第05讲 弧长及扇形的面积、圆锥的侧面积 （3大考点）-九年级数学考试满分全攻略（苏科版）

这是一份第05讲 弧长及扇形的面积、圆锥的侧面积 （3大考点）-九年级数学考试满分全攻略（苏科版），文件包含第05讲弧长及扇形的面积圆锥的侧面积3大考点解析版docx、第05讲弧长及扇形的面积圆锥的侧面积3大考点原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共52页， 欢迎下载使用。

第05讲 弧长及扇形的面积、圆锥的侧面积 （3大考点）
考点考向

一、弧长公式
半径为R的圆中
360°的圆心角所对的弧长(圆的周长)公式：
n°的圆心角所对的圆的弧长公式：(弧是圆的一部分)
【微点拨】
（1）对于弧长公式，关键是要理解1°的圆心角所对的弧长是圆周长的，即；
（2）公式中的ｎ表示1°圆心角的倍数，故ｎ和180都不带单位，R为弧所在圆的半径；
（3）弧长公式所涉及的三个量：弧长、圆心角度数、弧所在圆的半径，知道其中的两个量就可以求出第三个量.
二、扇形面积公式
1.扇形的定义
由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形.
2.扇形面积公式
半径为R的圆中
360°的圆心角所对的扇形面积(圆面积)公式：
n°的圆心角所对的扇形面积公式：
【微点拨】
(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的，
即；
(2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量.
(3)扇形面积公式，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，可类比记忆；
(4)扇形两个面积公式之间的联系：.
三、圆锥的侧面积和全面积
连接圆锥顶点和底面圆上任意一点的线段叫做圆锥的母线.
圆锥的母线长为，底面半径为r，侧面展开图中的扇形圆心角为n°，则
圆锥的侧面积，
圆锥的全面积.
【微点拨】
扇形的半径就是圆锥的母线，扇形的弧长就是圆锥底面圆的周长.因此，要求圆锥的侧面积就是求展开图扇形面积，全面积是由侧面积和底面圆的面积组成的.
【知识拓展】
探索圆柱的侧面展开图
1、在生活中，我们常常遇到圆柱形的物体，如油桶、铅笔、圆形柱子等，在小学我们已知圆柱是由两个圆的底面和一个侧面围成的，底面是两个等圆，侧面是一个曲面，两个底面之间的距离是圆柱的高．
2、圆柱也可以看作是由一个矩形旋转得到的，旋转轴叫做圆柱的轴，圆柱侧面上平行于轴的线段都叫做圆柱的母线．容易看出，圆柱的轴通过上、下底面的圆心，圆柱的母线长都相等，并等于圆柱的高，圆柱的两个底面是平行的．
考点精讲

一、求弧长
1.将一个半径为1的圆形轮子沿直线l水平向右滚动，图中显示的是轮子上的点P的起始位置与终止位置，其中在起始位置时，在终止位置时与l所夹锐角为60°，则滚动前后，圆心之间的距离可能为（ ）

A． B． C．π D．
【答案】B
【分析】设OP滚动了n周后又滚动120°后到达终止位置，OP滚动的角度α＝120°＋360n，可得圆心运动前后的距离即为OP滚动完毕扫过的角度所对应的弦长，即为2πr×＝＋2nπ，即可判断．
【详解】解：由题意可得，圆形轮子可能滚动不止一周，设OP滚动了n周后又滚动120°后到达终止位置，
∴OP滚动的角度α＝120°＋360n，n为整数，
可得圆心运动前后的距离即为OP滚动完毕扫过的角度所对应的弧长，
即为2πr×＝＋2nπ，n为整数．
当n＝0时为．
故选：B．
2.如图，中，，，，点从点出发，沿运动到点停止，过点作射线的垂线，垂足为，点运动的路径长为（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】取中点，连接、，根据直角三角形的性质可得，则可确定点Q的运动轨迹，再利用弧长的计算公式计算即可．
【详解】解：取中点，连接、，

∵和中，，
∴在以为圆心，为直径的圆上，运动路径为，，
∴，
∴点运动路径长为．
故选：D．
3.如图，王虎使一长为4cm，宽为3cm的长方形木板，在桌面上做无滑动的翻滚（顺时针方向）木板上点A位置变化为A→A1→A2，其中第二次翻滚被桌面上一小木块挡住，使木板与桌面成30°角，则点A翻滚到A2位置时共走过的路径长为（ ）

A．10cm B．cm C．cm D．cm
【答案】C
【分析】根据旋转的定义得到点A以B为旋转中心，以∠ABA1为旋转角，顺时针旋转得到A1；A2是由A1以C为旋转中心，以∠A1CA2为旋转角，顺时针旋转得到，由于∠ABA1＝90°，∠A1CA2＝60°，AB＝5cm，CA1＝3cm，然后根据弧长公式计算即可．
【详解】解：点A以B为旋转中心，以∠ABA1为旋转角，顺时针旋转得到A1，A2是由A1以C为旋转中心，以∠A1CA2为旋转角，顺时针旋转得到，

∵∠ABA1＝90°，∠A1CA2＝60°，AB＝cm，CA1＝3cm，
∴点A翻滚到A2位置时共走过的路径长＝（cm）．
故选：C．
二、求扇形面积
1.半径为，圆心角为的扇形的面积等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用扇形的面积公式 即可求出面积．
【详解】扇形的面积为：
故选：B
2.在中，已知，，．如图所示，将绕点按逆时针方向旋转后得到．则图中阴影部分面积为（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先求出 ，在根据求解即可．
【详解】解：在Rt△ABC中，∵ ，
∴AC=2BC=2，
∴ ，
∵ 绕点按逆时针方向旋转后得到，
∴
∴
∴ ．

故选：B
3.如图，是的直径，弦．已知，，则图中阴影部分的面积为（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】连接OD，则根据垂径定理可得出CE=DE，继而将阴影部分的面积转化为扇形OBD的面积，代入扇形的面积公式求解即可．
【详解】解：连接OD．

∵CD⊥AB，
∴CE=DE=CD=（垂径定理），
故S△OCE=S△ODE，
即可得阴影部分的面积等于扇形OBD的面积，
又∵∠CDB=30°，
∴∠COB=∠BOD=60°（圆周角定理），
∴OC=OD=4，
故S扇形OBD=，即阴影部分的面积为．
故选：C．
三、求圆锥侧面积
1.如图，粮仓的顶部是圆锥形，这个圆锥的地面周长为，母线长，为了防雨，需要在它的顶部铺上油毡，所需油毡的面积至少是（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用扇形的面积公式即可求解．
【详解】圆锥的底面周长为，母线长为，
圆锥的侧面积：，
故选：．
2.如图是某几何体的三视图及相关数据，则该几何体的全面积是（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据三视图知这个几何体为圆锥，再利用圆锥侧面展开的面积加上底面积即可解答．
【详解】这个几何体为圆锥，底面圆的半径为，
侧面展开图为扇形，扇形的半径为圆锥的母线长5，扇形的弧长为6，
由扇形的面积公式
得这个几何体的全面积
故选D．
3.如图，圆锥的底面半径为3，母线长为5，则侧面积为（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】把圆锥的底面半径为3，母线长为5，代入圆锥的侧面积公式S=πrl计算即可．
【详解】解：由题意得，S=π×3×5=15π．
故选C．
4.如图，圆锥顶点为，底面圆心为，过轴的截面为，为的中点，，，则圆锥的侧面积为（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先根据直角三角形斜边中线的性质求得母线PA的长，再利用勾股定理求出圆锥的底面半径，根据圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2计算即可．
【详解】解：根据题意，PO⊥AB，则∠POA=90，
在Rt△POA中，C为PA的中点， OC=2，PO=6，
∴PA=2OC=4，
OA=2，
∴底面周长=4π，
侧面面积=×4π×4=24π．
故选：A．
巩固提升

一、单选题
1．（2021·江苏九年级二模）一个圆锥的底面半径，高，则这个圆锥的侧面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用勾股定理易得圆锥的母线长，圆锥的侧面积＝π×底面半径×母线长．
【详解】解：∵圆锥的底面半径是1，高是2，
∴圆锥的母线长=，
∴这个圆锥的侧面展开图的面积=π×1×=π．
故选：C．
【点睛】考查圆锥的侧面积计算，解决本题的关键是掌握圆锥的侧面积的计算公式：．
2．（2021·江苏九年级期末）已知圆锥的底面半径为3cm，母线长为5cm，则这个圆锥的侧面积是（ ）
A．15 B．15 C．30 D．30
【答案】A
【分析】圆锥侧面积=底面周长×母线长÷2，代入数据即可求解．
【详解】解：圆锥的侧面积＝，
故选：A．
【点睛】本题主要考查圆锥的侧面积计算公式，解题的关键是弄清圆锥的侧面积计算方法，特别是圆锥的底面周长等于圆锥的侧面扇形的弧长．
3．（2021·连云港市新海实验中学）如图，以BC为直径的⊙O与ABC的另两边分别相交于D、E，若∠A=60°，BC=6，则图中阴影部分的面积为（ ）

A． B． C． D．3π
【答案】D
【分析】根据三角形内角和定理得到∠ABC+∠ACB=120°，结合等腰三角形求出∠BOD+∠COE=120°，根据扇形面积公式计算即可．
【详解】∵△ABC中,∠A=60°，
∴∠ABC+∠ACB=180°−60°=120°，
∵△OBD、△OCE是等腰三角形，
∴∠DBO=∠BDO，∠ECO=∠CEO，
∴∠BDO+∠CEO=∠ABC+∠ACB=120°，
∴∠BOD+∠COE=360°−(∠BDO+∠CEO)−(∠ABC+∠ACB)=360°−120°−120°=120°，
∵BC=6，
∴OB=OC=3，
∴S阴影=
故选D．
【点睛】考查三角形的内角和以及扇形的面积公式，等腰三角形性质，熟记扇形的面积公式是解题的关键．



二、填空题
4．（2021·江苏淮安·中考真题）若圆锥的侧面积为18π，底面半径为3，则该圆锥的母线长是___．
【答案】6
【分析】根据圆锥的侧面积＝πrl，列出方程求解即可．
【详解】解：∵圆锥的侧面积为18π，底面半径为3，
3πl＝18π．
解得：l＝6，
故答案为：6．
【点睛】本题考查了圆锥的侧面积，解题关键是熟记圆锥的侧面积公式，列出方程进行求解．
5．（2021·苏州市相城区望亭中学九年级月考）一圆锥的母线长为3，底面半径为1，则该圆锥的侧面积为_______．
【答案】3π
【分析】根据圆锥的侧面积公式S=求解即可．
【详解】解：∵圆锥的底面半径为1，圆锥的母线长为3，
∴圆锥的侧面积S=×3×2π=3π，
故答案为：3π．
【点睛】本题考查圆锥的侧面积公式，熟记公式是解答的关键．
6．（2021·苏州吴中区木渎实验中学九年级月考）用半径为圆心角为扇形纸片围成一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆半径为________．
【答案】
【分析】先利用弧长公式求出圆锥的底面周长，即可求解．
【详解】解：扇形的弧长为： ，
即这个圆锥的底面的周长为： ，
∴这个圆锥的底面圆半径为 ．
故答案为： ．
【点睛】此题考查了扇形的弧长公式，圆的周长公式，解题的关键是理解圆锥的底面周长等于扇形的弧长．

7．（2021·连云港市新海实验中学九年级二模）一个立体图形的三视图如图所示，根据图中数据求得这个立体图形的侧面积为____________．

【答案】15π
【分析】由三视图可知这个立体图形是底面半径为3，高为4的圆锥，利用勾股定理求出其母线长，据此可以求得侧面积．
【详解】由三视图可知圆锥的底面半径为3，高为4，
所以母线长为=5，
所以侧面积为== 3× 5π= 15π，
故答案为：15π．
【点睛】本题主要考查了由三视图确定几何体和求圆锥的侧面积，涉及勾股定理，牢记公式是解题的关键，难度不大．
8．（2021·江苏九年级月考）如图，点A、B、C在半径为2的上，，，则的长为_________．

【答案】
【分析】根据平行线的性质求出∠C，根据圆周角定理求出∠AOB，根据弧长公式求出即可．
【详解】解：∵BC∥OA，∠A=30°，
∴∠C=∠A=30°，
∴由圆周角定理得：∠AOB=2∠C=60°，
∴劣弧AB的长是=，
故答案为：．
【点睛】本题考查了弧长公式和圆周角定理、平行线的性质等知识点，能求出圆心角∠AOB的度数是解此题的关键．
9．（2021·江苏九年级二模）如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点都在格点上，点E在的延长线上，以A为圆心，为半径画弧，交的延长线于点F，且经过点C，则的长度为_______．

【答案】.
【分析】连接AC，根据题意用勾股定理可以算出AC的长度，∠EAF=45°，然后利用弧长公式求解即可得到答案.
【详解】解：如图所示，连接AC
在直角三角形ADC中，由勾股定理得：
∵，
∴∠EAF=45°
∴

故答案为：.
【点睛】本题主要考查了勾股定理和弧长公式，解题的关键在于能够熟练掌握勾股定理和弧长公式.
10．（2021·江苏）如图，圆锥母线长BC＝18cm，若底面圆的半径OB＝4cm，则侧面展开扇形图的圆心角为______．

【答案】80°
【分析】设圆锥的侧面展开扇形图的圆心角为n°，由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则根据弧长公式得到，然后解方程即可．
【详解】解：设圆锥的侧面展开扇形图的圆心角为n°，
根据题意得，
解得n＝80，
即圆锥的侧面展开扇形图的圆心角为80°．
故答案为：80°．
【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
11．（2021·连云港市新海实验中学九年级期中）若圆锥的母线长为12cm，侧面积为60πcm2，则该圆锥的底面半径为___cm．
【答案】5
【分析】设底面圆的半径为rcm，根据公式（l表示母线长，r表示底面圆的半径）计算即可得到答案．
【详解】解：设底面圆的半径为rcm，
由题意得，
解得r=5，
故答案为：5．
【点睛】此题考查圆锥的侧面积计算公式，熟记公式是解题的关键．
12．（2021·江苏泰州市·高港实验学校九年级二模）如果圆锥的底面半径为3cm，母线长为6cm，那么它的侧面积等于_____．
【答案】18π
【分析】根据已知条件得到底面圆的周长，再根据扇形面积计算公式计算即可；
【详解】∵圆锥的底面半径为3cm，
∴底面周长，
又∵母线长为6cm，
∴；
故答案是18π．
【点睛】本题主要考查了扇形面积求解，准确判断圆锥与扇形之间的关系是解题的关键．
三、解答题
13．（2020·常州市第二十四中学九年级月考）如图，在正方形网格中建立平面直角坐标系，一条圆弧经过网格点A（0，4）、B（-4，4）、C（-6，2），请在网格图中进行如下操作：
（1）若该圆弧所在圆的圆心为D，则D点坐标为 _________；
（2）连接AD，CD，则⊙D的半径长为_________（结果保留根号），∠ADC的度数为_______ °
（3）若扇形ADC是一个圆锥的侧面展开图，求该圆锥的底面圆的半径长．（结果保留根号）

【答案】（1）（-2，0）；（2），90；（3）
【分析】（1）根据圆是轴对称图形的性质作AB、BC的垂直平分线，两直线交于点D，则点D即为该圆弧所在圆的圆心；
（2）利用勾股定理求出圆的半径，分别求AD、CD、AC的长，利用勾股定理的逆定理证得△ACD是直角三角形，且∠ADC=90°；
（3）设圆锥的底面圆的半径长为，根据题意列得，求解即可．
【详解】解：（1）分别作AB、BC的垂直平分线，两直线交于点D，
则点D即为该圆弧所在圆的圆心，
由图形可知，点D的坐标为（-2，0），
故答案为：（-2，0）；

（2）圆D的半径长：AD=CD=，
∵AC=，
∴，，
∴，
∴△ACD是直角三角形，且∠ADC=90°；
故答案为：，90；
（3）设圆锥的底面圆的半径长为，
则，
解得．
【点睛】本题考查圆的对称性，勾股定理及其逆定理、扇形弧长公式，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键．


14．（2020·常州市第二十四中学九年级月考）已知圆锥的高为A0，母线为AB，且，圆锥的侧面展开图为如图所示的扇形．将扇形沿BE折叠，使A点恰好落在弧BC上F点，求弧CF的长与圆锥的底面周长的比值．

【答案】
【分析】连接AF，如图，设OB=5，AB=18，∠BAC=°，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长得到，解得得到∠BAC=100°，再根据折叠的性质得到BA=BF，则可判断△ABF为等边三角形，于是可计算出∠FAC=40°，然后根据弧长公式计算弧长CF与圆锥的底面周长的比值．
【详解】解：连接AF，如图，

设OB=5，AB=18，∠BAC=°，
∴
解得=100，
即∠BAC=100°，
∵将扇形沿BE折叠，使A点恰好落在弧BC上F点，
∴BA=BF，
而AB=AF，
∴△ABF为等边三角形，
∴∠BAF=60°，
∴∠FAC=40°，
∴弧CF的长度=
∴弧长CF与圆锥的底面周长的比值=
【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了折叠的性质和弧长公式．
15．（2019·扬州市梅岭中学）如图，在单位长度为1的正方形网格中建立一直角坐标系，一条圆弧经过网格点A、B、C，请在网格图中进行下列操作（以下结果保留根号）：
（1）利用网格确定该圆弧所在圆的圆心D点的位置，并写出D点的坐标为　 　；
（2）连接AD、CD，⊙D的半径为　 　，∠ADC的度数为　 　；
（3）若扇形DAC是一个圆锥的侧面展开图，求该圆锥底面半径．

【答案】（1）圆心D点的位置见解析，（2，0）；（2）2， 90°；（3）．
【分析】（1）利用垂径定理可作AB和BC的垂直平分线，两线的交点即为D点，可得出D点坐标；
（2）在△AOD中AO和OD可由坐标得出，利用勾股定理可求得AD和CD，过C作CE⊥x轴于点E，则可证得△OAD≌△EDC，可得∠ADO＝∠DCE，可得∠ADO+∠CDE＝90°，可得到∠ADC的度数；
（3）先求得扇形DAC的面积，设圆锥底面半径为r，利用圆锥侧面展开图的面积＝πr•AD，可求得r．
【详解】解：（1）如图1，分别作AB、BC的垂直平分线，两线交于点D，

∴D点的坐标为（2，0），
故答案为：（2，0）；
（2）如图2，连接AD、CD，过点C作CE⊥x轴于点E，

则OA＝4，OD＝2，在Rt△AOD中，可求得AD＝，
即⊙D的半径为，
且CE＝2，DE＝4，
∴AO＝DE，OD＝CE，
在△AOD和△DEC中，
，
∴△AOD≌△DEC（SAS），
∴∠OAD＝∠CDE，
∴∠CDE+∠ADO＝90°，
∴∠ADC＝90°，
故答案为；90°；
（3）弧AC的长＝×＝π，
设圆锥底面半径为r则有2πr＝π，解得：r＝，
所以圆锥底面半径为．
【点睛】本题考查了垂径定理，弧长公式，勾股定理以及全等三角形的判定与性质等知识，要能够根据垂径定理作出圆的圆心，根据全等三角形的性质确定角之间的关系，掌握圆锥的底面半径的计算方法．
16．（2021·江苏南通·）如图，为的直径，C为上一点，弦的延长线与过点C的切线互相垂直，垂足为D，，连接．

（1）求的度数；
（2）若，求的长．
【答案】（1）55°；（2）．
【分析】（1）连接OC，如图，利用切线的性质得到OC⊥CD，则判断OC∥AE，所以∠DAC=∠OCA，然后利用∠OCA=∠OAC得到∠OAB的度数，即可求解；
（2）利用（1）的结论先求得∠AEO∠EAO70°，再平行线的性质求得∠COE=70°，然后利用弧长公式求解即可．
【详解】解：（1）连接OC，如图，

∵CD是⊙O的切线，
∴OC⊥CD，
∵AE⊥CD，
∴OC∥AE，
∴∠DAC=∠OCA，
∵OA=OC，∠CAD=35°，
∴∠OAC=∠OCA=∠CAD=35°，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠B=90°-∠OAC=55°；
（2）连接OE，OC，如图，

由（1）得∠EAO=∠OAC+∠CAD=70°，
∵OA=OE，
∴∠AEO∠EAO70°，
∵OC∥AE，
∴∠COE=∠AEO=70°，
∴AB=2，则OC=OE=1，
∴的长为．
【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，弧长公式等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线．
17．（2021·江苏盐城市·）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥AC于点D，过点C作⊙O的切线，交OD的延长线于点M，OM交⊙O于点N，连结AM．

（1）求证：AM是⊙O的切线；
（2）若DN=4，AC=8，求线段MN的长；
（3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积．
【答案】（1）见解析；（2）8；（3）
【分析】（1）连接OC，如图，根据垂径定理由OD⊥AC得到AD＝CD，则OM为AC的垂直平分线，所以AM＝CM，证明△AOM≌△COM（SSS），得出∠OAM＝∠OCM＝90°，根据切线的判定定理得AM与⊙O相切；
（2）设⊙O的半径为x，则OD＝x−4，OA＝x，由勾股定理得出（x−4）2＋（4）2＝x2，解得x＝8，求出OM的长，则可求出MN的长；
（3）由扇形的面积公式可得出答案．
【详解】（1）证明：连接OC，如图，

∵CM为切线，
∴OC⊥CM，
∴∠OCM＝90°，
∵OD⊥AC，
∴AD＝CD，
即OE垂直平分AC，
∴AM＝CM，
在△AOM和△COM中
，
∴△AOM≌△COM（SSS），
∴∠OAM＝∠OCM＝90°，
∴AM⊥AO，
∴AM与⊙O相切；
（2）解：设⊙O的半径为x，则OD＝ON−DN＝x−4，OA＝x，
在Rt△OAD中，AD＝AC＝4，
∵AD2＋OD2＝OA2，
∴(4)2＋(x−4)2＝x2，解得x＝8，
∴OD＝4，OA＝8，
∴∠OAD＝30°，
∴∠AOD＝60°，
∴OM＝2OA＝16，
∴MN＝OM−ON＝16−8＝8．
（3）∵∠AOM＝60°，∠OAM＝90°，
∴∠AMO=30°
∴在Rt△AOM中，AM＝，
∴S阴影＝S四边形AOCM−S扇形OAC
＝2××8×8−=．
【点睛】本题是圆的综合题，考查了切线的判定与性质，垂径定理，勾股定理，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，扇形面积的计算等知识，熟练掌握切线的判定与性质是解题的关键．

18．（2021·江苏）如图，内接于，D是上一点，，．

（1）求证：；
（2）若的半径为3，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）π
【分析】（1）由圆周角定理可知，再根据三角形内角和定理即可求解；
（2）连接、，由同弦所对的圆心角是圆周角的两倍得到，再根据弧长公式求解即可.
【详解】解：（1）证明：∵，，
∴．
∴．∴．
（2）解：连接、．
∵，
∴．
∵的半径为3，
∴的长．

【点睛】本题主要考查了圆周角定理，同弦所对的圆心角是圆周角的两倍，弧长公式，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.


19．（2021·江苏）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，直线l与⊙O相切于点A，在l上取一点D使得，线段DC，AB的延长线交于点E．
（1）求证：直线DC是⊙O的切线；
（2）若，，求图中阴影部分的面积（结果保留π）．

【答案】（1）见解析；（2）
【分析】（1）连接OC，根据切线的性质得到∠DAB＝90°，根据等腰三角形的性质得到∠DCO＝∠DAO＝90°，于是得到结论；
（2）根据圆周角定理得到∠BOC＝2∠CAB＝60°，根据等边三角形的性质得到OC＝OB＝BC＝2，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】（1）证明：连接OC，如图所示：

∵直线l与⊙O相切于点A，
∴∠DAB＝90°，
∵DA＝DC，OA＝OC，
∴∠DAC＝∠DCA，∠OAC＝∠OCA，
∴∠DCA＋∠ACO＝∠DAC＋∠CAO，
即∠DCO＝∠DAO＝90°，
∴OC⊥CD，
∴直线DC是⊙O的切线；
（2）解：∵∠CAB＝30°，
∴∠BOC＝2∠CAB＝60°，
∵OC＝OB，
∴△COB是等边三角形，
∴OC＝OB＝BC＝2，
∴，
∴图中阴影部分的面积＝＝．
【点睛】本题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，扇形面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．
20．（2021·江苏九年级期中）如图，A、B是⊙O上的点，以OB为直径作⊙O1．仅用无刻度的直尺完成下列作图．
（1）在图①中，在⊙O1上作出一个点C，使与的长度相等；
（2）在图②中，在⊙O上作出一个点D，使与的长度相等．

【分析】（1）连接OA交⊙O1于点C，点C即为所求．
（2）连接AB交⊙O1于点T，作直线OT交⊙O于点D，点D′，点D，点D′即为所求．
【详解】解：（1）如图，连接OA交⊙O1于点C，点C即为所求．
（2）如图，连接AB交⊙O1于点T，作直线OT交⊙O于点D，点D′，点D或D′即为所求．

【点睛】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，弧长公式等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识进行求解.