高中物理高考 热点专题系列(六)　电磁感应中的“杆和导轨”模型

热点专题系列(六)

电磁感应中的“杆和导轨”模型

热点概述：电磁感应中的“杆－轨”运动模型，是导体切割磁感线运动过程中动力学与电磁学知识的综合应用，此类问题是高考命题的重点。

[热点透析]

单杆模型

注：若光滑导轨倾斜放置，要考虑导体杆受到重力沿导轨斜面向下的分力作用，分析方法与表格中受外力F时的情况类似，这里就不再赘述。

　(2020·山东省聊城市一模)(多选)如图所示，宽为L的水平光滑金属轨道上放置一根质量为m的导体棒MN，轨道左端通过一个单刀双掷开关与一个电容器和一个阻值为R的电阻连接，匀强磁场的方向垂直于轨道平面向里，磁感应强度大小为B，电容器的电容为C，金属轨道和导体棒的电阻不计。现将开关拨向“1”，导体棒MN在水平向右的恒力F作用下由静止开始运动，经时间t0后，将开关S拨向“2”，再经时间t，导体棒MN恰好开始匀速向右运动。下列说法正确的是(　　)

A．开关拨向“1”时，导体棒做加速度逐渐减小的加速运动

B．开关拨向“2”时，导体棒可能先做加速度逐渐减小的减速运动

C．开关拨向“2”后，导体棒匀速运动的速率为

D．t0时刻电容器所带的电荷量为

解析　开关拨向“1”时，经过Δt，电容器充电ΔQ＝C·ΔE＝CBL·Δv，流过导体棒的电流I0＝，对导体棒应用牛顿第二定律有F－BI0L＝ma0，联立得F－BL＝ma0，根据加速度的定义式a＝得a0＝，加速度为定值，所以导体棒做匀加速直线运动，故A错误；开关拨向“2”时，某时刻导体棒受到的安培力表达式为FA＝BIL＝BL＝，根据楞次定律可知安培力阻碍导体棒的相对运动，方向水平向左，若安培力大于F，则导体棒做减速运动，根据牛顿第二定律FA－F＝ma，导体棒速度减小，加速度减小，所以导体棒可能做加速度减小的减速运动，故B正确；开关拨向“2”后，导体棒匀速运动时，导体棒受力平衡，则F＝，解得v1＝，故C正确；开关拨向“1”时，导体棒做匀加速直线运动，经过t0时间，导体棒产生的电动势E0＝BL·a0t0＝，此时电容器所带的电荷量Q＝CE0＝，故D错误。

答案　BC

双杆模型

1.模型特点

(1)一杆切割时，分析同单杆类似。

(2)两杆同时切割时，回路中的感应电动势由两杆共同决定，E＝＝Bl(v1－v2)。

2．电磁感应中的“双杆”问题分析

(1)初速度不为零，不受其他水平外力的作用

(2)初速度为零，一杆受到恒定水平外力的作用

　(2020·山东省肥城市适应性训练)(多选)如图，平行光滑金属导轨M、N固定在水平面上，处于竖直向下的匀强磁场中，完全相同的两金属棒P、Q搭放在导轨上，开始均处于静止状态，给P施加一与导轨平行的恒定拉力作用，运动中两金属棒始终与导轨垂直并与导轨接触良好。设导轨足够长，除两棒的电阻外其余电阻均不计，则两棒的速度及棒中的感应电流随时间变化的图像正确的是(　　)

解析　在恒定拉力的作用下，P向右运动切割磁感线，产生感应电流，由右手定则判断知，回路中产生逆时针方向的感应电流，由左手定则判断可知，Q棒所受的安培力方向向右，故Q向右做加速运动；Q向右运动后，开始阶段，两棒的速度差增大，回路中产生的感应电动势增大，感应电流增大，两棒所受的安培力都增大，则P的加速度减小，Q的加速度增大，当两者的加速度相等时，速度之差不变，感应电流不变，安培力不变，两棒做加速度相同的匀加速运动。故A、D正确，B、C错误。

答案　AD　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　

[热点集训]

1. (2020·河北省石家庄市教学质量检测)如图所示，水平面内有一平行金属导轨，导轨光滑且电阻不计，阻值为R的导体棒垂直于导轨放置，且与导轨接触良好。导轨所在空间存在匀强磁场，匀强磁场与导轨平面垂直。t＝0时，将开关S由1掷向2，分别用q、i、v和a表示电容器所带的电荷量、棒中的电流、棒的速度大小和加速度大小，则下列图像中正确的是(　　)

答案　D

解析　分析导体棒的运动情况：开关S由1掷向2，电容器放电，会在电路中产生电流，导体棒中有电流通过，会受到安培力的作用，会产生加速度而加速运动，则导体棒切割磁感线产生感应电动势，速度增大，感应电动势增大，则电路中电流减小，导体棒所受安培力减小，加速度减小，因导轨光滑，所以在有电流通过棒的过程中，棒一直加速运动，加速度逐渐减小，速度逐渐增大；当感应电动势等于电容器两端的电压时，电路中无电流，导体棒做匀速运动，加速度为零，速度达到最大值，此时电容器所带电荷量q＝CU不为零。综上所述，A、B、C错误，D正确。

2．(2021·福建省宁德市高三第一次质量检查)(多选)如图所示，有竖直向下的匀强磁场穿过水平放置的光滑平行金属导轨，导轨左端连有电阻R，质量相等、长度相同的铁棒和铝棒静止在轨道上。现给两棒一个瞬时冲量，使它们以相同初速度v0向右运动，两棒滑行一段距离后停下，已知铁棒和铝棒始终与导轨接触且垂直，铁的电阻率大于铝的电阻率，则(不考虑磁化)(　　)

A．在速度为v0时，两棒的端电压Uab＝Ucd

B．铝棒运动的时间小于铁棒运动的时间

C．运动过程中，铁棒中间时刻的加速度等于初始时刻加速度的一半

D．整个运动过程中，甲回路中磁通量的变化量大于乙回路中磁通量的变化量

答案　BD

解析　铁的密度大于铝的密度，铁棒和铝棒质量相等，长度相同，可知铁棒的横截面积小于铝棒的横截面积，又由铁的电阻率大于铝的电阻率及r＝ρ可知，铁棒电阻r铁大于铝棒电阻r铝，铁棒和铝棒的初速度均为v0，根据法拉第电磁感应定律，棒中感应电动势均为E＝BLv0，由闭合电路欧姆定律知回路中电流为I＝，而电阻R两端电压为U＝IR＝，由于铁棒和铝棒的电阻r不同，故铁棒和铝棒的端电压Uab≠Ucd，故A错误；由于铝棒的电阻小于铁棒的电阻，根据安＝，可知铝棒受到的平均安培力大于铁棒受到的平均安培力，根据动量定理有－安Δt＝0－mv0，可知铝棒运动的时间小于铁棒运动的时间，故B正确；根据牛顿第二定律可知a＝，铁棒做加速度减小的减速运动，铁棒在中间时刻的速度小于，则铁棒在中间时刻的加速度小于初始时刻加速度的一半，故C错误；根据动量定理可知－安Δt＝0－mv0，而安Δt＝＝＝，解得ΔΦ＝，又因铁棒的电阻大，则整个运动过程中，甲回路中磁通量的变化量大于乙回路中磁通量的变化量，故D正确。

3.(2020·山东省泰安市适应性训练)如图所示，在水平面上有两条导电导轨MN、PQ，导轨间距为d，匀强磁场垂直于导轨所在的平面向里，磁感应强度的大小为B。两根完全相同的金属杆1、2间隔一定的距离摆开放在导轨上，且与导轨垂直，它们的电阻均为R，两杆与导轨接触良好，导轨电阻不计，金属杆与导轨间的摩擦不计。杆1以初速度v0滑向杆2，为使两杆不相碰，则杆2固定与不固定两种情况下，最初摆放两杆时的最小距离之比为(　　)

A．1∶1   B.1∶2 

C.2∶1   D.3∶1

答案　C

解析　若杆2固定，设最初摆放两杆时的最小距离为x1，对杆1由动量定理得－Bdt＝0－mv0，q＝t＝＝，解得x1＝；若杆2不固定，设最初摆放两杆时的最小距离为x2，两者最终速度为v，根据动量定理，对杆1有－B I′]dt′＝mv－mv0，对杆2有B I′]dt′＝mv，电荷量q′＝ I′]t′＝＝，解得x2＝，则x1∶x2＝2∶1，故C正确，A、B、D错误。

4.(2020·山东省枣庄市二调模拟)(多选)如图所示，足够长的水平光滑金属导轨所在空间中，分布着垂直于导轨平面方向竖直向上的匀强磁场，磁感应强度大小为B。两导体棒a、b均垂直于导轨静止放置。已知导体棒a质量为2m，导体棒b质量为m；长度均为l，电阻均为r；其余部分电阻不计。现使导体棒a获得瞬时平行于导轨水平向右的初速度v0。除磁场作用外，两棒沿导轨方向无其他外力作用，在两导体棒运动过程中，下列说法正确的是(　　)

A．任何一段时间内，导体棒b动能增加量跟导体棒a动能减少量的数值总是相等的

B．任何一段时间内，导体棒b动量改变量跟导体棒a动量改变量总是大小相等、方向相反

C．全过程中，通过导体棒b的电荷量为

D．全过程中，两棒共产生的焦耳热为

答案　BCD

解析　根据题意可知，两棒组成回路，电流大小相同，故所受安培力的合力为零，动量守恒，故任何一段时间内，导体棒b动量改变量跟导体棒a动量改变量总是大小相等、方向相反，根据能量守恒定律可知，a动能减少量的数值等于b动能增加量与系统产生的电热之和，故A错误，B正确；a、b最终共速，设最终速度为v，由动量守恒定律有2mv0＝(2m＋m)v，对b棒由动量定理有mv－0＝Bl·t＝Blq，联立解得q＝，根据能量守恒定律，两棒共产生的焦耳热为Q＝×2mv－(2m＋m)v2＝，故C、D正确。

5．(2020·北京市海淀区查漏补缺)水平面上有两根足够长的光滑平行金属导轨，两导轨间距为d，在导轨上有质量为m的导体杆。整个装置处于方向竖直向下、磁感应强度大小为B的匀强磁场中。现用一水平恒力F向右拉动导体杆由静止开始运动，杆与导轨之间的摩擦和空气阻力，以及导轨的电阻均可忽略不计。假设导轨长度足够长，磁场的范围也足够大，在整个运动过程中杆与导轨保持垂直且良好接触。

(1)若在导轨之间接有一阻值为R的定值电阻，导体杆接入两轨道之间的电阻为r，如图甲所示，求：

①导体杆所能达到的最大速度vm；

②导体杆运动距离为s0过程中，通过电阻R的电荷量q。

(2)若导体杆的电阻可忽略不计，在导轨之间接有一电容为C的不带电的电容器，如图乙所示，在电容器不会被击穿的情况下，

①求电容器极板上积累的电荷量与金属棒速度大小v的关系；

②请分析说明导体杆运动的性质，并求出导体杆在时间t内通过的位移s大小。

答案　(1)①　②

(2)①Q＝CBdv　②匀加速直线运动　

解析　(1)①当导体杆所受安培力与拉力F大小相等时速度最大，即有F＝FA＝BId

此时电流为I＝＝

联立解得vm＝。

②由公式q＝Δt得q＝Δt＝Δt＝。

(2)①导体杆切割磁感线产生感应电动势，则电容器两端电压为U＝Bdv

电荷量为Q＝CU＝CBdv。

②对导体杆由牛顿第二定律得F－Bid＝ma

其中i＝＝＝CBda

整理得a＝

则导体杆做匀加速直线运动，导体杆在时间t内通过的位移s＝at2＝×＝。

6．(2021·八省联考河北卷)如图1所示，两条足够长的平行金属导轨间距为0.5 m，固定在倾角为37°的斜面上。导轨顶端连接一个阻值为1 Ω的电阻。在MN下方存在方向垂直于斜面向上、大小为1 T的匀强磁场。质量为0.5 kg的金属棒从AB处由静止开始沿导轨下滑，其运动过程中的v­t图像如图2所示。金属棒运动过程中与导轨保持垂直且接触良好，不计金属棒和导轨的电阻，取g＝10 m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。

(1)求金属棒与导轨间的动摩擦因数；

(2)求金属棒在磁场中能够达到的最大速率；

(3)已知金属棒从进入磁场到速度达到5 m/s时通过电阻的电荷量为1.3 C，求此过程中电阻产生的焦耳热。

答案　(1)0.25　(2)8 m/s　(3)2.95 J

解析　(1)由图2可知，金属棒在0～1 s内做初速度为0的匀加速直线运动，1 s后做加速度减小的加速运动，可知金属棒第1 s末进入磁场。

在0～1 s过程中，由图2可知，金属棒的加速度

a＝＝4 m/s2

在该过程中，沿斜面只有重力的分力和滑动摩擦力，根据牛顿第二定律有mgsin37°－μmgcos37°＝ma

联立解得，金属棒与导轨间的动摩擦因数

μ＝0.25。

(2)金属棒在磁场中达到最大速率时，金属棒处于平衡状态，设金属棒的最大速率为vm

金属棒切割磁感线产生的感应电动势为E＝BLvm

根据闭合电路欧姆定律有I＝

根据安培力公式有FA＝ILB

根据平衡条件有FA＋μmgcos37°＝mgsin37°

联立并代入数据解得vm＝8 m/s。

(3)根据法拉第电磁感应定律和闭合电路欧姆定律，可得金属棒从进入磁场至速度达到v2＝5 m/s通过电阻的电荷量为

q＝t＝＝＝＝

解得金属棒在磁场下滑的位移x＝＝2.6 m

在该过程中，对金属棒，由动能定理有

mgxsin37°－μmgxcos37°－WA＝mv－mv

此过程中电阻产生的焦耳热等于克服安培力做的功，即Q＝WA

联立以上各式，解得此过程中电阻产生的焦耳热

Q＝2.95 J。

7．(2020·湖北省武汉市六月模拟)如图所示，两根足够长的平行光滑金属导轨固定在倾角θ＝30°的斜面上，导轨电阻不计，间距为L。导轨所在空间被分成区域Ⅰ和Ⅱ，两区域的边界与斜面的交线为MN，Ⅰ中的匀强磁场方向垂直斜面向下，Ⅱ中的匀强磁场方向垂直斜面向上，两磁场的磁感应强度大小均为B。在区域Ⅰ中，将质量为m、电阻为R的导体棒ab放在导轨上，且被两立柱挡住，在区域Ⅱ中将质量为2m、电阻为R的导体棒cd置于导轨上，由静止开始下滑，经时间t，ab刚好离开立柱。ab、cd始终与导轨垂直且两端与导轨保持良好接触，重力加速度为g。试求：

(1)t时刻cd棒的速度大小vt；

(2)在时间t内cd棒产生的电能Ecd；

(3)ab棒中电流的最大值。

答案　(1)　(2)－　(3)

解析　(1)t时刻cd棒的速度大小为vt，由法拉第电磁感应定律，得E＝BLvt

由闭合电路欧姆定律，得I＝

分析ab棒受力，得BIL＝mgsin30°

联立解得vt＝。

(2)设在时间t内cd棒下滑的距离为x，由动量定理得

(2mgsin30°)t－t＝2mvt－0

又＝BL

＝＝

由能量守恒定律，得Ecd＝(2mgsin30°)x－·2mv

联立解得Ecd＝－。

(3)两根棒均切割磁感线时，有i＝

对ab棒有BiL－mgsin30°＝maab

对cd棒有2mgsin30°－BiL＝2macd

当电流最大时，vcd－vab最大，aab＝acd

联立解得Im＝。