第一章+第七课时+1.4.1.1+空间中点、直线和平面的向量表示+课中-高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册课前课中课后同步试题精编

1.4.1.1  空间中点、直线和平面的向量表示

学习目标：

理解直线的方向向量与平面的法向量，会求一个平面的法向量．

方法要点：

1．理解直线方向向量的概念

（1）直线上任意两个不同的点都可构成直线的方向向量．

（2）直线的方向向量不唯一．

2．求平面法向量的方法与步骤

（1）求平面的法向量时，要选取平面内两不共线向量，如；

（2）设平面的法向量为；

（3）联立方程组并求解；

（4）所求出向量中的三个坐标不是具体的值而是比例关系，设定一个坐标为常数（常数不能为0）便可得到平面的一个法向量．

典型例题：

题组一、直线的方向向量

例1.（1）已知直线l的一个方向向量，且直线l过和两点，则等于（    ）

A．0    B．1    C．    D．3

（2）在如图所示的坐标系中，为正方体，棱长为1，则直线的一个方向向量为________，直线的一个方向向量为________．

变式  （1）（多选）若在直线l上，则直线l的一个方向向量是（    ）

A．    B．    C．    D．

（2）从点沿向量的方向取线段长，则B点的坐标为（    ）

A．    B．    C．    D．

题组二、求平面的法向量

例2如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，E为的中点．，，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面的一个法向量．

变式已知的三个顶点的坐标分别为，试求出平面的一个法向量．

当堂检测：

1．若在直线l上，则直线l的一个方向向量为（    ）

A．    B．    C．    D．

2．已知直线的方向向量，直线的方向向量，若，则x，y的值分别是（    ）

A．6和    B．和10    C．和    D．6和10

3．若是平面α的一个法向量，则下列向量中能作为平面α的法向量的是（    ）

A．    B．    C．    D．

4．（多选）在直三棱柱中，以下向量可以作为平面法向量的是（    ）

A．    B．     C．    D．

5．已知平面α经过点，且是α的一个法向量，是平面α内任意一点，则x，y，z满足的关系式是________________．

参考答案

典型例题

例1．【答案】（1）A；（2）（不唯一）

【解析】

【分析】

【详解】（1）∵和，

∵直线l的一个方向向量为，故设．

∴．

解得．

∴．

（2）∵，，直线的一个方向向量为；

，，故直线的一个方向向量为．

变式【答案】（1）AB  （2）A

【解析】

【分析】

【详解】（1）∵M，N在直线l上，∴，

故向量都是直线l的一个方向向量．

（2）设B点坐标为，则，即，因为，即，得，所以．

例2 【答案】

【解析】

【分析】

【详解】因为平面，底面为矩形，

所以两两垂直．

如图，以A为坐标原点，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，

则，

于．．

设为平面的法向量，

则即所以

令，则．

所以平面的一个法向量为．

变式 【答案】

【解析】

【分析】

【详解】解设平面的法向量为．

∵，

∴．

则有即

解得令，则．

故平面的一个法向量为．

当堂检测

1．【答案】A

【解析】

【分析】

【详解】因为，所以是直线l的一个方向向量．

2．【答案】A

【解析】

【分析】

【详解】由题意得，且，所以x，y的值分别是6和．

3．【答案】D

【解析】

【分析】

【详解】求与共线的一个向量．易知．

4．【答案】BC

【解析】

【分析】

【详解】

5．【答案】

【解析】

【分析】

【详解】由题意得，则，

故．