理科数学-2022-2023学年高三下学期开学摸底考试卷A（全国甲卷专用）

2022-2023学年高三下学期开学摸底考试卷A（全国甲卷）

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如

需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回

一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．已知复数z满足，则 （    ）

A．1 B． C． D．

【答案】C

【分析】根据复数模的计算以及复数的除法，即可求得答案.

【详解】由题意知复数z满足，

即，

故选：C

2．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由函数值域和定义域的求法可求得集合，由交集定义可得结果.

【详解】，，即；

由对数函数定义域知：；.

故选：A.

3．已知等差数列，前n项和为，，则（    ）．

A．200 B．300 C．500 D．1000

【答案】C

【分析】由等差数列求和公式及可得，则由整体法可求.

【详解】设数列的首项为，公差为d，

则，

化简得，．

故选：C．

4．2021年，我国全年货物进出口总额391009亿元，比上年增长21.4%.其中，出口217348亿元，增长21.2%；进口173661亿元，增长21.5%.货物进出口顺差43687亿元，比上年增加7344亿元.如图是我国2017—2021年货物进出口总额统计图，则下面结论中不正确的是（    ）

A．2020年的货物进出口总额322215亿元 B．2020年的货物进出口顺差36343亿元

C．2017—2021年，货物进口总额逐年上升 D．2017—2021年，货物出口总额逐年上升

【答案】C

【分析】根据2017—2021年货物进出口总额统计图，依次分析各个选项，即可得到答案.

【详解】对于A，2020年的货物进出口总额为亿元，故A正确；

对于B，2020年的货物进出口顺差为亿元，故B正确；

对于C，2020年的货物进口总额为142936亿元，相对于2019的货物进口总额143254亿元下降了，故C错误；

对于D，2017—2021年，货物出口总额逐年上升，故D正确.

故选：C

5．设为锐角，且，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据诱导公式及二倍角的正弦公式化简，再由函数的性质可得解.

【详解】，

，且为锐角

，且，

故选：C

6．如图是一个简单几何体的三视图，若，则该几何体体积的最大值为（    ）

A． B． C．6 D．3

【答案】D

【分析】首先由三视图，确定几何体，再利用基本不等式求体积的最大值.

【详解】根据三视图可知，几何体是如图所示的三棱锥,四个顶点为长方体的顶点，则几何体的体积，当且仅当时，等号成立，所以几何体体积的最大值是3.

故选：D

7．已知在平行四边形中，，，，，，则（    ）

A．6 B．4 C．3 D．2

【答案】B

【分析】利用向量加减法运算，对进行分解，再利用数量积公式即可求解.

【详解】因为为平行四边形，所以，，又

则

，又因为，，，则，因为，解得.

故选：

8．下列结论不正确的是（    ）

A．若事件与互斥，则

B．若事件与相互独立，则

C．如果分别是两个独立的随机变量，那么

D．若随机变量的方差，则

【答案】A

【分析】由已知，选项A，根据事件与互斥，可知；选项B，根据事件与相互独立，可知；选项C，根据分别是两个独立的随机变量，可得；选项D，由，可得，即可作出判断.

【详解】由已知，

选项A，若事件与互斥，则，故该选项错误；

选项B，若事件与相互独立，则，故该选项正确；

选项C，若分别是两个独立的随机变量，那么，故该选项正确；

选项D，若随机变量的方差，则，故该选项正确；

故选：A.

9．已知函数，若对于任意的实数恒有，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由已知可将题目转化为，即，显然，运用参数分离和二倍角公式可得，求出右边函数的范围，即可得解.

【详解】对于任意的实数恒有，即，

即，显然，

当时，显然成立；由偶函数的性质，只要考虑的情况即可，

当时，，即

由，则，则题目转化为，

令，求导，

故函数在上单调递减，，即，

，即，所以，解得

所以实数的取值范围是

故选：A

10．设，，，则、、的大小关系是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】利用零点存在定理计算出、的取值范围，利用对数函数的单调性可得出，即可得出、、的大小关系.

【详解】构造函数，因为函数、在上均为增函数，

所以，函数为上的增函数，且，，

因为，由零点存在定理可知；

构造函数，因为函数、在上均为增函数，

所以，函数为上的增函数，且，，

因为，由零点存在定理可知.

因为，则，因此，.

故选：B.

11．已知圆，过点的直线，，…，被该圆M截得的弦长依次为，，…，，若，，…，是公差为的等差数列，则n的最大值是（    ）

A．10 B．11 C．12 D．13

【答案】D

【分析】求出弦长的最小和最大值，根据等差数列的关系即可求出n的最大值

【详解】解：由题意

在圆中

∴圆心，半径为3，

过点的直线，，…，被该圆M截得的弦长依次为，，…，

过圆心作弦的垂线，交圆于两点，如下图所示：

由几何知识得，当时，

为最短弦长；为最长弦长，为6.

此时，

直线的解析式为：

直线的解析式为：

圆心到弦BC所在直线的距离：

连接,

由勾股定理得，

∴，

∴最短弦长，

∵，，…，是公差为的等差数列

∴设

∵最长弦长为6

∴

解得：

故选：D.

12．已知点是椭圆的上顶点，分别是椭圆左右焦点，直线将三角形分割为面积相等两部分，则的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】由题意，,，，先求出直线y＝ax+b（a＞0）与x轴的交点为，由，可得点M在射线上．再求出直线y＝ax+b（a＞0）和的交点N的坐标，分三种情况讨论：①若点M和点重合，求得；②若点M在点O和点之间，求得；③若点M在点的左侧，求得．求并集即可得b的取值范围．

【详解】解：因为点是椭圆的上顶点，分别是椭圆左右焦点，

所以，，从而有，

所以,，，

由题意，三角形的面积为1，

设直线y＝ax+b（a＞0）与x轴的交点为，由直线y＝ax+b（a＞0）将三角形分割为面积相等的两部分，可得，所以，故点M在射线上．

设直线y＝ax+b和的交点为N，则由可得点N的坐标为．

①若点M和点重合，如图：

则点N为线段的中点，故N，

把、N两点的坐标代入直线y＝ax+b，求得a＝b．

②若点M在点O和点之间，如图：

此时，点N在点和点之间，

由题意可得三角形的面积等于，即，

即，可得a，求得，

故有．

③若点M在点的左侧，

则，由点M的横坐标，求得b＞a．

设直线y＝ax+b和的交点为P，则由求得点P的坐标为，

此时，由题意可得，三角形APN的面积等于，即，

即，化简可得．

由于此时b＞a＞0，所以 ．

两边开方可得 ，所以，化简可得，

故有．

综上，b的取值范围应是.

故选：B.

二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13．与函数在点处具有相同切线的一个函数的解析式是__________．

【答案】（答案不唯一）

【分析】先求出在点处的切线为，再构造，经检验满足要求.

【详解】，故，

则函数在点处的切线为，

不妨令，，故在上，

，故，则函数在点处的切线为，满足要求.

故答案为：

14．杭州亚运会启动志愿者招募工作，甲、乙、丙、丁等4人报名参加了三个项目的志愿者工作，每个项目需1名或2名志愿者，若甲不能参加项目，乙不能参加、项目，那么共有______种不同的志愿者选拔方案.

【答案】10

【分析】由题意可得乙一定参加项目，再分项目只有一个人和项目有2人两种情况讨论，再根据分组分配问题即可得出答案按.

【详解】解：由题意可得乙一定参加项目，

若项目只有一个人时，即为乙，

则先将甲、丙、丁分为两组，有种，

再将两组分配到两个项目，有种，

则有种不同的志愿者选拔方案，

若项目有2人时，又甲不能参加项目，

则只能从丙、丁中选1人和乙组队到项目，有种，

再将剩下的2人分配到两个项目，有种，

则有种不同的志愿者选拔方案，

综上，共有种不同的志愿者选拔方案.

故答案为：10.

15．在中，内角，，的对边分别为，，，边的中点为，线段的中点为，且，则____________.

【答案】

【分析】由向量的代数运算和数量积公式，可得，再利用同角三角函数的关系及正余弦定理角化边，由计算即可.

【详解】边的中点为，线段的中点为，∴，又，

∴，即，

由同角三角函数的关系及正余弦定理，有：.

故答案为：

16．四棱台的上底面是边长为2的正方形，下底面是边长为3的正方形，四条侧棱的长均为，则该四棱台的体积为______.

【答案】##

【分析】如图，过作，垂足为E，求出、，利用相似三角形的性质求出，结合锥体的体积公式分别求出四棱锥和的体积即可.

【详解】如图，该四棱台为，

四棱锥的高交于，交于，

由题意知，，过作，垂足为E，

则，又，所以，

在四棱锥中，，

所以，而，

解得，

所以四棱锥的体积为，

四棱锥的体积为，

所以四棱台的体积为.

故答案为：.

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．

（一）必考题：共60分．

17．已知数列，，数列满足．

(1)求数列的通项公式；

(2)求数列的前项和．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）首先求，再代入即可求数列的通项公式；

（2）由（1）可知，再利用错位相减法求和.

【详解】（1），

，

又，

．

（2）由（1）知，，

，

①，

②，

故①-②得．

，

.

18．某校为减轻暑假家长的负担，开展暑期托管，每天下午开设一节投篮趣味比赛．比赛规则如下：在A，B两个不同的地点投篮．先在A处投篮一次，投中得2分，没投中得0分；再在B处投篮两次，如果连续两次投中得3分，仅投中一次得1分，两次均没有投中得0分．小明同学准备参赛，他目前的水平是在A处投篮投中的概率为p，在B处投篮投中的概率为．假设小明同学每次投篮的结果相互独立．

(1)若小明同学完成一次比赛，恰好投中2次的概率为，求p；

(2)若，记小明同学一次比赛结束时的得分为X，求X的分布列及数列期望．

【答案】(1)

(2)分布列见解析；

【分析】（1）将小明同学恰好投中2次分成三种情况，分别求得概率相加与已知概率相等构造等式，解方程即可求出的值；

（2）首先由题意可得得分的可能取值分别为，，，，，分别计算每种情况的概率即可求得的分布列，最后根据数学期望的计算公式求解的数学期望即可.

【详解】（1）设小明在处投篮为事件，在处投篮分别为

已知小明同学恰好投中2次，分三种情况

中中不中；

中不中中；

不中中中；

其概率为：，解得：.

（2）由题意可得得分的可能取值分别为，，，，

；

；

；

；

.

综上所述可得的分布列为

19．已知直四棱柱中，底面ABCD为菱形，E为线段上一点.

(1)证明：平面；

(2)若，则当点E在何处时，CE与所成角的正弦值为？

【答案】(1)证明见解析；

(2)详见解析；

【分析】（1）先证明平面平面，进而证明平面；

（2）以D为原点建立空间直角坐标系，利用向量表示CE与所成角的正弦值为，进而求得点E位置为或

【详解】（1）直四棱柱中

四边形为平行四边形，则

又平面，平面，则平面

四边形为平行四边形，则

又平面，平面，则平面

又平面，平面，

则平面平面，又平面

则平面

（2）取中点M，连接

又直四棱柱中，底面ABCD为菱形，

则两两垂直，

以D为原点，分别以所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系

又，

则,

则，，

设，令，则

则，则， ，

设平面一个法向量为，

则，，则

令，则，，则

设CE与所成角为

则

解之得或，

则当或时，CE与所成角的正弦值为

20．已知双曲线：（，）的离心率为，点到其左右焦点，的距离的差为2．

(1)求双曲线的方程；

(2)在直线上存在一点，过作两条相互垂直的直线均与双曲线相切，求的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据双曲线离心率以及点到左、右焦点的距离之差为2，可求得a，b，c，进而求得双曲线的标准方程；（2）根据过点作两条相互垂直的直线与双曲线相切，讨论斜率不存在和斜率存在两种情况，①若其中一条切线的斜率不存在，则另一条切线的斜率为0，则不满足条件；②若切线的斜率存在，则设其斜率为，，从而得到切线方程，再根据切线与双曲线相切，联立方程组，得，进而可得关于的一元二次方程，再根据两切线互相垂直有，即可得到，再结合在直线上，推出，求解即可得到的取值范围．

【详解】（1）依题意有双曲线的左、右焦点为，，

则，得，

则，

所以双曲线的方程为；

（2）①若其中一条切线的斜率不存在，则另一条切线的斜率为0，则不满足条件；

②若切线的斜率存在，则设其斜率为，，则切线方程为，

联立，消并整理得，

则，

化简得，即，

化成关于的一元二次方程，

设该方程的两根为，，即为两切线的斜率，所以，即，

又点在直线上，所以直线与圆有交点，

所以，即，即，

故的取值范围为．

【点睛】直线与圆锥曲线的位置问题，常见思路是先讨论直线的斜率是否存在，再联立直线与圆锥曲线，必要时根据的情况得出相应的关系式，再根据题目中的其他条件，可求得参数的值或者参数之间的关系式，最后求解即可．

21．已知函数．

(1)讨论的单调性；

(2)对任意的恒成立，求的取值范围．

【答案】(1)答案见解析.

(2)

【分析】（1）由题知，进而分和两种情况讨论求解即可；

（2）由题知恒成立，进而令，再根据，当且仅当时等号成立得，进而得即可得答案.

【详解】（1）解：函数的定义域为，，

当时，即时，在上恒成立，在上单调递增，

当时，即时，令得，

所以，当时，，单调递增；

当时，，单调递减；

综上，当时，在上单调递增；当时,在上单调递增，在上单调递减.

（2）解：因为对任意的恒成立，即恒成立，

所以恒成立，

令，

因为，

设，则，

所以，当时，，单调递减，当时，，单调递增，

所以，，即，当且仅当时等号成立，

所以，，当且仅当时等号成立，

令，则恒成立，

所以，在上单调递增，

因为，

所以，方程有解，等号能够取到；

所以，，

所以，要使恒成立，则，即，

所以，的取值范围是

【点睛】关键点点睛：本题第二问解题的关键在于借助，当且仅当时等号成立放缩，进而得.

（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．

22．在直角坐标系中,曲线的参数方程为（为参数）,以坐标原点为极点,以轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线的极坐标方程为（）．

(1)写出的直角坐标方程和的普通方程;

(2)设,的交点为,若,求的值．

【答案】(1);

(2)

【分析】(1)根据的参数方程及,即可得的直角坐标方程,根据极坐标转与直角坐标的互化,即可得的普通方程;

(2)将转化成极坐标方程,将代入,即可得两点极径之间的关系,再根据极径的几何意义,即可得的值.

【详解】（1）解:由题知,

,

∵,

根据极坐标转与直角坐标的互化,

可得;

（2）由(1)知,

化简得,

由可将化成极坐标方程:

,

把代入,

化简得,

所以,,

由极径的几何意义知,,

又因为,,

所以,且,

故．

23．已知函数．

(1)当时，求的解集；

(2)若区间包含于不等式的解集，求取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）代入a的值，通过讨论x的范围，求出的分段函数的形式，求出不等式的解集即可；

（2）问题等价于在上恒成立，根据x的范围，去绝对值解不等式.

【详解】（1）时，，

，等价于，解得，

故不等式的解集为

（2）若区间包含于不等式的解集，等价于在上恒成立，

即在上恒成立，得在上恒成立，

即在上恒成立，所以或在上恒成立，

解得或.

所以的取值范围为