2023年中考数学压轴题答案解析
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2023年中考数学压轴题
如图，已知二次函数y=x2+bx+c经过A, B两点，BC±x轴于点C,且点A (- 1, 0),
C (4, 0), AC=BC.
(1) 求抛物线的解析式；
(2) 点E是线段AB上一动点(不与A，B重合)，过点E作x轴的垂线，交抛物线于点 F当线段EF的长度最大时，求点E的坐标及Saabf；
(3) 点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在这样的P点，使AABP成为直角三 角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由.
解：(I)：点 A (- 1，0)，C (4，0),
••・AC=5, OC=4， •..AC=BC=5,
• B (4, 5),
把A (- 1, 0)和B (4, 5)代入二次函数y=x2+bx+c中得:
卩一 + = 0 解得 j =_2
.•.二次函数的解析式为：y=x2-2x-3；
(2)如图1,・..直线AB经过点A (- 1, 0), B (4, 5),
设直线AB的解析式为y=kx+b,
直线AB的解析式为：y=x+1.
•.•二次函数y=x2 - 2x - 3,
.•・设点 E (t,什 1),则 F (t, P-2/-3),
n 3 , 25
；.EF=(什 1) - (t -2,-3) - (/— 2)+ w，
3 25
.•.当，=2时，时的最大值为云，
一 3 5
..•点E的坐标为(p
・ c 1 1 25 』一 125
..Saabf= 2 • - =2乂玄乂4+1=
(3)存在，
y=x^ - 2x - 3 — (xT) 2-4,
设 P ( L m),
分三种情况：
① 以点6为直角顶点时，由勾股定理得：砰2+如2 =网2, /. (4-1) 2+ Cm - 5) 2+ (4+1) 2+52= (1+1) 2+m2, 解得：m = 8,
:.P (1, 8)；
② 以点力为直角顶点时，由勾股定理得：PA2+AB2^pb2, /. (1+1) 2+m2+ (4+1) 2+52= (4 - 1) 2+ (初-5) 2,
解得：m— - 2,
:.P (1, - 2)；
③以点尸为直角顶点时，由勾股定理得：pb2+pa2^ba2,
/. (1+1) 2+m2+ (4 - 1) 2+ (m - 5) 2 — (4+1) 2+52,
解得：初=6或T,
:.P （1, 6）或（1,-1）；
综上，点P的坐标为（1,8）或（1,-2）或（1,6）或（1,-1）.
2.如图，已知二次函数y=x2+bx+c的图象交x轴于点A, B,交y轴于点C （0, 3）,对称 轴为直线x=2.
（1） 求这个二次函数的表达式；
（2） 直线x = m在线段OB上运动，分别交直线BC和抛物线于点M, N,当MN最大时, 求tanZCNM的值.
解：(1)由题意，得x=—2=2,则b=-4.
所以，把点C (0, 3)代入y=x2+bx+c，得c = 3.
故该二次函数的表达式是：y=x2-4x+3；
(2)令直线x=m与x轴交点为P,则P (m, 0).
由 y=x2 - 4x+3=(x - 3) (x - 1)得至U B (3、0).
设BC的解析式为y=kx+t (k#0),将B (3、0), C (0, 3)代入，得｛3=匕=0 解得：1 =-1.
故直线BC解析式是：y=- x+3,
•・•点 P (m、0),
2
. M( m，- m+3)，N( m，m - 4m+3)，
/.MN=(-m+3)-(m2 - 4m+3)=-m2+3m=-(m—|-) 2+ 4,
•..-1<0,
.•.当m=2时，线段MN取得最大值为4.
3
:.p（2, o）.
如图，过点C作CE丄直线MN于E,
3 3^ 3 3 3 3
把 x= 2代入抛物线y=U - 4x+3,得y=（2）2 - 4X 2+3=-4，即 N （万，一可）.
. 3 15
:,CE= 2, EN=-4.
3 2 2
tan Z CNM= tan Z CNE=——=会=5卩 tanZ CNM= 5.
■4
19.如图，抛物线y= - x2+bx+c的图象与x轴交于A （ - 4，0）和点B两点，与y轴交于
点C,抛物线的对称轴是x=- 1与x轴交于点D.
（1） 求拋物线的函数表达式；
（2） 若点P （m，n）为抛物线上一点，且-4<m< - 1，过点P作PE〃x轴，交抛物线
的对称轴x= - 1于点E，作PF丄x轴于点F,得到矩形PEDF,求矩形PEDF周长的最
大值;
（3）点Q为抛物线对称轴x=- 1上一点，是否存在点Q,使以点Q, B, C为顶点的三
角形是直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.
解：（1）・「抛物线y=-x2+bx+c的对称轴是x=- 1,
一——2 = 一 1, b =- 2,
X - 2x+c,
把 A (-4, 0)代入得：-16+8+c=0,
."=8,
...拋物线的函数表达式为：y=- x2 - 2x+8；
(2)...点P (m, n)为抛物线上一点，且-4<m< - 1,如图1,
•.•四边形PEDF是矩形,
矩形 PEDF 的周长— 2PE+2PF=2 (- 1 - m) +2 (- m2 - 2m+8) — - 2m2
2(服2)2+37,
.•.当m=-3时，矩形PEDF的周长有最大值是37；
(3)存在点Q,使以点Q, B, C为顶点的三角形是直角三角形,
..•点Q为抛物线对称轴x=- 1上一点,
.••设 Q (- 1, y),
由对称得：B (2, 0),
VC (0, 8),
. QB2=( 2+1 ) 2+y2= 9+y2,
QC2=(- 1) 2+ (y- 8) 2=1+ (y - 8) 2,
BC2= 22+82=4+64=68,
分三种情况:
① 当ZQCB = 90。时，QB是斜边,
:.QB2^QC2+BC2,
9+y2 = 1+ (y- 8)斗68
31
解得：y=-g-
31
「•Q(-1，苴)；
② 当ZQBC= 90。时，QC是斜边,
QC2=BC2+QB2,
1+ (y - 8) 2 = 68+9+矿,
3
解得:y=-p
.•.Q (T, -；)；
③ 当ZBQC=90。时，BC是斜边，
VBC2=BQ2+QC2,
.68 = 1+ (y- 8) 2+9+y2,
解得：y=4 土
.Q (- 1, 4+ )或(-1, 4- v'T3);
一 31 3 — —
综上，点 Q 的坐标是(-1,—)或(-1, 一可)或 (- 1, 4+ 713)或(-1, 4一 v'13).
- 如图，在^ABC中，匕C=90° , AD平分ABAC交BC于点D,点O在AB上，以点O
为圆心，OA为半径的圆恰好经过点D,分别交AC、AB于点E、F.
(1) 试判断直线BC与OO的位置关系，并说明理由；
(2) 若BD=2\3, AB = 6，求阴影部分的面积(结果保留n).
(1)证明：连接OD,如图:
.：OA = OD,
:.ZOAD=ZODA,
:AD 平分ZCAB,
:.ZOAD=ZCAD,
:.ZCAD^ZODA,
:.AC^OD,
；.ZODB=ZC=90°,
即BC丄OD,
又•.•OD为OO的半径，
..・直线BC是OO的切线；
(2)解：设 OA = OD = r,则 OB = 6 - r, 在RtAODB中，由勾股定理得：OD2+BD2 = ob2,
r2+ (2/3)2=(6 - r) 2,
解得：r=2,
/.OB = 4, OD=2,
1
：.OD= 2OB,
AZB = 30° ,
AZDOB=180°-ZB-ZODB = 60°,
1 An? 2 2
..•阴影部分的面积S=Saodb - S扇形dof= 2 x2拦x2- 360 =2侦'3 - 丁.
- 如图，AB是。O的直径，C是。O上一点，OD丄BC于点D,过点C作。O的切线，交
OD的延长线于点E,连结BE.
(1) 求证：BE是OO的切线；
(2) 设OE交。O于点F,若DF=2, BC=4v3，求线段EF的长；
(3) 在(2)的条件下，求阴影部分的面积.
B
(1)证明：连接OC,如图,
•「CE为切线，
「・ OCLCE,
:.ZOCE=9Q° ,
•；OD」BC,
:.CD=BD,
即OD垂直平分BC,
:.EC=EB,
在ZkOCE和△Q8E中
♦
V = ,
:.AOCE^AOBE (龄)，
；.ZOBE=ZOCE=9Q° ,
：.OB±BE,
•.•HE与。。相切；
(2)解：设。。的半径为 x,贝lj OD=OF- DF=x~2, OB=x,
1 在 Rt A OBD 中，BD=奔=2必,
,：oD*bD=oB,
...(x-2) 2+(2V3) 2=x2，解得 x=4,
OD = 2, OB=4,
AZOBD=30o ,
/.ZBOD=60° ,
：.OE=2OB=8, .EF=OE - OF=8 - 4=4.
(3)VZBOE=60°,ZOBE=90°,
.•.在 RtAOBE 中，BE= 73OB = 4V3, 「•S阴影=S四边形OBEC - S扇形OBC
c 1 120-4 2
=2x2x4X^''3 - —360 —,
=16v2 .
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