第2章 对称图形-圆（基础、典型、易错、压轴）分类专项训练-九年级数学考试满分全攻略（苏科版）

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第2章 对称图形-圆（基础、典型、易错、压轴）分类专项训练
【基础】
一．选择题（共11小题）
1．（2022春•兴化市期末）若⊙O的直径为10，点A到圆心O的距离为6，那么点A与⊙O的位置关系是（　　）
A．点A在圆外 B．点A在圆上 C．点A在圆内 D．不能确定
【分析】根据题意得⊙O的半径为5cm，则点A到圆心O的距离小于圆的半径，则根据点与圆的位置关系可判断点A在⊙O内．
【解答】解：∵⊙O的直径为10，
∴⊙O的半径为5，
而圆心O的距离为6，
∴点A在⊙O外．
故选：A．
【点评】本题考查了点与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有点P在圆外⇔d＞r；点P在圆上⇔d＝r；点P在圆内⇔d＜r．
2．（2022•兴化市模拟）如图所示，MN为⊙O的弦，∠N＝52°，则∠MON的度数为（　　）

A．38° B．52° C．76° D．104°
【分析】根据半径相等得到OM＝ON，则∠M＝∠N＝52°，然后根据三角形内角和定理计算∠MON的度数．
【解答】解：∵OM＝ON，
∴∠M＝∠N＝52°，
∴∠MON＝180°﹣2×52°＝76°．
故选：C．
【点评】本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．
3．（2021秋•兴化市期末）已知正三角形的边长为12，则这个正三角形外接圆的半径是（　　）
A．2 B． C．3 D．4
【分析】设正△ABC的中心为O，过O点作OD⊥BC，垂足为D，连接OB，把问题转化到Rt△OBD中求OB即可．
【解答】解：如图，连接OB，作OD⊥BC，
∵BC＝12，
∴BD＝BC＝×12＝6，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠OBD＝30°，
∴OB＝．
故选：D．

【点评】本题考查了正多边形和圆．关键是画出正三角形及其中心，表示正三角形外接圆的半径，把问题转化到直角三角形中求解．
4．（2022•锡山区校级二模）如图，点A，B，C在⊙O上．∠ACB＝40°，则∠AOB的度数是（　　）

A．40° B．75° C．80° D．85°
【分析】直接利用圆周角定理求解．
【解答】解：∵∠AOB和∠ACB都对，
∴∠AOB＝2∠ACB＝2×40°＝80°．
故选：C．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
5．（2022•邗江区校级开学）已知⊙O的直径是8，圆心O到直线a的距离是3，则直线a和⊙O的位置关系是（　　）
A．相交 B．相离 C．相切 D．外切
【分析】直接根据直线与圆的位置关系进行解答即可．
【解答】解：∵⊙O的直径是8，
∴⊙O的半径是4，圆心O到直线a的距离是3，
∴直线a和⊙O相交．
故选：A．
【点评】本题考查的是直线与圆的位置关系，即设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，当d＜r时，直线与圆相交．
6．（2021秋•海州区期末）如图，AB是⊙O的弦，AC是⊙O的切线，A为切点，BC经过圆心．若∠C＝50°，则∠B的大小等于（　　）

A．20° B．25° C．40° D．50°
【分析】连接OA，根据切线性质得∠OAC＝90°，再由三角形的内角和求出∠AOC的度数，并根据同圆的半径相等求出结论．
【解答】解：连接OA，
∵AC是⊙O的切线，
∴∠OAC＝90°，
∵∠C＝50°，
∴∠AOC＝90°﹣50°＝40°，
∵OA＝OB，
∴∠B＝∠OAB，
∵∠AOC＝∠B+∠OAB＝40°，
∴∠B＝20°，
故选：A．

【点评】本题考查了圆的切线的性质，一般作法是：若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系；同时要熟练掌握圆的切线的性质：①圆的切线垂直于经过切点的半径；②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
7．（2021秋•滨海县期末）如图，以点O为圆心作圆，所得的圆与直线a相切的是（　　）

A．以OA为半径的圆 B．以OB为半径的圆
C．以OC为半径的圆 D．以OD为半径的圆
【分析】根据直线与圆的位置关系的判定方法进行判断．
【解答】解：∵OD⊥a于D，
∴以点O为圆心，OD为半径的圆与直线a相切．
故选：D．
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系：判断直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．若直线l和⊙O相交⇔d＜r；直线l和⊙O相切⇔d＝r；直线l和⊙O相离⇔d＞r．
8．（2022•江阴市校级一模）如图，AB是⊙O的直径，DB、DE分别切⊙O于点B、C，若∠ACE＝25°，则∠D的度数是（　　）

A．50° B．55° C．60° D．65°
【分析】连接BC，由弦切角定理得∠ACE＝∠ABC，再由切线的性质求得∠DBC，最后由切线长定理求得∠D的度数．
【解答】
解：连接BC，
∵DB、DE分别切⊙O于点B、C，
∴BD＝DC，
∵∠ACE＝25°，
∴∠ABC＝25°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠DBC＝∠DCB＝90°﹣25°＝65°，
∴∠D＝50°．
解法二：连接OC，BC．

∵DB，DC是⊙O的切线，B，C是切点，
∴∠OCE＝∠OBD＝90°，BD＝DC，
∵OA＝OC，
∴∠A＝∠OCA，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠A+∠ABC＝90°，∠OCA+∠ACE＝90°，
∴∠ACE＝∠ABC＝25°，
∴∠BDC＝∠DCB＝90°﹣25°＝65°，
∴∠D＝180°﹣2×65°＝50°，
故选：A．
【点评】本题考查了切线的性质、圆周角定理、弦切角定理等知识，综合性强，难度较大．
9．（2022春•靖江市月考）如图，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转90°至矩形AEFG，点D的旋转路径为，若AB＝1，BC＝2，则阴影部分的面积为（　　）

A．+ B．1+ C． D．+1
【分析】设与EF交于H，连接AH，根据旋转的性质得到AH＝AD＝BC＝2，根据直角三角形的性质得到∠AHE＝∠GAH＝30°，根据三角形和扇形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：如图，设与EF交于H，连接AH，
∵AB＝1，BC＝2，
∴AH＝AD＝BC＝2，
∴∠AHE＝∠GAH＝30°，
∵AE＝AB＝1，
∴HE＝，
∴阴影部分的面积＝S扇形AHG+S△AHE＝+1×＝+，
故选：A．

【点评】本题考查了矩形的性质，旋转的性质，扇形的面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．
10．（2022•锡山区一模）若圆柱的底面半径为3cm，母线长为4cm，则这个圆柱的侧面积为（　　）
A．12cm2 B．24cm2 C．12πcm2 D．24πcm2
【分析】圆柱侧面积＝底面周长×高．
【解答】解：根据侧面积公式可得：π×2×3×4＝24πcm2，
故选：D．
【点评】本题考查了圆柱的计算，解题的关键是弄清圆柱的侧面积的计算方法，圆柱的侧面积＝底面圆的周长×高．
11．（2021秋•启东市期末）已知一个圆锥的母线长为是30，底面半径为10，则这个圆锥的侧面展开图的圆心角等于（　　）
A．90° B．100° C．120° D．150°
【分析】设这个圆锥的侧面展开图的圆心角为n°，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到2π×10＝，然后解关于n的方程即可．
【解答】解：设这个圆锥的侧面展开图的圆心角为n°，
根据题意得2π×10＝，
解得n＝120，
即这个圆锥的侧面展开图的圆心角等于120°．
故选：C．
【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
二．填空题（共4小题）
12．（2022春•海门市期中）如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的垂线段OE长为3cm，则半径OA的长为 　5　cm．

【分析】根据垂径定理求出AE的长，在Rt△AOE中根据勾股定理直接求出OA即可．
【解答】解：∵OE⊥AB，AB＝8，
∴AE＝BE＝4，
在Rt△AOE中，OE＝3，
根据勾股定理得：OA＝．
【点评】本题主要考查了垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的优弧和劣弧．
13．（2022•鼓楼区校级开学）如图，四边形ABCD内接于⊙O，E是BC延长线上一点，若∠BAD＝105°，则∠DCE的度数是 　105　°．

【分析】由圆的内接四边形的性质，可得∠BAD+∠BCD＝180°，又由邻补角的定义可得：∠BCD+∠DCE＝180°，可得∠DCE＝∠BAD．
【解答】解：∵∠BAD＝105°，
∴∠BCD＝180°﹣∠BAD＝75°，
∴∠DCE＝180°﹣∠BCD＝105°．
故答案为：105．
【点评】此题考查了圆的内接四边形的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．
14．（2022•常州模拟）如图，四个边长为1的小正方形拼成一个大正方形，A、B、O是小正方形顶点，⊙O的半径为1，P是⊙O上的点，且位于右上方的小正方形内，则∠APB的度数为　45°　．

【分析】由题意知，⊙O为大正方形的内接圆，又A，B两点为⊙O的上的两点，且∠AOB＝90°，根据圆心角等于2倍的圆周角，即可得出∠APB的度数．
【解答】解：由题意知，∠AOB＝90°，且A，B，P均位于⊙O的上，所以有∠APB＝∠AOB＝45°．
【点评】此题主要考查学生对圆心角和圆周角等知识点的掌握和灵活运用能力．
15．（2022•鼓楼区校级三模）扇形的半径为8cm，圆心角为60°，则该扇形的弧长为 　　cm．
【分析】应用弧长的计算公式l＝（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）代入计算即可得出答案．
【解答】解：l＝＝＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了弧长的计算，熟练掌握弧长的计算公式进行计算是解决本题的关键．
三．解答题（共1小题）
16．（2022•亭湖区校级开学）如图，在⊙O中，弦AB与弦CD相交于点E，且AB＝CD．求证：CE＝BE．

【分析】根据圆心角、弧、弦的关系定理的推论得到＝，结合图形得到＝，进而得到∠C＝∠B，根据等腰三角形的判定定理证明结论．
【解答】证明：∵AB＝CD，
∴＝，
∴﹣＝﹣，即＝，
∴∠C＝∠B，
∴CE＝BE．
【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系定理的推论，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
【典型】
一．选择题（共8小题）
1．（2021秋•盐都区期末）已知点P在半径为8的⊙O外，则（　　）
A．OP＞8 B．OP＝8 C．OP＜8 D．OP≠8
【分析】根据点P与圆O的位置关系即可确定OP的范围．
【解答】解：∵点P在圆O的外部，
∴点P到圆心O的距离大于8，
故选：A．
【点评】本题主要考查点于圆的位置关系，关键是要牢记判断点与圆的位置关系的方法．
2．（2022•玄武区一模）如图，在扇形AOB中，D为上的点，连接AD并延长与OB的延长线交于点C，若CD＝OA，∠O＝75°，则∠A的度数为（　　）

A．35° B．52.5° C．70° D．72°
【分析】连接OD，如图，设∠C的度数为n，由于CD＝OA＝OD，根据等腰三角形的性质得到∠C＝∠DOC＝n，则利用三角形外角性质得到∠ADO＝2n，所以∠A＝2n，然后利用三角形内角和定理得到75°+n+2n＝180°，然后解方程求出n，从而得到∠A的度数．
【解答】解：连接OD，如图，设∠C的度数为n，
∵CD＝OA＝OD，
∴∠C＝∠DOC＝n，
∴∠ADO＝∠DOC+∠C＝2n，
∴OA＝OD，
∴∠A＝∠ADO＝2n，
∵∠AOC+∠C+∠A＝180°，∠AOC＝75°，
∴75°+n+2n＝180°，
解得n＝35°，
∴∠A＝2n＝70°．
故选：C．

【点评】本题考查了圆的认识：熟练掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．也考查了等腰三角形的性质．
3．（2021秋•灌南县期末）如图，四边形ADBC内接于⊙O，∠AOB＝122°，则∠ACB等于（　　）

A．131° B．119° C．122° D．58°
【分析】先利用圆周角定理求出∠D＝61°，然后根据圆内接四边形的性质计算∠ACB的度数．
【解答】解：∵∠AOB＝122°，
∴∠D＝∠AOB＝61°，
∵四边形ADBC为⊙O内接四边形，
∴∠ACB+∠D＝180°，
∴∠ACB＝180°﹣61°＝119°．
故选：B．

【点评】本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补．也考查了圆周角定理．
4．（2022春•宝应县校级月考）如图，一圆环分别与夹角为α的两墙面相切，圆环上图示位置固定一小球，并用细线将小球与两切点分别相连，两细线夹角为β，则α与β之间的关系是（　　）

A． B．β＝90°+α C． D．β＝180°﹣α
【分析】根据切线的性质和四边形内角和定理可得出∠EOF+α＝180°，根据圆内接四边形的性质可得∠EPF+∠EGF＝180°，再由圆周角定理得出∠EPF＝∠EOF，代入求值 即可得到结论．
【解答】解：如图所示，

根据题意得，QE，QF分别是⊙O的切线，点E，F分别是切点，
∴OE⊥QE，OF⊥QF，
∴∠OEQ＝∠OFQ＝90°，
又∠EOF+∠OEQ+∠EQF+∠OFQ＝360°，
∴∠EOF+∠EQF＝360°﹣（∠OEQ+∠OFQ）
＝360°﹣（90°+90°）
＝180°，
∴∠EOF＝180﹣∠EQF＝180°﹣α，
∵四边形EGFP是圆内接四边形，
∴∠EPF+∠EGF＝180°，
即∠EPF+β＝180°，
又∵∠EPF＝∠EOF＝（180°﹣α）＝90°﹣，
∴90°﹣+β＝180°，
即β＝90°+，
故选：A．
【点评】本题主要考查了切线的性质，圆内接四边形的性质以及圆周角定理等知识，解答关键是熟练掌握相关性质．
5．（2022•高新区校级三模）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的切线与AB的延长线交于点E，点D在上（不与点A，C重合），连接AD，CD．若∠D＝110°，则∠AEC的度数为（　　）

A．55° B．50° C．45° D．40°
【分析】连接OC，BC，由圆内接四边形的性质求出∠ABC的度数，由等腰三角形的性质可求出∠BOC的度数，再根据切线的性质求出答案即可．
【解答】解：如图，连接OC，BC，

∵四边形ABCD是圆的内接四边形，
∴∠D+∠ABC＝180°，
∵∠D＝110°，
∴∠ABC＝180°﹣∠D＝180°﹣110°＝70°，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB＝70°，
∴∠BOC＝180°﹣70°﹣70°＝40°，
∵EC是⊙O的切线，
∴OC⊥EC，即∠OCE＝90°，
∴∠AEC＝90°﹣∠BOC＝90°﹣40°＝50°，
故选：B．
【点评】本题考查切线的性质，圆内接四边形的性质，掌握“切线垂直于经过切点的半径”以及“圆内接四边形对角互补”的性质是解决问题的关键．
6．（2022•常州二模）刘徽在《九章算术注》中首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率，开创了中国数学发展史上圆周率研究的新纪元．某同学在学习“割圆术”的过程中，作了一个如图所示的圆内接正十二边形．若⊙O的半径为1，则这个圆内接正十二边形的面积为（　　）

A．1 B．3 C．π D．2π
【分析】如图，过A作AC⊥OB于C，得到圆的内接正十二边形的圆心角为＝30°，根据三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：如图，过A作AC⊥OB于C，
∵圆的内接正十二边形的圆心角为＝30°，OA＝1，
∴AC＝OA＝，
∴S△OAB＝×1×＝，
∴这个圆的内接正十二边形的面积为12×＝3，
故选：B．

【点评】本题考查了正多边形与圆，三角形的面积的计算，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．
7．（2022•武进区二模）如图，C，D在⊙O上，AB是直径，∠D＝64°，则∠BAC＝（　　）

A．64° B．34° C．26° D．24°
【分析】连接BC，先利用同弧所对的圆周角相等求出∠B，再根据直径所对的圆周角是直角求出∠ACB＝90°，最后利用直角三角形两锐角互余进行计算即可解答．
【解答】解：连接BC，

∵∠D＝64°，
∴∠D＝∠B＝64°，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠BAC＝90°﹣∠B＝26°，
故选：C．
【点评】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
8．（2022春•港闸区校级月考）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E．如果∠OCE＝50°，那么∠ABD＝（　　）

A．50° B．60° C．70° D．80°
【分析】连接OD，根据垂径定理求出＝，求出∠COB＝∠DOB＝40°，根据OB＝OD得出∠ABD＝∠ODB，再求出答案即可．
【解答】解：连接OD，

∵CD⊥AB，AB过O，
∴＝，
∴∠COB＝∠DOB，
∵CD⊥AB，
∴∠OEC＝90°，
∵∠OCE＝50°，
∴∠COB＝90°﹣∠OCE＝40°，
∴∠DOB＝40°，
∵OB＝OD，
∴∠ABD＝∠ODB＝（180°﹣∠DOB）＝（180°﹣40°）＝70°，
故选：C．
【点评】本题考查了垂径定理，圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识点，能灵活运用知识点进行推理和计算是解此题的关键．
二．填空题（共5小题）
9．（2022•锡山区一模）如图，点A，B，C在圆O上，∠ACB＝54°，则∠ABO的度数是 　36°　．

【分析】先利用圆周角定理得到∠AOB＝2∠ACB＝108°，然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算∠ABO的度数．
【解答】解：根据题意得∠AOB＝2∠ACB＝2×54°＝108°，
∵OA＝OB，
∴∠ABO＝∠BAO，
∴∠ABO＝（180°﹣∠AOB）＝（180°﹣108°）＝36°．
故答案为36°．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
10．（2021秋•广陵区期末）已知扇形的圆心角为150°，弧长为20πcm，则扇形的面积为 　240π　cm2．
【分析】先根据弧长公式求出扇形的半径，再根据扇形面积公式求出即可．
【解答】解：设扇形的半径为Rcm，
则由弧长公式得：20π＝，
解得：R＝24，
即扇形的面积是×20π×24＝240π（cm2）．
故答案为：240π．
【点评】本题考查了弧长公式和扇形面积公式的应用，注意：扇形的面积＝×弧长×半径．
11．（2022•宿城区二模）圆锥的底面半径为7cm，母线长为21cm，则该圆锥的侧面展开图的圆心角为 　120　度．
【分析】根据圆的周长公式求出圆锥的底面周长，根据扇形面积公式计算，得到答案．
【解答】解：设圆锥的侧面展开图的圆心角为n度，
∵圆锥的底面半径为7cm，
∴圆锥的底面周长为14πcm，即圆锥的侧面展开图扇形的弧长为14πcm，
则＝14π，
解得：n＝120，
故答案为：120．
【点评】本题考查的是圆锥的计算，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长是解题的关键．
12．（2022•盐城一模）一个圆锥的侧面展开图是一个圆心角为216°、半径为15cm的扇形，这个圆锥的底面圆半径为 　9　cm．
【分析】设这个圆锥的底面圆半径为rcm，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长和弧长公式得到2πr＝，然后解关于r的方程即可．
【解答】解：设这个圆锥的底面圆半径为rcm，
根据题意得2πr＝，
解得r＝9．
故答案为：9．
【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
13．（2022•丰县二模）如图，圆锥的底面半径r为6cm，高h为8cm，则此圆的侧面积是 　60π　cm2．

【分析】首先利用勾股定理求出圆锥的母线长，再通过圆锥侧面积公式可以求得结果．
【解答】解：∵h＝8cm，r＝6cm，
可设圆锥母线长为lcm，
由勾股定理，l＝＝10（cm），
圆锥侧面展开图的面积为：S侧＝×2×6π×10＝60πcm2，
所以圆锥的侧面积为60πcm2．
故答案为：60π．
【点评】本题主要考查圆锥侧面积的计算公式，解题关键是利用底面半径及高求出母线长即可．
三．解答题（共3小题）
14．（2022•盐城）证明：垂直于弦AB的直径CD平分弦以及弦所对的两条弧．

【分析】先根据已知画图，然后写出已知和求证，再进行证明即可．
【解答】如图，CD为⊙O的直径，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M．
求证：AM＝BM，，．
证明：连接OA、OB，

∵OA＝OB，
∴△OAB是等腰三角形，
∵AB⊥CD，
∴AM＝BM，∠AOC＝∠BOC，
∴，．
【点评】本题考查了垂径定理，根据命题画出图形并根据圆的隐含条件半径相等进行证明是解题的关键．
15．（2021秋•江都区期末）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，直线l与⊙O相切于点A，在l上取一点D使得DA＝DC，线段DC，AB的延长线交于点E．
（1）求证：直线DC是⊙O的切线；
（2）若BC＝4，∠CAB＝30°，求图中阴影部分的面积（结果保留π）．

【分析】（1）连接OC，由DA＝DC得∠DCA＝∠DAC，由OA＝OC得∠OCA＝∠OAC，而直线l与⊙O相切于点A，则∠OCD＝∠OAD＝90°，可证得直线DC是⊙O的切线；
（2）先证明△BOC是等边三角形，则OC＝BC＝4，再根据勾股定理求出CE的长，由S阴影＝S△COE﹣S扇形COB求出图中阴影部分的面积即可．
【解答】（1）证明：如图，连接OC，
∵DA＝DC，
∴∠DCA＝∠DAC，
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠OAC，
∴∠DCA+∠OCA＝∠DAC+∠OAC，
∴∠OCD＝∠OAD，
∵直线l与⊙O相切于点A，
∴直线l⊥OA，
∴∠OCD＝∠OAD＝90°，
∵OC是⊙O的半径，且DC⊥OC，
∴直线DC是⊙O的切线.
（2）解：∵∠CAB＝30°，
∴∠COB＝2∠CAB＝2×30°＝60°，
∵OB＝OC，
∴△BOC是等边三角形，
∴OC＝BC＝4，
∵∠OCE＝90°，∠COE＝60°，
∴∠E＝30°，
∴OE＝2OC＝2×4＝8，
∴CE＝＝＝4，
∴S阴影＝S△COE﹣S扇形COB＝×4×4﹣×π×42＝8﹣．

【点评】此题考查圆的切线的判定与性质、圆周角定理、勾股定理、扇形的面积计算等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
16．（2022•苏州一模）如图，AB是⊙O的直径，点D，E在⊙O上，∠A＝2∠BDE，点C在AB的延长线上，∠C＝∠ABD．
（1）求证：CE是⊙O的切线：
（2）连接BE，若⊙O的半径长为5，OF＝3，求EF的长．

【分析】（1）连接OE，首先得出△ABD∽△OCE，进而推出∠OCE＝90°，即可得到结论；
（2）先判断出∠ADF＝∠DFA，得出AD＝AF，最后用勾股定理求出AD，然后根据相似三角形的性质即可得出结论．
【解答】（1）证明：连接OE，
则∠BOE＝2∠BDE，又∠A＝2∠BDE，
∴∠BOE＝∠A，
∵∠C＝∠ABD，∠A＝∠BOE，
∴△ABD∽△OCE
∴∠ADB＝∠OEC，
又∵AB是直径，
∴∠OEC＝∠ADB＝90°
∵OE是⊙O的半径；
∴CE与⊙O相切；
（2）解：设∠BDE＝α，
∴∠ADF＝90°﹣α，∠A＝2α，∠DBA＝90°﹣2α，
在△ADF中，∠DFA＝180°﹣2α﹣（90°﹣α）＝90°﹣α，
∴∠ADF＝∠DFA，
∴AD＝AF＝AO+OF＝5+3＝8，
∴AD＝AF＝8，
∵∠ADF＝∠AFD，∠ADF＝∠FBE，∠AFD＝∠BFE，
∴∠BFE＝∠FBE，
∴BE＝EF，
由（1）知，∠A＝2∠BDE＝∠BOF，
∵∠BED＝∠A，
∴∠BEF＝∠BOE，
∵∠FBE＝∠OBE，
∴△BEF∽△BOE，
∴＝，
∴＝，
∴EF＝，
故EF的长为．

【点评】此题主要考查了切线的判定和性质，三角形的内角和定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理，判断出∠ADB＝∠OEC是解本题的关键．
【易错】
一．选择题（共2小题）
1．（2022春•亭湖区校级期末）如图，在四边形材料ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AD＝9cm，AB＝20cm，BC＝24cm．现用此材料截出一个面积最大的圆形模板，则此圆的半径是（　　）

A．cm B．8cm C．6cm D．10cm
【分析】如图，当AB，BC，CD相切于⊙O于点E，F，G时，⊙O的面积最大．连接OA，OB，OC，OD，OE，OF，OG，过点D作DH⊥BC于点H．利用面积法构建方程求解．
【解答】解：如图，当AB，BC，CD相切于⊙O于点E，F，G时，⊙O的面积最大．连接OA，OB，OC，OD，OE，OF，OG，过点D作DH⊥BC于点H．

∵AD∥CB，∠BAD＝90°，
∴∠ABC＝90°，
∵∠DHB＝90°，
∴四边形ABHD是矩形，
∴AB＝DH＝20cm，AD＝BH＝9cm，
∵BC＝24cm，
∴CH＝BC﹣BH＝24﹣9＝15（cm），
∴CD＝＝＝25（cm），
设OE＝OF＝OG＝rcm，
则有×（9+24）×20＝×20×r+×24×r+×25×r+×9×（20﹣r），
∴r＝8，
故选：B．
【点评】本题考查切线的性质，直角梯形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，学会利用面积法构建方程解决问题．
2．（2022春•睢宁县月考）如图，点A，B的坐标分别为A（2，0），B（0，2），点C为坐标平面内一点，BC＝1，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为（　　）

A．+1 B．+ C．2+1 D．2﹣
【分析】根据同圆的半径相等可知：点C在半径为1的⊙B上，通过画图可知，C在BD与圆B的交点时，OM最小，在DB的延长线上时，OM最大，根据三角形的中位线定理可得结论．
【解答】解：如图，
∵点C为坐标平面内一点，BC＝1，
∴C在⊙B上，且半径为1，
取OD＝OA＝2，连接CD，

∵AM＝CM，OD＝OA，
∴OM是△ACD的中位线，
∴OM＝CD，
当OM最大时，即CD最大，而D，B，C三点共线时，当C在DB的延长线上时，OM最大，
∵OB＝OD＝2，∠BOD＝90°，
∴BD＝2，
∴CD＝2+1，
∴OM＝CD＝，即OM的最大值为+；
故选：B．
【点评】本题考查了坐标和图形的性质，三角形的中位线定理等知识，确定OM为最大值时点C的位置是关键，也是难点．
二．填空题（共1小题）
3．（2022春•大丰区校级月考）如图，已知点A（3，0）、B（﹣1，0）点Q是y轴上一点，当∠AQB＝135°时点Q的坐标是 　（0，﹣2）或（0，2﹣）　．

【分析】分两种情况：
①如图，当Q在y轴的负半轴上时，作辅助线，构建全等三角形和等腰直角三角形，证明△QEC≌△CFB，设CE＝a，根据三角函数列方程可解答；
②同理Q在y轴的正半轴上时，根据对称得出点Q的坐标．
【解答】解：分两种情况：
①如图，当Q在y轴的负半轴上时，过点B作BC⊥AQ，交AQ的延长线于C，过点C作EF⊥y轴于E，过点B作BF⊥EF于F，

∵∠AQB＝135°，
∴∠CQB＝45°，
∵∠BCQ＝90°，
∴△BCQ是等腰直角三角形，
∴CQ＝CB，
∵∠BCF+∠ECQ＝∠ECQ+∠CQE＝90°，
∴∠BCF＝∠CQE，
∵∠F＝∠CEQ＝90°，
∴△QEC≌△CFB（AAS），
∴EQ＝CF，CE＝BF，
设CE＝a，则CF＝EQ＝3﹣a，BF＝CE＝a，
∴OQ＝a﹣（3﹣a）＝2a﹣3，
∵∠AQO＝∠CQE，
∴tan∠AQO＝tan∠CQE，即，
∴＝，
解得：a1＝，a2＝（舍），
当a＝时，OQ＝2a﹣3＝﹣2，
∴Q（0，2﹣）；
②当Q在y轴的正半轴上时，同理可得Q（0，﹣2）．
综上，点Q的坐标为（0，2﹣）或（0，﹣2）．
故答案为：（0，2﹣）或（0，﹣2）．
【点评】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，三角形全等的性质和判定，三角函数的定义等知识，正确作出辅助线是解本题的关键．
三．解答题（共3小题）
4．（2022•鼓楼区一模）如图，四边形ABCD是平行四边形，∠B＝60°，经过点A，C，D的圆与BC相交于点E，连接AE．
（1）求证：△ABE是等边三角形．
（2）F是上一点，且FA＝FC，连接EF．求证：EF＝BC．

【分析】（1）利用平行四边形的性质可得∠B＝∠D＝60°，从而利用圆内接四边形对角互补，可求出∠AEC的度数，进而求出∠AEB的度数，最后利用三角形内角和定理进行计算即可解答；
（2）利用（1）的结论可得AB＝AE，再根据同弧所对的圆周角相等可得∠D＝∠AFC＝60°，从而可得△AFC是等边三角形，进而可得∠FCA＝60°，然后利用同弧所对的圆周角相等可得∠AEF＝∠FCA＝60°，等弧所对圆周角相等可得∠AFE＝∠ACB，从而证明△ABC≌△AEF，利用全等三角形的性质即可解答．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∠B＝60°，
∴∠B＝∠D＝60°，
∵四边形AECD是圆内接四边形，
∴∠D+∠AEC＝180°，
∴∠AEC＝180°﹣∠D＝120°，
∴∠AEB＝180°﹣∠AEC＝60°，
∴∠BAE＝180°﹣∠B﹣∠AEB＝60°，
∴∠B＝∠BAE＝∠AEB，
∴△ABE是等边三角形；
（2）∵△ABE是等边三角形，
∴AB＝AE，
∵∠D＝∠AFC＝60°，AF＝FC，
∴△AFC是等边三角形，
∴∠FCA＝60°，
∴∠AEF＝∠FCA＝60°，
∴∠AEF＝∠B＝60°，
∵∠AFE＝∠ACB，
∴△ABC≌△AEF（AAS），
∴BC＝EF．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，三角形的外接圆与外心，平行四边形的性质，圆周角定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质，以及等边三角形的判定与性质是解题的关键．
5．（2021秋•大丰区期末）如图，AB、AC分别是半⊙O的直径和弦，OD⊥AC于点D，过点A作半⊙O的切线AP，AP与OD的延长线交于点P，连接PC并延长与AB的延长线交于点F．
（1）求证：PC是半⊙O的切线；
（2）若∠CAB＝30°，AB＝6，求由劣弧AC、线段AC所围成图形的面积S．

【分析】（1）连接OC，利用切线的性质定理证明∠OAP＝90°，然后证明△OAP≌△OCP，利用全等三角形的对应角相等，可得∠OCP＝∠OAP＝90°，即可解答；
（2）在Rt△AOD中求出AD与OD的长度，然后利用扇形AOC的面积减去△AOC的面积进行计算即可解答．
【解答】（1）证明：连接OC，

∵PA是半⊙O的切线，A为切点，
∴∠OAP＝90°，
∵OD⊥AC，OD经过圆心O，
∴CD＝AD，
∴OP是AC的垂直平分线，
∴PC＝PA，
∵OC＝OA，OP＝OP，
∴△OCP≌△OAP（SSS），
∴∠OCP＝∠OAP＝90°，
∵OC是⊙O的半径，
∴PC是⊙O的切线；
（2）解：∵AB是⊙O的直径，AB＝6，
∴OA＝OB＝3，
∵∠ADO＝90°，∠CAB＝30°，
∴OD＝OA＝，
∴AC＝2AD＝，
∴S△AOC＝AC•OD＝，
∵∠CAB＝30°，
∴∠COB＝2∠CAB＝60°，
∴∠AOC＝180°﹣60°＝120°，
∴S扇形AOC＝，
∴S＝S扇形AOC﹣S△AOC＝．
【点评】本题考查了切线的判定与性质，勾股定理，垂径定理，圆周角定理，扇形面积的计算，熟练掌握切线的判定与性质是解题的关键．
6．（2021秋•灌南县期末）已知：如图，AB是⊙O的直径，AB⊥AC，BC交⊙O于点D，点E是AC的中点，ED与AB的延长线交于点F．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若∠F＝30°，BF＝2，求△ABC外接圆的半径．

【分析】（1）要证明DE是⊙O的切线，想到连接OD，只要证明∠ODE＝90°即可，因为AB是⊙O的直径，想到连接AD，可得∠ADB＝90°，然后利用直角三角形斜边上的中线等于斜边长的一半，证出ED＝EA，再利用等边对等角即可解答；
（2）根据已知易求OB＝2，然后证明△DOB是等边三角形，求出∠DBO＝60°，最后在Rt△ABC中，求出BC的长即可解答．
【解答】（1）证明：连接OD，

∵AB⊥AC，
∴∠CAB＝90°，
∴∠CAD+∠DAO＝90°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ADC＝180°﹣∠ADB＝90°，
∵点E是AC的中点，
∴EA＝ED＝AC，
∴∠EAD＝∠EDA，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∴∠EDA+∠ODA＝90°，
∴∠ODE＝90°，
∵OD是⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：∵∠F＝30°，BF＝2，∠ODF＝90°，
∴OF＝2OD，
∴OB+2＝2OD，
∵OD＝OB，
∴OD＝OB＝2，
∵∠DOF＝90°﹣∠F＝60°，
∴△DOB是等边三角形，
∴∠OBD＝60°，
在Rt△ABC中，AB＝2OB＝4，
∴BC＝＝＝8，
∵△ABC外接圆的半径＝BC＝4，
∴△ABC外接圆的半径为：4．
【点评】本题考查了切线的判定与性质，三角形的外接圆与外心，熟练掌握直角三角形外接圆的圆心在斜边中点处是解题的关键．
【压轴】
一．选择题（共6小题）
1．（2022春•江都区月考）如图，已知A、B两点的坐标分别为（﹣2，0）、（0，1），⊙C的圆心坐标为（0，﹣1），半径为1．若D是⊙C上的一个动点，射线AD与y轴交于点E，则△ABE面积的最大值是（　　）

A．3 B． C． D．4
【分析】当射线AD与⊙C相切时，△ABE面积最大．设EF＝x，由切割线定理表示出DE，可证明△CDE∽△AOE，根据相似三角形的性质可求得x，然后求得△ABE面积．
【解答】解：当射线AD与⊙C相切时，△ABE面积最大．
连接AC，
∵∠AOC＝∠ADC＝90°，AC＝AC，OC＝CD，
∴Rt△AOC≌Rt△ADC，
∴AD＝AO＝2，
连接CD，设EF＝x，
∵CF＝1，
∴DE＝＝，
∵∠DEC＝∠AEO，∠EDC＝∠EOA＝90°，
∴△CDE∽△AOE，
∴＝，
即＝，
解得x＝，
S△ABE＝＝＝．
故选：B．

【点评】本题是一个动点问题，考查了切线的性质和三角形面积的计算，解题的关键是确定当射线AD与⊙C相切时，△ABE面积的最大．
2．（2022•广陵区二模）如图，在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°，以AB的中点D为圆心，作圆心角为90°的扇形DEF，点C恰在上，设∠BDF＝α（0°＜α＜90°），当α由小到大变化时，图中阴影部分的面积（　　）

A．由小到大
B．由大到小
C．不变
D．先由小到大，后由大到小
【分析】作DM⊥AC于M，DN⊥BC于N，构造正方形DMCN，利用正方形和等腰直角三角形的性质，通过证明△DMG≌△DNH，把△DHN补到△DNG的位置，得到四边形DGCH的面积＝正方形DMCN的面积，于是得到阴影部分的面积＝扇形的面积﹣正方形DMCN的面积，即为定值．
【解答】解：作DM⊥AC于M，DN⊥BC于N，连接DC，
∵CA＝CB，∠ACB＝90°，
∴∠A＝∠B＝45°，
DM＝AD＝AB，DN＝BD＝AB，
∴DM＝DN，
∴四边形DMCN是正方形，
∴∠MDN＝90°，
∴∠MDG＝90°﹣∠GDN，
∵∠EDF＝90°，
∴∠NDH＝90°﹣∠GDN，
∴∠MDG＝∠NDH，
在△DMG和△DNH中，
，
∴△DMG≌△DNH，
∴四边形DGCH的面积＝正方形DMCN的面积，
∵正方形DMCN的面积＝DM2＝AB2，
∴四边形DGCH的面积＝，
∵扇形FDE的面积＝＝，
∴阴影部分的面积＝扇形面积﹣四边形DGCH的面积＝（定值），
故选：C．

【点评】本题主要考查了等腰直角三角形斜边中线的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，能正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
3．（2022•淮阴区模拟）如图，A、B、C三点在⊙O上，且∠AOB＝80°，则∠ACB等于（　　）

A．100° B．80° C．50° D．40°
【分析】由圆周角定理知，∠ACB＝∠AOB＝40°．
【解答】解：∵∠AOB＝80°
∴∠ACB＝∠AOB＝40°．
故选：D．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
4．（2022•常熟市模拟）如图，在平面直角坐标系中，过格点A，B，C作一圆弧，点B与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是（　　）

A．点（0，3） B．点（2，3） C．点（5，1） D．点（6，1）
【分析】根据垂径定理的性质得出圆心所在位置，再根据切线的性质得出，∠OBD+∠EBF＝90°时F点的位置即可．
【解答】解：连接AC，作AC，AB的垂直平分线，交格点于点O′，则点O′就是所在圆的圆心，
∴三点组成的圆的圆心为：O′（2，0），
∵只有∠O′BD+∠EBF＝90°时，BF与圆相切，
∴当△BO′D≌△FBE时，
∴EF＝BD＝2，
F点的坐标为：（5，1），
∴点B与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是：（5，1）．
故选：C．

【点评】此题主要考查了切线的性质以及垂径定理和坐标与图形的性质，得出△BOD≌△FBE时，EF＝BD＝2，即得出F点的坐标是解决问题的关键．
5．（2022春•广陵区校级月考）某花园内有一块五边形的空地如图所示，为了美化环境，现计划在五边形各顶点为圆心，2m长为半径的扇形区域（阴影部分）种上花草，那么种上花草的扇形区域总面积是（　　）

A．6πm2 B．5πm2 C．4πm2 D．3πm2
【分析】因为5个扇形的半径相等，所以5个扇形的面积和即为圆心角是540°，半径是2m的扇形的面积．
【解答】解：根据题意，得
扇形的总面积＝＝6π（m2）．
故选：A．
【点评】当扇形的半径相等的时候，注意运用提公因式法，不需要知道每个扇形的圆心角，只需要知道所有的扇形的圆心角的和．
6．（2022春•阜宁县校级月考）如图，⊙A，⊙B，⊙C，⊙D，⊙E互相外离，它们的半径都是1，顺次连接五个圆心得到五边形ABCDE，则图中五个扇形（阴影部分）的面积是（　　）

A．π B．1.5π C．2π D．2.5π
【分析】圆心角之和等于五边形的内角和，由于半径相同，那么根据扇形的面积2公式计算即可．
【解答】解：图中五个扇形（阴影部分）的面积是＝1.5π
故选：B．
【点评】解决本题的关键是把阴影部分当成一个扇形的面积来求，圆心角为五边形的内角和．
二．填空题（共6小题）
7．（2022•常州一模）若用半径为9，圆心角为120°的扇形围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则这个圆锥的底面半径是　3　，侧面积为　27π　．

【分析】利用弧长公式可得扇形的弧长，除以2π即为圆锥的底面半径，圆锥的侧面积＝π×底面半径×母线长．
【解答】解：圆锥侧面展开图的弧长为：＝6π，
∴圆锥的底面半径为：6π÷2π＝3，
侧面积＝π×3×9＝27π．
【点评】考查了扇形的弧长公式；圆的周长公式；用到的知识点为：圆锥的弧长等于底面周长．
8．（2022•姑苏区校级模拟）已知圆锥的底面半径是2，母线长是4，则圆锥的侧面积是　8π　．
【分析】圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2．
【解答】解：底面半径是2，则底面周长＝4π，圆锥的侧面积＝×4π×4＝8π．
【点评】本题利用了圆的周长公式和扇形面积公式求解．
9．（2022春•江都区校级月考）如图所示，在⊙O内有折线OABC，其中OA＝8，AB＝12，∠A＝∠B＝60°，则BC的长为 　20　．

【分析】延长AO交BC于D，根据∠A、∠B的度数易证得△ABD是等边三角形，由此可求出OD、BD的长；过O作BC的垂线，设垂足为E；在Rt△ODE中，根据OD的长及∠ODE的度数易求得DE的长，进而可求出BE的长；由垂径定理知BC＝2BE，由此得解．
【解答】解：延长AO交BC于D，作OE⊥BC于E；
∵∠A＝∠B＝60°，∴∠ADB＝60°；
∴△ADB为等边三角形；
∴BD＝AD＝AB＝12；
∴OD＝4，又∵∠ADB＝60°，
∴DE＝OD＝2；
∴BE＝10；
∴BC＝2BE＝20；
故答案为20．

【点评】此题主要考查了等边三角形的判定和性质以及垂径定理的应用．
10．（2021秋•阜宁县期末）如图所示，一个宽为2cm的刻度尺在圆形光盘上移动，当刻度尺的一边与光盘相切时，另一边与光盘边缘两个交点处的读数恰好是“2”和“10”（单位：cm），那么该光盘的直径是 　10　cm．

【分析】本题先根据垂径定理构造出直角三角形，然后在直角三角形中已知弦长和弓形高，根据勾股定理求出半径，从而得解．
【解答】解：如图，设圆心为O，弦为AB，切点为C．如图所示．则AB＝8cm，CD＝2cm．
连接OC，交AB于D点．连接OA．
∵尺的对边平行，光盘与外边缘相切，
∴OC⊥AB．
∴AD＝4cm．
设半径为Rcm，则R2＝42+（R﹣2）2，
解得R＝5，
∴该光盘的直径是10cm．
故答案为：10

【点评】此题考查了切线的性质及垂径定理，建立数学模型是关键．
11．（2022春•丰县月考）已知正六边形的边长为1cm，分别以它的三个不相邻的顶点为圆心，1cm长为半径画弧（如图），则所得到的三条弧的长度之和为 　2π　cm（结果保留π）．

【分析】本题主要考查求正多边形的每一个内角，以及弧长计算公式．
【解答】解：方法一：
先求出正六边形的每一个内角＝，
所得到的三条弧的长度之和＝3×＝2πcm；

方法二：先求出正六边形的每一个外角为60°，
得正六边形的每一个内角120°，
每条弧的度数为120°，
三条弧可拼成一整圆，其三条弧的长度之和为2πcm．
故答案为：2π．
【点评】与圆有关的计算，注意圆与多边形的结合．
12．（2022春•射阳县月考）圆锥母线长为6，底面半径为2，则该圆锥的侧面积为　12π　（结果用带π的数的形式表示）．
【分析】圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2，把相应数值代入即可求解．
【解答】解：圆锥的侧面积＝2π×2×6÷2＝12π，
故答案为：12π．
【点评】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是牢记圆锥的侧面积的计算方法．
三．解答题（共1小题）
13．（2022•淮阴区模拟）如图，AB是⊙O直径，D为⊙O上一点，AT平分∠BAD交⊙O于点T，过T作AD的垂线交AD的延长线于点C．
（1）求证：CT为⊙O的切线；
（2）若⊙O半径为2，CT＝，求AD的长．

【分析】（1）连接OT，根据角平分线的性质，以及直角三角形的两个锐角互余，证得CT⊥OT，CT为⊙O的切线；
（2）证明四边形OTCE为矩形，求得OE的长，在直角△OAE中，利用勾股定理即可求解．
【解答】（1）证明：连接OT，
∵OA＝OT，
∴∠OAT＝∠OTA，
又∵AT平分∠BAD，
∴∠DAT＝∠OAT，
∴∠DAT＝∠OTA，
∴OT∥AC，
又∵CT⊥AC，
∴CT⊥OT，
∴CT为⊙O的切线；

（2）解：过O作OE⊥AD于E，则E为AD中点，
又∵CT⊥AC，
∴OE∥CT，
∴四边形OTCE为矩形，
∵CT＝，
∴OE＝，
又∵OA＝2，
∴在Rt△OAE中，，
∴AD＝2AE＝2．

【点评】本题主要考查了切线的判定以及性质，证明切线时可以利用切线的判定定理把问题转化为证明垂直的问题．