第03讲 圆、圆的对称性、确定圆的条件（3大考点7种解题方法）-九年级数学考试满分全攻略（苏科版）

第03讲圆、圆的对称性、确定圆的条件（3大考点7种解题方法）

一．圆的认识

（1）圆的定义

定义①：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．

定义②：圆可以看做是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合．

（2）与圆有关的概念

     弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等．

连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．

（3）圆的基本性质：①轴对称性．②中心对称性．

二．垂径定理

（1）垂径定理

     垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．

（2）垂径定理的推论

     推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．

     推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．

     推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．

三．垂径定理的应用

垂径定理的应用很广泛，常见的有：

（1）得到推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．

（2）垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题．

这类题中一般使用列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握．

四．圆心角、弧、弦的关系

（1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．

（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．

说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧．

（3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系

三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合．

（4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分．

五．点与圆的位置关系

（1）点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：

①点P在圆外⇔d＞r

②点P在圆上⇔d＝r

①点P在圆内⇔d＜r

（2）点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．

（3）符号“⇔”读作“等价于”，它表示从符号“⇔”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端．

六．确定圆的条件

不在同一直线上的三点确定一个圆．

注意：这里的“三个点”不是任意的三点，而是不在同一条直线上的三个点，而在同一直线上的三个点不能画一个圆．“确定”一词应理解为“有且只有”，即过不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆，过一点可画无数个圆，过两点也能画无数个圆，过不在同一条直线上的三点能画且只能画一个圆．

七．三角形的外接圆与外心

（1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．

（2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．

（3）概念说明：

①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点．

②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部．

③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个．

一．圆的认识（共4小题）

1．（2022•兴化市模拟）如图所示，MN为⊙O的弦，∠N＝52°，则∠MON的度数为（　　）

A．38° B．52° C．76° D．104°

2．（2021秋•东台市月考）如图，⊙O的半径OC⊥AB，D为上一点，DE⊥OC，DF⊥AB，垂足分别为E、F，EF＝3，求直径AB的长．

3．（2022•广陵区二模）如图，在扇形AOB中，D为上的点，连接AD并延长与OB的延长线交于点C，若CD＝OA，∠O＝75°，则∠A的度数为（　　）

A．35° B．52.5° C．70° D．72°

4．（2021秋•邗江区校级月考）AB＝12cm，过A、B两点画半径为6cm的圆，能画的圆的个数为（　　）

A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个

二．垂径定理（共5小题）

5．（2021秋•如皋市期末）在平面直角坐标系xOy中，以P（0，﹣1）为圆心，PO为半径作圆，M为⊙P上一点，若点N的坐标为（3a，4a+4），则线段MN的最小值为（　　）

A．3 B．2 C．4 D．2

6．（2021秋•广陵区期末）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB＝20，CD＝16，则BE的长为（　　）

A．2 B．4 C．5 D．6

7．（2021秋•南京期中）如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，CD⊥AB，垂足为P，若AP＝8，BP＝2．求CD的长．

8．（2021秋•靖江市期中）如图，AB为圆O直径，F点在圆上，E点为AF中点，连接EO，作CO⊥EO交圆O于点C，作CD⊥AB于点D，已知直径为10，OE＝4，求OD的长度．

9．（2021秋•玄武区校级月考）如图，AB是⊙O直径，弦CD⊥AB于点E，过点C作DB的垂线，交AB的延长线于点G，垂足为点F，连结AC．

（1）求证：AC＝CG；

（2）若CD＝EG＝8，求⊙O的半径．

三．垂径定理的应用（共6小题）

10．（2021秋•姜堰区期末）《九章算术》记载：今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？翻译：现有圆柱形木材，埋在墙壁里（如图①），不知道其直径的大小，于是用锯子（沿横截面）锯它（如图②），当量得深度CE为1寸时，锯开的宽度AB为1尺，问木材的直径CD是 　   　寸．（1尺＝10寸）

11．（2021秋•溧水区期末）在一个残缺的圆形工件上量得弦BC＝8cm，的中点D到弦BC的距离DE＝2cm，则这个圆形工件的半径是 　   　cm．

12．（2021秋•泰兴市期中）往水平放置的半径为13cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面图如图所示，若水面宽度AB＝24cm，则水的最大深度是 　   　cm．

13．（2021秋•姑苏区校级月考）诗句“君到姑苏见，人家尽枕河”所描绘的就是有东方威尼斯之称的水城苏州．小勇要帮忙船夫计算一艘货船是否能够安全通过一座圆弧形的拱桥，现测得桥下水面AB宽度16m时，拱顶高出水平面4m，货船宽12m，船舱顶部为矩形并高出水面3m．

（1）请你帮助小勇求此圆弧形拱桥的半径；

（2）小勇在解决这个问题时遇到困难，请你判断一下，此货船能顺利通过这座拱桥吗？说说你的理由．

14．（2021秋•玄武区校级月考）如图，弓形铁片所在圆的圆心为点O，半径为13cm，弓形的高（弧的中点到弦的距离）CD的长度为8cm，求弦AB的长度．

15．（2021秋•灌云县月考）如图1，点P表示我国古代水车的一个盛水筒．如图2，当水车工作时，盛水筒的运行路径是以轴心O为圆心，5m为半径的圆．若⊙O被水面截得的弦AB长为8m，求水车工作时，盛水筒在水面以下的最大深度．

四．圆心角、弧、弦的关系（共5小题）

16．（2021秋•东台市月考）如图，在⊙O中，，A、C之间的距离为4，则线段BD＝　   　．

17．（2022•江阴市模拟）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上异于A、B的点，点E、F分别在AC、BC上且AE＝BF，已知AB＝6，EF＝4，若取EF中点G，连接CG，则CG的长为 　   　，AE的最小值为 　   　．

18．（2021秋•亭湖区期末）如图，AB是⊙O的直径，＝＝，∠COD＝34°，则∠AEO的度数是　   　．

19．（2022•玄武区一模）如图，在△ABC中，E是BC边上的点，以AE为直径的⊙O与AB，BC，AC分别交于点F，D，G，且D是的中点．

（1）求证AB＝AC；

（2）连接DF，当DF∥AC时，若AB＝10，BC＝12，求CE的长．

20．（2021秋•建邺区期中）如图，⊙O的弦AB、CD的延长线相交于点P，且AB＝CD，求证：PB＝PD．

五．点与圆的位置关系（共5小题）

21．（2021秋•沭阳县期末）若⊙O的直径为10，点A到圆心O的距离为6，那么点A与⊙O的位置关系是（　　）

A．点A在圆外 B．点A在圆上 C．点A在圆内 D．不能确定

22．（2021秋•大丰区期末）已知⊙O的半径是4，点P到圆心O的距离为5，则点P在（　　）

A．⊙O的内部 B．⊙O的外部 

C．⊙O上或⊙O的内部 D．⊙O上或⊙O的外部

23．（2021秋•灌南县期中）如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝4，点D是AB的中点，若以点D为圆心，r为半径作⊙D，使点B在⊙D内，点C在⊙D外，试求r的取值范围．

24．（2022•苏州模拟）如图，点A，C，N的坐标分别为（﹣2，0），（2，0），（4，3），以点C为圆心、2为半径画⊙C，点P在⊙C上运动，连接AP，交⊙C于点Q，点M为线段QP的中点，连接MN，则线段MN的最小值为（　　）

A． B．3 C． D．

25．（2022•睢宁县模拟）如图，点A，B的坐标分别为A（3，0）、B（0，3），点C为坐标平面内的一点，且BC＝2，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为（　　）

A． B． C． D．3

六．确定圆的条件（共3小题）

26．（2021秋•建邺区期中）当A（1，2），B（3，﹣3），C（5，n）三点可以确定一个圆，则n需要满足的条件为 　   　．

27．（2021秋•江都区校级月考）下列说法正确的是（　　）

A．在同一平面内，三点确定一个圆 

B．等弧所对的圆心角相等 

C．旋转会改变图形的形状和大小 

D．平分弦的直径垂直于弦

28．（2018秋•泉山区校级月考）如图所示，BD，CE是△ABC的高，求证：E，B，C，D四点在同一个圆上．

七．三角形的外接圆与外心（共7小题）

29．（2021秋•通州区期末）如图，⊙O是等边三角形ABC的外接圆，若⊙O的半径为2，则△ABC的面积为（　　）

A． B． C． D．

30．（2021秋•泗阳县期末）下列说法正确的是（　　）

A．一个三角形只有一个外接圆 

B．三点确定一个圆 

C．长度相等的弧是等弧 

D．三角形的外心到三角形三条边的距离相等

31．（2021秋•无锡期末）如图，在平面直角坐标系中，A（0，﹣3），B（2，﹣1），C（2，3）．则△ABC的外心坐标为（　　）

A．（0，0） B．（﹣1，1） C．（﹣2，﹣1） D．（﹣2，1）

32．（2021秋•无锡期末）如图，正三角形ABC内接于⊙O，⊙O的半径为r，求这个正三角形的周长和面积．

33．（2020•鼓楼区一模）如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC＝45°，AD⊥BC，垂足为D，BD＝6，DC＝4．

（1）求⊙O的半径；

（2）求AD的长．

34．（2021秋•海州区校级月考）如图，△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，BO的延长线交边AC于点D．

（1）求证：∠BAC＝2∠ABD；

（2）当△BCD是等腰三角形时，求∠BCD的大小．

35．（2021•苏州模拟）如图，点A和动点P在直线l上，点P关于点A的对称点为Q，以AQ为边作Rt△ABQ，使∠BAQ＝90°，AQ：AB＝3：4，作△ABQ的外接圆O．点C在点P右侧，PC＝4，过点C作直线m⊥l，过点O作OD⊥m于点D，交AB右侧的圆弧于点E．在射线CD上取点F，使DF＝，以DE，DF为邻边作矩形DEGF．设AQ＝3x．

（1）用关于x的代数式表示BQ＝　   　，DF＝　   　．

（2）当点P在点A右侧时，若矩形DEGF的面积等于90，求AP的长．

（3）当点P在点A右侧时，作直线BG交⊙O于点N，若BN的弦心距为1，求AP的长．

一、单选题

1．（2021·江苏泰州市·）的半径为，点到圆心的距离为，点与的位置关系是（    ）

A．点在内 B．点在上 C．点在外 D．无法确定

2．（江苏泰州市·八年级期中）如图，⊙O的弦AB=6，M是AB上任意一点，且OM最小值为4，⊙O的半径为（    ）

A．5 B．4 C．3 D．2

3．（2020·射阳县第二初级中学）平面内，若⊙O的半径为3，OP＝2，则点P在（  ）

A．⊙O内 B．⊙O上 C．⊙O外 D．以上都有可能

4．（2020·江苏宿迁市·八年级期中）直角三角形三边垂直平分线的交点位于三角形的（　　）

A．三角形内 B．三角形外 C．斜边的中点 D．不能确定

5.给出下列4个命题，其中是真命题的是（      ）

A．经过三个点一定可以作圆． B．等弧所对的圆周角相等．

C．相等的圆周角所对的弧相等． D．圆的对称轴是直径．

6.下列判断中正确的是（      ）

A．平分弦的直径垂直于弦 B．垂直于弦的直线平分弦所对的弧

C．平分弧的直径平分弧所对的的弦 D．三点确定一个圆

7.下列命题：①长度相等的弧是等弧；②任意三点确定一个圆；③相等的圆心角所对的弦相等；④外心在三角形的一条边上的三角形是直角三角形，其中真命题共有（    ）

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

8.下列说法正确的是（    ）

A．三点确定一个圆 B．三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点

C．相等的圆心角所对的弧相等 D．平分弦的直径垂直于弦

9.下列有关圆的一些结论：①任意三点确定一个圆；②相等的圆心角所对的弧相等；③平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，④三角形的外心到三角形各顶点的距离相等．其中错误的结论有（　　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

10．（2020·镇江市江南学校八年级月考）在平面直角坐标系内点A、点B的坐标是分别为（0,3）、（4,3），在坐标轴上找一点C，使是等腰三角形，则符合条件的点C的个数是（    ）

A．5个 B．6个

C．7个 D．8个

11．（2020·苏州市吴江区盛泽第二中学）往直径为的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽，则水的最大深度为（  ）

A． B． C． D．

12．（2020·江苏省苏州工业园区金鸡湖学校八年级月考）如图，在平面直角坐标系中，已知点A(0，1)、B(0，3)、C(0，-1)、D(4，4)，点P为平面内一点且满足PC⊥PB，则线段PD的最大值为（ ）

A．10 B．8 C．7 D．9

二、填空题

13．（2020·射阳县第二初级中学）下列说法①直径是弦；②圆心相同，半径相同的两个圆是同心圆；③两个半圆是等弧；④经过圆内一定点可以作无数条直径．正确的是______填序号．

14．（2020·江苏苏州市·苏州草桥中学八年级期中）如图，在平面直角坐标系内，以点为圆心，5为半径作圆，则该圆与轴分别交于点，则三角形的面积为________．

15．（2021·江苏泰州市·）如图，的直径，弦，垂足为，，则的长为______．

16．（2020·苏州市吴江区盛泽第二中学）如图，AB为的直径，弦于点H，若，，则OH的长度为__．

17．（2020·苏州市吴江区盛泽第二中学）已知⊙O的半径为13cm，弦AB的长为10cm，则圆心O到AB的距离为_____cm．

18．（2021·江苏盐城市·）如图，在矩形纸片ABCD中，边AB=12，AD=5，点P为DC边上的动点（点P不与点D，C重合，将纸片沿AP折叠，则CD′的最小值为___．

三、解答题

19．（2020·苏州市吴江区盛泽第二中学）已知四边形ABCD为菱形，点E、F、G、H分别为各边中点，判断E、F、G、H四点是否在同一个圆上，如果在同一圆上，找到圆心，并证明四点共圆；如果不在，说明理由．

20．（2020·苏州市吴江区盛泽第二中学）如图，在△ABC中，已知∠ACB=130°，∠BAC=20°，BC=2，以点C为圆心，CB为半径的圆交AB于点D，求弦BD的长

21．（2020·苏州市吴江区盛泽第二中学）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，如果AB＝10，CD＝8，求线段AE的长．