专题09 隐圆问题（2）-备战中考数学二轮专题归纳提升

专题09 隐圆问题（2）

【问题导入】

最值问题的必要条件是至少有一个动点，因为是动态问题，所以才会有最值．在将军饮马问题中，折点P就是那个必须存在的动点．并且它的运动轨迹是一条直线，解题策略就是作端点关于折点所在直线的对称即可．

当然，动点的运动轨迹是可以变的，比如P点轨迹也可以是一个圆，就有了第二类最值问题——隐圆问题．

以下是几种常见的隐圆模型，我们将从以下7种模型对“隐圆问题”进行详细讲解

【题型五：四点共圆型】

【模型】1.对角互补型：若∠A+∠C=180º或∠B+∠D=180º,则A、B、C、D四点共圆.

2.同侧等角型：若∠A=∠C,则A、B、C、D四点共圆.

【例1】如图,等边△ABC中,AB=6,P为AB上一动点,PD⊥BC,PE⊥AC,求DE的最小值.

【练1】如图，在△ABC中，∠B＝75°，∠C＝45°，BC＝6﹣2，点P是BC上一动点，PE⊥AB于E，PD⊥AC于D．无论P的位置如何变化，线段DE的最小值为　　．

【题型六：瓜豆原理】

【模型】为了便于区分动点 P、Q，可称点 P 为“主动点”，点 Q 为“从动点”．

此类问题的必要条件：两个定量

主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（∠PAQ 是定值）；

主动点、从动点到定点的距离之比是定量（AP:AQ 是定值）．

【结论】（1）主、从动点与定点连线的夹角等于两圆心与定点连线的夹角：

∠PAQ=∠OAM；

（2）主、从动点与定点的距离之比等于两圆心到定点的距离之比：

AP:AQ=AO:AM，也等于两圆半径之比．

按以上两点即可确定从动点轨迹圆，Q 与 P 的关系相当于旋转+伸缩．

古人云：种瓜得瓜，种豆得豆．“种”圆得圆，“种”线得线，谓之“瓜豆原理”．

【例】如图，点P(3，4)，圆P半径为2，A(2.8，0)，B(5.6，0)，点M是圆P上的动点，点C是MB的中点，则AC的最小值是_______．

【练1】如图，正方形ABCD中，，O是BC边的中点，点E是正方形内一动点，OE＝2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得DF，连接AE、CF．求线段OF长的最小值．

【练2】△ABC中，AB＝4，AC＝2，以BC为边在△ABC外作正方形BCDE，BD、CE交于点O，则线段AO的最大值为_____________．

【练3】 如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上一点，且BE＝1，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，求CG的最小值是多少？

【练4】如图，在反比例函数的图像上有一个动点A，连接 AO并延长交图像的另一支于点 B，在第一象限内有一点 C，满足 AC=BC，当点A运动时，点C始终在函数的图像上运动，若 tan∠CAB=2，则k的值为_______．

【题型七：米勒定理】

【模型】1471年,德国数学家米勒提出了一个有趣的问题：在地球表面什么部位,一根垂直的悬杆呈现最长?即在什么部位,视角最大?最大视角问题是数学史上100个著名的极值问题之一.

已知,点A,B是∠MON的OM边上的两个定点,C是ON边上的一个动点,当C在何处时,∠ACB最大?

【结论】当且仅当△ABC的外接圆与边ON相切于点C时,∠ACB最大.  

圆周角＞圆外角

模型关键：动点成线+动点所对的边为定值

解决方法：构造与过定点与定长的圆，并且与点所在直线相切，之后构造子母相似或者运用弦切角定理解决问题。

【例】如图,顶点为M的抛物线y=-x2+2x+3与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,过点C作CD⊥y轴交抛物线与另一个点D,作DE⊥x轴,垂足为点E.双曲线(x＞0)经过点D,连接MD,BD.动点P从点O出发,以每秒1个单位长度的速度沿OC方向运动,运动时间为t秒,当t为何值时,∠BPD的度数最大?(请直接写出结果) 

【练】如图,矩形ABCD中,AB=3,BC=4,E为BC的中点,点P是BD上的一个动点,当∠EPC最大时,求出△APD的面积.