福建省厦门市2019-2020学年高一上学期期末质量检测数学试题（含答案）

2019-2020学年度厦门市第一学期高一年级质量检测

数学试题

满分为150分，考试时间120分钟．

注意事项：

1．答卷前，考生务必将白己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题下对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

3．全部答案答在答题卡上，答在本试卷上无效.

一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.已知集合，，则（    ）

A.  B.

C.  D.

2.已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ）

A.  B.

C.  D.

3.已知角的顶点为坐标原点，始边与轴非负半轴重合，终边与直线重合，且，又是角终边上一点，且(为坐标原点)，则等于（    ）

A.  B.  C.  D.

4.某工厂前年的总产量与之间的关系如图所示．从目前记录的结果看，前年的年平均产量最高，值为（    ）

A. 2 B. 4 C. 5 D. 6

5.的值为（   ）

A. -1 B.  C. 3 D. -5

6.已知，都为单位向量，且，夹角余弦值是，则　　

A.  B.  C.  D.

7.已知，则的值为（   ）

A.  B.  C.  D.

8.已知函数，若关于的方程有四个不同实数解，，，，且，则的取值范围为（    ）

A.  B.  C.  D.

二、多选题：本大题共2个小题，每小题5分，共10分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分．

9.以表示值域为的函数组成的集合，表示具有如下性质的函数组成的集合：对于函数，存在一个正数，使得函数的值域包含于区间．例如，当，时，，．则下列命题中正确的是：（    ）

A. 设函数的定义域为，则“”的充要条件是“，，”

B. 函数的充要条件是有最大值和最小值

C. 若函数，的定义域相同，且，，则

D. 若函数有最大值，则

10.已知为平面上两两不重合的四点，且，则（   ）．

A. 当且仅当时，在的外部

B. 当且仅当时，

C. 当且仅当时，为的重心

D. 当且仅当时，三点共线

三、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．在答题卡上的相应题目的答题区域内作答．

11.计算：_____．

12.已知集合，集合，若，则实数取值范围是_______.

13.在平面直角坐标系中，角终边过点，则的值为__________．

14.在平面内，点是定点，动点，满足，，则集合所表示的区域的面积是________.

15.某辆汽车以的速度在高速公路上匀速行驶（考虑到高速公路行车安全，要求）时，每小时的油耗（所需要的汽油量）为，其中为常数.若汽车以的速度行驶时，每小时的油耗为，欲使每小时的油耗不超过，则速度的取值范围为___．

16.偶函数满足，在时，．若存在，，…，满足，且，则最小值为__________．

三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤，在答题卡上相应题目的答题区域内作答．

17.已知函数的部分图象如图所示.

（Ⅰ）求函数的解析式；

（Ⅱ）若为第二象限角且，求的值.

18.已知函数．

（1）写出的定义域；

（2）判断的奇偶性；

（3）已知在定义域内为单调减函数，若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．

19.是边长为等边三角形，,,过点作交边于点，交的延长线于点．

（1）当时，设，用向量表示；

（2）当为何值时，取得最大值，并求出最大值．

20.如图，已知单位圆（圆心在坐标原点）上一点，，作轴于，轴于．

（1）比较与的大小，并说明理由；

（2）的两边交矩形的边于，两点，且，求的取值范围．

21.如图，河的两岸分别有生活小区和，其中，三点共线，与的延长线交于点，测得，，，，，若以所在直线分别为轴建立平面直角坐标系则河岸可看成是曲线（其中是常数）的一部分，河岸可看成是直线（其中为常数）的一部分．

（1）求值．

（2）现准备建一座桥，其中分别在上，且，的横坐标为．写出桥的长关于的函数关系式，并标明定义域；当为何值时，取到最小值？最小值是多少？

22.设是定义在上的函数，若存在，使得在单调递增，在上单调递减，则称为上的单峰函数，为峰点，包含峰点的区间称为含峰区间，其含峰区间的长度为：．

（1）判断下列函数中，哪些是“上的单峰函数”？若是，指出峰点；若不是，说出原因；；

（2）若函数是上的单峰函数，求实数的取值范围；

（3）若函数是区间上的单峰函数，证明：对于任意的，若，则为含峰区间；若，则为含峰区间；试问当满足何种条件时，所确定的含峰区间的长度不大于0.6．

参考答案

一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. B2. C3. A4.C5.A6. D7. B8. B

二、多选题：本大题共2个小题，每小题5分，共10分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分．

9. ACD10. CD

三、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．在答题卡上的相应题目的答题区域内作答．

11. 12. 13. 14. 15.   16. 1012

三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤，在答题卡上相应题目的答题区域内作答．

17. (1) ;(2) .

18. （1）（2）为奇函数．（3）

19. （1）；（2）

20. （1），见解析（2）

21.（1），.（2）；当时取到最小值，为

22. （1）①图像如下图所示，其对称轴为，由图可知，是上的单峰函数，峰点为；

②的图像如下图所示，其对称轴为，由图可知，是上的单峰函数，峰点为；

③的图像如下图所示，根据图像可知，不是上的单峰函数；

④的图像如下图所示，其对称轴为，由图可知，是上的单峰函数，峰点为.

（2）函数是上的单峰函数，令，解得，故时，递增，时，递减，所以，解得，故的取值范围是.

（3）设为的峰点，则由单峰函数定义可知，在上递增，在上递减.

当时，假设，则，从而，与矛盾，所以，即是含峰区间.

当时，假设，则，从而，与矛盾，所以，即是含峰区间.

在所得的含峰区间内选取，由与或与，确定一个新的含峰区间，对先选择的，，①，在第一次确定的含峰区间为的情况下，的取值应满足②，由①②可得，当时，含峰区间的长度为.

由条件，得，从而.因此确定的含峰区间的长度不大于，只要取.