福建省福州市2021-2022学年高一上学期期末质量抽测数学试题(含答案)

2021 - 2022学年第一学期福州市高一期末质量抽测

数学试卷

（完卷时间120分钟，满分：150分）

友情提示：请将所有答案填写到答题卡上!请不要错位、难界答题!

一、选择题：本照共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项提符合题目要求的.

1. （    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据诱导公式以及特殊角的三角函数值，即可容易求得结果.

【详解】因为.

故选：D.

2. 设集合，，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】解一元二次不等式求出集合A，利用交集定义和运算计算即可．

【详解】由题意可得

，

则

故选：D

3. 命题“，”的否定是（    ）

A. ， B. ，

C. ， D. ，

【答案】C

【解析】

【分析】利用全称量词的命题的否定解答即可.

【详解】解：因为全称量词的命题的否定是存在量词的命题，

命题“，”是全称量词的命题，

所以其否定是“，”.

故选：C

4. “四边形是菱形”是“四边形是平行四边形”的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】由菱形和平行四边形的定义可判断.

【详解】解：四边形是菱形则四边形是平行四边形，反之，若四边形是平行四边形则四边形不一定是菱形，所以“四边形是菱形”是“四边形是平行四边形”充分不必要条件.

故选：A.

5. 已知函数以下关于的结论正确的是（    ）

A. 若，则

B. 的值域为

C. 在上单调递增

D. 的解集为

【答案】B

【解析】

【分析】A选项逐段代入求自变量的值可判断;B选项分别求各段函数的值域再求并集可判断;C选项取特值比较大小可判断不单调递增;D选项分别求各段范围下的不等式的解集求并集即可判断.

【详解】解:A选项:当时, 若,则;当时, 若,则,故A错误;

B选项: 当时, ;当时, ,故的值城为,B正确;

C选项: 当时, ,当时, ,在上不单调递增,故C错误;

D选项: 当时, 若,则;当时, 若,则,故解集为,故D错误;

故选:B.

6. 已知函数，则的大致图像为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】计算的值即可判断得解.

【详解】解：由题得，所以排除选项A,D.

,所以排除选项C.

故选：B

7. 设，，，则a，b，c的大小关系为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据指数函数和对数函数的单调性得出的范围，然后即可得出的大小关系.

【详解】由题意知，

，即，

，即，

，又，

即，∴．

故选：A

8. 已知函数的零点，（），则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】将函数化为，根据二次函数的性质函数的单调性，利用零点的存在性定理求出两个零点的分布，进而得出零点的取值范围，依次判断选项即可.

【详解】由题意知，

，

则函数图象的对称轴为，

所以函数在上单调递增，在上单调递减，

又，，

，，

所以，

因为，，

所以，

所以，故A错误；

，故B错误；

，故C错误；

，故D正确.

故选：D

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题口算求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 下列函数是奇函数的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】AC

【解析】

【分析】先求函数的定义域，再判断 与的关系即可求解

【详解】对A，函数的定义域为R,关于（0,0）对称，且，故函数为奇函数，符合题意；

对B，函数的定义域为R,关于（0,0）对称，且，故函数为非奇非偶函数，不符合题意；

对C, 函数的定义域为R,关于（0,0）对称，且，故函数为奇函数，符合题意；

对D,函数定义域为，不关于（0,0）对称，故函数为非奇非偶函数，不符合题意；

故选：AC

10. 在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于直线对称，则以下结论一定正确的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】BD

【解析】

【分析】利用三角函数的定义可判断AB选项；利用特殊值法可判断C选项；利用两角和的正弦公式以及同角三角函数的基本关系可判断D选项.

【详解】设角的终边与单位圆的交点为，则角的终边与单位圆的交点为，

则，，A错B对；

取，，则角与角的终边关于直线对称，

此时，C错；

，D对.

故选：BD.

11. 若x，．且，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据题意，由基本不等式和不等式的性质依次分析选项，综合可得答案．

【详解】根据题意，依次分析选项：

对于A，若，，，当且仅当时等号成立，A正确；

对于B，，

，，B正确；

对于C，，当且仅当时等号成立，C错误；

对于D，，则有，变形可得，

故，当且仅当时，取等号，故D正确；

故选：ABD．

12. 边际函数是经济学中一个基本概念，在国防、医学、环保和经济管理等许多领域都有十分广泛的应用，函数的边际函数定义为．某公司每月最多生产75台报警系统装置，生产台的收入函数（单位：元），其成本的数（单位：元），利润是收入与成本之差，设利润函数为，则以下说法正确的是（    ）

A. 取得最大值时每月产量为台

B. 边际利润函数的表达式为

C. 利润函数与边际利润函数不具有相同的最大值

D. 边际利润函数说明随着产量的增加，每台利润与前一台利润差额在减少

【答案】BCD

【解析】

【分析】求出函数、的解析式，可判断B选项；利用二次函数的基本性质可判断A选项；求出利润函数与边际利润函数的最大值，可判断C选项；利用边际利润函数的单调性可判断D选项.

【详解】对于A选项，，

二次函数的图象开口向下，对称轴为直线，

因，所以，取得最大值时每月产量为台或台，A错；

对于B选项，

，B对；

对于C选项，，

因为函数为减函数，则，C对；

对于D选项，因为函数为减函数，

说明边际利润函数说明随着产量的增加，每台利润与前一台利润差额在减少，D对.

故选：BCD.

三、填空题：本题共4小题，每小圈5分，共20分.

13. ______________.

【答案】2

【解析】

【分析】由对数的运算法则直接求解.

【详解】

故答案为：2

14. 要在半径cm的圆形金属板上截取一块扇形板，使弧AB的长为m，那么圆心角_________ ．（用弧度表示）

【答案】

【解析】

【分析】由弧长公式变形可得：，代入计算即可.

【详解】解：由题意可知：（弧度）.

故答案为：.

15. 函数的部分图像如图所示，轴，则 _________ ， _________ ．

【答案】    ①. 2    ②. ##

【解析】

【分析】根据最低点的坐标和函数的零点，可以求出周期，进而可以求出的值，再把最低点的坐标代入函数解析式中，最后求出的值.

【详解】通过函数的图象可知，

点B、C的中点为，与它隔一个零点是，

设函数的最小正周期为，则，

而，把代入函数解析式中，

得.

故答案为：；

16. 写出一个同时具有下列性质①②③的函数 _________ ．

①在R上单调递增；②；③．

【答案】（答案不唯一，形如均可）

【解析】

【分析】由指数函数的性质以及运算得出.

【详解】对函数，因为在R上单调递增，所以在R上单调递增；

，.

故答案为：（答案不唯一，形如均可）

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点．

（1）求的值；

（2）若，求的值．

【答案】（1）；   

（2）-2.

【解析】

【分析】（1）先利用三角函数的坐标定义求出，再利用诱导公式求解；

（2）求出，再利用差角正切公式求解.

【小问1详解】

解：由于角的终边过点，由三角函数的定义可得，

则．

【小问2详解】

解：由已知得，

则．

18. 已知函数，且．

（1）求a的值；

（2）判断在区间上单调性，并用单调性的定义证明你的判断．

【答案】（1）4    （2）在区间上单调递减，证明见解析

【解析】

【分析】（1）直接根据即可得出答案；

（2）对任意，且，利用作差法比较的大小关系，即可得出结论.

【小问1详解】

解：由得，解得；

【小问2详解】

解：在区间内单调递减，

证明：由（1）得，

对任意，且，

有，

由，，得，，又由，得，

于是，即，

所以在区间上单调递减．

19. 已知函数．

（1）求的最小正周期；

（2）将的图象上的各点________得到的图象，当时，方程有解，求实数m的取值范围．

在以下①、②中选择一个，补在（2）中的横线上，并加以解答，如果①、②都做，则按①给分.

①向左平移个单位，再保持纵坐标不变，横坐标缩短到原来的一半．

②纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位．

【答案】（1）；   

（2）答案见解析.

【解析】

【分析】（1）根据三角恒等变换化简，再求其最小正周期即可；

（2）选择不同的条件，根据三角函数的图象变换求得的解析式，再求其在区间上的值域即可.

【小问1详解】

因为

所以函数的最小正周期．

【小问2详解】

若选择①，

由（1）知，那么将图象上各点向左平移个单位，

再保持纵坐标不变，横坐标缩短到原来的一半，得到．

当时，可得，，，

由方程有解，可得实数m的取值范围为．

若选择②，

由（1）知，那么将图象上各点纵坐标保持不变，

横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位，得到．

当时，，，

由方程有解，可得实数m的取值范围为．

20. 已知函数是定义在上的偶函数，当时，．

（1）求的解析式；

（2）解不等式．

【答案】（1）；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）利用偶函数的定义可求得函数在上的解析式，综合可得出函数的解析式；

（2）令，则所求不等式可变为，求出的取值范围，可得出关于的不等式，解之即可.

【小问1详解】

解：因为数是定义在R上的偶函数，当，，

则当时，，.

因此，对任意的，.

【小问2详解】

解：由（1）得，

所以不等式，即，

令，则，于是，解得，

所以，得或，

从而不等式的解集为．

21. 筒车是我国古代发哪的一种水利灌溉工具，因其经济环保，至今还在农业生产中得到使用．明朝科学家徐光启在《农政全书》中描绘了筒车的工作原理．如图1是一个半径为R（单位：米），有24个盛水筒的筒车，按逆时针方向匀速旋转，转一周需要120秒，为了研究某个盛水筒P离水面高度h（单位，米）与时间t（单位：秒）的变化关系，建立如图2所示的平面直角坐标系xOy．已知时P的初始位置为点（此时P装满水）.

（1）P从出发到开始倒水入槽需要用时40秒，求此刻P距离水面的高度（结果精确到0.1）；

（2）记与P相邻的下一个盛水筒为Q，在筒车旋转一周的过程中，求P与Q距离水面高度差的最大值（结果精确到0.1）．

参考数据：，，，．

【答案】（1）m    

（2）m

【解析】

【分析】（1）根据题意P从出发到开始倒水入槽用时40秒，可知线段OA按逆时针方向旋转了，由，可求圆的半径，由题意可知以OA为终边的角为，由此即可求出P距离水面的高度；

（2）由题意可知P转动的角速度为rad/s，易知P开始转动t秒后距离水面的高度的解析式，设P，Q两个盛水筒分别用点B，C表示，易知，点C相对于点B始终落后rad，求出Q距离水面的高度，可得则P，Q距离水面的高度差，再根据三角函数的性质，即可求出结果.

【小问1详解】

解：由于筒车转一周需要120秒，所以P从出发到开始倒水入槽的40秒，线段OA按逆时针方向旋转了，因为A点坐标为，得，以OA为终边的角为，所以P距离水面的高度m．

【小问2详解】

解：由于筒车转一周需要120秒，可知P转动的角速度为rad/s，又以OA为终边的角为，则P开始转动t秒后距离水面的高度，．

如图，P，Q两个盛水筒分别用点B，C表示，则，点C相对于点B始终落后rad，此时Q距离水面的高度．

则P，Q距离水面的高度差

，．

利用，可得．

当或，即或时，最大值为．

所以，筒车旋转一周的过程中，P与Q距离水面高度差的最大值约为m．

22. 已知函数．

（1）证明：；

（2）若存在一个平行四边形的四个顶点都在函数的图象上，则称函数具有性质P，判断函数是否具有性质P，并证明你的结论；

（3）设点，函数．设点B是曲线上任意一点，求线段AB长度的最小值．

【答案】（1）证明见解析；   

（2）函数具有性质P，证明见解析；   

（3）.

【解析】

【分析】（1）直接利用对数的运算求解；

（2）取函数图象上四个点，证明函数具有性质P；

（3）设（或），求出,再换元利用二次函数求函数的最值得解.

【小问1详解】

解：

【小问2详解】

解：由（1）知，的图象关于点中心对称，

取函数图象上两点，，显然线段CD的中点恰为点M；

再取函数图象上两点，，显然线段EF的中点也恰为点M．

因此四边形CEDF的对角线互相平分，所以四边形CEDF为平行四边形，

所以函数具有性质P．

【小问3详解】

解：，则（或），

则

，

记（或），则，

记，则，

所以，当，即时，．