2023新疆部分学校高三上学期第一次联考数学（文）试题含答案

2022—2023学年高三年级第一次联考

文科数学试卷

一、单项选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．

1．若复数z满足，则复数z在复平面所对应的点位于（    ）

A．第一象限  B．第二象限  C．第三象限  D．第四象限

2．已知命题p：，使得“1”且，则为（     ）

A．，使得且  B．，使得或

C．，使得或  D．，使得且

3．已知集合，，则（    ）

A．  B．  C．  D．

4．小明体育测验6次立定跳远成绩分别为214，213，214，215，216，212，则6次成绩的平均值与方差为（    ）

A．213，1.67  B．214，1.66  C．214，1.29  D．214，1.67

5．已知向量，，且，则与夹角为（    ）

A．  B．  C．  D．

6．已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ）

A．  B．  C．  D．

7．已知圆台上下底面半径之比为1：2，母线与底面所成的角为60°，其侧面面积为，则该圆台的体积为（    ）

A．  B．  C．  D．

8．已知数列满足，且，，则（    ）

A．  B．  C．  D．

9．将函数图象上的所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），然后再将其图象向左平移个单位得到图象，若函数图象关于y轴对称，则的最小值为（    ）

A．  B．  C．  D．

10．倾斜角为的直线过抛物线的焦点F，与该抛物线交于点A，B，A在x轴上方，且，则（    ）

A．4  B．  C．  D．

11．已知函数对均满足，其中是的导数，则下列不等式恒成立的是（    ）

A．  B．

C．   D．

12．在棱长为2的正方体中，M为中点，N为四边形内一点（含边界），若平面BMD，则下列结论正确的是（    ）

A．   B．三棱锥的体积为

C．线段最小值为  D．的最小值为

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．已知在点处的切线为直线，则______．

14．在，，0，1，2的五个数字中，有放回地随机取两个数字分别作为函数中a，b的值，则该函数图象恰好经过第一、三、四象限的概率为______．

15．写出同时满足下列条件①②的直线l方程：______（写出一个满足条件的答案即可）．

①在y轴上的截距为2；②与双曲线只有一个交点．

16．已知数列的前n项和为，，，设，数列的前n项和为，若对恒成立，则实数的取值范围为______．

三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．

（一）必考题：共60分

17．（12分）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若．

（1）求证：；

（2）若，点D为边AB上的一点，CD平分，，求边长b．

18．（12分）某校本着“我运动我快乐我锻炼我健康”精神积极组织学生参加足球、篮球、排球、羽毛球等球类活动．为了解学生参与情况，随机抽取100名学生对是否参与情况进行问卷调查．所得数据制成下表：

若从这100人中任选1人恰好参与球类活动的概率为0.6．

（1）判断是否有95%的把握认为“参与球类活动”与性别有关；

（2）现从不参与球类活动的学生中按其性别比例采取分层抽样的方法选取8人，再在这8人中选取2人参加游泳，求恰好抽到2名女生的概率．

附：列联表参考公式：，其中．

临界值表：

19．（12分）在四棱锥中，底面ABCD是等腰梯形，，，平面平面PCD，．

（1）求证：为直角三角形；

（2）若，求四棱锥的体积．

20．（12分）已知过点的椭圆上的点到焦点的最大距离为3．

（1）求椭圆C的方程；

（2）已知过椭圆上一点的切线方程为．已知点M为直线上任意一点，过M点作椭圆C的两条切线MA，MB，A，B为切点，AB与OM（O为原点）交于点D，当最小时求直线AB的方程．

21．（12分）已知函数，．

（1）求函数极值；

（2）若对恒成立，求的最小值．

（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．

22．【4—4坐标系与参数方程】

在直角坐标系中，已知曲线：（为参数）．经伸缩变换后的曲线为．以原点O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系．

（1）求曲线的极坐标方程；

（2）M，N是曲线上的两点，且，求面积的取值范围．

23．【4—5不等式选讲】

已知函数．

（1）求不等式的解集；

（2）若，，且，求满足条件的整数a的所有取值的和．

慕华·优策2022—2023学年高三年级第一次联考

数学试题参考答案及评分说明（文科）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．

1．B【解析】∵．，故选B．

【命题意图】本题主要考查复数的概念与运算等必备的基础知识．

2．C【解析】根据复合命题的否定知：改结论不改条件，“存在”改为“任意”，“且”改“或”．故选C．

【命题意图】本题主要考查复合命题的否定必备的基础知识．

3．C【解析】，，，，故选C．

【命题意图】本题主要考察集合的运算与对数的定义域等必备基础知识．

4．D【解析】6个数分别减去214，得0，，0，1，2，，这6个数的平均数为0，所以6个数平均数为214，又．故方差为1.67，故选D．

【命题意图】本题主要考查统计数据等必备基础知识．

5．D【解析】依题意有，∴，，∴，又，∴．故选D．

另：依题意有，∴，∴，则为等腰直角三角形，则可得与夹角为．故选D．

【命题意图】本题主要考查平面向量及运算等必备知识．

6．D【解析】，∴，又，∴，∵，，∴，∴．故选D．

【命题意图】本题主要考查函数的单调性应用．

7．D【解析】圆台轴截面如图，则，∴．圆台高，∴．故选D．

【命题意图】设置课程学习背景试题考查学生台体侧面积与体积公式与基本运算能力．

8．C【解析】依题意，∴．∴，∴，∴．故选C．

【命题意图】本题主要考查等差数列概念与通项公式及基本运算能力．

9．C【解析】依题意由诱导公式知，横坐标缩短为原来的（纵坐标不变）得到，向左平移单位得到图象，而图象关于y轴对称，∴，则的最小值为．故选C．

【命题意图】本题主要考查学生三角函数有关的必备知识与推理求解能力．

10．B【解析】过A向x垂线，则，，∴，∴，（舍去）∴．设直线方程为，∴，即，∴，∴．故选B．

【命题意图】本题主要考查抛物线概念与性质及数形结合思想．

11．A【解析】令，，∴当时，∴单调递增，当时，∴单调递减．

对于A：，即．故A对；

对于B：，∴，故B错误；

对于C：，∴，故C错误；

对于D：，∴，故D错误．故选A．

【命题意图】本题主要考查导数在同构不等式的应用与代数推理等关键能力．

12．D【解析】取中点，连接，，，则有平面平面BMD，∴平面BMD，即N在线段上．当N在时夹角为45°，故A错误；

．故B错误．

线段的最小值为等腰三角形腰上的高h，，故C错误．

故选D．事实上，．当N为点时最大，的最小．

【命题意图】本题主要考查空间图形的线面关系与综合应用能力．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．【解析】，∴，∴．

【命题意图】本题主要考查导数的基本概念及基本不等式的应用．

14．【解析】五个数字任取一个作数字作系数a，放回后随机任取一个数作为b，有种不同取法，当时，函数图象为一条直线，若图象恰好经过第一、三、四象限，则，即有，；，两组数满足；时，二次函数经过第一、三、四象限则开口向下，又图象过点，顶点必在第一象限，即满足，，，有3种情况．故共有5组满足，故概率为．

【命题意图】本题主要考查学生函数图象与古典概型等综合知识．

15．或或或．（填对一个给满分）

【解析】依题意可设直线l为，当直线l与双曲线渐近线平行时只有一个交点，∴，．当直线与双曲线相切时由判别式为0解得，∴．

【命题意图】本题设置开放性试题考查双曲线定义性质等必备知识与基本能力．

16．【解析】∵，∴．当时，∴，即．∴．，

上式累加得，∴．

当，2时也满足，故．又，，，实数的取值范围为．

【命题意图】本题设置递推数列与不等式综合问题主要考查学生探索创新能力．

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．

（一）必考题：共60分．

17．【解析】（1）解法一：∵，由余弦定理有，．∴．∴．又A，B，C为三角形内角，∴．

解法二：依正弦定理有，∴，即，又，∴，∴，∴或，又，∴，，∴

（2）∵，∴，，∴．又，．∴，∴，∴，，∴．∴，∴．

【命题意图】本题主要考查三角函数与解三角形等必备知识与推理运算能力．

18．【解析】（1）依题意参与球类活动概率为60%，即有60人参与球类，可得下列联表

∴．故有95%把握认为参与球类活动与性别有关．

（2）按不参与球类活动比例抽取的8名学生中有3名男生，5名女生，则8人中任取2人列表可得有28种取法，而恰好抽到2名女生的抽法有5名女生中抽取2人即有10种方法，其概率为．

【命题意图】本题主要考查概率统计独立性检验的基本知识与数学建模等关键能力．

19．解析】（1）在等腰梯形ABCD中，，，，E为垂足，∴，，∴，∴．又∵，平面平面PCD，又平面ADP，平面ADP，∴，∴平面ACP，∴，∴，即为直角三角形

（2）由（1）知在等腰梯形ABCD中，．，．∴．∴．又平面ADP，为直角三角形，，，∴．∴．

【命题意图】本题主要考查空间几何体线面位置关系的必备知识与逻辑推理等关键能力．

20．【解析】（1）依题意有，，，∴，，椭圆C的方程为．

（2）设，，，，依题意有切线MA方程为，切线MB方程为，又切线都过M点，∴，，∴AB方程为：．∴，．设AB与x轴交于点E，则有，∴．此时，同理根据对称性可求得时．故AB方程为：或．

【命题意图】本题主要考查圆锥曲线必备的综合知识与逻辑推理及运算求解等关键能力．

21．【解析】（1）∵，当时，单调递增，无极值；当时时，单调递增，时，单调递减，所以当时有极大值．

（2）由（1）知有最大值，依题意有对恒成立．∴对恒成立．令，，又在是单调递增，且，∴当时，单调递减，当时，单调递增，∴，∴．

【命题意图】本题主要考查导数函数有关的综合知识与逻辑推理及创新应用等关键能力．

（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．

22．【解析】（1）曲线的直角坐标方程为，令，，变换后直角坐标方程为，即．则曲线的极坐标方程为．

（2）如图，在极坐标系中，设，，则

∵，∴，∴．∴．

【命题意图】本题主要考查坐标系与方程的基本知识与运算求解及代数证明等关键能力．

23．【解析】（1）当时，，∴，∴，∴；

当时，，∴，，∴；

当时，．∴，，∴．

综上，不等式的解集为．

（2）依题意，∴为偶函数，

当时，，

当时，，

当时，．作出函数图象如图所示．

若，则①，∴；②，∴或；③，，∴．

综上整数a的取值为0，1，2，3，故和为6．

【命题意图】本题主要考查分段函数与不等式的基本知识及分类讨论思想代数证明等关键能力．