2023北京昌平区高三上学期期末数学试题含答案
展开昌平区2022~2023学年第一学期高三年级期末质量抽测
数学试卷
2023.1
本试卷共6页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将答题卡交回.
第一部分（选择题共40分）
一､选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1. 已知集合，则集合（ ）
A. B.
C. D.
2. 在复平面内，复数对应的点的坐标是，且满足，则（ ）
A. 1 B. C. 2 D.
3. 下列函数中，是奇函数且在定义域内是减函数的是（ ）
A. B.
C. D.
4. 若，，则一定有（ ）
A. B. C. D.
5. 已知二项式的展开式中的系数是10，则实数（ ）
A. B. 1 C. D. 2
6. 若，则（ ）
A. B. C. D.
7. 在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，则“角与角的终边关于轴对称”是“”的（ ）
A 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
8. 图1：在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃.将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能的向左或向右落下，最后落入底部的格子中.在图2中，将小球放入容器中从顶部下落，则小球落入D区的路线数有（ ）
A. 16 B. 18 C. 20 D. 22
9. 设抛物线的焦点为，准线为.斜率为的直线经过焦点，交抛物线于点，交准线于点（在轴的两侧）.若，则抛物线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
10. 已知向量满足，则的最大值是（ ）
A. B.
C. D.
第二部分（非选择题共110分）
二､填空题共5小题，全科免费下载公众号《高中僧课堂》每小题5分，共25分.
11. 已知数列中，，则数列的通项公式为__________.
12. 已知双曲线的焦点为，点在双曲线上，则该双曲线的渐近线方程为__________；若，则__________.
13. 在中，，则__________，__________.
14. 若直线与圆有公共点，则的最小值为__________.
15. 已知正三棱锥的六条棱长均为是底面的中心，用一个平行于底面的平面截三棱锥，分别交于点（不与顶点，重合）.
给出下列四个结论：
①三棱锥为正三棱锥；
②三棱锥的高为；
③三棱锥的体积既有最大值，又有最小值；
④当时，.
其中所有正确结论的序号是__________.
三､解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16. 已知函数，再从条件①､条件②､条件③中选择一个作为已知，
（1）求解析式；
（2）当时，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.
条件①：函数的图象经过点；
条件②：函数的图象可由函数的图象平移得到；
条件③：函数图象相邻的两个对称中心之间的距离为.
注：如果选择条件①､条件②和条件③分别解答，按第一个解答计分.
17. 不粘锅是家庭常用厨房用具，近期，某市消费者权益保护委员会从市场上购买了12款不粘锅商品，并委托第三方检测机构进行检测.本次选取了食物接触材料安全项目中与消费者使用密切相关的6项性能项目进行比较试验，性能检测项目包含不粘性､耐磨性､耐碱性､手柄温度､温度均匀性和使用体验等6个指标.其中消费者关注最多的两个指标“不沾性､耐磨性”检测结果的数据如下：
|
| 检测结果 | |
序号 | 品牌名称 | 不粘性 | 耐磨性 |
1 | 品牌1 | Ⅰ级 | Ⅰ级 |
2 | 品牌2 | Ⅱ级 | Ⅰ级 |
3 | 品牌3 | Ⅰ级 | Ⅰ级 |
4 | 品牌4 | Ⅱ级 | Ⅱ级 |
5 | 品牌5 | Ⅰ级 | Ⅰ级 |
6 | 品牌6 | Ⅱ级 | Ⅰ级 |
7 | 品牌7 | Ⅰ级 | Ⅰ级 |
8 | 品牌8 | Ⅰ级 | Ⅰ级 |
9 | 品牌9 | Ⅱ级 | Ⅱ级 |
10 | 品牌10 | Ⅱ级 | Ⅱ级 |
11 | 品牌11 | Ⅱ级 | Ⅱ级 |
12 | 品牌12 | Ⅱ级 | Ⅱ级 |
（Ⅰ级代表性能优秀，Ⅱ级代表性能较好）
（1）从这12个品牌的样本数据中随机选取两个品牌的数据，求这两个品牌的“不粘性”性能都是Ⅰ级的概率；
（2）从前六个品牌中随机选取两个品牌的数据，设为性能都是Ⅰ级的品牌个数，求随机变量的分布列和数学期望；
（3）从后六个品牌中随机选取两个品牌的数据，设为性能都是Ⅰ级的品牌个数，比较随机变量和随机变量的数学期望的大小（结论不要求证明）.
18. 如图，在多面体中，侧面为矩形，平面，平面.
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值；
（3）求直线到平面的距离.
19. 已知椭圆过点，且离心率是.
（1）求椭圆的方程和短轴长；
（2）已知点，直线过点且与椭圆有两个不同的交点，问：是否存在直线，使得是以点为顶点的等腰三角形，若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.
20. 已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）讨论函数的单调性；
（3）当时，证明：对任意的恒成立.
21. 已知数列满足：，且.记集合.
（1）若，写出集合的所有元素；
（2）若集合存在一个元素是3的倍数，证明：的所有元素都是3的倍数；
（3）求集合的元素个数的最大值.
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