数学九年级上册1.2 一元二次方程的解法优秀随堂练习题

第02讲一元二次方程根与系数关系与解决问题

（2大考点6种解题方法）

一．根与系数的关系

（1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．

（2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝，x1x2＝，反过来也成立，即＝﹣（x1+x2），＝x1x2．

（3）常用根与系数的关系解决以下问题：

①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件．

二．由实际问题抽象出一元二次方程

在解决实际问题时，要全面、系统地审清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程．

三．一元二次方程的应用

1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答．

2、列一元二次方程解应用题中常见问题：

（1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a．

（2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2＝后来数．

（3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程．

（4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解．

【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀”

1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系．

2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数．

3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程．

4．解：准确求出方程的解．

5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题．

6．答：写出答案．

四．高次方程

（1）高次方程的定义：整式方程未知数次数最高项次数高于2次的方程，称为高次方程．

（2）高次方程的解法思想：

通过适当的方法，把高次方程化为次数较低的方程求解．所以解高次方程一般要降次，即把它转化成二次方程或一次方程．也有的通过因式分解来解．

对于5次及以上的一元高次方程没有通用的代数解法和求根公式（即通过各项系数经过有限次四则运算和乘方和开方运算无法求解），这称为阿贝尔定理． 换句话说，只有三次和四次的高次方程可用根式求解．

五．无理方程

（1）定义：方程中含有根式，且开方数是含有未知数的代数式，这样的方程叫做无理方程．

（2）有理方程和根式方程（无理方程）合称为代数方程．　　（3）解无理方程关键是要去掉根号，将其转化为整式方程．　　　　解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法． 常用的方法有：乘方法，配方法，因式分解法，设辅助元素法，利用比例性质法等．　　（4）注意：用乘方法（即将方程两边各自乘同次方来消去方程中的根号）来解无理方程，往往会产生增根，应注意验根．

一．根与系数的关系（共4小题）

1．（2022•淮安模拟）方程x2+x﹣1＝0的两根为x1、x2，则x1+x2的值为 　   　．

2．（2022•盐城一模）设一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的两根为x1，x2，则x1﹣x1x2+x2的值为（　　）

A．1 B．﹣1 C．0 D．3

3．（2022•盐城一模）设α，β是一元二次方程x2+5x﹣99＝0的两个根，则α•β的值是（　　）

A．5 B．﹣5 C．99 D．﹣99

4．（2022•秦淮区二模）若关于x的方程ax2+bx+c＝0的解是x1＝3，x2＝﹣5，则关于y的方程a（y+1）2+b（y+1）+c＝0的解是（　　）

A．y1＝4，y2＝﹣4 B．y1＝2，y2＝﹣6 C．y1＝4，y2＝﹣6 D．y1＝2，y2＝﹣4

二．由实际问题抽象出一元二次方程（共4小题）

5．（2021秋•常州期末）为保护人民群众生命安全，减少交通事故，自2020年7月1日起，我市市民骑车出行必须严格遵守“一盔一带”规定，某头盔经销商经过统计发现：某品牌头盔从5月份到7月份销售量的月增长率相同，若5月份销售200个，7月份销售288个，设月增长率为x则可列出方程（　　）

A．200（1+x）＝288 B．200（1+2x）＝288 

C．200（1+x）2＝288 D．200（1+x2）＝288

6．（2022•盐城二模）“劳动创造世界”，劳动教育已纳入国家人才培养全过程．某学农基地加大投入，建设新型农场，该农场一种作物的亩产量两年内从400千克增加到484千克．设平均每年增产的百分率为x，则可列方程为（　　）

A．400（1+2x）＝484 B．400（1+x）2＝484 

C．400（1+x）＝484 D．400（1+x2）＝484

7．（2022春•太仓市期末）某电影上映第一天票房收入约1亿元，以后每天票房收入按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达到4亿元．若增长率为x，则下列方程正确的是（　　）

A．1+x＝4 B．（1+x）2＝4 

C．1+（1+x）2＝4 D．1+（1+x）+（1+x）2＝4

8．（2022•常州模拟）香水梨在甘肃白银境内种植历史悠久，明代就有记载．某水果店以每千克10元的进价进了批香水梨，经市场调研发现：售价为每千克20元时，每天可销售40千克，售价每上涨1元，每天的销量将减少3千克．如果该水果店想平均每天获利408元，设这种香水梨的售价上涨了x元，根据题意可列方程为（　　）

A．（20+x）（40﹣3x）＝408 

B．（20+x﹣10）（40﹣3x）＝408 

C．（x﹣10）[40﹣3（x﹣20）]＝408 

D．（20+x）（40﹣3x）﹣10×40＝408

三．一元二次方程的应用（共9小题）

9．（2022•泗洪县一模）某工厂两年内产值翻了一番，则该工厂产值年平均增长的百分率等于 　   　．（结果精确到0.1%，参考数据：≈1.414，≈1.732．）

10．（2021秋•靖江市期末）随着退耕还林政策的进一步落实，三岗村从2017年底到2019年底林地面积变化如图所示，则2018，2019这两年三岗村林地面积年平均增长的百分率为 　   　．

11．（2021秋•灌云县月考）如果一个直角三角形的三边长为三个连续偶数，则它的周长为 　   　．

12．（2022•广陵区校级一模）如图，某小区有一块长为36m，宽为24m的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为600m2，两块绿地之间及周边有宽度相等的人行通道，则人行通道的宽度为 　   　m．

13．（2022•泰州）如图，在长为50m、宽为38m的矩形地面内的四周修筑同样宽的道路，余下的铺上草坪．要使草坪的面积为1260m2，道路的宽应为多少？

14．（2022•邳州市一模）直播带货逐渐走进了人们的生活，某电商在抖音上销售一批小商品，平均每天可卖出20件，每件盈利30元通过市场调查发现，在一定范围内，小商品单价每降低1元，平均每天销售量增加2件，商家预期日利润为750元，决定降价促销，小商品的单价应降低多少元？

15．（2022•建湖县一模）3月初某商品价格下跌，每件价格下跌20%，用3000元买到的该商品件数比下跌前多25件．3月下旬该商品开始涨价，经过两次涨价后，该商品价格为每件29.04元．

（1）求3月初该商品下跌后的价格；

（2）若该商品两次涨价率相同，求该商品价格的平均涨价率．

16．（2021秋•淮安区期末）用一段长为30m的篱笆围成一个靠墙的矩形菜园，墙的长度为18m．

（1）设垂直于墙的一边长为xm，则平行于墙的一边长为 　   　m（用含x的代数式表示）；

（2）若菜园的面积为100m2，求x的值．

17．（2021秋•海陵区校级期末）流行病学中有一个叫做基本传染数R0的数字，简单来说，就是一个人在一个周期内会感染几个人，有一个人感染了新冠病毒，经过两个周期的传染后共有36人感染，求新冠病毒的基本传染数R0．

四．高次方程（共3小题）

18．（2021秋•邗江区期中）将关于x的一元二次方程x2﹣px+q＝0变形为x2＝px﹣q，就可以将x2表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如x3＝x•x2＝x（px﹣q）＝…，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：x2﹣x﹣1＝0，且x＞0，则x3+1的值为（　　）

A．1+ B．1﹣ C．3﹣ D．3+

19．（2022•广陵区校级二模）方程m3＝4m的解为 　   　．

20．（2021秋•溧阳市期中）阅读理解：

对于x3﹣（n2+1）x+n这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式：

x3﹣（n2+1）x+n

＝x3﹣n2x﹣x+n

＝x（x2﹣n2）﹣（x﹣n）

＝x（x+n）（x﹣n）﹣（x﹣n）

＝（x﹣n）（x2+nx﹣1）

理解运用：

如果x3﹣（n2+1）x+n＝0，那么（x﹣n）（x2+nx﹣1）＝0，

即有x﹣n＝0或x2+nx﹣1＝0．

因此，方程x﹣n＝0和x2+nx﹣1＝0的所有解就是方程x3﹣（n2+1）x+n＝0的解．

解决问题：

求方程x3﹣5x+2＝0的解．

五．无理方程（共3小题）

21．（2022春•太仓市期末）类比和转化是数学中解决新的问题时最常用的数学思想方法．

【回顾旧知，类比求解】

解方程：．

解：去根号，两边同时平方得一元一次方程 　   　，解这个方程，得x＝　   　．

经检验，x＝　   　是原方程的解．

【学会转化，解决问题】

运用上面的方法解下列方程：

（1）；                          （2）．

22．（2021秋•镇江期末）【阅读】

小明同学遇到这样一个问题：已知关于x的方程a（x+m）2+b＝0（a、b、m为常数，a≠0）的解是x1＝﹣3，x2＝2，求方程a（x+m+1）2+b＝0的解．他用“换元法”解决了这个问题．我们一起来看看小明同学的具体做法．

解：在方程a（x+m+1）2+b＝0中令y＝x+1，则方程可变形为a（y+m）2+b＝0，

根据关于x的方程a（x+m）2+b＝0的解是x1＝﹣3，x2＝2，

可得方程a（y+m）2+b＝0的解是y1＝﹣3，y2＝2．

把y＝﹣3代入y＝x+1得，x＝﹣4，把y＝2代入y＝x+1得，x＝1，

所以方程a（x+m+1）2+b＝0的解是x1＝﹣4，x2＝1．

【理解】

已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根m，n．

（1）关于x的方程ax+b+c＝0（a≠0）的两根分别是 　   　（用含有m、n的代数式表示）；

（2）方程 　   　的两个根分别是2m，2n．（答案不唯一，写出一个即可）

【猜想与证明】

观察下表中每个方程的解的特点：

（1）猜想：方程ax2+bx+c＝0（a≠0，c≠0，b2﹣4ac≥0）的两个根与方程 　   　的两个根互为倒数；

（2）仿照小明采用的“换元法”，证明你的猜想．

23．（2021秋•盐都区校级月考）阅读材料：各类方程的解法：求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为x＝a的形式，求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解；类似的，三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组．求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解．求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想——转化，把未知转化为已知．用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程x3+x2﹣2x＝0，可以通过因式分解把它转化为x（x2+x﹣2）＝0，解方程x＝0和x2+x﹣2＝0，可得方程x3+x2﹣2x＝0的解．

（1）问题：方程6x3+14x2﹣12x＝0的解是：x1＝0，x2＝　   　，x3＝　   　；

（2）拓展：用“转化”思想求方程的解；

（3）应用：如图，已知矩形草坪ABCD的长AD＝21m，宽AB＝8m，点P在AD上（AP＞PD），小华把一根长为27m的绳子一段固定在点B，把长绳PB段拉直并固定在点P，再拉直，长绳的另一端恰好落在点C，求AP的长．

六．一元二次方程的整数根与有理根（共4小题）

24．（2020•仪征市一模）定义：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的根均为整数，称该方程为“全整方程”，规定T（a，b，c）＝为该“全整方程”的“全整数”．

（1）判断方程x2﹣x﹣1＝0是否为“全整方程”，若是，求出该方程的“全整数”，若不是，请说明理由；

（2）若关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣3）x+m2﹣4m﹣5＝0（其中m为整数，且满足5＜m＜22）是“全整方程”，求其“全整数”．

25．（2020秋•姜堰区期中）若关于x的一元二次方程2ax2﹣（a+4）x+2＝0有一个正整数解，则正整数a＝　   　．

26．（2021•栖霞区二模）已知关于x的方程kx2﹣（3k+1）x+2k+2＝0根都是整数；若k为整数，则k的值为　   　．

27．（2020•南通模拟）已知数m满足6＜m＜20，如果关于x的一元二次方程mx2﹣（2m﹣1）x+m﹣2＝0有有理根，求m的值（　　）

A．11 B．12 

C．m有无数个解 D．13

一、选择题

1．（2020·江苏苏州草桥中学九年级期中）某商品经过连续两次降价，售价由原来的每件25元降到每件16元，则平均每次降价的百分率为（    ）.

A．； B．； C．； D．.

2．（2021·南师附中树人学校九年级月考）关于x的一元二次方程x2﹣（4﹣m）x+m＝0的两个实数根分别为x1，x2，且x1+x2＝5，则x1x2的值是（　　）

A．1 B．﹣1 C．5 D．0

3．（2019·南京民办求真中学）某钢铁厂一月份生产钢铁560吨，从二月份起，由于改进操作技术，使得第一季度共生产钢铁1850吨，问二、三月份平均每月的增长率是多少？若设二、三月份平均每月的增长率为x，则可得方程（　　）

A． B．

C． D．

二、填空题

4．（2020·南通市启秀中学九年级期中）设是一元二次方程的两根，则_______________________．

5．（2021·苏州高新区实验初级中学）设是一元二次方程两个根，则________．

6．（2021·江苏九年级一模）据美国约翰斯•霍普金斯大学发布的全球新冠肺炎数据统计系统，截至美国东部时间3月28日晚6时，全美共报告新冠肺炎确诊人数超过3025万，死亡超过54.9万，已知有一人患了新冠肺炎，经过两轮传染后，共有144人患了新冠肺炎，每轮传染中平均每人传染了_____人．

7．（2020·宜兴市树人中学九年级月考）某厂一月份生产某机器100台，计划三月份生产144台．设二、三月份每月的平均增长率相同，则二、三月份每月的平均增长率为_______．

8．（2018·江苏九年级期末）关于x的一元二次方程x2+（a2﹣2a）x+a﹣1＝0的两个实数根互为相反数，则a的值为_________．

9．（2019·兴化市板桥初级中学九年级月考）已知三角形两边长分别是2和9，第三边的长为一元二次方程的一个根，则这个三角形的周长为__________．

三、解答题

10．（2021·江苏九年级期末）据调查，我市某企业2018年生产的某品牌产品100万个，到2020年该品牌产品的年产量达到169万个．

（1）求该品牌产品的年平均增长率；

（2）若该品牌产品的年平均增长率保持不变，请你预测该品牌产品2021年的年产量．

11．（2020·江苏）已知某企业2020年3月份的口罩产量是500万只，4月份的产量比3月份有所增长．5月份新冠疫情有所好转，口罩产量降为420万只．若两次产量变化的百分率相同，求这个百分率．

12．（2020·江苏）如图，张大叔从市场上买回一块矩形铁皮，他将此矩形铁皮的四个角各剪去一个边长为1米的正方形后，剩下的部分刚好能围成一个容积为15m3的无盖长方体箱子，且此长方体箱子的底面长比宽多2米，现已知购买这种铁皮每平方米需20元钱，问张大叔购回这张矩形铁皮共花了多少元钱？

13．（2018·江苏九年级期末）如图所示，已知在△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=12cm，点Q从点A开始沿 AB边向点B以1cm/s的速度移动，点P从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．

（1）如果Q、P分别从A、B两点出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于8cm2？

（2）在（1）中，△PBQ的面积能否等于10cm2？试说明理由．

14．（2020·江苏徐州市·九年级期末）如图，某小区规划在一个长16m，宽9m的矩形场地ABCD上，修建同样宽的小路，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草，若草坪部分总面积为112m2，求小路的宽．