专题04 二次函数存在性问题（1）—与三角形相关-备战中考数学二轮专题归纳提升

专题04 二次函数存在性问题（1）—与三角形相关

【典例分析】

【例1——最值存在性问题】

如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，3），连接AC，点P为第二象限抛物线上的动点．

（1）求a、b、c的值；

（2）连接PA、PC、AC，求△PAC面积的最大值；

【练1】如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，且点B与点C的坐标分别为B（3，0）．C（0，3），点M是抛物线的顶点．点P为线段MB上一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D，若OD＝m．

（1）求二次函数解析式；

（2）设△PCD的面积为S，试判断S有最大值或最小值？若有，求出其最值，若没有，请说明理由；

【练2】如图，已知抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和B，与y轴交于点C，对称轴为直线x．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，若点P是线段BC上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，连接OQ，当x为多少时，线段PQ长度有最值。

【练3】如图，直线yx+c与x轴交于点A（﹣3，0），与y轴交于点C，抛物线yx2+bx+c经过点A，C，与x轴的另一个交点为B（1，0），连接BC．

（1）求抛物线的函数解析式．

（2）M为x轴的下方的抛物线上一动点，求△ABM的面积的最大值．

【例2——二次函数中等腰三角形存在性问题】

如图，抛物线y＝ax2+4x+c经过A（﹣3，﹣4），B（0，﹣1）两点，点P是y轴左侧且位于x轴下方抛物线上一动点，设其横坐标为m．

（1）直接写出抛物线的解析式；

（2）过点P作PM⊥x轴交直线BD于点M，试探究是否存在点P，使△PBM是等腰三角形？若存在，求出点m的值；若不存在，说明理由．

【练1】如图，抛物线y＝ax2与直线y＝2x在第一象限内交于点A(2，t)．

 (1)求抛物线的解析式；

(2)在x轴上是否存在一点P，使△OAP是以OA为腰的等腰三角形？若存在，请你求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

【练2】如图，直线yx+2与x轴交于点B，与y轴交于点C，已知二次函数的图象经过点B，C和点A（﹣1，0）．

（1）求B，C两点的坐标．

（2）求该二次函数的解析式．

（3）若抛物线的对称轴与x轴的交点为点D，则在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

【练3】如图，抛物线y＝ax2+4x+c经过A（﹣3，﹣4），B（0，﹣1）两点，点P是y轴左侧且位于x轴下方抛物线上一动点，设其横坐标为m．

（1）直接写出抛物线的解析式；

（2）将线段AB绕点B顺时针旋转90°得线段BD（点D是点A的对应点），求点D的坐标，并判断点D是否在抛物线上；

（3）过点P作PM⊥x轴交直线BD于点M，试探究是否存在点P，使△PBM是等腰三角形？若存在，求出点m的值；若不存在，说明理由．

【例3——二次函数中直角三角形存在性问题】

如图，已知抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点P是抛物线上一动点，连接PB，PC．

（1）点A的坐标为 　    　，点B的坐标为 　     　；

（2）抛物线上存在一点P，使△PBC是以BC为直角边的直角三角形，求点P的坐标．

【练1】如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，3），连接AC，点P为第二象限抛物线上的动点．

（1）求a、b、c的值；

（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使得△QAC为直角三角形，若存在，请求出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

【练2】已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A(－2，0)、B(6，0)两点，与y轴交于点C(0，－3)．

(1)求抛物线的表达式；

(2)如图，点P在直线BC下方的抛物线上，点P的坐标为P作x轴的垂线l，在l上是否存在点D，使△BCD是直角三角形，若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

【练3】如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，且点B与点C的坐标分别为B（3，0）．C（0，3），点M是抛物线的顶点．点P为线段MB上一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D，若OD＝m．

（1）求二次函数解析式；

（2）在MB上是否存在点P，使△PCD为直角三角形？若存在，请写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【例4——二次函数中全等或相似三角形存在性问题】

如图，抛物线y＝ax2＋bx＋3(a≠0)x轴交于点A(1，0)和点B(－3，0)，与y轴交于点C，连接BC，与抛物线的对称轴交于点E，顶点为点D.

(1)求抛物线的解析式；

(2)点P是对称轴左侧抛物线上的一个动点，点Q在射线ED上，若以点P、Q、E为顶点的三角形与△BOC相似，请直接写出点P的坐标．

【练1】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1，0)，B(4，0)，C(0，4)三点．

(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标；

(2)点P为线段BC上一动点(点P不与点B，C重合)，过点P作x轴的垂线交(1)中的抛物线于点Q，当△PQC与△ABC相似时，求△PQC的面积．

【练2】如图，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A，B两点，点A，B分别位于原点的左、右两侧，BO＝3AO＝3，过点B的直线与y轴正半轴和抛物线的交点分别为C，D，BC＝CD.

(1)求b，C的值；

(2)求直线BD的函数解析式；

(3)点P在抛物线的对称轴上且在x轴下方，点Q在射线BA上．当△ABD与△BPQ相似时，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标．

【练3】如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c轴交于点A(－1，0)，B(3，0)，与y轴交于点C，点D是直线BC上方抛物线上一动点．

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图1，连接BD、CD，设点D的横坐标为m，△BCD的面积为s.试求出s与m的最大值；

(3)如图2，设AB的中点为E，作DF⊥BC，垂足为F，连接CD、CE，是否存在点D，使得以C，D，F三点为顶点的三角形与△CEO相似？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．