2023福州一中高二上学期12月月考数学试题含答案

这是一份2023福州一中高二上学期12月月考数学试题含答案，共25页。
一、选择题；本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．“方程表示椭圆”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分条件又不必要条件
2．双曲线的左焦点在抛物线（）的准线上，则双曲线的渐近线方程为
A．B．C．D．
3．如图，三棱锥中，，，，且，，则（ ）
A．B．C．D．
4．等差数列中，若，则该数列的前项的和为（ ）
A．2015B．4030C．6045D．12090
5．已知圆与圆相交于，两点，且，给出以下结论：①是定值；②四边形的面积是定值；③的最小值为；④的最大值为，则其中正确结论的个数是（ ）
A．B．C．D．
6．已知实数，满足约束条件，则的最小值为（ ）．
A．B．C．2D．3
7．已知抛物线C：（）的焦点为F，准线为l，设P是l上一点，Q是直线PF与抛物线C的一个交点，若，且，则p的值为（ ）
A．2B．4C．6D．8
8．在矩形ABCD中，，，平面ABCD，，则PC与平面ABCD所成的角为（ ）
A．30°B．45°C．60°D．120°
二、选择题；本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9．已知点到点的距离是点到点距离的2倍，记点的轨迹为，若直线：与曲线交于M，N两点，则下列说法正确的是（ ）
A．曲线为圆B．曲线为椭圆
C．曲线与直线有交点D．
10．记为等差数列的前n项和.若，则以下结论一定正确的是（ ）
A．B．的最大值为C．D．
11．如图，在直三棱柱中，，分别是棱的中点，在线段上，则下列说法中正确的有（ ）
A．平面
B．平面
C．存在点，满足
D．的最小值为
12．如图，若正方体的棱长为1，点是正方体的侧面上的一个动点(含边界)，是棱的中点，全科免费下载公众号《高中僧课堂》则下列结论正确的是（ ）
A．沿正方体的表面从点A到点的最短路程为B．若保持，则点在侧面内运动路径的长度为
C．三棱锥的体积最大值为 D．若点在上运动，则到直线的距离的最小值为
三、填空题；本题共4小题，每小题5分，共20分
13．直线的倾斜角为______．
14．若向量，，，且向量，，共面，则______．
15．已知数列中，，，则___________.
16．过双曲线：的左焦点作圆的切线，设切点为，延长交抛物线：于点，其中有一个共同的焦点，若，则双曲线的离心率为_______.
四、解答题；本题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．数列中，为其前项和，且．
（1）求，；
（2）若，求数列的其前项和．
18．已知圆：，圆：，一动圆与圆和圆同时内切.
(1)求动圆圆心的轨迹方程；
(2)设点的轨迹为曲线，两互相垂直的直线，相交于点，交曲线于，两点，交圆于，两点，求与的面积之和的取值范围.
19．如图，在直三棱柱中，，分别为，，的中点，分别记，，为，，.
(1)用，，表示，；
(2)若，，求.
20．已知抛物线的焦点为F，点是抛物线C上一点，点Q是PF的中点，且Q到抛物线C的准线的距离为．
(1)求抛物线C的方程；
(2)已知圆，圆M的一条切线l与抛物线C交于A，B两点，O为坐标原点，求证：OA，OB的斜率之差的绝对值为定值．
21．如图，已知在矩形中，，，点是边的中点，与相交于点，现将沿折起，点的位置记为，此时，是的中点.
(1)求证：平面；
(2)求证：面；
(3)求二面角的余弦值.
22．已知椭圆M：的左、右焦点分别为、，，点在椭圆M上．
（1）求椭圆M的方程；
（2）过的直线l与椭圆M交于P、Q两点，且，求直线l的方程；
（3）如图，四边形ABCD是矩形，AB与椭圆M相切于点F，AD与椭圆M相切于点E，BC与椭圆M相切于点G，CD与椭圆M相切于点H，求矩形ABCD面积的取值范围．
参考答案：
1．A
本题结合椭圆的定义与充分必要条件，根据椭圆的定义列不等式组解出，特别要注意的就是椭圆的，这道题即可解决.
由方程表示椭圆，则满足条件为：
，解得且
所以由且，可以推出，但反过来不成立.
故选：A
2．C
双曲线的标准方程为 ，则
双曲线的左焦点 抛物线的准线为
∵双曲线的左焦点在抛物线的准线上， ，即 则
即 解得 即
，则双曲线的渐近线方程为.
故选C.
3．C
根据空间向量的线性运算，可求得答案.
由题意，，
得，
故选：C．
4．D
利用等差数列的性质与求和公式即可得出结果．
由等差数列， ，
则，解得，
则该数列的前2015项的和，
故选．
本题考查了等差数列的通项公式与求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
5．D
首先根据示意图得到为等边三角形，从而就可以判断①，又可以计算四边形的面积，进而判断②，再根据得到，最后利用基本不等式求得，的最值.
根据题意画出示意图：
设直线AB与OM交于点C，则点C为AB中点且,
因为,所以为等边三角形，故,
,故①正确；
，而,
所以
为定值，故②正确；
因为，所以，所以，
利用基本不等式得：，所以，故③不正确；
又，所以，故④正确；
综上：正确的有：①②④.
故选：D.
判断两圆的位置关系常用几何法，由两圆相交得到圆心连线与公共弦是垂直平分的，在处理线段长度，面积问题，数量积问题中经常会用到，需要熟练掌握.
6．B
作出可行域，表示的几何意义是可行域内的点到的斜率，找到取最小值的点代入即可.
如下图所示，阴影部分为可行域，
结合图像，当取可行域内点时，取最小值，，，，此时为点与点连线的斜率为.
故选：B
7．C
根据题意，求得，结合抛物线定义，求得即可.
根据题意，过作，记与轴交点为，如下所示：
由抛物线定义可知，又因为，且，
故可得，则，
由，解得.
故选：C.
本题考查抛物线方程的求解，涉及抛物线的定义，属中档题.
8．A
建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出线面角；
解：以点A为坐标原点，AD，AB，AP所在的直线分别为x轴,y轴、z轴，
建立空间直角坐标系，
则，，，
平面ABCD的一个法向量为，
所以．
又因为，所以，
所以斜线PC与平面ABCD的法向量所在的直线所成的角为60°，
所以斜线PC与平面ABCD所成的角为30°．
故选：A
9．AD
对于AB，根据题意得，再利用两点距离公式整理得，从而可知曲线为圆；
对于C，利用圆心到直线的距离与半径的比较，即可判断两者是否有交点；
对于D，利用弦长公式即可得解.
对于AB，设，而，
故，则，
即，即，
所以曲线为圆，故A正确，B错误；
对于C，圆心到直线的距离为，
故曲线与直线相离，故C错误；
对于D，圆心到直线：的距离为，
则，故D正确.
故选：AD.
10．AC
根据等差数列的定义及前项和公式可求得公差与的关系，再对各项进行逐一判断即可.
设等差数列的公差为，
因为，可得，解得，
又由，所以，所以A正确；
因为公差的正负不能确定，所以可能为最大值最小值，故B不正确；
由，所以，所以C正确；
因为，所以，即，所以D错误.
故选:AC.
11．AD
对于A，在平面找一条直线，使其与平行即可；
对于B，先由证明四点共面，再证四点共面，进而能判断直线与平面的位置关系；
对于C，以为正交基底，建立空间直角坐标系，用坐标运算即可；
对于D，把三棱锥的正面和上底面展开，即能找到的最小值，构造直角三角形求解即可.
对于A，连接，分别是棱的中点，且，四边形为平行四边形， ，又平面，平面在平面内，所以平面，故A正确；
对于B，易知，所以四点共面，又点，所以四点共面，平面，而平面，直线平面，故B不正确；
对于C，以为正交基底，建立如图1所示的空间直角坐标系.
则，，，
，，，
，
若，则，，在线段延长线上，而不在线段上，故C不正确；
对于D，把图1的正面和上底面展开如图2所示，连接即为所求，过做PG垂直于且与其相交于，与相交于，易得，，
，，在中，
，，故D正确.
故选：AD
12．ABD
对于A，分析点M沿正方体的表面从点A到点的各种情况即可判断；对于B，取DD1中点E，
连EM并求出EM=1即可计算判断；对于C，利用等体积法转化为求三棱锥的体积即可判断；
对于D，建立空间直角坐标系，借助空间向量建立函数关系求其最值即可判断作答.
对于A，点M沿正方体的表面从点A到点的最短路程，则点M应在点A与点P所在的两个相邻平面内从点A到点，
由对称性知，点M从点A越过棱DD1与越过棱BB1到点的最短路程相等，点M从点A越过棱DC与越过棱BC到点的最短路程相等，
把正方形ABB1A1与正方形BCC1B1放在同一平面内，如图，连接AP，AP长是点M从点A越过棱BB1到
点的最短路程，，
把正方形ABCD与正方形BCC1B1放在同一平面内，如图，连接AP，AP长是点M从点A越过棱BC到
点的最短路程，，
而，于是得点M沿正方体的表面从点A到点最短路程为，A正确；
对于B，取DD1中点E，连EM，PE，如图，因是正方体的棱中点，
则PE//CD，而CD⊥平面ADD1A1，则有PE⊥平面ADD1A1，平面ADD1A1，于是得PE⊥EM，
由，PE=1得，EM=1，因此，点在侧面内运动路径是以E为圆心，
1为半径的圆在正方形内的圆弧，如图，圆弧所对圆心角为，圆弧长为，B正确；
对于C，因，而面积是定值，要三棱锥的体积最大，当且仅当点M到平面C1BD距离最大，
如图，点A1是正方形ADD1A1内到平面C1BD距离最大的点，，C不正确；
对于D，建立如图所示的空间直角坐标系，则，
令，则，又，
直线PD1与直线PM夹角为，，
令，则，
当且仅当，即，时，取最大值，而，
此时，取得最小值，又，点到直线的距离，于是得，
所以到直线的距离的最小值为，D正确.
故选：ABD
关键点睛：涉及空间图形中几条线段和最小的问题，把相关线段所在的平面图形展开并放在同一平面内，再利用两点之间线段最短解决是关键.
13．
把直线方程化为斜截式，再利用斜率与倾斜角的关系即可得出．
设直线的倾斜角为．
由直线化为，故，
又，故，故答案为．
一般地，如果直线方程的一般式为，那么直线的斜率为，且，其中为直线的倾斜角，注意它的范围是．
14．##
由向量共面的性质列出方程组求解即可.
因为，，共面，所以存在实数x，y，使得，得，
解得
∴ ．
故答案为：
15．-9
【解析】当为奇数时，，当为偶数时，，利用叠加法即得解.
当为奇数时，，
当为偶数时，，
故
故答案为:-9
本题考查了利用叠加法求通项公式，考查了学生转化划归，分类讨论，数学运算的能力，属于中档题.
16．
根据圆心到切线的距离等于半径求得，根据中位线求得且，利用等面积法求得点的纵坐标，代入切线方程求得横坐标.求出抛物线的方程，将点的坐标代入抛物线方程，化简后求得的值，进而求得双曲线的离心率.
由于直线和圆相切，故圆心到直线的距离等于半径，而，故.所以直线的斜率为，故直线的方程为.由于是的中点，故是三角形的中位线，故且，由等面积法得，解得，代入直线的方程，求得，故.由于抛物线和双曲线焦点相同，故，所以抛物线方程为，将点坐标代入抛物线方程并化简得，即，解得，故双曲线的离心率为.
本小题主要考查直线和圆的位置关系，考查直线和抛物线的位置关系，考查双曲线的离心率，属于中档题.
17．（1）；；（2）.
【解析】（1）由，得，进而得，再由即可得解；
（2）由，利用错位相减法即可求和.
（1）当时，，则，
则，当时，
当时，适合上式，则，
（2）由（1）可知，
则
两式相减得
，
∴.
本题主要考查了利用求数列通项公式，涉及错位相减法求和，属于基础题.
18．(1)
(2)
（1）根据动圆圆心到两定点距离的关系可以判断其为双曲线；
（2）分两种情况讨论，每一种情况中计算、，从而求得面积的表达式，再求范围即可.
(1)
由：，得，可知，其半径为，
由：，得，可知，其半径为.
设动圆半径为，动圆圆心到的距离为，到的距离为，则有
或，即，得，
又，
所以动圆圆心的轨迹是以，为焦点的双曲线，由，可得.
所以动圆圆心的轨迹方程为.
(2)
①当直线的斜率存在时，由题意，，设：，与双曲线联立，
由于其于双曲线有两个不同的交点，
所以，得且，
且.
设：，即.
设圆到直线的距离为，则，
因为交圆于，两点，故，得.
且，
由题意可知,
所以，
因为，可得.
②当直线的斜率不存在时，，，
所以，
所以.
19．(1)；.
(2).
（1）用空间向量的加减运算分别表示，，，，再转化为，，表示即可；
（2）先把用，，表示，然后平方，把向量的模和数量积分别代入，计算出结果后再进行开方运算求得.
（1）连结.在直三棱柱中，，，，
则.
.
（2）如图，在直三棱柱中，，，，所以，，又，
所以，，.
，
所以.
20．(1)；
(2)2.
（1）根据题意即可列出等式，即可求出答案；
（2）当直线的斜率不存在时，，当直线的斜率存在时，设出直线的方程为即点的坐标，把直线与抛物线进行联立，写出韦达定理，利用到直线的距离等于半径2，找到与之间的关系式，在计算OA，OB的斜率之差的绝对值，化简即可求出答案.
(1)
根据题意可列
故抛物线C的方程为.
(2)
①当直线的斜率不存在时，直线的方程为，，.
②当直线的斜率存在且不为0时，故设直线的方程为，
圆M的一条切线l与抛物线C交于A，B两点，故
设
把直线的方程与抛物线进行联立
.

.
综上所述：的斜率之差的绝对值为定值为2.
21．(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
（1）取线段的中点，连接、，证明出平面平面，利用面面平行的性质可证得结论成立；
（2）翻折前，利用勾股定理证明出，翻折后则有，，利用线面垂直的判定定理可证得结论成立；
（3）过点在平面内作，垂足为点，连接，分析可知二面角的平面角为，证明出，计算出的长，即可求得的余弦值，即为所求.
(1)
证明：取线段的中点，连接、，
翻折前，在矩形中，为的中点，，则，
所以，，
翻折后，在三棱锥中，、分别为、的中点，则，
平面，平面，平面，
为的中点，且，则，所以，为的中点，
又因为为的中点，所以，，
平面，平面，所以，平面，
，所以，平面平面，
因为平面，平面.
(2)
证明：在矩形中，，，
，，
因为，则，
因为，为的中点，所以，，则，
所以，，所以，，则，
在三棱锥中，则有，，
因为，所以，面.
(3)
解：在三棱锥中，，，，
所以，，，
过点在平面内作，垂足为点，连接，
平面，平面，，
因为，，平面，
平面，，所以，二面角的平面角为，
在中，，，，
由余弦定理可得，
所以，，所以，，
因为平面，平面，，
所以，，
故，因此，二面角的余弦值为.
22．（1）；（2）；（3）．
（1）根据椭圆离心率、点的坐标求得，从而求得椭圆的方程.
（2）利用弦长公式列方程，结合根与系数关系求得直线的斜率，进而求得直线的方程.
（3）根据的斜率是否存在进行分类讨论，结合判别式、点到直线距离公式求得，求得矩形面积的表达式，结合二次函数的性质求得面积的取值范围.
（1）由已知可得：，解得，，
所以椭圆的方程为；
（2）因为，，所以直线l的斜率存在，
设直线l的方程为：，，，
联立方程，消去y整理可得：
，
所以，，
所以，
化简可得：，所以，
则直线l的方程为：；
（3）当直线AD的斜率不存在或为0时，矩形ABCD的面积为，
当直线AD的斜率存在且不为0时，设直线AD的方程为，
联立方程消去y整理可得：
，
所以，解得，
所以，同理可得，
所以矩形ABCD的面积，
令，所以，又，所以，
则，
当，即时，取得最大值为；
所以，
所以，
综上，矩形ABCD的面积的取值范围为．
直线和椭圆相切，可利用判别式为零列方程，求得参数间的等量关系式.