MN上的P点沿垂直于磁场方向射入匀强磁场B1中，其运动轨迹为如图虚线所示的“心”形图线。则以下说法正确的是
A．电子的运行轨迹为PDMCNEP
B．电子运行一周回到P用时为
C．B1=2B2
D．B1=4B2
【答案】AC
【解析】根据左手定则可知：电子从P点沿垂直于磁场的方向射入匀强磁场B1时，受到的洛伦兹力方向向上，所以电子的运行轨迹为PDMCNEP，故A正确；电子在整个过程中，在匀强磁场B1中运动两个半圆，即运动一个周期，在匀强磁场B2中运动半个周期，所以，故B错误；由图象可知，电子在匀强磁场B1中运动半径是匀强磁场B2中运动半径的一半，根据可知，B1=2B2，故D错误，C正确。故选AC。
【名师点睛】本题是带电粒子在磁场中运动的问题，要求同学们能根据左手定则判断洛伦兹力的方向，能结合几何关系求解，知道半径公式及周期公式，难度适中。
单边界即直线边界，进、出磁场具有对称性，如图所示
（2020·衡水市中学高二月考）带电粒子M经小孔垂直进入匀强磁场，运动的轨迹如图中虚线所示。在磁场中静止着不带电的粒子N。粒子M与粒子N碰后粘在一起在磁场中继续运动，碰撞时间极短，不考虑粒子M和粒子N的重力。下列说法正确的是（ ）
A．碰后粒子做圆周运动的半径减小
B．碰后粒子做圆周运动的周期减小
C．碰后粒子做圆周运动的动量减小
D．碰后粒子做圆周运动的动能减小
【参考答案】D
【详细解析】带电粒子在磁场中做圆周运动的向心力由洛伦兹力提供，由向心力公式得
解得带电粒子在磁场中做圆周运动的半径
带电粒子在磁场中做圆周运动的周期
ABC．设粒子M的电量为q，质量为，速度为。粒子N的质量为，碰撞前
碰撞前后两粒子动量守恒，则
碰撞后
即碰后新粒子做圆周运动的半径不变，周期增大，动量不变，故ABC错误；
D．碰撞后粘在一起，机械能有损失，动能减小，选项D正确。
故选D。
1．（2020·广东省中山中学高二期中）如图所示，直线MN上方有垂直纸面向里的匀强磁场，电子1从磁场边界上的a点垂直MN且垂直磁场方向射入磁场，经t1时间从b点离开磁场．之后电子2也由a点沿图示方向以相同速率垂直磁场方向射入磁场，经t2时间从a、b连线的中点c离开磁场，则为( )
A． B．2 C． D．3
【答案】D
【解析】
电子2以相同速率垂直磁场方向射入磁场，由带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的半径公式可知，两电子运动半径相同，由周期公式可知，周期也相同，由几何关系可知，电子1运动的圆心角为，电子2运动的圆心角为，由时间 可得：，D正确。故选D。
2．（2020·宁夏回族自治区高三三模）如图所示，直线MN是一匀强磁场的边界，三个相同的带正电粒子分别沿图示1、2、3三个方向以相同的速率从O点射入磁场，沿箭头1、3两个方向的粒子分别经t1、t3时间均从p点离开磁场，沿箭头2方向(垂直于MN)的粒子经t2时间从q点离开磁场，p是Oq的中点，则t1、t2、t3之比为
A．1：2：3 B．2：3：4 C．1：3：5 D．2：3：10
【答案】C
【解析】各个粒子的圆心所在位置如图所示：
由于粒子运动的速度相等，所以三个粒子的轨道半径也相等，粒子2在磁场中运动了半个周期，所用时间 ，根据几何关系知粒子1转过的圆心角为 ，所用时间为 ,粒子3运动转过的圆心角为 所用时间为 ，所以
故C正确；
故选C
平行边界，存在临界条件，如图所示．
（2020·辽宁省高三三模）如图所示，边界OA与OC之间分布有垂直纸面向里的匀强磁场，边界OA上有一粒子源S。 某一时刻，从S平行于纸面向各个方向发射出大量带正电的同种粒子（不计粒子的重力及粒子间的相互作用），所有粒子的初速度大小相同，经过一段时间有大量粒子从边界OC射出磁场。 已知∠AOC=60°，从边界OC射出的粒子在磁场中运动的最长时间等于（T为粒子在磁场中运动的周期），则从边界OC射出的粒子在磁场中运动的时间可能为（ ）
A． B． C． D．
【参考答案】CD
【详细解析】粒子在磁场做匀速圆周运动，粒子在磁场中出射点和入射点的连线即为轨迹的弦，初速度大小相同，根据
则
轨迹半径相同，如图所示
设，当出射点D与S点的连线垂直于OA时，DS弦最长，轨迹所对的圆心角最大，周期一定，则由粒子在磁场中运动的时间最长，由此得到，轨迹半径为
当出射点E与S点的连线垂直于OC时，弦ES最短，轨迹所对的圆心角最小，则粒子在磁场中运动的时间最短，则
由几何知识，得，最短时间
所以，粒子在磁场中运动时间范围为，AB错误CD正确。故选CD。
1．（2020·张家口市宣化第一中学高二期末）如图所示，一个电子（电量为e）以速度v0垂直射入磁感应强度为B，宽为d的匀强磁场中，穿出磁场的速度方向与电子原来的入射方向的夹角为30°，（电子重力忽略不计），求：
（1）电子的质量是多少？
（2）穿过磁场的时间是多少？
（3）若改变初速度大小，使电子刚好不能从A边射出，则此时速度v是多少？
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】
（1）电子在磁场中运动，只受洛伦兹力作用，故其轨迹是圆弧的一部分，设圆心为O点，如图所示
根据几何关系可得
解得R=2d
根据洛伦兹力提供向心力，则有
解得
（2）电子穿过磁场的时间是
由于
解得
（3）电子刚好不能从A边射出时，轨迹恰好与磁场右边界相切，由几何知识得
根据洛伦兹力提供向心力，则有
又
联立解得
（2020·衡水市中学高二月考）如图所示，边界OM与ON之间分布有垂直纸面向里的匀强磁场，边界ON上有一粒子源S．某一时刻，从离子源S沿平行于纸面，向各个方向发射出大量带正电的同种粒子（不计粒子的重力及粒子间的相互作用），所有粒子的初速度大小相等，经过一段时间有大量粒子从边界OM射出磁场。已知∠MON＝30°，从边界OM射出的粒子在磁场中运动的最长时间等于T（T为粒子在磁场中运动的周期），则从边界OM射出的粒子在磁场中运动的最短时间为（ ）
A．T B．T C．T D．T
【参考答案】A
【详细解析】粒子在磁场中运动做匀速圆周运动，入射点是S，出射点在OM直线上，出射点与S点的连线为轨迹的一条弦。当从边界OM射出的粒子在磁场中运动的时间最短时，轨迹的弦最短，根据几何知识，作ES⊥OM，则ES为最短的弦，粒子从S到E的时间即最短。
由题意可知，粒子运动的最长时间等于，设OS＝d，则DS＝OStan30°＝，粒子在磁场中做圆周运动的轨道半径为：
，
由几何知识有：
ES＝OSsin30°＝d，cosθ＝＝，则：θ＝120°，
粒子在磁场中运动的最长时间为：
tmin＝，故A正确，BCD错误。
1．【2019·学科网第一次高考原创押题预测江苏卷】（多选）如图所示，等腰直角三角形abc区域内（包含边界）有垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度的大小为B，在bc的中点O处有一粒子源，可沿与ba平行的方向发射大量速率不同的同种粒子，这些粒子带负电，质量为m，电荷量为q，已知这些粒子都能从ab边离开abc区域，ab=2l，不考虑粒子的重力及粒子间的相互作用。关于这些粒子，下列说法正确的是
A．速度的最大值为 B．速度的最小值为
C．在磁场中运动的最短时间为 D．在磁场中运动的最长时间为
【答案】ACD
【解析】粒子从ab边离开磁场时的临界运动轨迹如图所示：
由几何知识可知：，，解得：。AB、粒子在磁场中做圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得：，解得：，故粒子的最大速度为，最小速度，故A正确，B错误。CD、由粒子从ab边离开磁场区域的临界运动轨迹可知，粒子转过的最大圆心角θmax=180°，最小圆心角：θmin=45°，粒子做圆周运动的周期：，则粒子在磁场中运动的最短时间；最长时间，故C、D均正确。故选ACD。
2．（2020·江苏省如皋中学高一月考）如图所示，等腰直角三角形OPQ，直角边OP、OQ长度均为L，直角三角形平面内（包括边界）有一垂直平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B，在PQ边下方放置一带电粒子发射装置，它由P向Q缓慢移动的同时沿垂直PQ边发射出速率都是v的相同正粒子，已知带电粒子的比荷为，粒子的重力、粒子之间的相互作用力不计。则粒子在磁场中运动的最长时间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
根据
代入数据，可知带电粒子在磁场中运动的轨道半径
根据左手定则可知，粒子恰好与PO边相切时运动时间最长，如图所示
根据对称性可知，运动轨迹也恰好与OQ相切，恰好运动了半径圆周，因此运动的最长时间为
D正确，ABC错误。故选D。
圆形边界，沿径向射入必沿径向射出，如图所示。
【2019·学科网第三次全国大联考新课标Ⅰ卷】（多选）如图，半径为R的圆形区域（纸面）内存在着匀强磁场，磁场方向垂直于纸面，半径OA与半径OC夹角α=60°，CD为直径。电子、质子均从A点沿与OA夹角θ=30°方向垂直射入匀强磁场中，电子经磁场偏转后从C点以速率v射出磁场，质子从D点垂直AO方向射出磁场。已知电子与质子的质量之比为k，重力及粒子间的作用均不计，则
A．磁场方向垂直圆面向外
B．电子在磁场中运动的路程为πR
C．质子在磁场中运动的速率为kv
D．电子、质子通过磁场所用的时间之比为1:2
【参考答案】BC
【详细解析】电子、质子在磁场中运动的轨迹如图所示。电子在磁场中偏转通过C，根据左手定则判断知磁感应强度方向垂直纸面向里，选项A错误；由几何关系知：△AOC、△AO1C均为正三角形且全等，则电子做匀速圆周运动的半径r1=R=，在磁场中运动的路程L1=2πr1=πR，选项B正确；电子在磁场中运动的时间t1=，由几何关系知：圆心O2在⊙O的圆周上，四边形AODO2是边长为R的菱形，∠AO2D=120°，质子在磁场中运动的轨迹半径r2=R=，得v2=v=kv，选项C正确；质子在磁场中运动的时间t2=，则，选项D错误。
1．（2020·山东省高三模拟）如图所示，半径分别为R、2R的两个同心圆，圆心为O，大圆和小圆之间区域有垂直于纸面向外的匀强磁场，其余区域无磁场。一重力不计的带正电粒子从大圆边缘的P点沿PO方向以速度v1射入磁场，其运动轨迹所对的圆心角为120°。若将该带电粒子从P点射入的速度大小变为v2，不论其入射方向如何，都不可能射入小圆内部区域，则最大为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】ABCD．粒子在磁场中做圆周运动，如图
由几何知识得
洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得
解得
当粒子竖直向上射入磁场时，粒子不能进入小圆区域，则所有粒子都不可能进入小圆区域，粒子竖直向上射入磁场粒子恰好不能进入磁场时粒子轨道半径
洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得
解得，则
ACD错误B正确。故选B。
2．（多选）如图所示是一个半径为R的竖直圆形磁场区域，磁感应强度大小为B，磁感应强度方向垂直纸面向内。有一个粒子源在圆上的A点不停地发射出速率相同的带正电的粒子，带电粒子的质量均为m，运动的半径为r，在磁场中的轨迹所对应的圆心角为α。下列说法正确的是
A．若r=2R，则粒子在磁场中运动的最长时间为
B．若r=2R，粒子沿着与半径方向成45°角斜向下射入磁场，则有关系成立
C．若r=R，粒子沿着磁场的半径方向射入，则粒子在磁场中的运动时间为
D．若r=R，粒子沿着与半径方向成60°角斜向下射入磁场，则圆心角α为150°
【答案】BD
【解析】若r=2R，粒子在磁场中时间最长时，磁场区域的直径是轨迹的一条弦，作出轨迹如图1所示，因为r=2R，圆心角θ=60°，粒子在磁场中运动的最长时间，故A错误。若r=2R，如图2所示，粒子沿着与半径方向成45°角斜向下射入磁场，根据几何关系，有，故B正确。若r=R，粒子沿着磁场的半径方向射入，粒子运动轨迹如图3所示，圆心角90°，粒子在磁场中运动的时间，故C错误。若r=R，粒子沿着与半径方向成60°角斜向下射入磁场，轨迹如图4所示，图中轨迹圆心与磁场圆心以及入射点和出射点构成菱形，圆心角150°，故D正确。
图1 图2 图3 图4
（2020·北京高二期中）如图所示，正方形区域内有匀强磁场，现将混在一起的质子H和α粒子加速后从正方形区域的左下角射入磁场，经过磁场后质子H从磁场的左上角射出，α粒子从磁场右上角射出磁场区域，由此可知（ ）
A．质子和α粒子具有相同的速度
B．质子和α粒子具有相同的动量
C．质子和α粒子具有相同的动能
D．质子和α粒子由同一电场从静止加速
【参考答案】A
【详细解析】A．根据洛伦兹力提供向心力得
设质子的比荷为，则α粒子的比荷为，质子的半径是α粒子的一半，所以二者的速度相同，故A正确；
B．他们具有相同的速度，但是质量不同，所以动量不同，故B错误；
C．他们具有相同的速度，但是质量不同，所以动能不同，故C错误；
D．如果由同一电场从静止加速，那么电场力做的功应该相同，即动能相同，但是他们的动能不相同，所以不是从同一电场静止加速，所以D错误。故选A。
1．（2019·山东省菏泽市高三下学期第一次模拟考试）如图所示，abcd为边长为L的正方形，在四分之一圆abd区域内有垂直正方形平面向外的匀强磁场，磁场的磁感应强度为B。一个质量为m、电荷量为q的带电粒子从b点沿ba方向射入磁场，结果粒子恰好能通过c点，不计粒子的重力，则粒子的速度大小为
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】粒子沿半径方向射入磁场，则出射速度的反向延长线一定经过圆心，由于粒子能经过c点，因此粒子出磁场时一定沿ac方向，轨迹如图：
由几何关系可知，粒子做圆周运动的半径为，根据牛顿第二定律得： 解得：，故C正确。
2．（多选）如图所示，在一个边长为的正六边形区域内存在磁感应强度为，方向垂直于纸面向里的匀强磁场。三个相同的带电粒子，比荷大小均为，先后从点沿方向以大小不等的速度射人匀强磁场区域，粒子在运动过程中只受磁场力作用。已知编号为的粒子恰好从点飞出磁场区域，编号为的粒子恰好从点飞出磁场区城，编号为的粒子从边上的某点垂直边界飞出磁场区城。则
A．三个带电粒子均带正电
B．编号为的粒子进人磁场区城的初速度大小为
C．编号为的粒子在磁场区城内运动的时间为
D．编号为的粒子在边上飞出的位置与点的距离为
【答案】ABD
【解析】由于三个粒子的偏转方向均向上，根据左手定则可知，三个粒子带同种正电荷，故A正确；根据题意作出三个粒子的运动轨迹，如图所示：
设编号为的粒子在正六边形区域磁场中做圆周运动的半径为，初速度大小为，由几何关系得：，根据，解得：，故B正确；设编号为的粒子在正六边形区域磁场中做圆周运动的半径为，初速度大小为，周期为，由几何关系可得，粒子在正六边形区域磁场运动过程中，转过的圆心角为，则粒子在磁场中运动的时间，故C错误；设编号为的粒子在正六边形区域磁场中做圆周运动的半径为，在磁场中转了，由几何关系可得：，，，则，故D正确；故选ABD。
【名师点睛】分析各粒子的运动情况，由几何关系求出各自的半径，再由洛伦兹力充当向心力即可求得速度大小；再根据几何关系求出圆心角，再根据时间与周期间的关系即可明确时间大小。
1．（2020·景东彝族自治县第一中学高三模拟）如图所示，在x>0、y>0的空间中有恒定的匀强磁场，磁感应强度的大小为B，方向垂直于xOy平面向里。现有一质量为m、电量为q的带正电粒子，从x轴上的某点P沿着与x轴成角的方向射入磁场。不计重力影响，则可以确定的物理量是（ ）
A．粒子在磁场中运动的时间 B．粒子运动的半径
C．粒子从射入到射出的速度偏转角 D．粒子做圆周运动的周期
2．（2020·维西县傈僳族自治县第二中学高二期末）如图所示，在边长为2a的正三角形区域内存在方向垂直于纸面向里的匀强磁场．一个质量为m、电荷量为－q的带电粒子(重力不计)从AB边的中心O以速度v进入磁场，粒子进入磁场时的速度方向垂直于磁场且与AB边的夹角为60°，若要使粒子能从AC边穿出磁场，则匀强磁场的大小B需满足( )
A．B> B．B<
C．B> D．B<
3．（2020·山东省高三模拟）圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，在圆上A点沿半径方向射入粒子a，粒子a经磁场偏转的偏转角为60°，轨迹如图所示，若仍从A点沿半径方向射入粒子b，粒子经磁场偏转，从磁场出射时，出射速度与a粒子的出射速度方向相反，已知a、b粒子的质量相等，电荷量相等，不计粒子的重力，则 （ ）
A．a、b粒子均带正电
B．a、b粒子在磁场中做圆周运动的半径之比为
C．a、b粒子在磁场中运动的速度大小之比为3：1
D．a、b粒子在磁场中运动的时间之比为1：2
4．（2020·河南省高三三模）如图所示，直线MN两侧分布着垂直纸面向里的匀强磁场，左侧磁场磁感应强度为B1，右侧磁感应强度为B2，2B1=3B2=6T。一个带正电的粒子，比荷为1×106C/kg，从O点以v0=4×104m/s的速度垂直于MN进入右侧的磁场区域，边界MN上的P点位于O点上方4cm处，不计离子重力，则粒子从进入磁场到通过P点所用的时间可能为（ ）
A．×10-6s B．×10-6s C．×10-6s D．×10-6s
5．（2020·玉龙纳西族自治县田家炳民族中学高二期中）质谱仪的原理如图所示，虚线AD上方区域处在垂直纸面向外的匀强磁场中，C、D处有一荧光屏。同位素离子源产生a、b两种电量相同的离子，无初速度进入加速电场，经同一电压加速后，垂直进入磁场，a离子恰好打在荧光屏C点，b离子恰好打在D点。离子重力不计。则
A．a离子质量比b的大
B．a离子质量比b的小
C．a离子在磁场中的运动时间比b的短
D．a，b离子在磁场中的运动时间相等
6．（2020·湖北省嘉鱼一中高二期末）如图所示，OACD是一长为OA= l的矩形，其内存在垂直纸面向里的匀强磁场，一质量为m、带电量为q的粒子从O点以速度v0垂直射入磁场，速度方向与OA的夹角为a，粒子刚好从A点射出磁场，不计粒子的重力，则（ ）
A．粒子一定带正电
B．匀强磁场的磁感应强度为
C．粒子从O到A所需的时间为
D．矩形磁场的宽度最小值为
7．（2020·山东省高三三模）如图所示，纸面内有一直角坐标系xOy，P、Q为坐标轴上的两点，它们到原点距离分别为L、2L，直线MN过Q点且可绕Q在坐标平面内转动，MN右侧存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。一质量为m、电荷量为e的电子从P点沿x轴正方向射入第一象限，设MN与x轴负方向的夹角为θ，当θ取合适值时，电子恰能从Q点射出。电子重力不计。
(1)若电子经过Q点时速度沿y轴负方向，求角θ的值和电子的初速度v1；
(2)若电子的初速度为，求电子从P运动到Q的时间。
8．如图所示，正六边形abcdef区域内有垂直于纸面的匀强磁场。一带正电的粒子从f点沿fd方向射入磁场区域，当速度大小为vb时，从b点离开磁场，在磁场中运动的时间为tb，当速度大小为vc时，从c点离开磁场，在磁场中运动的时间为tc，不计粒子重力。则
A．vb:vc=2:2，tb:tc=1:2 B．vb:vc=1:2，tb:tc=2:1
C．vb:vc=2:1，tb:tc=2:1 D．vb:vc=1:2，tb:tc=1:2
9．一质量为m、带电量为q的粒子以速度从O点沿y轴正方向射入磁感强度为B的一圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直于纸面，粒子飞出磁场区后，从b处穿过x轴，速度方向与x轴正向夹角为30°，如图所示（粒子重力忽略不计）。试求：
（1）圆形磁场区的最小面积；
（2）粒子从O点进入磁场区到达b点所经历的时间；
（3）b点的坐标。
10．如图所示，以O为圆心、半径为R的圆形区域内存在垂直圆面向里、磁感应强度为B的匀强磁场，一粒子源位于圆周上的M点，可向磁场区域内垂直磁场沿各个方向发射质量为m、电荷量为的粒子，不计粒子重力，N为圆周上另一点，半径OM和ON间的夹角，且满足．
（1）若某一粒子以速率v，沿MO方向射入磁场，恰能从N点离开磁场，求此粒子的速率移v；
（2）若大量此类粒子以速率，从M点射入磁场，方向任意，则这些粒子在磁场中运动的最长时间为多少？
（3）若由M点射入磁场各个方向的所有粒子速率均为题中计算出的，求磁场中有粒子通过的区域面积。
1．（2020·全国高考真题）一匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外，其边界如图中虚线所示，为半圆，ac、bd与直径ab共线，ac间的距离等于半圆的半径。一束质量为m、电荷量为q（q>0）的粒子，在纸面内从c点垂直于ac射入磁场，这些粒子具有各种速率。不计粒子之间的相互作用。在磁场中运动时间最长的粒子，其运动时间为（ ）
A． B． C． D．
2．（2020·天津高考真题）如图所示，在Oxy平面的第一象限内存在方向垂直纸面向里，磁感应强度大小为B的匀强磁场。一带电粒子从y轴上的M点射入磁场，速度方向与y轴正方向的夹角。粒子经过磁场偏转后在N点（图中未画出）垂直穿过x轴。已知，粒子电荷量为q，质量为m，重力不计。则（ ）
A．粒子带负电荷 B．粒子速度大小为
C．粒子在磁场中运动的轨道半径为a D．N与O点相距
3．（2020·浙江省高考真题）某种离子诊断测量简化装置如图所示。竖直平面内存在边界为矩形、方向垂直纸面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场，探测板平行于水平放置，能沿竖直方向缓慢移动且接地。a、b、c三束宽度不计、间距相等的离子束中的离子均以相同速度持续从边界水平射入磁场，b束中的离子在磁场中沿半径为R的四分之一圆弧运动后从下边界竖直向下射出，并打在探测板的右边缘D点。已知每束每秒射入磁场的离子数均为N，离子束间的距离均为，探测板的宽度为，离子质量均为m、电荷量均为q，不计重力及离子间的相互作用。
(1)求离子速度v的大小及c束中的离子射出磁场边界时与H点的距离s；
(2)求探测到三束离子时探测板与边界的最大距离；
(3)若打到探测板上的离子被全部吸收，求离子束对探测板的平均作用力的竖直分量F与板到距离L的关系。
4．（2019·新课标全国Ⅱ卷）如图，边长为l的正方形abcd内存在匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面（abcd所在平面）向外。ab边中点有一电子发射源O，可向磁场内沿垂直于ab边的方向发射电子。已知电子的比荷为k。则从a、d两点射出的电子的速度大小分别为
A．， B．， C．， D．，
5．（2019·新课标全国Ⅲ卷）如图，在坐标系的第一和第二象限内存在磁感应强度大小分别为和B、方向均垂直于纸面向外的匀强磁场。一质量为m、电荷量为q（q>0）的粒子垂直于x轴射入第二象限，随后垂直于y轴进入第一象限，最后经过x轴离开第一象限。粒子在磁场中运动的时间为
A． B． C． D．
6．（2019·北京卷）如图所示，正方形区域内存在垂直纸面的匀强磁场。一带电粒子垂直磁场边界从a点射入，从b点射出。下列说法正确的是
A．粒子带正电
B．粒子在b点速率大于在a点速率
C．若仅减小磁感应强度，则粒子可能从b点右侧射出
D．若仅减小入射速率，则粒子在磁场中运动时间变短
7．（2018·北京卷）某空间存在匀强磁场和匀强电场。一个带电粒子(不计重力)以一定初速度射入该空间后，做匀速直线运动；若仅撤除电场，则该粒子做匀速圆周运动，下列因素与完成上述两类运动无关的是
A．磁场和电场的方向 B．磁场和电场的强弱
C．粒子的电性和电量 D．粒子入射时的速度
8．（2017·新课标全国Ⅱ卷）如图，虚线所示的圆形区域内存在一垂直于纸面的匀强磁场，P为磁场边界上的一点。大量相同的带电粒子以相同的速率经过P点，在纸面内沿不同的方向射入磁场。若粒子射入速率为，这些粒子在磁场边界的出射点分布在六分之一圆周上；若粒子射入速率为，相应的出射点分布在三分之一圆周上。不计重力及带电粒子之间的相互作用。则为
A． B． C． D．
9．（2019·新课标全国Ⅰ卷）如图，在直角三角形OPN区域内存在匀强磁场，磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向外。一带正电的粒子从静止开始经电压U加速后，沿平行于x轴的方向射入磁场；一段时间后，该粒子在OP边上某点以垂直于x轴的方向射出。已知O点为坐标原点，N点在y轴上，OP与x轴的夹角为30°，粒子进入磁场的入射点与离开磁场的出射点之间的距离为d，不计重力。求
（1）带电粒子的比荷；
（2）带电粒子从射入磁场到运动至x轴的时间。
10．（2019·江苏卷）如图所示，匀强磁场的磁感应强度大小为B．磁场中的水平绝缘薄板与磁场的左、右边界分别垂直相交于M、N，MN=L，粒子打到板上时会被反弹（碰撞时间极短），反弹前后水平分速度不变，竖直分速度大小不变、方向相反．质量为m、电荷量为-q的粒子速度一定，可以从左边界的不同位置水平射入磁场，在磁场中做圆周运动的半径为d，且d
（2）欲使粒子从磁场右边界射出，求入射点到M的最大距离dm；
（3）从P点射入的粒子最终从Q点射出磁场，PM=d，QN=，求粒子从P到Q的运动时间t．
1．D【解析】AC．粒子在磁场中做圆周运动，由于P点位置不确定，粒子从x轴上离开磁场或粒子运动轨迹与y轴相切时，粒子在磁场中转过的圆心角最大，为
粒子在磁场中的最长运动时间
粒子最小的圆心角为P点与坐标原点重合，最小圆心角
粒子在磁场中的最短运动时间
粒子在磁场中运动所经历的时间为
说明无法确定粒子在磁场中运动的时间和粒子的偏转角，故AC错误；
B．粒子在磁场中做圆周运动，由于P点位置不确定，粒子的偏转角不确定，则无法确定粒子的运动半径，故B错误；
D．粒子在磁场中做圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，则
且
则得，说明可确定粒子做圆周运动的周期，故D正确。故选D。
2．B【解析】粒子刚好达到C点时，其运动轨迹与AC相切，如图所示：
则粒子运动的半径为
洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得：
解得
粒子要从AC边射出，则，故
故B正确；故选B。
3．CD【解析】A．两粒子在磁场中做圆周运动的轨迹如图所示，根据左手定则可以判断，a粒子带正电，b粒子带负电，A项错误；
B．设圆形有界磁场圆的半径为R，根据几何关系可知
因此，B项错误；
C．根据牛顿第二定律，得
得到，C项正确；
D．由可知，两粒子在磁场中做圆周运动的周期相同，由几何关系可知，a、b粒子在磁场中做圆周运动的轨迹所对的圆心角分别为60°、120°，由此可知，a、b两粒子在磁场中运动的时间之比为1：2，选项D正确。
故选CD。
4．BD【解析】粒子在MN左侧磁场中运动的半径
粒子在MN右侧磁场中运动的半径
粒子运动轨迹如图；
粒子在左侧磁场中运动的周期
在右侧磁场中运动的周期
第一次经过P点的时间为
第二次经过P点的时间为，故选BD。
5．BC【解析】AB．设离子进入磁场的速度为v，，在磁场中，联立解得：，由图知，离子b在磁场中运动的轨道半径较大，a、b为同位素，电荷量相同，所以离子b的质量大于离子a的，所以A错误；B正确；
CD．在磁场运动的时间均为半个周期，即，由于离子b的质量大于离子a的，故离子b在磁场中运动的时间较长，C正确；D错误。
6．BCD【解析】A．由题意可知，粒子进入磁场时所受洛伦兹力斜向右下方，由左手定则可知，粒子带负电，故A错误；B．粒子运动轨迹如图所示，由几何知识可得
粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得
解得，故B正确；
C．由几何知识可知，粒子在磁场中转过的圆心角
粒子在磁场中做圆周运动的周期，粒子在磁场中的运动时间
故C正确；
D．根据图示，由几何知识可知，矩形磁场的最小宽度
故D正确。故选BCD。
7．【答案】(1)45°，；(2) 或者
【解析】
(1)电子的运动轨迹如图甲所示，由几何关系可知：θ=45°
电子在磁场中运动的轨道半径r1=L
由牛顿第二定律，有
解得
(2)设电子在磁场中运动轨道半径为r2，则由牛顿第二定律，有
解得r2=2L，电子运动有如图所示两种情况。
第一种情况，如图乙所示，
电子在磁场中轨迹圆心为O2，则由几何关系，得θ=30°，∠CO2Q=，PC=（2-）L，
电子从P到C的时间
从C到Q的时间为
电子从P运动到Q的时间为
第二种情况，如图丙所示，电子在磁场中轨迹圆心为O2′，
则由几何关系，有θ=150°
在磁场中运动轨迹的圆心角为，PC=（2+）L
电子从P到C的时间
从C到Q的时间为
电子从P运动到Q的时间为
8．B 【解析】粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，根据牛顿第二定律有得；粒子在磁场中运动的轨迹如图，从b点离开磁场的粒子，圆心在a点，半径等于正六边形的边长，即rb=a；从c点离开磁场的粒子，圆心是O点，半径等于正六边形边长的2倍，即rc=2a；根据半径公式得，，从b点离开磁场的粒子，圆心角θb=120°；从c点离开磁场的粒子，圆心角θc=60°；根据，得，故B正确，ACD错误。
9．【答案】（1） （2） （3）
【解析】（1）带电粒子在磁场中作匀速圆周运动，根据牛顿第二定律，解得
根据图可知
磁场区域最小半径
磁场区域最小面积
（2）粒子从O至a做匀速圆周运动的时间
从a飞出磁场后做匀速直线运动，所以，
所以
（3）因为，，所以，故b点坐标为
【名师点睛】带电粒子在匀强磁场中运动时，洛伦兹力充当向心力，从而得出半径公式，周期公式，运动时间公式，知道粒子在磁场中运动半径和速度有关，运动周期和速度无关，画轨迹，定圆心，找半径，结合几何知识分析解题。
10．【答案】（1） （2） （3）
【解析】（1）粒子以速率沿MO方向射入磁场，恰能从N点离开磁场，轨迹如图：
设轨迹半径为，则
解得：
由牛顿第二定律可得
解得：
（2）大量此类粒子以速率从M点射入磁场
由牛顿第二定律可得
解得：
粒子方向任意，粒子在磁场中运动时间最长时，弧长（劣弧）最长，对应的弦长最长（磁场圆的直径），轨迹如图：
则
解得：
粒子在磁场中运动的最长时间
（3）粒子沿各个方向以进入磁场做匀速圆周时的轨迹半径都为，且不变。由图可知，粒子在磁场中通过的面积S等于以O3为圆心的半圆形MO3O的面积S1、以M为圆心的扇形MOQ的面积S2和以O点为圆心的圆弧 MQ与直线MQ围成的面积S3之和。
、、
所以
【名师点睛】本题的难点在第三问，要找到粒子能到达的区域，首先要考虑的是粒子的偏转方向--顺时针；其次要考虑的极端情况①从M点竖直向上射出，则可以做完整的圆周运动。②然后把这个完整的圆绕M点转动1800，则该圆与磁场区域公共部分，就是粒子能达到的区域。
1．C【解析】粒子在磁场中做匀速圆周运动，
可得粒子在磁场中的周期
粒子在磁场中运动的时间
则粒子在磁场中运动的时间与速度无关，轨迹对应的圆心角越大，运动时间越长。采用放缩圆解决该问题，粒子垂直ac射入磁场，则轨迹圆心必在ac直线上，将粒子的轨迹半径由零逐渐放大。当半径和时，粒子分别从ac、bd区域射出，磁场中的轨迹为半圆，运动时间等于半个周期。
当0.5R
2．AD【解析】A．粒子向下偏转，根据左手定则判断洛伦兹力，可知粒子带负电，A正确；
BC．粒子运动的轨迹如图
由于速度方向与y轴正方向的夹角，根据几何关系可知
，
则粒子运动的轨道半径为
洛伦兹力提供向心力
解得，BC错误；
D．与点的距离为，D正确。故选AD。
3． 【答案】(1)，0.8R；(2)；(3)当时：；当时：；当时：
【解析】(1)离子在磁场中做圆周运动
得粒子的速度大小
令c束中的离子运动轨迹对应的圆心为O，从磁场边界边的Q点射出，则由几何关系可得
，
4．B 【解析】a点射出粒子半径Ra= =，得：va= =，d点射出粒子半径为，R=，故vd= =，故B选项符合题意
5．B 【解析】运动轨迹如图。
即运动由两部分组成,第一部分是个周期,第二部分是个周期, 粒子在第二象限运动转过的角度为90°，则运动的时间为；粒子在第一象限转过的角度为60°，则运动的时间为；则粒子在磁场中运动的时间为：，故B正确，ACD错误。.
6．C 【解析】由左手定则确粒子的电性，由洛伦兹力的特点确定粒子在b、a两点的速率，根据确定粒子运动半径和运动时间。由题可知，粒子向下偏转，根据左手定则，所以粒子应带负电，故A错误；由于洛伦兹力不做功，所以粒子动能不变，即粒子在b点速率与a点速率相等，故B错误；若仅减小磁感应强度，由公式得：，所以磁感应强度减小，半径增大，所以粒子有可能从b点右侧射出，故C正确，若仅减小入射速率，粒子运动半径减小，在磁场中运动的偏转角增大，则粒子在磁场中运动时间一定变长，故D错误。
7．C 【解析】由题可知，当带电粒子在复合场内做匀速直线运动，即.，则.，若仅撤除电场，粒子仅在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，说明要满足题意需要对磁场与电场的方向以及强弱程度都要有要求，例如：电场方向向下，磁场方向垂直纸面向里等，但是对电性和电量无要求，故选项C正确，ABD错误。
【名师点睛】本题考查了带电粒子在复合场中的运动，实际上是考查了速度选择器的相关知识，注意当粒子的速度与磁场不平行时，才会受到洛伦兹力的作用，所以对电场和磁场的方向有要求的。
8．C 【解析】当粒子在磁场中运动半个圆周时，打到圆形磁场的位置最远。则当粒子射入的速度为，如图，由几何知识可知，粒子运动的轨道半径为；同理，若粒子射入的速度为，由几何知识可知，粒子运动的轨道半径为；根据，则，故选C。
【名师点睛】此题是带电粒子在有界磁场中的运动问题；解题时关键是要画出粒子运动的轨迹草图，知道能打到最远处的粒子运动的弧长是半圆周，结合几何关系即可求解。
9．【答案】（1） （2）
【解析】（1）设带电粒子的质量为m，电荷量为q，加速后的速度大小为v。由动能定理有
①
设粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为r，由洛伦兹力公式和牛顿第二定律有
②
由几何关系知d=r③
联立①②③式得④
（2）由几何关系知，带电粒子射入磁场后运动到x轴所经过的路程为⑤
带电粒子从射入磁场到运动至x轴的时间为⑥
联立②④⑤⑥式得⑦
10．【答案】（1） （2） （3）
【解析】（1）粒子的运动半径解得
（2）如图4所示，粒子碰撞后的运动轨迹恰好与磁场左边界相切
由几何关系得dm=d（1+sin60°）解得
（3）粒子的运动周期
设粒子最后一次碰撞到射出磁场的时间为t'，则
（a）当 时，粒子斜向上射出磁场，解得
（b）当时，粒子斜向下射出磁场解得
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