数学人教A版 (2019)1.2 空间向量基本定理第三课时习题

2.2.1  直线的点斜式方程

学习目标：

1．了解由斜率公式推导直线方程的点斜式的过程．

2．掌握直线的点斜式方程与斜截式方程．

3．会利用直线的点斜式与斜截式方程解决有关的问题．

方法要点：

1  求直线的点斜式方程的步骤及注意点

（1）求直线的点斜式方程的步骤：定点定斜率写出方程．

（2）点斜式方程可表示过点的所有直线，但除外．

2  求直线的斜截式方程的策略

（1）斜截式方程的应用前提是直线的斜率存在．

（2）直线的斜截式方程中只有两个参数，因此要确定直线方程只需两个独立条件即可．

典型例题：

题组一、求直线的点斜式方程

例1  已知在第一象限的中，，求：

（1）边所在直线的方程；

（2）边与边所在直线的方程．

变式  求满足下列条件的直线的点斜式方程：

（1）过点，倾斜角为；

（2）过两点．

题组二、直线的斜截式方程

例2  已知直线的方程为的方程为，直线l与平行且与在y轴上的截距相同，求直线l的方程．

变式  根据条件写出下列直线的斜截式方程：

（1）斜率为2，在y轴上的截距是5；

（2）倾斜角为，在y轴上的截距是；

（3）倾斜角是直线的倾斜角的，且在y轴上的截距是．

题组三、点斜式方程和斜截式方程的应用

例3  （1）求证：不论a为何值，直线恒过定点；

（2）当a为何值时，直线：与直线：垂直？

当堂检测：

1．下面四个直线方程中，可以看作是直线的斜截式方程的是（    ）

A．      B．      C．      D．

2．方程表示（    ）

A．通过点的所有直线                   B．通过点的所有直线

C．通过点且不垂直于x轴的所有直线      D．通过点且除去x轴的所有直线

3．已知直线l的方程为，则l在y轴上的截距为（    ）

A．9      B．      C．      D．

4．已知直线的倾斜角为，在y轴上的截距为，则此直线的方程为（    ）

A．      B．      C．      D．

5．直线通过第一、三、四象限，则有（    ）

A．      B．      C．      D．

参考答案

典型例题

例1  【答案】（1）  （2）过程见详解

【解析】

【分析】

【详解】解  （1）如图所示，

因为，所以轴，

所以边所在直线的方程为．

（2）因为，

所以，

所以直线的方程为．

因为，

所以，

所以直线的方程为．

变式  【答案】（1）  （2）；过程见详解

【解析】

【分析】

【详解】（1）∵，∴，

∴直线的点斜式方程为．

（2）∵，

∴直线的点斜式方程为．

例2  【答案】，过程见详解

【解析】

【分析】

【详解】解  由斜截式方程知，直线的斜率，

又因为，所以．

由题意知，在y轴上的截距为，

所以直线l在y轴上的截距．

由斜截式可得直线l的方程为．

变式  【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

【分析】

【详解】（1）．

（2）∵，∴，∴．

（3）∵的倾斜角为，

∴所求直线的倾斜角为，

∴，∴．

例3  【答案】（1）直线过定点，证明见详解；（2）时，直线：与直线：垂直，证明见详解

【解析】

【分析】

【详解】（1）证明  将直线方程变形为，

由直线方程的点斜式可知，直线过定点．

（2）由题意可知，，

∵，∴，解得．

故当时，直线：与直线：垂直．

当堂检测

1．【答案】B

【解析】

【分析】

【详解】

2．【答案】C

【解析】

【分析】

【详解】易验证直线通过点，又直线斜率存在，故直线不垂直于x轴．

3．【答案】B

【解析】

【分析】

【详解】由，得，

∴l在y轴上的截距为．

4．【答案】D

【解析】

【分析】

【详解】∵，∴，

∴直线l的方程为．

5．【答案】B

【解析】

【分析】

【详解】∵直线经过第一、三、四象限，

∴图形如图所示，由图知，．