第2章 第1课时 等式与不等式性质 课中-高中数学人教A版（2019）必修第一册课前课中课后同步试题精编

等式与不等式的性质

学习目标：

1.理解不等式的性质及不等式模型．

2.理解不等式的性质，能对实际问题建立不等式模型．

知识要点：

1.不等式的性质

（1）如果，那么，该性质称为__________；

（2）如果，那么，该性质称为______；

（3）如果，则，反之也成立，该性质称为_______；

（4）如果，则；如果，则；

（5）如果，则；

（6）如果，则；

（7）如果，，，则．

典型例题：

题组一　由已知条件判断不等式成立与否

例1.已知，下列不等式中正确的是（    ）

A． B． C． D．

变式：若，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

题组二　由不等式的性质比较大小

例2．已知，下列命题为真命题的是（    ）

A．若，则 B．若，，则

C．若，，则 D．若，且则

变式：（多选）已知，若，且，则下列不等关系正确的是（     ）

A． B．

C． D．

题组三　作差法或作商法比较大小

例3.设，，给出下列不等式恒成立的是（    ）

A． B．

C． D．

变式：如果，，那么，，从小到大的顺序是___________

题组四　利用不等式的性质求范围

例4.设，，求，，求的范围．

变式：设为实数，满足，求的最大值．

题组五　不等式的证明

例5.（1）设，，证明：；

（2）设，，，证明：.

变式：证明不等式：

（1）设，求证：；

（2）设，求证：.

当堂检测：

1． 下列说法正确的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

2．设，则的取值范围是________（取值范围写成区间形式）

3．已知，.证明：

（1）；

（2）.

4．实数满足，．

（1）求实数的取值范围；

（2）求的取值范围．

参考答案：

知识要点：

1.不等式的性质

（1）对称性；（2）传递性；（3）可加性；（4）；（5）；（6）；（7）.

典型例题：

题组一　由已知条件判断不等式成立与否

例1.AD

对于A：因为，，所以，故选项A正确；

对于B：因为，，所以，所以，故选项B不正确；

对于C：因为，所以，若，则，故选项C不正确；

对于D：因为，所以，所以，故选项D正确；

故选：AD.

变式：A

若，因为，所以，即成立；

反过来，若，取，满足，但此时，即不成立.

所以“”是“”的充分不必要条件.

故选：A.

例2．B

若则，A不正确；

B：因为，，则，所以，故B正确；

C：当时，可得不等式不成立，故C不正确．

D：若，满足条件，但，所以D不正确.

故选：B．

变式：ACD

，，，，

对于A，，，，A正确；

对于B，当时，满足，此时，B错误；

对于C，，，，又，，C正确；

对于D，，，，即，整理可得：，D正确.

故选：ACD.

例3.ACD

由可得，故A正确；

由可得，故B错误；

由，当且仅当时取等号，故C正确；

由，

当且仅当，即时取等号，故D正确.

故选：ACD.

变式：

因为三个式子很明显都是负数，所以，所以；

同理，所以。

综上：

故答案为：

例4.∵，，

∴，，，

∴；

当时，，则，所以；

当时，；

当时，，

综上，，

故，，．

变式：32

，

，，

不等式的性质得出，

即的最大值为32，当且仅当即时取到．

故答案为：32．

例5.证明：（1）因为，，所以，。

所以，

故得证；

（2）由不等式的性质知，，

所以，

又因为根据（1）的结论可知，，

所以.

所以.

变式：证明：（1）因为

，

因为，所以，

所以，所以；

（2）因为

，

所以.