沪科版19.3 矩形 菱形 正方形获奖课件ppt

教学目标

1.让学生经历矩形判定定理的猜想与证明过程.

2.让学生理解并掌握矩形的判定定理.

3.让学生能应用矩形的判定定理解决简单的证明题和计算题.

教学重难点

重点：理解并掌握矩形的判定定理.

难点：矩形判定定理的应用.

教学过程

导入新课

 一位很有名望的木工师傅，招收了两名徒弟，一天，师傅有事外出，两徒弟就在家练习用两块四边形的废料各做了一扇矩形的门，做完之后，两人都说对方的门不是矩形，而自已做的门是矩形.

问题

你能想一个办法确定谁做的门是矩形吗？

除了矩形的定义外，有没有其他判定矩形的方法呢？

探究新知

探究一  用上、下一样长,左、右一样长的四根木条,长对长,短对短,首尾相接,做成一个木条框一定是矩形吗?还要满足什么条件?

【结论】有一个角是直角的平行四边形是矩形.

几何语言：

∵ 在□ABCD中,∠B＝90°,

∴ 四边形ABCD是矩形.

探究二  一个平行四边形的木条框,拉动一对不相邻的顶点,平行四边形的形状会发生变化.思考以下问题：

(1)随着∠α的变化,两条对角线的长度将会发生怎样的变化?

(2)当两条对角线的长度相等时,平行四边形有什么特征?由此你能得到一个怎样的猜想?

【结论】对角线相等的平行四边形是矩形.引导学生对结论进行证明.

【教师活动】分析题目的已知和求证，引导学生利用平行四边形的对边相等及三角形的全等证明∠ADC =∠BCD，再由两直线平行同旁内角互补得∠ADC +∠BCD = 180°，进而得到有一个角是90°，根据矩形的定义得出结论.

【学生活动】根据题意画出图形并写出已知和求证，先独立完成证明过程，再在小组内交流、纠正，最后用几何语言描述判定定理.

已知：如图,在□ABCD中, AC=DB.

求证：□ABCD是矩形.

证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形，

∴ AD=BC.

∵ DC=CD,AC=DB,

∴ △ADC≌△BCD ,∴ ∠ADC =∠BCD.

∵ ∠ADC +∠BCD = 180°,

∴ ∠ADC =∠BCD= 90°,

∴ □ABCD是矩形（矩形的定义）.

几何语言：

∵ 在□ABCD中，AC＝BD，

∴ □ABCD是矩形.

探究三  

有一个角是直角的四边形是矩形吗？

有两个角是直角的四边形是矩形吗？

有三个角是直角的四边形是矩形吗？

【结论】有三个角是直角的四边形是矩形 .引导学生对结论进行证明.

已知：如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°.

求证：四边形ABCD是矩形.

证明：∵∠A＝∠B ＝∠C ＝90°，

∴ ∠B＋∠C＝180°,∠A＋∠B＝180°，

∴ AB∥CD， AD∥BC，

∴ 四边形ABCD是平行四边形.

∵ ∠A＝90°，

∴ 四边形ABCD是矩形.

【教师活动】分析题目的已知和求证，引导学生先证明四边形是平行四边形，再证明有一个角是90°，根据矩形的定义得出结论.

【学生活动】根据题意画出图形并写出已知和求证，先独立完成证明过程，再用几何语言描述判定定理.

几何语言：

∵ 在四边形ABCD中,

∠A＝∠B＝∠C＝90°，

∴ 四边形ABCD是矩形.

例题讲解

【例1】已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是AC的中点，直线AE∥BC，过点D作直线EF∥AB，分别交AE，BC于点E，F.

求证：四边形AECF是矩形.

【证明】∵ AE∥BC，∴ ∠1=∠2.

在△ADE和△CDF中，

∵ ∠1＝∠2，∠ADE＝∠CDF，AD＝CD，

∴ △ADE≌△CDF.∴ AE＝CF.

∴ 四边形AECF是平行四边形.

又∵ 四边形ABFE是平行四边形, ∴ EF ＝ AB.

∵ AC＝AB,∴ EF＝AC.

∴ 四边形AECF是矩形.

【教师活动】分析题目的条件，引导学生书写证明过程，巡视学生做题过程，纠正学生做题中出现的问题.

【学生活动】在老师的指导下，先自己整理证题过程，整理完在小组内交流，对出现的错误及时纠正.

【点评】此题考察了平行四边形的性质、矩形的判定，难度不大，注意掌握数形结合思想的应用.

跟踪训练  1.已知：矩形ABCD的对角线AC，BD相交于O，E，F，G，H分别是AO，BO，CO，DO上的一点，AE=BF=CG=DH.

求证：四边形EFGH是矩形.

证明：∵ 四边形ABCD是矩形,

∴ AO=BO=CO=DO.

又∵ AE=BF=CG=DH,

∴ OE=OF=OG=OH,

∴ 四边形EFGH是平行四边形.

又∵ EO+OG=FO+OH,

即EG=FH,

∴ 四边形EFGH是矩形.

【例2】如图，□ABCD的四个内角的平分线分别相交于E，F，G，H.

求证：四边形 EFGH为矩形．

 【证明】在□ABCD中，AD∥BC,

∴ ∠DAB+∠ABC=180°.

∵ AE与BG分别为∠DAB，∠ABC的平分线,

∴ ∠BAE+∠ABF = ∠DAB+ ∠ABC=90°.

∴ ∠AFB=90°.∴ ∠GFE=90°.

同理可证∠AED=∠EHG=90°，

∴ 四边形EFGH是矩形．

【教师活动】巡视学生做题过程，纠正学生做题中出现的错误.

【学生活动】先独立完成证明，由一名学生在黑板上完成，再在小组内交流，对出现的错误及时纠正.

【总结】平行四边形的性质两组对角的角平分线，两两相交，构成一个矩形.

跟踪训练  2.如图，△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC交BC于点D，AE平分△BAC的外角，且∠AEB＝90°．

求证：四边形ADBE是矩形．

证明：如下图，∵ AD是∠BAC的平分线，∴ ∠1＝∠2.

∵ AE是∠BAF的平分线，∴ ∠3＝∠4.

∵ ∠1+∠2+∠3+4＝180°，

∴ ∠2+∠3＝90°，

即∠DAE＝90°.

∵ AB＝AC，∠1＝∠2，∴ AD⊥BC，

即∠ADB＝90°.

∵ ∠AEB＝90°，∴ 四边形ADBE是矩形．

【例3】已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边的中线，AN是△ABC的外角平分线，CE⊥AN，垂足为点E.

（1）求证：四边形ADCE为矩形.

（2）连接DE，交AC于点F，请判断四边形ABDE的形状，并证明.

（3）线段DF与AB有怎样的关系？请证明.

【教师活动】分析：（1）在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边的中线，可得AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD.又AN为△ABC的外角平分线，可得∠DAE＝90°.又由CE⊥AN，即可证得四边形ADCE为矩形.

（2）利用矩形的对角线相等推知AC＝DE，结合已知条件可以推知AB＝DE，AE＝BD，则可判定四边形ABDE是平行四边形.

（3）由四边形ADCE为矩形，可得AF＝CF.又AD是BC边的中线，即可得DF是△ABC的中位线，则可得DF∥AB，DF＝.

【学生活动】分析证题思路，书写证题过程，小组内合作完成.

（1）【证明】∵ 在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边的中线，

∴ AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，

∴ ∠ADC＝90°.

∵ AN为△ABC的外角平分线，

∴ ∠MAN＝∠CAN，

∴ ∠DAE＝90°.

∵ CE⊥AN，

∴ ∠AEC＝90°，

∴ 四边形ADCE为矩形.

（2）【解】四边形ABDE是平行四边形.证明如下：

由（1）知，四边形ADCE为矩形，

则AE＝CD，AC＝DE.

又∵ AB＝AC，BD＝CD，

∴ AB＝DE，AE＝BD，

∴ 四边形ABDE是平行四边形.

（3）【解】DF∥AB，DF＝AB.

证明如下：

∵ 四边形ADCE为矩形，

∴ AF＝CF.

∵ BD＝CD，

∴ DF是△ABC的中位线，

∴ DF∥AB，DF＝AB.

【点评】此题考查了矩形的判定与性质、等腰三角形的三线合一以及三角形中位线定理.此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用.

跟踪训练  3.如图所示，在△ABC中，D为BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF＝BD.连接BF.

(1)BD与DC有什么数量关系？请说明理由.

(2)当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？请说明理由.

【教师活动】（1）根据“两直线平行，内错角相等”得出∠AFE＝∠DCE，然后利用“AAS”证明△AEF和△DEC全等.根据“全等三角形的对应边相等”可得AF＝CD，再利用等量代换即可得BD＝DC.

（2）先利用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”证明四边形AFBD是平行四边形，再根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”证明四边形AFBD是矩形，所以∠ADB＝90°.由等腰三角形三线合一的性质可知△ABC满足的条件是AB＝AC.

【学生活动】独立完成证明过程，总结矩形的判定方法，总结探究性问题的解题方法，对证题中出现的错误及时纠正.

解：（1）BD＝CD.理由如下：

∵ AF∥BC，∴ ∠AFE＝∠DCE.

∵ E是AD的中点，∴ AE＝DE.

又∵ ∠AEF＝∠DEC，

∴ △AEF≌△DEC(AAS)，∴ AF＝DC.

∵ AF＝BD，∴ BD＝DC.

（2）当△ABC满足AB＝AC时，四边形AFBD是矩形.理由如下：

∵ AF∥BD，AF＝BD，∴ 四边形AFBD是平行四边形.

∵ AB＝AC，BD＝DC，∴ ∠ADB＝90°，

∴ 四边形AFBD是矩形.

课堂小结

矩形的判定思路： 

布置作业

教材第89页练习. 

板书设计

第2课时　矩形的判定

1.定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形.

2.判定定理

  定理1：对角线相等的平行四边形是矩形.

定理2：有三个角是直角的四边形是矩形.