第3章 第5课时 函数的奇偶性 课中-高中数学人教A版（2019）必修第一册课前课中课后同步试题精编

函数的奇偶性

学习目标：

1.理解函数奇偶性的定义，能从数和形两个角度理解奇函数和偶函数；

2.会判断给定函数的奇偶性；

3.能利用函数的奇偶性把函数一侧的性质转化另一侧的性质讨论.

知识要点：

1.偶函数的定义

（1）一般地，设函数的定义域为，如果任意的，都有，且，那么函数就叫做偶函数.

（2）一个函数为偶函数的充要条件是函数的图象关于___对称.

（3）偶函数的定义域关于_____对称.

2.奇函数的定义

（1）一般地，设函数的定义域为，如果任意的，都有，且，那么函数就叫做奇函数.

（2）一个函数为奇函数的充要条件是函数的图象关于___对称.

（3）奇函数的定义域关于_____对称.

（4）若为奇函数且在处有定义，则.

3.函数的对称性

（1）已知，则的图象关于_____对称；

（2）已知，则的图象关于_____对称；

典型例题：

题组一　函数奇偶性的的判断

例1. 判断下列函数的奇偶性:

（1）

（2）

（3）

（4）.

变式：判断下列函数的奇偶性：

（1）．

（2）．

（3）．

（4）

题组二　含参数的奇函数或偶函数

例2. 已知函数是上的偶函数，求实数的值.

变式：已知是定义在上的奇函数，且，求的解析式.

题组三　函数奇偶性的应用

例3.定义在上的函数是奇函数，其部分图象如图所示：

（1）请在坐标系中补全函数的图象；

（2）比较与的大小.

变式：已知函数的图象关于原点对称，且当时，，试求在上的解析式.

题组四　奇偶性与单调性的综合

例4. 设函数在上是偶函数，且在上是增函数，比较与的大小.

变式：偶函数的图象经过点，且当时，不等式恒成立，则使得成立的的取值范围是___________.

题组五　抽象函数的性质的研究

例5. 设函数（，且）对任意非零实数，，恒有．

（1）求及的值；

（2）判断函数的奇偶性．

变式：定义在上的函数是单调函数，满足，且，（，）.

（1）求，；

（2）判断的奇偶性，并证明；

（3）若对于任意，都有成立，求实数的取值范围.

当堂检测：

1. 下列函数中，既是奇函数又是增函数的是（    ）

A． B． C． D．

2. 请写出一个同时满足下列三个条件的函数：

（1）是偶函数；（2）在上单调递减；（3）的值域是.

则__________.

3. 判断下列函数的奇偶性：

（1）  

（2）.

4. 设定义在上的奇函数在区间上单调递减，如果，求实数的取值范围.

参考答案：

知识要点：

1.（1）；（2）轴；（3）原点.

2.（1）；（2）原点；（3）原点；（4）0

3.（1）直线；（2）；

典型例题：

例1. （1）函数的定义域为{且}，

定义域不关于原点对称，

∴该函数既不是奇函数也不是偶函数.

（2）的定义域是.

当时，显然，.

，是奇函数.

（3）的定义域为R.

，，.

不是偶函数.又，不是奇函数.

既不是奇函数也不是偶函数.

（4）的定义域为R.

，

是偶函数.

变式：（1）由得，∴函数的定义域为，

不关于原点对称．故既不是奇函数也不是偶函数．

（2）由得，即．

∴函数的定义域是，关于原点对称．

又，∴既是奇函数又是偶函数．

（3）函数的定义域为，关于原点对称．

又∵，

∴是偶函数．

（4）当时，，则

，

当时，，则

综上，对，都有． ∴为奇函数．

例2.因为函数是R上的偶函数,所以,即对任意实数x恒成立,解得.

变式：∵为奇函数，∴，∴.由，得，

∴，检验符合.

例3.（1）因为是奇函数，所以其图象关于原点对称，如下图所示：

（2）观察图象，知.

变式：时，，

时，

故.

题组四　奇偶性与单调性的综合

例4. 因为函数是偶函数，且在上是增函数，

所以且在上是减函数.

因为，所以，

因此.

变式：

因为当时，不等式恒成立，所以有，即

，所以函数在上单调递增，

因为函数的图象经过点，所以，

因此由，可得，函数是偶函数，且在在上单调递增，所以由，

故答案为：

例5.（1）；；（2）偶函数．

解：（1）对任意非零实数，，

恒有，

∴令，代入，得，解得

令，代入，得，

可得．

（2）取，，代入，得

又函数的定义域为，∴函数是偶函数

变式：（1）取，得，即，，

，又，得，可得；

（2）取，得，移项得

函数是奇函数；

（3）是奇函数，且在上恒成立，

在上恒成立，且；

在上是增函数，在上恒成立，

在上恒成立，

令.

由于，.

，

，即实数的取值范围为.

当堂检测：

1. D

对于A：的定义域为关于原点对称，，可知且，所以是非奇非偶函数，是增函数，故选项A不正确；

对于B：的定义域为关于原点对称，，所以是偶函数，故选项B不正确；

对于C：的定义域为，关于原点对称，且

是奇函数，在和单调递增，但不是定义域内的增函数，故选项C不正确；

对于D：，作出其图象如图所示：

图象关于原点对称，是奇函数，且是增函数，故选项D正确；

故选：D.

2. (答案不唯一).

如，

，，所以是偶函数；

时，，所以在上单调递减；

，的值域是.

故答案为：.答案不唯一.

3. （1）因为，所以的定义域关于原点对称，

因为

所以为偶函数；

（2）定义域为R，关于原点对称，

因为

所以为奇函数

4. 根据题意，是在上的奇函数，且在区间上是单调减函数，
则其在区间上递减，则函数在上为减函数，
，得，解得：；
即实数的取值范围是；
故答案为：．