高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第三章 函数概念与性质3.3 幂函数随堂练习题

幂函数

分层演练  综合提升

基础巩固

1.已知实数集为，集合，则（    ）．

A． B． C． D．

2.设函数，则（    ）

A．是奇函数，且在单调递增

B．是奇函数，且在单调递减

C．是偶函数，且在单调递增

D．是偶函数，且在单调递减

3.若，则下列函数①；②；③；④；⑤满足条件的有（    ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

4.若对任意的，均有，则的取值范围是_____.

5.已知幂函数，经过点，试确定的值，并求满足条件的实数的取值范围.

能力提升

1. （多选题）下列函数中，定义域是其值域子集的有（     ）

A． B． C． D．

2.已知函数是幂函数，且.

（1）求函数的解析式；

（2）试判断是否存在实数，使得函数在区间上的最大值为6，若存在，求出b的值；若不存在，请说明理由.

3.已知函数，.

（1）求方程的解集；

（2）定义：.已知定义在上的函数.求函数的解析式，在平面直角坐标系中，画出函数的简图；并写出函数的单调区间和最小值.

挑战创新

1.已知幂函数（）是偶函数，且在上单调递增．

（1）求函数的解析式；

（2）若，求的取值范围；

（3）若实数，（，）满足，求的最小值．

参考答案：

基础巩固

1.B

由题得，所以.故选：B

2.A

因为（），所以对任意，，所以是奇函数；

因为在单调递增，则在单调递减，所以在单调递增.

故选：A.

3.D

只有上凹函数或者是一次函数才满足题中条件，所以只有①②③⑤满足.

故选：D.

4.

构造函数根据幂函数的性质得到该函数为增函数，故，

所以对任意的恒成立，

所以，解得：.

5.∵幂函数经过点，∴，即

∴=.解得=或=.

又∵，∴=.

∴，则函数的定义域为，并且在定义域上为增函数.

由得解得.

∴的取值范围为.

能力提升

1. AC

A函数的定义域和值域都是R，符合题意；

B.定义域为R，因为，所以函数值域为，值域是定义域的真子集不符合题意；

C.易得定义域为，值域为，定义域是值域的真子集；

D.定义域为，值域为，两个集合只有交集；

故选：AC

2.解：因为函数是幂函数，

所以，解得或，

当时，，则，故不符题意，

当时，，则，符合题意，

所以；

（2）由（1）得 ，

函数图像开口向下，对称轴为：，

当时，函数在区间上递减，

则，解得，符合题意；

当时，函数在区间上递增，

则，解得，符合题意；

当时，，解得，不符题意，

综上所述，存在实数满足题意.

2.（1）由，得，；

（2）由已知得，

函数的图象如图实线所示：

函数的单调递减区间是，单调递增区间是，其最小值为1.

挑战创新

1.解析：（1）．，

，（）即或

在上单调递增，为偶函数,即.

（2）

，，，∴

（3）由题可知，

,

，

当且仅当，即，时等号成立．

所以的最小值是2．