2023陕西省西北工业大学附中高三上学期1月期末数学（理）试题含答案

西工大附中2022-2023学年上学期1月期末

高三理科数学

一、选择题；本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知复数，则共轭复数在复平面对应的点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

2．设函数满足，且有，则（    ）

A． B．

C． D．

3．设集合，则AB＝

A． B． C． D．

4．“”是“不等式”的

A．充分不必要条件 B．充分必要条件

C．必要不充分条件 D．非充分必要条件

5．若递增等比数列{an}的前n项和为Sn，a2=2，S3=7，则公比q等于

A．2 B． C．2或 D．无法确定

6．设函数的最小正周期为，则在上的零点之和为（    ）

A． B． C． D．

7．一个首项为，公差为整数的等差数列，如果前六项均为正数，第七项起为负数，则它的公差是

A． B． C． D．

8．作用在同一物体上的两个力，当它们的夹角为时，则这两个力的合力大小为（    ）N.

A．30 B．60 C．90 D．120

9．设，，则等于

A．  B． C． D．

10．从乒乓球运动员男5名、女6名中组织一场混合双打比赛，不同的组合方法种数为（    ）

A． B．

C． D．

11．已知，是椭圆：的左、右焦点，点在椭圆上，与轴垂直，，则椭圆的离心率为

A． B． C． D．

12．已知数列满足，（且），数列的前n项和为Sn，则（    ）

A． B．

C． D．

二、填空题：本题5小题，共20分。

13．欧拉是科学史上最多才的一位杰出的数学家，他发明的公式为，i虚数单位，将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，这个公式也被誉为“数学中的天桥”根据此公式，的最大值为________．

14．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，则角______．

15．若点关于轴对称点为，则的一个取值为_____.

16．曲线上某点处的切线与直线垂直，则该切线方程为________．

三、解答题：全科免费下载公众号《高中僧课堂》本题6小题，共70分。

17．某班级体育课举行了一次“投篮比赛”活动，为了了解本次投篮比赛学生总体情况，从中抽取了甲乙两个小组样本分数的茎叶图如图所示：

（1）分别求甲乙两个小组成绩的平均数；

（2）估计甲乙两个小组的成绩的方差大小关系；

（3）甲组高于70分的同学中，任意抽取2名同学，求恰好有一名同学的得分在的概率．

18．已知抛物线：的焦点为，点在抛物线上，且.

(1)求抛物线的标准方程；

(2)直线与抛物线交于，两点，若线段的中点为，求直线的方程．

19．已知等差数列中，.

（1）求的通项公式；

（2）求的前项和的最大值.

20．如图，在四棱锥，底面正方形，为侧棱的中点，为的中点，.

（Ⅰ）求四棱锥体积；

（Ⅱ）证明：平面；

（Ⅲ）证明：平面平面.

21．已知数列的首项为1，为数列的前项和，，其中，

（1）求的通项公式；

（2）证明：函数在内有且仅有一个零点（记为）且；

22．已知抛物线的焦点到准线的距离为2，圆与轴相切，且圆心与抛物线的焦点重合.

(1)求抛物线和圆的方程；

(2)设为圆外一点，过点作圆的两条切线，分别交抛物线于两个不同的点和点.且，证明：点在一条定曲线上.

23．已知函数，M为不等式的解集.

（1）求M；

（2）证明：当，.

参考答案

1．C

化简，求出，找到对应的坐标即可.

对应的点的坐标为，在第三象限

故选：C

2．C

根据题意，得到函数在上单调递增，且为定义在上的偶函数，结合函数的单调性与奇偶性，即可求解.

由题意知，都有，

可得函数在上单调递增，

又由函数满足，可得是定义在上的偶函数，

所以，所以，即，

故选：C.

3．D

利用一元二次不等式的解法化简集合，由交集的定义可得结果.

因为集合或，

所以，，故选D.

研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合且属于集合的元素的集合.

4．A

试题分析：解不等式得,则,而时,不成立.故“”是“不等式”的充分不必要条件.所以A选项是正确的.

考点：解不等式；充要条件.

5．A

.由.得.

解得2或.

因为等比数列{an}为递增数列．

所以.

故选A.

6．A

由题意可知，可得，再令，可得在上的零点，由此即可求出结果.

因为，所以.

令，得，

所以在上的零点为，，则所求零点之和为.

故选：A.

本题主要考查了函数 的性质的应用，属于基础题.

7．C

设等差数列的公差为，，又数列前六项均为正数，第七项起为负数，，，又数列是公差为整数的等差数列，，故选C.

8．B

用同一起点的向量表示，由向量加法的平行四边形法则计算．

如图，，，，作平行四边形，则，

因为，所以四边形是菱形，又，是等边三角形，．

故选：B．

9．B

∵f(x)＝2x＋3，∴f(x－2)＝2(x－2)＋3＝2x－1，即g(x)＝2x－1，故选B.

点睛:本题考查函数的表示方法,属于基础题目.求函数解析式的一般方法主要有:待定系数法,配凑法,换元法,构造方程组法,赋值法等.解决本题的关键是g(x)＝f(x－2),即在f(x)＝2x＋3的解析式中,将自变量x都用x-2来替换,代入求出f(x－2)的解析式,即所求的g(x)的解析式.

10．B

分两步进行：先选出两名男选手，再从6名女生中选出2名且与已选好的男生配对.

分两步进行：第一步，选出两名男选手，有种方法；

第二步，从6名女生中选出2名且与已选好的男生配对，有种.

故有种.

故选：B.

11．A

在直角中，由得到a,b,c的等量关系，结合计算即可得到离心率.

由已知，得，则,

又在椭圆中,,

故,

即,

解得e=,

故选A

本题考查椭圆简单的几何性质，考查椭圆离心率的求法，属于基础题.

12．A

由递推关系可得，由此可化简求出.

因为（且），同除以，得，

所以，

，所以，即.

故选：A.

13．3

由已知得，再利用余弦函数的值域即可求解.

，

又，

即当时，取得最大值为3，

故答案为：3

14．##

由正弦定理与两角和的正弦公式化简

由题意得，而，

由正弦定理化简得，故，，得

故答案为：

15．（答案不唯一）

先求出点关于轴对称的点坐标，与题干中所给的坐标对应相等，对其进行化简即可得到所满足的条件，从而得到的取值

点关于轴对称的点坐标为，则由题可知，，即，，，所以，；同理，即，所以，则，则的一个取值可以为.

故答案为：（答案不唯一）

16．

由可求得切点的横坐标，结合函数的解析式可得出切点的坐标，再利用点斜式可得出所求切线的方程.

，该函数的定义域为，，

直线的斜率为，故所求切线的斜率为，由，可得，

，故切点为，

所以，所求切线的方程为，即.

故答案为：.

17．（1）68；68；（2）估计甲成绩的方差大于乙成绩的方差；（3）.

（1）利用茎叶图中的数据直接求两个小组的平均数；

（2）利用方差公式直接求解；

（3）由茎叶图可知，甲组高于70分的同学共4名，有2 名在，记为，有2 名在，记为，任取两名同学，利用列举法能求出恰好有一名同学的得分在的概率

解：（1）记甲乙两个小组成绩的平均数分别为，则

，

，

所以甲乙两个小组成绩的平均数均为68，

（2）记甲乙两个小组的成绩的方差分别为，则

，

，

所以甲成绩的方差大于乙成绩的方差；

（3）由茎叶图可知，甲组高于70分的同学共4名，有2 名在，记为，有2 名在，记为，任取两名同学的基本事件有6个：

，

恰好有一名同学的得分在的基本事件数共4个：

，

所以恰好有一名同学的得分在的概率为，

此题考查茎叶图的应用，考查概率的求法，考查列举法等知识，考查运算能力，属于基础题

18．(1)

(2)

（1）根据焦半径公式得，求得，即可求解方程；

（2）由点差法化为，根据中点坐标可得直线斜率从而求出直线方程．

（1）因为点在抛物线上，所以

又因为，解得，故抛物线的标准方程为；

（2）设，则

，所以，化为

又因为的中点为，所以，

则 ，故直线的斜率为，所以直线的方程为

整理得．

19．（1）；（2）90.

（1）由已知条件利用等差数列的通项公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出等差数列的通项公式；（2）利用公式求出前项和，利用二次函数图象求得最大值．

解：（1）等差数列中，

，

，解得，，

的通项公式．

（2），，

的前项和．

当或时，前项和的最大值90.

20．（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）证明见解析.

（Ⅰ）利用锥体的体积公式即得；

（Ⅱ）取中点，由题可得四边形为平行四边形，再利用线面平行的判定定理即得；

（Ⅲ）由，得平面，由及面面垂直的判定定理即得.

（Ⅰ）设四棱锥体积为，正方形的面积为，

则．

（Ⅱ）取中点，连结，

因为、分别为、的中点，

所以，

所以，

所以四边形为平行四边形，

所以．

又平面，平面，

所以平面；

（Ⅲ）∵底面正方形，平面，

∴，又，，平面，平面，

所以平面，平面，

所以．又，平面，平面，

所以平面．

由（Ⅱ）知，

所以平面，而平面，

所以平面平面．

21．（1）（2）证明见解析

（1）采用作差法即可求解；

（2）由，求得（1），．再由导数判断出函数在，内单调递增，得到在，内有且仅有一个零点，由，得到；

（1）①，②，①-②得，又当时，，故数列为等比数列，首项为1，公比为，；

（2），可得，

，在，内至少存在一个零点，又，在，内单调递增，

在，内有且仅有一个零点，

是的一个零点，，

即，故；

本题考查函数零点存在定理的应用，等比数列的前项和，利用导数研究函数的单调性，数学转化与化归等思想方法，属于中档题

22．(1)抛物线的方程为，圆的方程为

(2)证明见解析

（1）根据抛物线的焦点到准线的距离可得的值，即可得抛物线方程；根据圆的性质确定圆心与半径，即可得圆的方程；

（2）根据直线与圆相切，切线与抛物线相交联立，结合韦达定理，即可得所满足的方程.

（1）解：由题设得，

所以抛物线的方程为.

因此，抛物线的焦点为，即圆的圆心为

由圆与轴相切，所以圆半径为，

所以圆的方程为.

（2）证明：由于，每条切线都与抛物线有两个不同的交点，则.

故设过点且与圆相切的切线方程为，即.

依题意得，整理得①；

设直线的斜率分别为，则是方程①的两个实根，

故，②，

由得③，

因为点，

则④，⑤

由②，④，⑤三式得：

，

即，

则，即，

所以点在圆.

23．（1）  （2）证明见解析

（1）用分类讨论法去掉绝对值符号，化为分段函数，再解不等式．

（2）用分析法证明．

（1），

时，，无解，同样时，，无解，只有时，满足不等式，∴；   

（2）要证，只需证，

即证，即证，

因为，所以，则，

原不等式成立.

本题考查解含绝对值的不等式，考查用分析法证明不等式．解含绝对值的不等式，一般都是按绝对值定义分类讨论去掉绝对值符号后再求解．