资料中包含下列文件，点击文件名可预览资料内容
还剩42页未读，
继续阅读
所属成套资源：九年级数学考试满分全攻略（苏科版）
成套系列资料，整套一键下载
第5章 二次函数（基础、典型、易错、压轴）分类专项训练-九年级数学考试满分全攻略（苏科版）
展开
这是一份第5章 二次函数（基础、典型、易错、压轴）分类专项训练-九年级数学考试满分全攻略（苏科版），文件包含第5章二次函数基础典型易错压轴分类专项训练解析版docx、第5章二次函数基础典型易错压轴分类专项训练原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共188页， 欢迎下载使用。
第5章 二次函数（基础、典型、易错、压轴）分类专项训练
【基础】
一、单选题
1．（2022·江苏·海安市曲塘中学附属初级中学九年级阶段练习）二次函数的顶点坐标是（ ）
A．（-1，2） B．（1，2） C．（1，0） D．（-1，0）
2．（2022·江苏·苏州市胥江实验中学校九年级期中）抛物线与x轴交点个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
3．（2021·江苏·九年级专题练习）如图是一个不倒翁的部分剖面图，可看做一个抛物线，若肚子最大的宽度，，按图示位置建立的平面直角坐标系可知，抛物线表达式为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·江苏·兴化市教师发展中心九年级阶段练习）下列各式中，y是x的二次函数的是（ ）
A．y=3x B．y=x²+（3-x）x
C．y=（x-1）² D．y=ax²+bx+c
5．（2022·江苏连云港·九年级期末）在平面直角坐标系中，下列二次函数的图象开口向上的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2012·江苏淮安·一模）在同一直角坐标系中，一次函数和二次函数的图像大致为（ ）
A． B．
C． D．
7．（2022·江苏·九年级专题练习）将二次函数的图象向上平移3个单位长度，得到的抛物线相应的函数表达式为（ ）
A． B． C． D．
8．（2022·江苏·九年级专题练习）正方形的面积s和边长a之间的关系可以表示s=a2，则s与a之间的函数关系是（ ）
A．一次函数 B．正比例函数 C．二次函数 D．以上都不对
9．（2022·江苏·九年级专题练习）如图所示，在中，，且，设直线截此三角形所得的阴影部分的面积为，则与之间的函数关系式为（ ）
A． B． C． D．
10．（2022·江苏·九年级专题练习）函数y＝x＋2与y＝的图象交点横坐标可由方程x＋2＝求得，由此推断：方程m3＋2m＋4＝0中m的大致范围是（ ）
A．－2＜m＜－1 B．－1＜m＜0 C．0＜m＜1 D．1＜m＜2
11．（2022·江苏·连云港市新海实验中学二模）二次函数的部分图象如图所示，有以下结论：①3a－b＝0；②；③；④，其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
12．（2022·江苏·射阳县实验初级中学九年级阶段练习）如图，点A，B的坐标分别为（2，5）和（5，5），抛物线的顶点在线段AB上运动（抛物线随顶点一起平移），与x轴交于C、D两点（C在D的左侧），点C的横坐标最小值为﹣3，则点D的横坐标最大值为（ ）
A．2 B．10 C．5 D．9
二、填空题
13．（2022·江苏·苏州市平江中学校九年级阶段练习）二次函数的顶点坐标为________．
14．（2022·江苏徐州·九年级期中）若二次函数的图像顶点在轴上，则_________．
15．（2022·江苏徐州·九年级期中）二次函数的顶点坐标是_________．
16．（2022·江苏·通州湾三余初级中学九年级阶段练习）抛物线开口方向是 _____．
17．（2022·江苏·九年级专题练习）抛物线的图象上有两点，则b的值为____________．
18．（2022·江苏·无锡市羊尖中学九年级阶段练习）若代数式有最小值3，则___________
19．（2022·江苏·丰县欢口镇欢口初级中学九年级阶段练习）已知抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，且经过点，则抛物线的表达式为______．
三、解答题
20．（2021·江苏·滨海县第一初级中学九年级阶段练习）用描点法画出的图像
（1）根据对称性列表：
…
-3
-2
-1
0
1
…
…
…
（2）在下列平面直角坐标系中描出表中各点，并把这些点连成平滑的曲线：
（3）观察图像：
①抛物线与轴交点坐标是 ；
②抛物线与轴交点坐标是 ；
③当x满足 时，y＜0；
④它的对称轴是 ；
⑤当 时，随的增大而减小
21．（2022·江苏·通州湾三余初级中学九年级阶段练习）已知y＝（a﹣3）﹣2是二次函数，求a．
22．（2021·江苏扬州·九年级阶段练习）如图，抛物线y＝x2+x﹣2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．
（1）求点A，点B和点C的坐标；
（2）抛物线的对称轴上有一动点P，求PB+PC的值最小时的点P的坐标．
23．（2022·江苏·海安市紫石中学九年级阶段练习）定义：若一个函数图像上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图像的“等值点”．例如，点是函数的图像的“等值点”．
(1)判断函数的图像上是否存在“等值点”？如果存在，求出“等值点”的坐标；如果不存在，说明理由；
(2)求函数的图像的“等值点”坐标；
(3)若函数的图像记为，将其沿直线翻折后的图像记为．当，两部分组成的图像上恰有3个“等值点”时，求出m的值．
【典型】
一、单选题
1．（2022·全国·九年级课时练习）已知抛物线（a，b，c为常数，）经过点，，其对称轴在y轴左侧．有下列结论：
①；
②抛物线经过点；
③方程有两个不相等的实数根；
④．
其中，正确结论的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．（2022·湖北省直辖县级单位·九年级阶段练习）在同一直角坐标系中，一次函数y＝﹣kx+1与二次函数y＝x2+k的大致图象可以是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·山东淄博·二模）如图，在平画直角坐标系中，抛物线经过点A(－2，0)和B(4，0)，点C为抛物线的顶点，则下列结论：
①abc＞0；
②关于x的不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为－2＜x＜4；
③3a＋c＜0；
④若是直角三角形，则点C的坐标为(1，－3)；
⑤若m为任意实数，则
其中结论正确的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
4．（2022·山西·一模）要得到抛物线，可以将抛物线（ ）
A．向右平移6个单位长度，再向下平移3个单位长度
B．向右平移6个单位长度，再向上平移3个单位长度
C．向左平移6个单位长度，再向上平移3个单位长度
D．向左平移6个单位长度，再向下平移3个单位长度
5．（2022·内蒙古·准格尔旗第八中学九年级阶段练习）函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象如图，给出下列四个结论：①4ac－b2＜0；②3b＋2c＜0；③4a＋c＜2b；④m（am＋b）＋b＜a（m≠－1）．其中结论正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
6．（2021·山东临沂·九年级期中）如图，已知抛物线与x轴交于，两点，且，，则下列结论：①；②若点，是该抛物线上的点，则；③（t为任意数）；④．其中正确的有______．
7．（2022·全国·九年级）如图，平行四边形ABCD中，，点的坐标是，以点为顶点的抛物线经过轴上的点A，B，则此抛物线的解析式为__________________．
8．（2022·全国·九年级）已知抛物线 (m 为常数），则其图象与 y 轴交点的最小纵坐标是_________
9．（2022·全国·九年级）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y = x2 – 2 m x – 2m – 2与直线y =-x-2 交于C，D两点，将抛物线在C、D两点之间的部分(不含C、D）上恰有两个点的横坐标为整数，则m的取值范围为______．
10．（2022·全国·九年级）在平面直角坐标系中,抛物线y=a(x−2)经过原点O,与x轴的另一个交点为A．将抛物线在x轴下方的部分沿x轴折叠到x轴上方,将这部分图象与原抛物线剩余部分的图象组成的新图象记为G,过点B(0,1)作直线l平行于x轴，当图象G在直线l上方的部分对应的函数y随x增大而增大时，x的取值范围是____.
11．（2022·江苏·九年级专题练习）飞行中的炮弹经秒后的高度为米，且高度与时间的关系为，若此炮弹在第7秒与第13秒时的高度相等，则炮弹在最高处的时间是第________秒．
12．（2022·湖北省直辖县级单位·九年级阶段练习）已知二次函数的图象经过点，顶点为将该图象向右平移，当它再次经过点时，所得抛物线的函数表达式为__．
13．（2022·北京·九年级专题练习）抛物线经过点、两点，则关于的一元二次方程的解是___________
14．（2022·全国·九年级）如图（1），菱形ABCD中，∠B＝60°，动点P以1厘米秒的速度自A点出发沿AB方向运动至B点停止，动点Q以2厘米/秒的速度自B点出发沿折线BCD运动至D点停止，若点P、Q同时出发运动了t秒，记△BPQ的面积为S厘米2，且S与t之间的函数关系的图象如图（2）所示，则图象中a的值为_____．
三、解答题
15．（2022·湖北·英山县实验中学九年级期中）如图，抛物线与x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C，其中，．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)点P（m，n）（0＜m＜6）在抛物线上，当m取何值时，△PBC的面积最大？并求出△PBC面积的最大值；
(3)在（2）中△PBC面积取最大值的条件下，点M是抛物线的对称轴上一点，在抛物线上确定一点N，使得以A、P、M、N为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程．
16．（2022·山东德州·九年级期末）某工艺厂设计了一款成本为10元/件的工艺品投放市场进行试销．相关物价部门规定，该工艺品销售单价最高不能超过35元/件，经过调查，每天销售量y（件）与销售单价x（元/件）满足一次函数关系，其部分对应数据如表．
销售单价x（元/件）
…
20
30
40
…
每天销售量（y件）
…
500
400
300
…
(1)把表中x、y的各组对应值作为点的坐标，求出函数关系式；
(2)当销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润为8000元？
(3)当销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大，最大利润是多少？
17．（2021·广西梧州·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，已知B(3，0)，C(0，－3)，连接BC，点P是抛物线上的一个动点，点N是对称轴上的一个动点．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)若PAB的面积为8，求点P的坐标；
(3)若点P在直线BC的下方，当点P到直线BC的距离最大时，在抛物线上是否存在点Q，使得以点P，C，N，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
18．（2021·河北保定·九年级期中）抛物线与x轴交于，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点．
(1)当时，求点B的坐标；
(2)已知该抛物线的对称轴为直线．
①求p，a所满足的数量关系式；
②如图5，若，Q（点Q的横坐标大于3）为抛物线上一点，连接．若直线把四边形的面积分为两部分，求点Q的坐标．
19．（2021·湖南·长沙市南雅中学九年级阶段练习）已知：抛物线与x轴相交于A、B（A点在B点的左边），与y轴相交于点C，若点B的坐标为（2，0），⊙M经过A、B、C三点．
(1)求c的值；
(2)求⊙M的半径；
(3)过C点作直线交x轴于D，当直线CD与抛物线只有一个交点时，直线CD是否与⊙M相切？如果相切，请证明之；如果相交，请求出直线CD与圆的另外一个交点的坐标；
(4)点E、F分别为⊙M与抛物线上的动点，当点O、C、E、F四点构成的四边形为以OC为边的平行四边形时，请直接写出点E的坐标．
20．（2022·河南郑州·一模）抛物线y＝x2﹣2ax﹣a﹣3与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，点D（4，﹣a﹣3）在抛物线的图象上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）现规定平面直角坐标系中横纵坐标相等的点为“不动点”．已知点N（xN，yN），Q（xQ，yQ）是抛物线y＝x2﹣2ax﹣a﹣3图象上的“不动点”，点H是点N，Q之间抛物线上一点（不与点N，Q重合），求点H的纵坐标的取值范围．
21．（2022·新疆·乌鲁木齐市第九中学九年级阶段练习）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12cm，BC＝24cm，动点P从点A开始沿边AB向点B以2cm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以4cm/s的速度移动，如果P、Q两点分别从A，B两点同时出发，设运动时间为t，
（1）AP＝ ，BP＝ ，BQ＝ ；
（2）t为何值△时△PBQ的面积为32cm2？
（3）t为何值时△PBQ的面积最大？最大面积是多少？
【易错】
一．选择题（共1小题）
1．（2022春•沭阳县月考）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴在y轴右侧，抛物线与x轴交于点A（﹣2，0）和点B，与y轴的正半轴交于点C，且OB＝2OC，则下列结论：①＜0；②4ac+2b＝﹣1；③a＝﹣；④当b＞1时，在x轴上方的抛物线上一定存在关于对称轴对称的两点M，N（点M在点N左边），使得AN⊥BM．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．填空题（共2小题）
2．（2022秋•工业园区校级期中）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣1，0）和B（m，0）．其中2＜m＜4．与y轴交于正半轴上一点．下列结论：
①a＜0；
②4c＜；
③若点C（0，y1），D（l，y2），E（4，y3）均在二次函数图象上，则y1＜y3＜y2；
④c+4a＜0．
其中一定正确的结论的序号是 ．
3．（2022•姑苏区校级二模）如图，抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣1，p），B（3，q）两点，则不等式ax2+mx+c＜n的解集是 ．
三．解答题（共12小题）
4．（2022秋•海安市校级月考）某商家独家销售具有地方特色的某种商品，每件进价为40元，经过市场调查，一周的销售量y件与销售单价x（x＞50）元/件的关系如表：
销售单价x（元/件）
…
55
60
70
75
…
一周的销售量y（件）
…
450
400
300
250
…
（1）试销过程发现，一周销量y（万件）与销售单价x（元/件）之间关系可以近似地看作一次函数，求出y与x的函数关系式；
（2）设一周的销售利润为S元，请求出S与x的函数关系式，并确定当销售单价在什么范围内变化时，一周的销售利润不低于8000元？
（3）在雅安地震发生时，商家已将商品一周的销售利润全部寄往灾区，已知商家购进该商品的货款不超过10000元，请你分析该商家当时最大捐款数额是多少元？
5．（2022•宜兴市校级二模）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，二次函数y＝﹣x2+bx+c（b＞0，c＞0）图象的顶点是点A，对称轴为直线l，图象与y轴交于点C．点D在l右侧的函数图象上，点B在DC延长线上，且四边形ABOD是平行四边形．
（1）如图2，若CD∥x轴．
①求证：b2＝4c；
②若▱ABOD是矩形，求二次函数的解析式；
（2）当b＝2时，▱ABOD能否成为正方形，请通过计算说明理由．
6．（2022•玄武区一模）已知二次函数y＝（x﹣m）（x﹣m﹣2）（m为常数）．
（1）求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点；
（2）二次函数的图象与x轴交于点M，N，与y轴交于点P，若△MNP是等腰直角三角形，则m的值为 ；
（3）点A（1，y1），B（2，y2），C（3，y3）在二次函数的图象上，当y1•y2•y3＜0时，结合函数图象，直接写出m的取值范围．
7．（2022春•靖江市月考）小雨、小华、小星暑假到某超市参加社会实践活动，在活动中他们参加了某种水果的销售工作，已知该水果的进价为8元/千克．他们通过市场调查发现：当销售单价为10元时，那么每天可售出300千克；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少50千克．
（1）求该超市销售这种水果，每天的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）（x＞10）之间的函数关系式，该超市销售这种水果每天获取的利润w（元）最大是多少？
（2）为响应政府号召，该超市决定在暑假期间每销售1千克这种水果就捐赠a元利润（a≤2.5）给希望工程．公司通过销售记录发现，当销售单价不超过13元时，每天扣除捐赠后的日销售利润随销售单价x（元/千克）的增大而增大，求a的取值范围．
8．（2022春•邗江区校级月考）某书店以每本30元的价格购进一批图书进行销售，物价局根据市场行情规定这种图书的销售单价不低于42元且不高于62元．在销售中发现，该种图书每天的销售数量y（本）与销售单价x（元）之间存在某种函数关系，对应如下表：
销售单价x（元）
43
45
47
49
…
销售数量y（本）
54
50
46
42
…
（1）用你所学过的函数知识，求出y与x之间的函数关系式；
（2）请问该种图书每天的销售利润w（元）的最大值是多少？
（3）如果该种图书每天的销售利润必须不少于600元，试确定该种图书销售单价x的范围．
9．（2022春•锡山区校级期中）一大型商场经营某种品牌商品，该商品的进价为每件30元，根据市场调查发现，该商品每周的销售量y（件）与售价x（元/件）（x为正整数）之间满足一次函数关系，下表记录的是某三周的有关数据：
x（元/件）
40
50
60
y（件）
10000
9500
9000
（1）求y与x的函数关系式（不求自变量的取值范围）；
（2）在销售过程中要求销售单价不低于成本价，且不高于150元/件．若某一周该商品的销售量不少于6000件，求这一周该商场销售这种商品获得的最大利润和售价分别为多少元？
（3）抗疫期间，该商场这种商品售价不大于150元/件时，每销售一件商品便向某慈善机构捐赠m元（10≤m≤60），捐赠后发现，该商场每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大．请求出m的取值范围．
10．（2022秋•姑苏区校级月考）已知如图1，二次函数y＝﹣x2+bx+c经过矩形AOCD的顶点A（﹣4，0）和C（0，2），与x轴另一交点为B，点P、Q分别是矩形两边AO和CD上的动点（不与点A、O、C、D重合）．
（1）试求二次函数的解析式；
（2）连接AQ，过P作PM∥OQ，如图2，设△PMQ的面积为S．
①当P的坐标为（﹣2，0）时，无论Q在何处，S＝ ；
②在点P、Q运动过程中，点M的纵坐标与AP的数量关系有何关联．
（3）连接BC，如图3，过点Q作EN∥BC交抛物线于点E，交x轴与点N，试求线段EN的最大值．
11．（2022秋•姑苏区校级月考）已知在平面直角坐标系中的点A（﹣1，0），点B（3，0），抛物线的解析式为y＝ax2+bx+3，与y轴交于点C．点D（2，3）在该抛物线上，直线AD与y轴相交于点E，点F是抛物线上的动点．
（1）如图1，若抛物线经过点A、B两点，
①该抛物线的对称轴为 ；
②过点F作FH∥CE交直线AD与点H，当以C、E、H、F为顶点的四边形为平行四边形时，求点F的坐标；
（2）如图2，若此抛物线经过点D，且与线段AD有两个不同的交点，则a的取值范围是 ．
12．（2022•赣榆区二模）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A（4，0），B（0，2）．M（m，0）为线段OA上一个动点（点M与点A不重合），过点M作垂直于x轴的直线与直线AB和抛物线分别交于点D、N．
（1）求直线AB的表达式和抛物线的表达式；
（2）若DN＝3DM，求此时点N的坐标；
（3）若点P为直线AB上方的抛物线上一个动点，当∠ABP＝2∠BAC时，求点P的坐标．
13．（2022•如皋市二模）定义：如果在给定的自变量取值范围内，函数既有最大值，又有最小值，则称该函数在此范围内有界，函数的最大值与最小值的差叫做该函数在此范围内的界值．
（1）当﹣2≤x≤1时，下列函数有界的是 （只要填序号）；
①y＝2x﹣1；②y＝﹣；③y＝﹣x2+2x+3．
（2）当m≤x≤m+2时，一次函数y＝（k+1）x﹣2的界值不大于2，求k的取值范围；
（3）当a≤x≤a+2时，二次函数y＝x2+2ax﹣3的界值为，求a的值．
14．（2022•徐州二模）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣1，0），B（2，0）两点，与y轴交于点（0，2）．
（1）求此二次函数的表达式；
（2）点Q在以BC为直径的圆上（点Q与点O，点B，点C均不重合），试探究QO，QB，QC的数量关系，并说明理由．
（3）E点为该图象在第一象限内的一动点，过点E作直线BC的平行线，交x轴于点F．若点E从点C出发，沿着抛物线运动到点B，则点F经过的路程为 ．
15．（2022•扬州）如图是一块铁皮余料，将其放置在平面直角坐标系中，底部边缘AB在x轴上，且AB＝8dm，外轮廓线是抛物线的一部分，对称轴为y轴，高度OC＝8dm．现计划将此余料进行切割：
（1）若切割成正方形，要求一边在底部边缘AB上且面积最大，求此正方形的面积；
（2）若切割成矩形，要求一边在底部边缘AB上且周长最大，求此矩形的周长；
（3）若切割成圆，判断能否切得半径为3dm的圆，请说明理由．
【压轴】
一．解答题（共10小题）
1．（2022•宿迁）如图，二次函数y＝x2+bx+c与x轴交于O（0，0），A（4，0）两点，顶点为C，连接OC、AC，若点B是线段OA上一动点，连接BC，将△ABC沿BC折叠后，点A落在点A′的位置，线段A′C与x轴交于点D，且点D与O、A点不重合．
（1）求二次函数的表达式；
（2）①求证：△OCD∽△A′BD；
②求的最小值；
（3）当S△OCD＝8S△A'BD时，求直线A′B与二次函数的交点横坐标．
2．（2022•无锡二模）二次函数y＝ax2+bx+4的图象与x轴交于两点A、B，与y轴交于点C，且A（﹣1，0）、B（4，0）．
（1）求此二次函数的表达式；
（2）①如图1，抛物线的对称轴m与x轴交于点E，CD⊥m，垂足为D，点F（﹣，0），动点N在线段DE上运动，连接CF、CN、FN，若以点C、D、N为顶点的三角形与△FEN相似，求点N的坐标；
②如图2，点M在抛物线上，且点M的横坐标是1，将射线MA绕点M逆时针旋转45°，交抛物线于点P，求点P的坐标；
（3）已知Q在y轴上，T为二次函数对称轴上一点，且△QOT为等腰三角形，若符合条件的Q恰好有2个，直接写出T的坐标．
3．（2022•惠山区一模）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与y轴交于点A（0，4）、与x轴交于点B（2，0）和点C（﹣1，0）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点D为第一象限的抛物线上一点．
①过点D作DE⊥AB，垂足为点E，求线段DE长的取值范围；
②若点F、G分别为线段OA、AB上一点，且四边形AFGD既是中心对称图形，又是轴对称图形，求此时点D的坐标．
4．（2022•建湖县二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+bx+c与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点，直线y＝x+4恰好经过B、C两点．
（1）求二次函数的表达式；
（2）点D为第三象限抛物线上一点，连接BD，过点O作OE⊥BD，垂足为E，若OE＝2BE，求点D的坐标；
（3）设F是抛物线上的一个动点，连结AC、AF，若∠BAF＝2∠ACB，求点F的坐标．
5．（2022•工业园区校级模拟）数学来源于生活，数学之美无处不在，在几何图形中，最美的角是45°，最美的直角三角形是等腰直角三角形，我们把45°的角称为一中美角，最美的等腰直角三角形称为一中美三角．根据该约定，完成下列问题：
（1）如图1，已知正方形ABCD中O是对角线AC上一动点，过O作OP⊥OD，垂足为O，交BC边于P，△POD是否为一中美三角，并说明理由；
（2）如图2，在平面直角坐标系中，点A（﹣2，0），点B（0，2），点P在第二象限内，且在直线y＝﹣2x﹣2上，若△ABP恰好构成一中美三角，求出此时P点的坐标；
（3）如图3，若二次函数y＝﹣x2+2x+3的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，P为第二象限上的点，在直线AC上，且∠OPB恰好构成一中美角；Q为x轴上方抛物线上的一动点，令Q点横坐标为m（0＜m＜3），当m为何值时，△PBQ的面积最大，求出此时Q点坐标和最大面积．
6．（2022春•宜兴市校级月考）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴分别交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且OB＝OC＝3OA．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）如图1，点D是该抛物线的顶点，点P（m，n）是第二象限内抛物线上的一个点，分别连接BD、BC、BP，当∠PBA＝2∠CBD时，求m的值；
（3）如图2，∠BAC的角平分线交y轴于点M，过M点的直线l与射线AB，AC分别于E，F，已知当直线l绕点M旋转时，+为定值，请直接写出该定值．
7．（2022春•东台市月考）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝a（x﹣h）2+k与x轴相交于O，A两点，顶点P的坐标为（2，﹣1）．点B为抛物线上一动点，连接AP，AB，过点B的直线与抛物线交于另一点C．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点B的横坐标与纵坐标相等，∠ABC＝∠OAP，且点C位于x轴上方，求点C的坐标；
（3）若点B的横坐标为t，∠ABC＝90°，请用含t的代数式表示点C的横坐标，并求出当t＜0时，点C的横坐标的取值范围．
8．（2022春•大丰区校级月考）如图1，抛物线y＝ax2+bx+与x轴交于点A（﹣1，0），C（3，0），点B为抛物线顶点，连接AB，BC，AB与y轴交于点D，连接CD．
（1）①求这条抛物线的函数表达式；
②直接写出顶点B的坐标 ；
（2）直接写出△ABC的形状为 ；
（3）点P为抛物线上第一象限内的一个动点，设△PDC的面积为S，点P的横坐标为m，当S有最大值时，求m的值；
（4）如图2，连接OB，抛物线上是否存在点Q，使∠BCA+∠QCA＝∠α，当tanα＝2时，请直接写出点Q的横坐标；若不存在，说明理由．
9．（2022•天宁区模拟）如图1，抛物线C：y＝ax2+bx经过点A（﹣4，0）、B（﹣1，3）两点，G是其顶点，将抛物线C绕点O旋转180°，得到新的抛物线C′．
（1）求抛物线C的函数解析式及顶点G的坐标；
（2）如图2，直线l：y＝kx﹣经过点A，D是抛物线C上的一点，设D点的横坐标为m（m＜﹣2），连接DO并延长，交抛物线C′于点E，交直线l于点M，若DE＝2EM，求m的值；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接AG、AB，在直线DE下方的抛物线C上是否存在点P，使得∠DEP＝∠GAB？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．
10．（2022春•惠山区校级月考）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C，且过点D（2，﹣3）．点P、Q是抛物线y＝ax2+bx+c上的动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点P在直线OD下方时，求△POD面积的最大值．
（3）直线OQ与线段BC相交于点E，当△OBE与△ABC相似时，求点Q的坐标．
第5章 二次函数（基础、典型、易错、压轴）分类专项训练
【基础】
一、单选题
1．（2022·江苏·海安市曲塘中学附属初级中学九年级阶段练习）二次函数的顶点坐标是（ ）
A．（-1，2） B．（1，2） C．（1，0） D．（-1，0）
2．（2022·江苏·苏州市胥江实验中学校九年级期中）抛物线与x轴交点个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
3．（2021·江苏·九年级专题练习）如图是一个不倒翁的部分剖面图，可看做一个抛物线，若肚子最大的宽度，，按图示位置建立的平面直角坐标系可知，抛物线表达式为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·江苏·兴化市教师发展中心九年级阶段练习）下列各式中，y是x的二次函数的是（ ）
A．y=3x B．y=x²+（3-x）x
C．y=（x-1）² D．y=ax²+bx+c
5．（2022·江苏连云港·九年级期末）在平面直角坐标系中，下列二次函数的图象开口向上的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2012·江苏淮安·一模）在同一直角坐标系中，一次函数和二次函数的图像大致为（ ）
A． B．
C． D．
7．（2022·江苏·九年级专题练习）将二次函数的图象向上平移3个单位长度，得到的抛物线相应的函数表达式为（ ）
A． B． C． D．
8．（2022·江苏·九年级专题练习）正方形的面积s和边长a之间的关系可以表示s=a2，则s与a之间的函数关系是（ ）
A．一次函数 B．正比例函数 C．二次函数 D．以上都不对
9．（2022·江苏·九年级专题练习）如图所示，在中，，且，设直线截此三角形所得的阴影部分的面积为，则与之间的函数关系式为（ ）
A． B． C． D．
10．（2022·江苏·九年级专题练习）函数y＝x＋2与y＝的图象交点横坐标可由方程x＋2＝求得，由此推断：方程m3＋2m＋4＝0中m的大致范围是（ ）
A．－2＜m＜－1 B．－1＜m＜0 C．0＜m＜1 D．1＜m＜2
11．（2022·江苏·连云港市新海实验中学二模）二次函数的部分图象如图所示，有以下结论：①3a－b＝0；②；③；④，其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
12．（2022·江苏·射阳县实验初级中学九年级阶段练习）如图，点A，B的坐标分别为（2，5）和（5，5），抛物线的顶点在线段AB上运动（抛物线随顶点一起平移），与x轴交于C、D两点（C在D的左侧），点C的横坐标最小值为﹣3，则点D的横坐标最大值为（ ）
A．2 B．10 C．5 D．9
二、填空题
13．（2022·江苏·苏州市平江中学校九年级阶段练习）二次函数的顶点坐标为________．
14．（2022·江苏徐州·九年级期中）若二次函数的图像顶点在轴上，则_________．
15．（2022·江苏徐州·九年级期中）二次函数的顶点坐标是_________．
16．（2022·江苏·通州湾三余初级中学九年级阶段练习）抛物线开口方向是 _____．
17．（2022·江苏·九年级专题练习）抛物线的图象上有两点，则b的值为____________．
18．（2022·江苏·无锡市羊尖中学九年级阶段练习）若代数式有最小值3，则___________
19．（2022·江苏·丰县欢口镇欢口初级中学九年级阶段练习）已知抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，且经过点，则抛物线的表达式为______．
三、解答题
20．（2021·江苏·滨海县第一初级中学九年级阶段练习）用描点法画出的图像
（1）根据对称性列表：
…
-3
-2
-1
0
1
…
…
…
（2）在下列平面直角坐标系中描出表中各点，并把这些点连成平滑的曲线：
（3）观察图像：
①抛物线与轴交点坐标是 ；
②抛物线与轴交点坐标是 ；
③当x满足 时，y＜0；
④它的对称轴是 ；
⑤当 时，随的增大而减小
21．（2022·江苏·通州湾三余初级中学九年级阶段练习）已知y＝（a﹣3）﹣2是二次函数，求a．
22．（2021·江苏扬州·九年级阶段练习）如图，抛物线y＝x2+x﹣2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．
（1）求点A，点B和点C的坐标；
（2）抛物线的对称轴上有一动点P，求PB+PC的值最小时的点P的坐标．
23．（2022·江苏·海安市紫石中学九年级阶段练习）定义：若一个函数图像上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图像的“等值点”．例如，点是函数的图像的“等值点”．
(1)判断函数的图像上是否存在“等值点”？如果存在，求出“等值点”的坐标；如果不存在，说明理由；
(2)求函数的图像的“等值点”坐标；
(3)若函数的图像记为，将其沿直线翻折后的图像记为．当，两部分组成的图像上恰有3个“等值点”时，求出m的值．
【典型】
一、单选题
1．（2022·全国·九年级课时练习）已知抛物线（a，b，c为常数，）经过点，，其对称轴在y轴左侧．有下列结论：
①；
②抛物线经过点；
③方程有两个不相等的实数根；
④．
其中，正确结论的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．（2022·湖北省直辖县级单位·九年级阶段练习）在同一直角坐标系中，一次函数y＝﹣kx+1与二次函数y＝x2+k的大致图象可以是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·山东淄博·二模）如图，在平画直角坐标系中，抛物线经过点A(－2，0)和B(4，0)，点C为抛物线的顶点，则下列结论：
①abc＞0；
②关于x的不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为－2＜x＜4；
③3a＋c＜0；
④若是直角三角形，则点C的坐标为(1，－3)；
⑤若m为任意实数，则
其中结论正确的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
4．（2022·山西·一模）要得到抛物线，可以将抛物线（ ）
A．向右平移6个单位长度，再向下平移3个单位长度
B．向右平移6个单位长度，再向上平移3个单位长度
C．向左平移6个单位长度，再向上平移3个单位长度
D．向左平移6个单位长度，再向下平移3个单位长度
5．（2022·内蒙古·准格尔旗第八中学九年级阶段练习）函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象如图，给出下列四个结论：①4ac－b2＜0；②3b＋2c＜0；③4a＋c＜2b；④m（am＋b）＋b＜a（m≠－1）．其中结论正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
6．（2021·山东临沂·九年级期中）如图，已知抛物线与x轴交于，两点，且，，则下列结论：①；②若点，是该抛物线上的点，则；③（t为任意数）；④．其中正确的有______．
7．（2022·全国·九年级）如图，平行四边形ABCD中，，点的坐标是，以点为顶点的抛物线经过轴上的点A，B，则此抛物线的解析式为__________________．
8．（2022·全国·九年级）已知抛物线 (m 为常数），则其图象与 y 轴交点的最小纵坐标是_________
9．（2022·全国·九年级）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y = x2 – 2 m x – 2m – 2与直线y =-x-2 交于C，D两点，将抛物线在C、D两点之间的部分(不含C、D）上恰有两个点的横坐标为整数，则m的取值范围为______．
10．（2022·全国·九年级）在平面直角坐标系中,抛物线y=a(x−2)经过原点O,与x轴的另一个交点为A．将抛物线在x轴下方的部分沿x轴折叠到x轴上方,将这部分图象与原抛物线剩余部分的图象组成的新图象记为G,过点B(0,1)作直线l平行于x轴，当图象G在直线l上方的部分对应的函数y随x增大而增大时，x的取值范围是____.
11．（2022·江苏·九年级专题练习）飞行中的炮弹经秒后的高度为米，且高度与时间的关系为，若此炮弹在第7秒与第13秒时的高度相等，则炮弹在最高处的时间是第________秒．
12．（2022·湖北省直辖县级单位·九年级阶段练习）已知二次函数的图象经过点，顶点为将该图象向右平移，当它再次经过点时，所得抛物线的函数表达式为__．
13．（2022·北京·九年级专题练习）抛物线经过点、两点，则关于的一元二次方程的解是___________
14．（2022·全国·九年级）如图（1），菱形ABCD中，∠B＝60°，动点P以1厘米秒的速度自A点出发沿AB方向运动至B点停止，动点Q以2厘米/秒的速度自B点出发沿折线BCD运动至D点停止，若点P、Q同时出发运动了t秒，记△BPQ的面积为S厘米2，且S与t之间的函数关系的图象如图（2）所示，则图象中a的值为_____．
三、解答题
15．（2022·湖北·英山县实验中学九年级期中）如图，抛物线与x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C，其中，．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)点P（m，n）（0＜m＜6）在抛物线上，当m取何值时，△PBC的面积最大？并求出△PBC面积的最大值；
(3)在（2）中△PBC面积取最大值的条件下，点M是抛物线的对称轴上一点，在抛物线上确定一点N，使得以A、P、M、N为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程．
16．（2022·山东德州·九年级期末）某工艺厂设计了一款成本为10元/件的工艺品投放市场进行试销．相关物价部门规定，该工艺品销售单价最高不能超过35元/件，经过调查，每天销售量y（件）与销售单价x（元/件）满足一次函数关系，其部分对应数据如表．
销售单价x（元/件）
…
20
30
40
…
每天销售量（y件）
…
500
400
300
…
(1)把表中x、y的各组对应值作为点的坐标，求出函数关系式；
(2)当销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润为8000元？
(3)当销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大，最大利润是多少？
17．（2021·广西梧州·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，已知B(3，0)，C(0，－3)，连接BC，点P是抛物线上的一个动点，点N是对称轴上的一个动点．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)若PAB的面积为8，求点P的坐标；
(3)若点P在直线BC的下方，当点P到直线BC的距离最大时，在抛物线上是否存在点Q，使得以点P，C，N，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
18．（2021·河北保定·九年级期中）抛物线与x轴交于，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点．
(1)当时，求点B的坐标；
(2)已知该抛物线的对称轴为直线．
①求p，a所满足的数量关系式；
②如图5，若，Q（点Q的横坐标大于3）为抛物线上一点，连接．若直线把四边形的面积分为两部分，求点Q的坐标．
19．（2021·湖南·长沙市南雅中学九年级阶段练习）已知：抛物线与x轴相交于A、B（A点在B点的左边），与y轴相交于点C，若点B的坐标为（2，0），⊙M经过A、B、C三点．
(1)求c的值；
(2)求⊙M的半径；
(3)过C点作直线交x轴于D，当直线CD与抛物线只有一个交点时，直线CD是否与⊙M相切？如果相切，请证明之；如果相交，请求出直线CD与圆的另外一个交点的坐标；
(4)点E、F分别为⊙M与抛物线上的动点，当点O、C、E、F四点构成的四边形为以OC为边的平行四边形时，请直接写出点E的坐标．
20．（2022·河南郑州·一模）抛物线y＝x2﹣2ax﹣a﹣3与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，点D（4，﹣a﹣3）在抛物线的图象上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）现规定平面直角坐标系中横纵坐标相等的点为“不动点”．已知点N（xN，yN），Q（xQ，yQ）是抛物线y＝x2﹣2ax﹣a﹣3图象上的“不动点”，点H是点N，Q之间抛物线上一点（不与点N，Q重合），求点H的纵坐标的取值范围．
21．（2022·新疆·乌鲁木齐市第九中学九年级阶段练习）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12cm，BC＝24cm，动点P从点A开始沿边AB向点B以2cm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以4cm/s的速度移动，如果P、Q两点分别从A，B两点同时出发，设运动时间为t，
（1）AP＝ ，BP＝ ，BQ＝ ；
（2）t为何值△时△PBQ的面积为32cm2？
（3）t为何值时△PBQ的面积最大？最大面积是多少？
【易错】
一．选择题（共1小题）
1．（2022春•沭阳县月考）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴在y轴右侧，抛物线与x轴交于点A（﹣2，0）和点B，与y轴的正半轴交于点C，且OB＝2OC，则下列结论：①＜0；②4ac+2b＝﹣1；③a＝﹣；④当b＞1时，在x轴上方的抛物线上一定存在关于对称轴对称的两点M，N（点M在点N左边），使得AN⊥BM．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．填空题（共2小题）
2．（2022秋•工业园区校级期中）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣1，0）和B（m，0）．其中2＜m＜4．与y轴交于正半轴上一点．下列结论：
①a＜0；
②4c＜；
③若点C（0，y1），D（l，y2），E（4，y3）均在二次函数图象上，则y1＜y3＜y2；
④c+4a＜0．
其中一定正确的结论的序号是 ．
3．（2022•姑苏区校级二模）如图，抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣1，p），B（3，q）两点，则不等式ax2+mx+c＜n的解集是 ．
三．解答题（共12小题）
4．（2022秋•海安市校级月考）某商家独家销售具有地方特色的某种商品，每件进价为40元，经过市场调查，一周的销售量y件与销售单价x（x＞50）元/件的关系如表：
销售单价x（元/件）
…
55
60
70
75
…
一周的销售量y（件）
…
450
400
300
250
…
（1）试销过程发现，一周销量y（万件）与销售单价x（元/件）之间关系可以近似地看作一次函数，求出y与x的函数关系式；
（2）设一周的销售利润为S元，请求出S与x的函数关系式，并确定当销售单价在什么范围内变化时，一周的销售利润不低于8000元？
（3）在雅安地震发生时，商家已将商品一周的销售利润全部寄往灾区，已知商家购进该商品的货款不超过10000元，请你分析该商家当时最大捐款数额是多少元？
5．（2022•宜兴市校级二模）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，二次函数y＝﹣x2+bx+c（b＞0，c＞0）图象的顶点是点A，对称轴为直线l，图象与y轴交于点C．点D在l右侧的函数图象上，点B在DC延长线上，且四边形ABOD是平行四边形．
（1）如图2，若CD∥x轴．
①求证：b2＝4c；
②若▱ABOD是矩形，求二次函数的解析式；
（2）当b＝2时，▱ABOD能否成为正方形，请通过计算说明理由．
6．（2022•玄武区一模）已知二次函数y＝（x﹣m）（x﹣m﹣2）（m为常数）．
（1）求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点；
（2）二次函数的图象与x轴交于点M，N，与y轴交于点P，若△MNP是等腰直角三角形，则m的值为 ；
（3）点A（1，y1），B（2，y2），C（3，y3）在二次函数的图象上，当y1•y2•y3＜0时，结合函数图象，直接写出m的取值范围．
7．（2022春•靖江市月考）小雨、小华、小星暑假到某超市参加社会实践活动，在活动中他们参加了某种水果的销售工作，已知该水果的进价为8元/千克．他们通过市场调查发现：当销售单价为10元时，那么每天可售出300千克；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少50千克．
（1）求该超市销售这种水果，每天的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）（x＞10）之间的函数关系式，该超市销售这种水果每天获取的利润w（元）最大是多少？
（2）为响应政府号召，该超市决定在暑假期间每销售1千克这种水果就捐赠a元利润（a≤2.5）给希望工程．公司通过销售记录发现，当销售单价不超过13元时，每天扣除捐赠后的日销售利润随销售单价x（元/千克）的增大而增大，求a的取值范围．
8．（2022春•邗江区校级月考）某书店以每本30元的价格购进一批图书进行销售，物价局根据市场行情规定这种图书的销售单价不低于42元且不高于62元．在销售中发现，该种图书每天的销售数量y（本）与销售单价x（元）之间存在某种函数关系，对应如下表：
销售单价x（元）
43
45
47
49
…
销售数量y（本）
54
50
46
42
…
（1）用你所学过的函数知识，求出y与x之间的函数关系式；
（2）请问该种图书每天的销售利润w（元）的最大值是多少？
（3）如果该种图书每天的销售利润必须不少于600元，试确定该种图书销售单价x的范围．
9．（2022春•锡山区校级期中）一大型商场经营某种品牌商品，该商品的进价为每件30元，根据市场调查发现，该商品每周的销售量y（件）与售价x（元/件）（x为正整数）之间满足一次函数关系，下表记录的是某三周的有关数据：
x（元/件）
40
50
60
y（件）
10000
9500
9000
（1）求y与x的函数关系式（不求自变量的取值范围）；
（2）在销售过程中要求销售单价不低于成本价，且不高于150元/件．若某一周该商品的销售量不少于6000件，求这一周该商场销售这种商品获得的最大利润和售价分别为多少元？
（3）抗疫期间，该商场这种商品售价不大于150元/件时，每销售一件商品便向某慈善机构捐赠m元（10≤m≤60），捐赠后发现，该商场每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大．请求出m的取值范围．
10．（2022秋•姑苏区校级月考）已知如图1，二次函数y＝﹣x2+bx+c经过矩形AOCD的顶点A（﹣4，0）和C（0，2），与x轴另一交点为B，点P、Q分别是矩形两边AO和CD上的动点（不与点A、O、C、D重合）．
（1）试求二次函数的解析式；
（2）连接AQ，过P作PM∥OQ，如图2，设△PMQ的面积为S．
①当P的坐标为（﹣2，0）时，无论Q在何处，S＝ ；
②在点P、Q运动过程中，点M的纵坐标与AP的数量关系有何关联．
（3）连接BC，如图3，过点Q作EN∥BC交抛物线于点E，交x轴与点N，试求线段EN的最大值．
11．（2022秋•姑苏区校级月考）已知在平面直角坐标系中的点A（﹣1，0），点B（3，0），抛物线的解析式为y＝ax2+bx+3，与y轴交于点C．点D（2，3）在该抛物线上，直线AD与y轴相交于点E，点F是抛物线上的动点．
（1）如图1，若抛物线经过点A、B两点，
①该抛物线的对称轴为 ；
②过点F作FH∥CE交直线AD与点H，当以C、E、H、F为顶点的四边形为平行四边形时，求点F的坐标；
（2）如图2，若此抛物线经过点D，且与线段AD有两个不同的交点，则a的取值范围是 ．
12．（2022•赣榆区二模）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A（4，0），B（0，2）．M（m，0）为线段OA上一个动点（点M与点A不重合），过点M作垂直于x轴的直线与直线AB和抛物线分别交于点D、N．
（1）求直线AB的表达式和抛物线的表达式；
（2）若DN＝3DM，求此时点N的坐标；
（3）若点P为直线AB上方的抛物线上一个动点，当∠ABP＝2∠BAC时，求点P的坐标．
13．（2022•如皋市二模）定义：如果在给定的自变量取值范围内，函数既有最大值，又有最小值，则称该函数在此范围内有界，函数的最大值与最小值的差叫做该函数在此范围内的界值．
（1）当﹣2≤x≤1时，下列函数有界的是 （只要填序号）；
①y＝2x﹣1；②y＝﹣；③y＝﹣x2+2x+3．
（2）当m≤x≤m+2时，一次函数y＝（k+1）x﹣2的界值不大于2，求k的取值范围；
（3）当a≤x≤a+2时，二次函数y＝x2+2ax﹣3的界值为，求a的值．
14．（2022•徐州二模）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣1，0），B（2，0）两点，与y轴交于点（0，2）．
（1）求此二次函数的表达式；
（2）点Q在以BC为直径的圆上（点Q与点O，点B，点C均不重合），试探究QO，QB，QC的数量关系，并说明理由．
（3）E点为该图象在第一象限内的一动点，过点E作直线BC的平行线，交x轴于点F．若点E从点C出发，沿着抛物线运动到点B，则点F经过的路程为 ．
15．（2022•扬州）如图是一块铁皮余料，将其放置在平面直角坐标系中，底部边缘AB在x轴上，且AB＝8dm，外轮廓线是抛物线的一部分，对称轴为y轴，高度OC＝8dm．现计划将此余料进行切割：
（1）若切割成正方形，要求一边在底部边缘AB上且面积最大，求此正方形的面积；
（2）若切割成矩形，要求一边在底部边缘AB上且周长最大，求此矩形的周长；
（3）若切割成圆，判断能否切得半径为3dm的圆，请说明理由．
【压轴】
一．解答题（共10小题）
1．（2022•宿迁）如图，二次函数y＝x2+bx+c与x轴交于O（0，0），A（4，0）两点，顶点为C，连接OC、AC，若点B是线段OA上一动点，连接BC，将△ABC沿BC折叠后，点A落在点A′的位置，线段A′C与x轴交于点D，且点D与O、A点不重合．
（1）求二次函数的表达式；
（2）①求证：△OCD∽△A′BD；
②求的最小值；
（3）当S△OCD＝8S△A'BD时，求直线A′B与二次函数的交点横坐标．
2．（2022•无锡二模）二次函数y＝ax2+bx+4的图象与x轴交于两点A、B，与y轴交于点C，且A（﹣1，0）、B（4，0）．
（1）求此二次函数的表达式；
（2）①如图1，抛物线的对称轴m与x轴交于点E，CD⊥m，垂足为D，点F（﹣，0），动点N在线段DE上运动，连接CF、CN、FN，若以点C、D、N为顶点的三角形与△FEN相似，求点N的坐标；
②如图2，点M在抛物线上，且点M的横坐标是1，将射线MA绕点M逆时针旋转45°，交抛物线于点P，求点P的坐标；
（3）已知Q在y轴上，T为二次函数对称轴上一点，且△QOT为等腰三角形，若符合条件的Q恰好有2个，直接写出T的坐标．
3．（2022•惠山区一模）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与y轴交于点A（0，4）、与x轴交于点B（2，0）和点C（﹣1，0）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点D为第一象限的抛物线上一点．
①过点D作DE⊥AB，垂足为点E，求线段DE长的取值范围；
②若点F、G分别为线段OA、AB上一点，且四边形AFGD既是中心对称图形，又是轴对称图形，求此时点D的坐标．
4．（2022•建湖县二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+bx+c与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点，直线y＝x+4恰好经过B、C两点．
（1）求二次函数的表达式；
（2）点D为第三象限抛物线上一点，连接BD，过点O作OE⊥BD，垂足为E，若OE＝2BE，求点D的坐标；
（3）设F是抛物线上的一个动点，连结AC、AF，若∠BAF＝2∠ACB，求点F的坐标．
5．（2022•工业园区校级模拟）数学来源于生活，数学之美无处不在，在几何图形中，最美的角是45°，最美的直角三角形是等腰直角三角形，我们把45°的角称为一中美角，最美的等腰直角三角形称为一中美三角．根据该约定，完成下列问题：
（1）如图1，已知正方形ABCD中O是对角线AC上一动点，过O作OP⊥OD，垂足为O，交BC边于P，△POD是否为一中美三角，并说明理由；
（2）如图2，在平面直角坐标系中，点A（﹣2，0），点B（0，2），点P在第二象限内，且在直线y＝﹣2x﹣2上，若△ABP恰好构成一中美三角，求出此时P点的坐标；
（3）如图3，若二次函数y＝﹣x2+2x+3的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，P为第二象限上的点，在直线AC上，且∠OPB恰好构成一中美角；Q为x轴上方抛物线上的一动点，令Q点横坐标为m（0＜m＜3），当m为何值时，△PBQ的面积最大，求出此时Q点坐标和最大面积．
6．（2022春•宜兴市校级月考）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴分别交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且OB＝OC＝3OA．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）如图1，点D是该抛物线的顶点，点P（m，n）是第二象限内抛物线上的一个点，分别连接BD、BC、BP，当∠PBA＝2∠CBD时，求m的值；
（3）如图2，∠BAC的角平分线交y轴于点M，过M点的直线l与射线AB，AC分别于E，F，已知当直线l绕点M旋转时，+为定值，请直接写出该定值．
7．（2022春•东台市月考）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝a（x﹣h）2+k与x轴相交于O，A两点，顶点P的坐标为（2，﹣1）．点B为抛物线上一动点，连接AP，AB，过点B的直线与抛物线交于另一点C．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点B的横坐标与纵坐标相等，∠ABC＝∠OAP，且点C位于x轴上方，求点C的坐标；
（3）若点B的横坐标为t，∠ABC＝90°，请用含t的代数式表示点C的横坐标，并求出当t＜0时，点C的横坐标的取值范围．
8．（2022春•大丰区校级月考）如图1，抛物线y＝ax2+bx+与x轴交于点A（﹣1，0），C（3，0），点B为抛物线顶点，连接AB，BC，AB与y轴交于点D，连接CD．
（1）①求这条抛物线的函数表达式；
②直接写出顶点B的坐标 ；
（2）直接写出△ABC的形状为 ；
（3）点P为抛物线上第一象限内的一个动点，设△PDC的面积为S，点P的横坐标为m，当S有最大值时，求m的值；
（4）如图2，连接OB，抛物线上是否存在点Q，使∠BCA+∠QCA＝∠α，当tanα＝2时，请直接写出点Q的横坐标；若不存在，说明理由．
9．（2022•天宁区模拟）如图1，抛物线C：y＝ax2+bx经过点A（﹣4，0）、B（﹣1，3）两点，G是其顶点，将抛物线C绕点O旋转180°，得到新的抛物线C′．
（1）求抛物线C的函数解析式及顶点G的坐标；
（2）如图2，直线l：y＝kx﹣经过点A，D是抛物线C上的一点，设D点的横坐标为m（m＜﹣2），连接DO并延长，交抛物线C′于点E，交直线l于点M，若DE＝2EM，求m的值；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接AG、AB，在直线DE下方的抛物线C上是否存在点P，使得∠DEP＝∠GAB？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．
10．（2022春•惠山区校级月考）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C，且过点D（2，﹣3）．点P、Q是抛物线y＝ax2+bx+c上的动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点P在直线OD下方时，求△POD面积的最大值．
（3）直线OQ与线段BC相交于点E，当△OBE与△ABC相似时，求点Q的坐标．
相关资料
更多
