数学-2022届初三下学期开学摸底考试卷（福建专用）（含考试版+解析版+答题卡+参考答案）

绝密★考试结束前

2022届初三下学期开学摸底考试卷（福建专用）

数学

(满分150分)

一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分。每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,不选、多选、错选均不得分)

1．下列各数中，互为相反数的是（    ）

A．与 B．1与 C．2与 D．2与

【答案】A

【详解】

A. 与，互为相反数，故该选项符合题意；

B. 1与，不互为相反数，故该选项不符合题意；   

C. 2与，不互为相反数，故该选项不符合题意；   

D. 2与，不互为相反数，故该选项不符合题意；

故选A

2．已知一个几何体如图所示，则该几何体的左视图是（　　）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】

解：由左视图的概念可得，这个几何体的左视图为：

．

故选：B．

3．等腰三角形的底边长，周长，则底角的正切值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】

如图，是等腰三角形，过点A作，BC=10cm，AB=AC，

可得：，

∵AD是底边BC上的高，

∴，

∴

∴，

即底角的正切值为．

故选：C．

【名师点拨】

本题主要考查等腰三角形的性质、勾股定理和三角函数的定义，熟练掌握等腰三角形的“三线合一”是解题的关键．

4．下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ）

A．等边三角形 B．双曲线 C．抛物线 D．平行四边形

【答案】B

【详解】

解：A、等边三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；

B、双曲线是中心对称图形，也是轴对称图形，故符合题意；

C、抛物线是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；

D、平行四边形是中心对称图形但不是轴对称图形，故不符合题意；

故选B．

【名师点拨】

本题主要考查轴对称图形、中心对称图形及二次函数的图象、反比例函数的图象，熟练掌握轴对称图形、中心对称图形及二次函数的图象、反比例函数的图象是解题的关键．

5．如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，若∠AOD＝120°，AC＝16，则AB的长为（　　）

A．16 B．12 C．8 D．4

【答案】C

【详解】

解：∵四边形ABCD是矩形，

∴AC＝2AO＝2CO，BD＝2BO＝2DO，AC＝BD＝16，

∴OA＝OB＝8，

∵∠AOD＝120°，

∴∠AOB＝60°，

∴△AOB是等边三角形，

∴AB＝AO＝BO＝8，

故选：C．

6．若，，则下列a，b，c的大小关系正确的（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】

解：

而

故选C

7．下列选项中，运算正确的是（　　）

A．a2•a4＝a8 B．（a2）3＝a5 C．（ab）3＝a3b3 D．a6÷a3＝a2

【答案】C

【详解】

，故A错误；

，故B错误；

（ab）3＝a3b3，故C正确；

，故D错误；

故选C．

8．《九章算术》是中国古代数学专著，《九章算术》方程篇中有这样一道题:“今有善行者行一百步，不善行者行六十步，今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之?”这是一道行程问题，意思是说:走路快的人走100步的时候，走路慢的才走了60步;走路慢的人先走100步，然后走路快的人去追赶走路慢的人，问走路快的人要走多少步才能追上走路慢的人?如果走路慢的人先走100步，设走路快的人要走x步才能追上走路慢的人，那么，下面所列方程正确的是（   ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】

解： 设走路快的人要走x步才能追上走路慢的人，此时走路慢的人走了步，

根据题意得，

整理得，

故选：B．

9．如图，已知是的外接圆，是的直径，是的弦，，则等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】

∵是的直径，

∴∠ADB=90°，

∴∠BAD=90°-∠ABD=32°，

∴∠BCD=∠BAD=32°．

故选：B．

10．判断关于x的方程kx2﹣（k+1）x+1＝0（k是常数，k＜1）的根的情况（　　）

A．无实数根

B．一定有两个相等的实数根

C．一定有两个不相等的实数根

D．存在一个k，使得方程只有一个实数根

【答案】D

【详解】

解：由题意得，当k=0时，

原方程化为-x+1=0,

解得x=1

即存在一个k=0，使得方程只有一个实数根；

当k<1且时，

方程一定有两个不相等的实数根，

综上可知，存在一个k=0，使得方程只有一个实数根，

故选：D．

二、填空题（本大题共6小题，每小题4分,共24分）

11．据统计全国共有346支医疗队，将近42600名医护工作者加入到湖北武汉的抗疫队伍，将42600用科学记数法表示为_________________．

【答案】

【详解】

42600=

故答案为：．

12．某农科所为了了解新玉米种子的出芽情况，在推广前做了五次出芽实验，在相同的培育环境中分别实验，实验具体情况记录如下：

随着实验种子数量的增加，可以估计A种子出芽的概率是 _____．

【答案】

【详解】

解：

故答案为：．

13．如图，在半径为的圆形纸片中，剪一个圆心角为90°的最大扇形(阴影部分)，则这个扇形的面积为____

【答案】

【详解】

解：如图，连接，

由题意得：，

是圆形纸片的直径，

，

在中，，即，

解得，

则这个扇形（阴影部分）的面积为，

故答案为：．

14．如图将一条两边互相平行的纸带按如图折叠，若∠EFG＋∠EGD=150°，则∠EGD=_____

【答案】

【详解】

解：

∠EFG＋∠EGD=150°，

∠EGD=

折叠

故答案为：．

15．已知有甲、乙两个长方形，它们的边长如图所示（m为正整数），甲、乙的面积分别为S1，S2．

（1）S1与S2的大小关系为：S1_____S2；（用“＞”、“＜”、“＝”填空）

（2）若满足条件21＜n≤|S1﹣S2|的整数n有且只有4个，则m的值是 _____．

【答案】＞    13   

【详解】

解：（1）∵S甲=（m+7）（m+1）=m2+8m+7，

S乙=（m+4）（m+2）=m2+6m+8，

∴S甲-S乙=（m2+8m+7）-（m2+6m+8）=2m-1，

∵m为正整数，

∴2m-1＞0，

∴S1-S2＞0，

∴S1＞S2，

故答案为：＞；

（2）|S1-S2|=|2m-1|=2m-1，

∵21＜n≤2m-1的整数n有且只有4个，

∴这四个整数解为22，23，24，25，

∴25≤2m-1＜26，26≤2m＜27，

解得：13≤m＜13.5，

∴m=13．

故答案为：13．

16．抛物线y＝﹣x2+2x+m交x轴于点A（a，0）和B（b，0）（点A在点B左侧），抛物线的顶点为D，下列四个结论：①抛物线过点（2，m）；②a+b＝4；③m＜﹣1；④当m＝3时，△ABD是等腰直角三角形；⑤若抛物线上有两点P（x1，y1）和Q（x2，y2），若x1＜x2，且x1+x2＞2，则y1＞y2．其中结论正确的序号是 _____．

【答案】①⑤

【详解】

①∵把x=2代入y=-x2+2x+m得，y=m，
∴抛物线过点（2，m），
故①正确；

②∵抛物线y=-x2+2x+m交x轴于点A（a，0）和B（b，0）（点A在点B左侧），
∴a、b是方程=-x2+2x+m=0的两个根，
∴，
故②错误；
③∵抛物线y=-x2+2x+m交x轴于点A（a，0）和B（b，0）（点A在点B左侧），
∴方程=-x2+2x+m=0的有两不等实数根，

∴，

解得

故③错误；

④当m=3时，抛物线与x轴的两个交点坐标分别为A（-1，0）、B（3，0），
顶点D（1,4）

设对称轴与x轴交点为E，则E点坐标为（1,0）

∴AE=BE=2,DE=4
∴△ABD不是等腰直角三角形，
故④错误；
⑤当x1＜x2，且x1+x2＞2时，或，且

即到对称轴的距离小于到对称轴的距离

∴y1＞y2．故⑤正确．
故答案为：①⑤．

三、解答题（本大题共9小题，17-21题各8分,22-23各10分，24题12分，25题14分，共86分）

17．（1）因式分解4a²-（a+1）²；

（2）解不等式组

【答案】（1）；（2）

【详解】

解：（1）4a²-（a+1）²，

（2）

解不等式①得：，

解不等式②得：，

不等式组的解集为．

18．如图，已知，将绕着点A逆时针方向旋转得，点B，C的对应点分别是点D，E．

（1）画出旋转后的；

（2）延长线段与，它们交于点N．求的度数．

【答案】（1）见解析；（2）．

【详解】

（1）如图△ADE就是所求的图形.

（2）∵绕着点A逆时针方向旋转得，

∴ ，，

∵,

∴.

∴.

19．先化简，再求值：，其中．

【答案】，

【详解】

解：

=

=

=

当时，

原式==．

20．某农产品生产基地收获红薯192吨，准备运给甲、乙两地的承包商进行包销．该基地用大、小两种货车共18辆恰好能一次性运完这批红薯，已知这两种货车的载重量分别为14吨/辆和8吨/辆，运往甲、乙两地的运费如下表：

（1）求这两种货车各用多少辆；

（2）如果安排10辆货车前往甲地，其余货车前往乙地，其中前往甲地的大货车为a辆，总运费为w元，求w关于a的函数关系式；

（3）在（2）的条件下，若甲地的承包商包销的红薯不少于96吨，请你设计出使总运费最低的货车调配方案，并求出最低总运费．

【答案】（1）大货车用8辆，小货车用10辆；（2）w=70a+11400（0≤a≤8且为整数）；（3）使总运费最少的调配方案是：3辆大货车、7辆小货车前往甲地；5辆大货车、3辆小货车前往乙地．最少运费为11610元．

【详解】

（1）设大货车用x辆，则小货车用（18﹣x）辆，根据题意得：

14x+8（18﹣x）=192，解得：x=8，18﹣x=18﹣8=10．

答：大货车用8辆，小货车用10辆．

（2）设运往甲地的大货车是a，那么运往乙地的大货车就应该是（8﹣a），运往甲地的小货车是（10﹣a），运往乙地的小货车是10﹣（10﹣a），w=720a+800（8﹣a）+500（10﹣a）+650[10﹣（10﹣a）]=70a+11400（0≤a≤8且为整数）；

（3）14a+8（10﹣a）≥96，解得：a≥．

又∵0≤a≤8，

∴3≤a≤8  且为整数．

∵w=70a+11400，k=70＞0，w随a的增大而增大，

∴当a=3时，W最小，最小值为：W=70×3+11400=11610（元）．

答：使总运费最少的调配方案是：3辆大货车、7辆小货车前往甲地；5辆大货车、3辆小货车前往乙地．最少运费为11610元．

21．已知BC是⊙O的直径，点D是BC延长线上一点，AB=AD，AE是⊙O的弦，∠AEC=30°．

（1）求证：直线AD是⊙O的切线；

（2）若AE⊥BC，垂足为M，⊙O的半径为4，求AE的长．

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【详解】（1）如图，

∵∠AEC=30°，

∴∠ABC=30°，

∵AB=AD，

∴∠D=∠ABC=30°，

根据三角形的内角和定理得，∠BAD=120°，

连接OA，∴OA=OB，

∴∠OAB=∠ABC=30°，

∴∠OAD=∠BAD﹣∠OAB=90°，

∴OA⊥AD，

∵点A在⊙O上，

∴直线AD是⊙O的切线；

（2）连接OA，∵∠AEC=30°，

∴∠AOC=60°，

∵BC⊥AE于M，

∴AE=2AM，∠OMA=90°，

在Rt△AOM中，AM=OA•sin∠AOM=4×sin60°=2，

∴AE=2AM=4．

22．随着信息技术的迅猛发展，人们去商场购物的支付方式更加多样、便捷．某校数学兴趣小组设计了一份调查问卷，要求每人选且只选一种你最喜欢的支付方式．现将调查结果进行统计并绘制成如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：

（1）这次活动共调查了　   　人；在扇形统计图中，表示“支付宝”支付的扇形圆心角的度数为　   　；

（2）将条形统计图补充完整．观察此图，支付方式的“众数”是“　   　”；

（3）在一次购物中，小明和小亮都想从“微信”、“支付宝”、“银行卡”三种支付方式中选一种方式进行支付，请用画树状图或列表格的方法，求出两人恰好选择同一种支付方式的概率．

【答案】（1）200、81°；（2）补图见解析；（3）

【详解】

详解：（1）本次活动调查的总人数为（45+50+15）÷（1﹣15%﹣30%）=200人，

则表示“支付宝”支付的扇形圆心角的度数为360°×=81°，

故答案为200、81°；

（2）微信人数为200×30%=60人，银行卡人数为200×15%=30人，

补全图形如下：

由条形图知，支付方式的“众数”是“微信”，

故答案为微信；

（3）将微信记为A、支付宝记为B、银行卡记为C，

画树状图如下：

画树状图得：

∵共有9种等可能的结果，其中两人恰好选择同一种支付方式的有3种，

∴两人恰好选择同一种支付方式的概率为=．

23．如图，在锐角三角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF=∠GAC．

（1）求证：△ADE∽△ABC；

（2）若AD=3，AB=5，求的值．

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【详解】

（1）∵AG⊥BC，AF⊥DE，

∴∠AFE=∠AGC=90°，

∵∠EAF=∠GAC，

∴∠AED=∠ACB，

∵∠EAD=∠BAC，

∴△ADE∽△ABC，

（2）由（1）可知：△ADE∽△ABC，

∴

由（1）可知：∠AFE=∠AGC=90°，

∴∠EAF=∠GAC，

∴△EAF∽△CAG，

∴，

∴=

24．如图，△ABC中，AB＝AC＝1，∠BAC＝45°，△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，连接BE，CF相交于点D,

（1）求证：BE＝CF ；

（2）当四边形ACDE为菱形时，求BD的长．

【答案】（1）证明见解析（2）-1

【详解】

（1）∵△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，

∴AE=AB，AF=AC，∠EAF=∠BAC，

∴∠EAF+∠BAF=∠BAC+∠BAF，

即∠EAB=∠FAC，

在△ACF和△ABE中，

△ACF≌△ABE

BE=CF.

（2）∵四边形ACDE为菱形，AB=AC=1，

∴DE=AE=AC=AB=1，AC∥DE，

∴∠AEB=∠ABE，∠ABE=∠BAC=45°，

∴∠AEB=∠ABE=45°，

∴△ABE为等腰直角三角形，

∴BE=AC=，

∴BD=BE﹣DE=．

25．如图，抛物线过点，且与直线交于B、C两点，点B的坐标为．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点D为抛物线上位于直线上方的一点，过点D作轴交直线于点E，点P为对称轴上一动点，当线段的长度最大时，求的最小值；

（3）设点M为抛物线的顶点，在y轴上是否存在点Q，使？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）抛物线的解析式；（2）的最小值为；（3）点Q的坐标：、．

【详解】

解：（1）将点B的坐标为代入，

，

∴B的坐标为，

将，代入，

解得，，

∴抛物线的解析式；

（2）设，则，

，

∴当时，有最大值为2，

此时，

作点A关于对称轴的对称点，连接，与对称轴交于点P．

，此时最小，

∵，

∴，

，

即的最小值为；

（3）作轴于点H，连接、、、、，

∵抛物线的解析式，

∴，

∵，

∴，

∵，

，

∴，

可知外接圆的圆心为H，

∴

设，

则，

或

∴符合题意的点Q的坐标：、．