2023高考数学二轮复习（知识点多）专题09 指数与指数函数（原卷＋解析版）

专题09 指数与指数函数

【考点预测】

1.指数及指数运算

(1)根式的定义：

一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，，记为，称为根指数，称为根底数．

(2)根式的性质：

当为奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数.

当为偶数时，正数的次方根有两个，它们互为相反数.

(3)指数的概念：指数是幂运算中的一个参数，为底数，为指数，指数位于底数的右上角，幂运算表示指数个底数相乘.

(4)有理数指数幂的分类

①正整数指数幂；②零指数幂；

③负整数指数幂，；④的正分数指数幂等于，的负分数指数幂没有意义．

(5)有理数指数幂的性质

①，，；②，，；

③，，；④，，．

2.指数函数

【方法技巧与总结】

1.指数函数常用技巧

(1)当底数大小不定时，必须分“”和“”两种情形讨论．

(2)当时，，；的值越小，图象越靠近轴，递减的速度越快．

当时，；的值越大，图象越靠近轴，递增速度越快．

(3)指数函数与的图象关于轴对称．

【题型归纳目录】

题型一：指数运算及指数方程、指数不等式

题型二：指数函数的图像及性质

题型三：指数函数中的恒成立问题

题型四：指数函数的综合问题

【典例例题】

题型一：指数运算及指数方程、指数不等式

例1．（2022·四川凉山·三模（文））计算：______．

例2．（2022·河北邯郸·一模）不等式的解集为___________.

例3．（2022·陕西·榆林市教育科学研究所模拟预测（理））甲､乙两人解关于x的方程，甲写错了常数b，得到的根为或x=，乙写错了常数c，得到的根为或，则原方程的根是（       ）

A．或 B．或

C．或 D．或

例4．（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数是定义在R上的奇函数，当时，．则关于的不等式的解集为（       ）

A． B． C． D．

例5．（2022·全国·高三专题练习）化简：

（1）

（2）(a>0，b>0).

（3）.

【方法技巧与总结】

利用指数的运算性质解题.对于形如，，的形式常用“化同底”转化，再利用指数函数单调性解决；或用“取对数”的方法求解.形如或的形式，可借助换元法转化二次方程或二次不等式求解.

题型二：指数函数的图像及性质

例6．（2022·浙江绍兴·模拟预测）函数，的图象如图所示，则（       ）

A． B． C． D．

例7．（2022·全国·高三专题练习）函数恰有一个零点，则m的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

例8．（2022·四川省泸县第二中学模拟预测（文））函数，下列关于函数的说法错误的是（       ）

A．函数的图象关于原点对称

B．函数的值域为

C．不等式的解集是

D．是增函数

例9．（2022·河南·三模（文））已知为定义在R上的奇函数，，且在上单调递增，在上单调递减，则不等式的解集为（       ）

A． B．

C． D．

例10．（2022·新疆阿勒泰·三模（理））函数图象过定点，点在直线上，则最小值为___________.

例11．（2022·北京·高三专题练习）已知（其中且为常数）有两个零点，则实数的取值范围是___________.

例12．（2022·全国·高三专题练习）已知函数（为常数，）是上的奇函数．

(1)求实数的值；

(2)若函数在区间上的值域为，求的值．

【方法技巧与总结】

解决指数函数有关问题，思路是从它们的图像与性质考虑，按照数形结合的思路分析，从图像与性质找到解题的突破口，但要注意底数对问题的影响.

题型三：指数函数中的恒成立问题

例13．（2022·北京·高三专题练习）设是定义在上的偶函数，且当时，，若对任意的，不等式恒成立，则正数的取值范围为（       ）

A． B． C． D．

例14．（2022·北京·高三专题练习）已知函数．

(1)利用函数单调性的定义证明是单调递增函数；

(2)若对任意，恒成立，求实数的取值范围．

例15．（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数为实常数.

（1）讨论函数的奇偶性，并说明理由；

（2）当为奇函数时，对任意，不等式恒成立，求实数的最大值.

例16．（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数．

（1）若函数在，上有最大值，求实数的值；

（2）若方程在，上有解，求实数的取值范围．

例17．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，

（1）当时，求的值域；

（2）若对，成立，求实数的取值范围；

（3）若对，，使得成立，求实数的取值范围．

【方法技巧与总结】

已知不等式能恒成立求参数值(取值范围)问题常用的方法：

（1）函数法：讨论参数范围，借助函数单调性求解；

（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域或最值问题加以解决；

（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解．

题型四：指数函数的综合问题

例18．（2022·天津河西·二模）已知定义在R上的函数满足：①；②；③在上的解析式为，则函数与函数的图象在区间上的交点个数为(       )

A．3 B．4 C．5 D．6

例19．（2022·北京·二模）若函数的定义域和值域的交集为空集，则正数的取值范围是（       ）

A． B．

C． D．

例20．（2022·甘肃省武威第一中学模拟预测（文））已知函数，则

______．

例21．（2022·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为，满足，且当时，，则______．

例22．（2022·辽宁·建平县实验中学模拟预测）已知函数，则不等式的解集为___________.

例23．（2022·江西·二模（文））设函数，若是函数的最大值，则实数的取值范围为_______．

【过关测试】

一、单选题

1．（2022·北京通州·模拟预测）已知函数，则（       ）

A．是偶函数，且在是单调递增 B．是奇函数，且在是单调递增

C．是偶函数，且在是单调递减 D．是奇函数，且在是单调递减

2．（2022·安徽淮南·二模（理））1947年，生物学家Max Kleiber发表了一篇题为《body size and metabolicrate》的论文，在论文中提出了一个克莱伯定律：对于哺乳动物，其基础代谢率与体重的次幂成正比，即，其中F为基础代谢率，M为体重．若某哺乳动物经过一段时间生长，其体重为原来的10倍，则基础代谢率为原来的（参考数据：）（       ）

A．5.4倍 B．5.5倍 C．5.6倍 D．5.7倍

3．（2022·陕西·西安中学模拟预测（文））英国著名数学家布鲁克-泰勒以微积分学中将函数展开成无穷级数的定理著称于世.在数学中，泰勒级数用无限连加式来表示一个函数，泰勒提出了适用于所有函数的泰勒级数，并建立了如下指数函数公式：，其中，则的近似值为（精确到）（       ）

A． B． C． D．

4．（2022·河南洛阳·二模（文））已知函数，且，则（       ）

A．26 B．16 C．－16 D．－26

5．（2022·四川成都·三模（理））若函数的零点为，则（       ）．

A． B．1 C． D．2

6．（2022·河南·开封高中模拟预测（文））若关于x的不等式有实数解，则实数a

的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

7．（2022·四川·内江市教育科学研究所三模（理））已知函数满足：对任意，．当时，，则（       ）

A． B． C． D．

8．（2022·上海宝山·二模）关于函数和实数的下列结论中正确的是（       ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

二、多选题

9．（2022·湖南·模拟预测）在同一直角坐标系中，函数与的图象可能是（       ）

A． B．

C． D．

10．（2022·全国·模拟预测）已知，下列选项中正确的为（       ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

11．（2022·广东肇庆·模拟预测）若，则下列不等式中正确的有（       ）

A． B． C． D．

12．（2022·全国·模拟预测）已知函数，若存在三个实数，使得，则（       ）

A．的取值范围为 B．的取值范围为

C．的取值范围为 D．的取值范围为

三、填空题

13．（2022·安徽淮北·一模（理））___________.

14．（2022·四川·模拟预测（理））已知两个条件：①；②在上单调递减.请写出一个同时满足以上两个条件的函数____________.

15．（2022·河南·模拟预测（文））函数在的值域为______．

16．（2022·山西·二模（理））已知函数给出下列结论：①是偶函数；②在上是增函数；③若，则点与原点连线的斜率恒为正．其中正确结论的序号为______．

四、解答题

17．（2022·全国·高三专题练习）由于突发短时强降雨，某小区地下车库流入大量雨水.从雨水开始流入地下车库时进行监测，已知雨水流入过程中，地下车库积水量y（单位：）与时间t（单位：）成正比，雨停后，消防部门立即使用抽水机进行排水，此时y与t的函数关系式为（k为常数），如图所示.

(1)求y关于t的函数关系式；

(2)已知该地下车库的面积为2560，当积水深度小于等于0.05时，小区居民方可入内，那么从消防部门开始排水时算起，至少需要经过几个小时以后，小区居民才能进入地下车库？

18．（2022·全国·高三专题练习）（1）计算：（﹣9.6）0﹣；

（2）已知3，求的值．

19．（2022·全国·高三专题练习）已知a>0，且a≠1，若函数y＝|ax－2|与y＝3a的图象有两个交点，求实数a的取值范围．

20．（2022·全国·高三专题练习）设函数且是定义域为的奇函数；

（1）若，判断的单调性并求不等式的解集；

（2）若，且，求在上的最小值．

21．（2022·北京·高三专题练习）定义在上的函数，如果满足:对任意存在常数都有成立，则称是上的有界函数，其中称为函数的上界.已知.

（1）当时，求函数在上的值域，并判断函数在上是否为有界函数﹐请说明理由﹔

（2）若函数在上是以为上界的有界函数，求实数的取值范围.

22．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 .

(1)设，求方程的根；

(2)设，若对任意，不等式恒成立，求实数m的最大值；

(3)若，函数有且只有1个零点，求的值.