第06讲 数据的集中趋势和离散程度（6大考点）-九年级数学考试满分全攻略（苏科版）

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第06讲 数据的集中趋势和离散程度（6大考点）
考点考向

一．算术平均数
（1）平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．它是反映数据集中趋势的一项指标．
（2）算术平均数：对于n个数x1，x2，…，xn，则＝（x1+x2+…+xn）就叫做这n个数的算术平均数．
（3）算术平均数是加权平均数的一种特殊情况，加权平均数包含算术平均数，当加权平均数中的权相等时，就是算术平均数．
二．加权平均数
（1）加权平均数：若n个数x1，x2，x3，…，xn的权分别是w1，w2，w3，…，wn，则x1w1+x2w2+…+xnwnw1+w2+…+wn叫做这n个数的加权平均数．
（2）权的表现形式，一种是比的形式，如4：3：2，另一种是百分比的形式，如创新占50%，综合知识占30%，语言占20%，权的大小直接影响结果．
（3）数据的权能够反映数据的相对“重要程度”，要突出某个数据，只需要给它较大的“权”，权的差异对结果会产生直接的影响．
（4）对于一组不同权重的数据，加权平均数更能反映数据的真实信息．
三．计算器-平均数
（1）如果是普通计算器，那么只能把所有的数字相加，然后除以数字的个数．
（2）如果是科学记算器，那么可以用如下方法：
①调整计算器的模式为STAT模式．
②依次输入数据，每次输入数据后按DATA键确认数据的输入．
③输入完毕后，按x¯键，即可获得平均数了．
（3）由于计算器的型号不同，可以按照说明书中的方法进行操作．
四．中位数
（1）中位数：
将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．
如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
（2）中位数代表了这组数据值大小的“中点”，不易受极端值影响，但不能充分利用所有数据的信息．
（3）中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的移动对中位数没有影响，中位数可能出现在所给数据中也可能不在所给的数据中出现，当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中位数描述其趋势．
五．众数
（1）一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．
（2）求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．
（3）众数不易受数据中极端值的影响．众数也是数据的一种代表数，反映了一组数据的集中程度，众数可作为描述一组数据集中趋势的量．．
六．方差
（1）方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．
（2）用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的情况，这个结果叫方差，通常用s2来表示，计算公式是：
s2＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]（可简单记忆为“方差等于差方的平均数”）
（3）方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
考点精讲

一．算术平均数（共3小题）
1．（2022•泗阳县一模）若a、b、c的平均数为7，则a+1、b+2、c+3的平均数为（　　）
A．7 B．8 C．9 D．10
【分析】根据已知数据a，b，c的平均数为7，求出a+b+c的值，进而求出数据a+1，b+2，c+3的平均数即可．
【解答】解：∵数据a，b，c的平均数为7，
∴a+b+c＝21；
∴数据a+1，b+2，c+3的平均数为（a+b+c+1+2+3）＝9．
故选：C．
【点评】此题考查了算术平均数，熟记公式是解决本题的关键．
2．（2022•淮安）一组数据3、﹣2、4、1、4的平均数是 　2　．
【分析】根据平均数的定义计算即可．
【解答】解：数据3、﹣2、4、1、4的平均数是：＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了平均数，平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．
3．（2022•张家港市一模）对于三个数a，b，c用M{a，b，c}表示a，b，c这三个数的平均数，用min{a，b，c}表示a，b，c这三个数中最小的数．例如：M{﹣1，2，3}＝＝，min{﹣1，2，3}＝﹣1．
（1）若M{x﹣1，﹣5，2x+3}＝（1+3x），求x的值；
（2）是否存在一个x的值，使得M{2x，2﹣x，3}＝×min{﹣1，0，4x+1），若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由M{x﹣1，﹣5，2x+3}＝＝x﹣1，结合题意得x﹣1＝（1+3x），解之可得；
（2）由M{2x，﹣x+2，3}＝＝，再分4x+1≥﹣1和4x+1＜﹣1两种情况分别求解可得．
【解答】解：（1）由题意：M{x﹣1，﹣5，2x+3}＝＝x﹣1，
∴x﹣1＝（1+3x），
解得：x＝﹣3．

（2）由题意：M{2x，﹣x+2，3}＝＝，
若4x+1≥﹣1，则2×＝﹣1．
解得x＝﹣．
此时4x+1＝﹣25＜﹣1．与条件矛盾；
若4x+1＜﹣1，则2×＝4x+1．
解得x＝．
此时4x+1＝＞﹣1．与条件矛盾；
∴不存在．
【点评】本题主要考查算术平均数和解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握新定义，并结合算术平均数和已知条件得出关于x的方程．
二．加权平均数（共2小题）
4．（2022•如皋市二模）小林参加学校举办的“五四最美少年”主题演讲比赛，他的演讲资料、语言表达、形象风度、综合印象得分分别为85分，70分，80分，80分．若学校将上面的四项依次按照40%，40%，10%，10%的占比计算总成绩（百分制），则小林的总成绩是（　　）
A．80分 B．79分 C．78分 D．77分
【分析】根据加权平均数的定义列式计算即可．
【解答】解：小林的总成绩是85×40%+70×40%+80×10%+80×10%＝78（分），
故选：C．
【点评】本题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义．
5．（2022•邳州市一模）3月14日是国际数学节，为迎接数学节，某学校3月份举办“数学嘉年华之手抄报评比活动”，对甲、乙、丙、丁四组候选作品进行量化评分，具体成绩（百分制）如下表，如果按照创新性占60%，丰富性占40%计算总成绩，并根据总成绩择优推荐，那么应推荐的作品是（　　）
项目作品
甲
乙
丙
丁
创新性
90
95
90
90
丰富性
90
90
95
85
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【分析】根据题意先算出甲、乙、丙、丁四人的加权平均数，再进行比较，即可得出答案．
【解答】解：甲的平均成绩为90×60%+90×40%＝90（分），
乙的平均成绩为95×60%+90×40%＝93（分），
丙的平均成绩为90×60%+95×40%＝92（分），
丁的平均成绩为90×60%+85×40%＝88（分），
故乙的平均成绩最高，应该推荐乙的作品，
故选：B．
【点评】本题考查了加权平均数的计算，解题的关键在于熟练掌握加权平均数的计算方法．
三．计算器-平均数（共1小题）
6．（2020•海门市校级模拟）某同学使用计算器求30个数据的平均数时，错将其中一个数据75输入为15，那么所求出的平均数与实际平均数的差是（　　）
A．2.5 B．2 C．1 D．﹣2
【分析】利用平均数的定义可得．将其中一个数据75输入为15，也就是数据的和少了60，其平均数就少了60除以30，从而得出答案．
【解答】解：求30个数据的平均数时，错将其中一个数据75输入为15，即使总和减少了60，
那么由此求出的这组数据的平均数与实际平均数的差是﹣＝﹣2；
故选：D．
【点评】本题考查平均数的性质，求数据的平均值和方差是研究数据常做的，平均值反映数据的平均水平，而方差反映数据的波动大小，从两个方面可以准确的把握数据的情况．
四．中位数（共4小题）
7．（2022•宿豫区二模）已知一组数据：1、4、2、3、4，这组数据的中位数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】利用中位数的定义求解即可．
【解答】解：把这组数据从小到大排列为1，2，3，4，4，
故中位数为3；
故选：C．
【点评】本题考查了确定一组数据的中位数的能力．注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个，则找中间两位数的平均数．
8．（2022•泗洪县三模）某市三月份连续7天的最高气温依次是：18，15，16，15，16，18.19（单位：℃），则这组数据的中位数是（　　）
A．19 B．18 C．17 D．16
【分析】根据中位数的定义求解即可．
【解答】解：将这组数据重新排列为15，15，16，16，18，18，19，
∴这组数据的中位数是16，
故选：D．
【点评】本题主要考查中位数，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
9．（2022秋•兴化市月考）随机抽取某小吃店一周的营业额（单位：元）如下表：
星期一
星期二
星期三
星期四
星期五
星期六
星期日
540
680
640
640
780
1110
1070
（1）分析数据，填空：这组数据的平均数是 　780　元，中位数是 　680　元．
（2）估计一个月的营业额（按30天计算）；
①星期一到星期五营业额相差不大，用这5天的平均数估算合适么：　不合适　.（填“合适”或“不合适”）
②选择一个你认为最合适的数据估算这个小吃店一个月的营业额．
【分析】（1）根据平均数的定义、中位数的定义进行解答即可；
（2）①从极端值对平均数的影响作出判断即可；
②可用该店本周一到周日的日均营业额估计当月营业额．
【解答】解：（1）这组数据的平均数＝×（540+680+640+640+780+1110+1070）＝780（元）；
按照从小到大排列为540、640、640、680、780、1070、1110，
中位数为680元；
故答案为：780，680；
（2）①因为在周一至周日的营业额中周六、日的营业额明显高于其他五天的营业额，
所以去掉周六、日的营业额对平均数的影响较大，
故用该店本周星期一到星期五的日平均营业额估计当月的营业总额不合适；
故答案为：不合适；
②用该店本周一到周日的日均营业额估计当月营业额，
当月的营业额为30×780＝23400（元）．
【点评】本题主要考查了平均数、中位数及样本估计总体，解题的关键是掌握算术平均数的定义与样本估计总体思想的运用．
10．（2022•丰县二模）某校将学生体质健康测试成绩分为A、B、C、D四个等级，对应分数分别为4分、3分、2分、1分．为了解学生整体体质健康状况，拟抽样120人进行统计分析．
（1）以下是三种抽样方案：
甲方案：随机抽取七年级男、女生各60人的体质健康测试成绩．
乙方案：随机抽取七、八、九年级男生各40人的体质健康测试成绩．
丙方案：随机抽取七、八、九年级男生、女生各20人的体质健康测试成绩．
你认为较为合理的是 　丙　方案（选填甲、乙、丙）；
（2）按照合理的抽样方案，将随机抽取的测试成绩整理并绘制成如图统计图．
①这组数据的中位数是 　3　分；
②请求出这组数据的平均数；
③小明的体质健康测试成绩是C等级，请你结合以上数据，对小明的体质健康状况做出评价，并给出一条合理的建议．

【分析】（1）根据抽样调查的特点进行分析评价即可；
（2）根据中位数、平均数的意义求解即可．
【解答】解：（1）甲方案、乙方案选择样本比较片面，不能代表真实情况，抽样调查不具有广泛性和代表性；
具有代表性的方案是丙方案，
故答案为：丙；

（2）①这120人的成绩从小到大排列处在中间位置的两个数都是3分，因此中位数是3分，
故答案为：3；
②平均数为＝＝2.75（分），
答：这组数据的平均数是2.75分；
③小明的体质健康测试成绩是C等级对应分数2分，低于平均成绩，比中位数小，位于中下水平，小明的体质健康水平有待提高．
建议小明加强体育锻炼，增强体质（结合数据，言之有理即可）．
【点评】本题考查抽样调查、中位数、平均数，掌握抽样调查、平均数、中位数的计算方法是正确解答的前提．
五．众数（共4小题）
11．（2022春•宿豫区期中）已知一组数据：14、16、15、16、17，这组数据的众数是（　　）
A．14 B．15 C．16 D．17
【分析】根据众数的定义就可以求解．
【解答】解：16出现的次数最多，所以众数是16．
故选：C．
【点评】主要考查了众数的概念．注意众数是指一组数据中出现次数最多的数据，它反映了一组数据的多数水平，一组数据的众数可能不是唯一的．
12．（2022•南通）为了了解八年级学生本学期参加社会实践活动的天数情况，A，B两个县区分别随机抽查了200名八年级学生，根据调查结果绘制了统计图表，部分图表如下：
A，B两个县区的统计表

平均数
众数
中位数
A县区
3.85
3
3
B县区
3.85
4
2.5
（1）若A县区八年级共有约5000名学生，估计该县区八年级学生参加社会实践活动不少于3天的学生约为 　3750　名；
（2）请对A，B两个县区八年级学生参加社会实践活动的天数情况进行比较，作出判断，并说明理由．

【分析】（1）A县区八年级学生的总人数乘以不少于3天的学生的百分数；
（2）通过对A，B两个县区八年级学生参加社会实践活动的天数的平均数、众数、中位数情况进行比较，作出判断．
【解答】解：（1）5000×（30%+25%+15%+5%）＝3750（名）．
故答案为：3750．
（2）因为A，B两个县区的平均数一样，从众数来看B县区好，但从中位数来看A县区好．
【点评】此题主要考查了用样本估计总体，利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
13．（2022•徐州）如图，下列装在相同的透明密封盒内的古钱币，其密封盒上分别标有古钱币的尺寸及质量，例如：钱币“文星高照”密封盒上所标“45.4*2.8mm，24.4g”是指该枚古钱币的直径为45.4mm，厚度为2.8mm，质量为24.4g．已知这些古钱币的材质相同．

根据图中信息，解决下列问题．
（1）这5枚古钱币，所标直径的平均数是 　45.74　mm，所标厚度的众数是 　2.3　mm，所标质量的中位数是 　21.7　g；
（2）由于古钱币无法从密封盒内取出，为判断密封盒上所标古钱币的质量是否有错，桐桐用电子秤测得每枚古钱币与其密封盒的总质量如下：
名称
文星高照
状元及第
鹿鹤同春
顺风大吉
连中三元
总质量/g
58.7
58.1
55.2
54.3
55.8
盒标质量
24.4
24.0
13.0
20.0
21.7
盒子质量
34.3
34.1
42.2
34.3
34.1
请你应用所学的统计知识，判断哪枚古钱币所标的质量与实际质量差异较大，并计算该枚古钱币的实际质量约为多少克．
【分析】（1）用每一组的中间值作为该组的平均值，利用平均数的计算公式计算平均数；
（2）根据中位数、众数的意义做出判断；
（3）先计算甲、乙车间的合格率，再进行比较，得出答案．
【解答】解：（1）这5枚古钱币，所标直径的平均数是：（45.4+48.1+45.1+44.6+45.5）＝45.76（mm），
这5枚古币的厚度分别为：2.8mm，2.4mm，2.3mm，2.1mm，2.3mm，
其中2.3mm出现了2次，出现的次数最多，
∴这5枚古钱币的厚度的众数为2.3mm，
将这5枚古钱币的质量从小到大的顺序排列为：13.0g，20.0g，21.7g，24.0g，24.4g，
∴这5枚古钱币的质量的中位数为21.7g；
故答案为：45.74；2.3；21.7；
（2）“鹿鹤同春”密封盒的质量异常，故“鹿鹤同春”的质量与实际质量差异较大，
其余四个盒子的质量的平均数为：＝34.2（g），
55.2﹣34.2＝21.0（g），
答：“鹿鹤同春”的实际质量约为21.0克．
【点评】本题考查了平均数、众数、中位数的意义和计算方法，掌握相关定义是解答本题的关键．
14．（2022•钟楼区校级模拟）2022年3月，新冠疫情突袭常州，社会各界众志成城，共同抗疫．严酷战疫中，我们又一次感受到祖国的强大，口罩也成为人们防护防疫的必备武器．钟楼区某药店有2500枚口罩准备出售，从中随机抽取了一部分口罩，根据它们的价格（单位：元），绘制出如图的统计图．请根据相关信息，解答下列问题：

（1）图①中m的值为 　28　；
（2）统计的这组数据的平均数为 　1.52元　，众数为 　1.8元　，中位数为 　1.5元　；
（3）根据样本数据，估计这2500枚口罩中，价格为2.0元的约有为多少枚？
【分析】（1）根据扇形统计图中的数据，可以计算出m%的值，从而可以得到m的值；
（2）根据扇形统计图中的数据可以得到这组数据的平均数，然后根据条形统计图中的数据可以得到这组数据的众数和中位数；
（3）根据统计图中的数据，可以计算出质量为2.0元的约多少枚．
【解答】解：（1）m%＝1﹣10%﹣22%﹣32%﹣8%＝28%，
即m的值是28，
故答案为：28；

（2）平均数是：1.0×10%+1.2×22%+1.5×28%+1.8×32%+2.0×8%＝1.52元，
∵本次调查了5+11+14+16+4＝50枚，
中位数是：1.5元，众数是1.8元；
故答案为：1.52元，1.8元，1.5元；

（3）2500×8%＝200（枚），
答：价格为2.0元的约200枚．
【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、中位数、平均数、众数、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
六．方差（共5小题）
15．（2022秋•盐都区月考）某班学期末对考核成绩进行统计，结果显示甲、乙两组的平均成绩相同，但S甲2＜S乙2，则考核成绩比较稳定的是（　　）
A．甲组 B．乙组
C．甲、乙两组一样稳定 D．无法确定
【分析】根据方差的定义，方差越小数据越稳定即可求解．
【解答】解：∵S甲2＜S乙2，
∴考核成绩比较稳定的是甲组，
故选：A．
【点评】本题考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
16．（2022秋•兴化市月考）甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数都为9.0环，方差分别为s甲2＝0.63，s乙2＝0.51，s丙2＝0.42，s丁2＝0.48，则四人中成绩最稳定的是（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【分析】根据方差的意义求解可得．
【解答】解：∵，，，，
∴＜＜＜，
∴四人中成绩最稳定的是丙，
故选：C．
【点评】本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的意义：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越差；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
17．（2022•江都区二模）某信息咨询机构从A和B两家外卖快送公司分别抽取了20名骑手的月收入进行了一项抽样调查，骑手的月收入（单位：千元）如图所示：

根据以上信息，整理分析数据如下：
（1）完成表格填空；

平均月收入/千元
中位数/千元
众数/千元
方差/千元2
A公司
①　6　
6
③　6　
1.2
B公司
5.5
②　5　
5
④　3.85　
（2）根据以上数据，若小张想从这两家外卖快送公司中选择一家应聘骑手，你会推荐哪家公司，请说明理由．
【分析】（1）利用平均数、中位数、众数及方差的定义分别计算后即可确定正确的答案；
（2）根据平均数，中位数，众数的大小和方差的大小进行选择即可．
【解答】解：（1）①A公司的平均数是：7×20%+8×10%+4×10%+5×20%+6×（1﹣20%﹣10%﹣10%﹣20%）
＝1.4+0.8+0.4+1+2.4
＝6（千元）；
②把B公司的数据从小到大排列，中位数是第10、第11个数的平均数，
则中位数是：（5+5）÷2＝5（千元）；
③A公司的众数数是6，
④B公司的方差是S2乙＝×[6×（4﹣5.5）2+10×（5﹣5.5）2+3×（8﹣5.5）2+（12﹣5.5）2]＝3.85，
故答案为：①6；②5；③6；④3.85；

（2）选A公司，
理由：A公司的平均数，中位数，众数均大于B公司，且A公司方差小，更稳定．
【点评】本题考查了平均数、众数、中位数、方差，一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，则方差S2＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立，关键是能根据平均数、众数、中位数、方差的意义对本题进行分析．
18．（2022•崇川区一模）为让全校学生牢固树立爱国爱党的崇高信念，某校近期开展了形式多样的党史学习教育活动．在党史知识竞赛中，八、九年级各有300名学生参加，现随机抽取两个年级各20名学生的成绩进行整理分析，得到如表信息：
a．表1九年级20名学生的成绩（百分制）统计表
82
80
97
91
94
72
71
91
85
70
94
78
92
75
97
92
91
92
83
98
b．表2九年级抽取的20名学生成绩的平均数、中位数、方差统计表
年级
平均数
中位数
方差
九年级
86
a
86.3
c．随机抽取八年级20名学生的成绩的中位数为88，方差为83.2，且八、九两个年级抽取的这40名学生成绩的平均数是84.5．
请根据以上信息，回答下列问题：
（1）在表2中，a的值等于 　91　；
（2）求八年级这20名学生成绩的平均数；
（3）你认为哪个年级的成绩较好？试从两个不同的角度说明推断的合理性．
【分析】（1）a中的表格的数从小到大排序，第10个数和第11个数的平均数即为中位数a；
（2）八、九两个年级抽取的这40名学生成绩的总数减去九年级抽取的20名学生成绩的总数，可得八年级抽取的20名学生成绩的总数，即可求值；
（3）从中位数和平均数上分析即可．
【解答】解：（1）九年级抽取的20名学生成绩的中位数a＝（91+91）÷2＝91，
故答案为：91；

（2）（84.5×40﹣86×20）÷20＝83，
答：八年级这20名学生成绩的平均数为83；

（3）九年级的成绩较好，理由如下：
从平均数上看，九年级平均数为86＞八年级平均数为83；
从中位数上看，九年级成绩的中位数91＞八年级成绩的中位数88，
综上所述，九年级成绩较好．
【点评】本题考查频数分布表，平均数，中位数，解本题关键要掌握平均数定义，中位数定义等．
19．（2022•海门市二模）峰峰老师为了解所教1班、2班同学们（各有40名学生）的经典文化知识掌握情况，从两个班级中各随机抽取10名学生进行了检测，成绩（百分制）如下：
1班：79，85，73，80，75，59，87，70，75，97．
2班：92，45，80，82，72，81，94，83，70，81．
峰峰老师的简要分析：

平均分
众数
中位数
方差
1班
78
75
77
964
2班
78
81
81
1704
请你解决以下问题：
（1）若对这两个班级的所有学生都进行检测，估计这两个班级内成绩为优秀（不少于80分）的学生一共有多少人？
（2）比较这两个班级的经典文化知识掌握情况，哪个班级更好些？并说明理由（至少从两个不同的角度比较）．
【分析】（1）用样本估计总体即可；
（2）结合表格中的平均数、众数、中位数以及方差等数据解答即可．
【解答】解：（1）＝44（人），
答：估计这两个班级内成绩为优秀（不少于80分）的学生一共有44人；
（2）从平均数看，均为78，说明两个班的学生对经典文化知识掌握的总体水平相当；
从众数，中位数看，均是2班略高于1班，说明2班掌握的总体水平略优于1班；
从方差看，1班的方程比2班小，1班数据离散程度相对小一些，说明1班所有同学经典文化知识掌握的水平相对均衡；
从方差看，1班比2班好．
综上所述，2班同学对经典文化知识掌握情况更好一些．
【点评】本题考查了中位数、众数和方差的意义以及用总体估计样本，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数）；众数是一组数据中出现次数最多的数据；方差是用来衡量一组数据波动大小的量．
巩固提升

一、单选题
1．（2021·沭阳县怀文中学）已知一组数据，，，的平均数是，那么等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由平均数的公式建立关于x的方程，求解即可．
【详解】解：由题意得：（85+x+80+90）÷4=85
解得：x=85．
故选：B．
【点睛】本题考查了平均数，应用了平均数的计算公式建立方程求解．
2．（2021·江苏苏州·）为增强学生的环保意识，共建绿色文明校园．某学校组织“废纸宝宝旅行记”活动．经统计，七年级5个班级一周回收废纸情况如下表；
班级
一班
二班
三班
四班
五班
废纸重量（）
4.5
4.4
5.1
3.3
5.7
则每个班级回收废纸的平均重量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据平均数的定义求解即可．
【详解】每个班级回收废纸的平均重量=．
故选：C．
【点睛】本题考查了平均数，理解平均数的定义是解题的关键．
3．（2021·江苏盐城市·景山中学九年级月考）截止2021年3月，“费尔兹奖”得主中最年轻的8位数学家获奖时的年龄分别为：29，27，31，31，31，29，29，31，则由年龄组成的这组数据的众数是（ ）
A．27 B．29 C．30 D．31
【答案】D
【分析】根据众数的定义：一组数据中出现次数最多的一个数或多个数，进行求解即可．
【详解】解：由题意可知，这组数据中31出现了4次，出现的次数最多，
∴这组数据的众数为31，
故选D．
【点睛】本题主要考查了众数的定义，解题的关键在于能够熟练掌握众数的定义．
4．（2021·连云港市新海实验中学九年级）小明对居住在某小区的50名成年人一周的体育锻炼时间进行了统计，并绘制成如图所示的条形统计图，这组数据的众数和中位数分别是（ ）

A．6，4 B．6，6 C．4，4 D．4，6
【答案】B
【分析】根据众数与中位数定义即可得出结论．
【详解】解：根据众数的定义重复次数最多的数据是6，重复20次，
∴众数为6，
从条形图可知将50个数从小到大进行排序，中位数是第25个数据与第26个数据的平均数，而第25个数据与第26个数据都在6这一组，
∴第25个数据与第26个数据都是6，这两个数据平均数是6，
∴中位数是6．
故选择B．
【点睛】本题考查从条形图获取信息，中位数与众数，掌握从条形图获取信息，中位数与众数定义是解题关键．
5．（2021·连云港市新海实验中学）某校九（1）班语文课代表统计了去年1～8月“我爱读书”活动中全班同学的课外阅读数量（单位：本），绘制了如图折线统计图，在这组课外阅读数量的数据中，中位数和众数分别是（ ）


A．53，56 B．53，63 C．56，56 D．56，63
【答案】D
【分析】根据折线图把这组排列起来：38，40，50，56，56，63，63，63；然后根据中位线与众数的定义求解即可得到答案.
【详解】解：由题意可知：这组数据从小到大排列为：38，40，50，56，56，63，63，63，
∴处在中间的两个数分别为56，56
∴这组数据的中位数为56，
∵63出现的次数最多，
∴这组数据的众数是63，
故选D.
【点睛】本题主要考查了中位数和众数的定义，折线统计图，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
6．（2021·连云港市新海实验中学）我校开展了“好书伴我成长”读书活动，为了解5月份九年级学生的读书情况，随机调查了九年级50名学生读书的册数，统计数据如下表所示，下列说法正确的是（ ）
册数
0
1
2
3
4
人数
4
12
16
17
1

A．众数是17 B．中位数是2 C．平均数是2 D．方差是2
【答案】B
【分析】在这组样本数据中，3出现的次数最多，所以求出了众数；将这组样本数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数都是2，从而求出中位数是2；先根据表格提示的数据得出50名学生读书的册数，然后除以50即可求出平均数；根据方差公式即可得出答案．
【详解】这组样本数据中，3出现了17次，出现的次数最多，
这组数据的众数是3；
将这组样本数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数都是2，
这组数据的中位数为2；
观察表格，可知这组样本数据的平均数为：
(0 × 4 + 1 × 12 + 2 × 16 + 3 × 17 + 4 ×1)÷50=；
这组数据的方差为：
，
故选：B．
【点睛】本题考查的知识点有：众数、平均数、方差以及中位数的知识，解题的关键是牢记概念及公式 ．


二、填空题
7．（2021·江苏九年级）已知一组数据：1，3，a，8，10的平均数是5，则a＝___．
【答案】3
【分析】根据平均数的计算方法，列出方程然后计算即可．
【详解】解：∵数据：1，3，a，8，10的平均数是5，
∴＝5，
解得a＝3，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了平均数，正确理解平均数的意义是解题的关键．
8．（2020·江苏九年级期末）在本赛季比赛中，某运动员最后六场的得分情况如下：则这组数据的极差为_______．
【答案】16
【分析】极差是指一组数据中最大数据与最小数据的差．极差＝最大值−最小值，根据极差的定义即可解答．
【详解】解：由题意可知，极差为28−12＝16，
故答案为：16．
【点睛】本题考查了极差的定义，解题时牢记定义是关键．
9．下列数据1，3，5，5，6，2的极差是______．
【答案】5
试题分析：数据中最大为6，最小为1.极差=6-1=5
考点：极差
点评：本题难度较低，主要考查学生对极差知识点的掌握．确定数据中最大值及最小值相减即可．
10．（2021·江苏镇江·）一组数据2，3，1，6，3的平均数为_____．
【答案】3
【分析】根据平均数的公式计算即可．
【详解】数据2，3，1，6，3的平均数为 ．
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查了求一组数据的平均数，本题属于基础题，解题的时候应避免计算错误．
11．（2021·江苏）一组数据、、…、的方差是0.8，则另一组数据、、…、的方差是________．
【答案】0.8
【分析】设数据x1、x2、…、xn的平均数设为a，则根据平均数公式可得数据x1+1、x2+1、…、xn+1的平均数为a+1，再根据方差公式进行计算即可得到答案．
【详解】设数据x1，x2，…，xn的平均数设为a，
∴数据x1+1、x2+1、…、xn+1的平均数为==a+1，
∴数据x1+1、x2+1、…、xn+1的方差为{[（x1+1）﹣（a+1）]2+[（x2+1）﹣（a+1）]2+…+（xn+1）﹣（a+1）]}2=[（x1﹣a）2+（x2﹣a）2+…（xn﹣a）2]，
∵数据、、…、的方差为[（x1﹣a）2+（x2﹣a）2+…+（xn﹣a）2]=0.8，
∴数据x1+1、x2+1、…、xn+1的方差为0.8．
故答案为：0.8
【点睛】本题考查了方差公式的运用，关键是根据题意得到平均数的变化，再正确运用方差公式进行计算即可．
三、解答题
12．（2021·苏州市吴江区青云中学九年级月考）保障房建设是民心工程．某市从2008年开始加快保障房建设进程．现统计了该市2008年到2012年这5年新建保障房情况，绘制成如图所示的折线统计图和不完整的条形统计图．

（1）小丽看了统计图后说：“该市2011年新建保障房的套数比2010年少了．”你认为小丽的说法正确吗？请说明理由；
（2）请补全条形统计图；
（3）求这5年平均每年新建保障房的套数．
【答案】（1）小丽的说法错误；理由见解析（2）2011年保障房的套数为900套；2008年保障房的套数为500套，补全统计图见解析（3）784套
【分析】（1）根据2011年新建保障房的增长率比2010年的增长率减少，并不是建设住房减少，即可得出答案；
（2）根据住房建设增长率求出2008年和2011年建设住房的套数，即可得出答案；
（3）根据（2）中所求求出平均数即可．
【详解】解：（1）该市2011年新建保障房的增长率比2010年的增长率减少了，
但是保障房的总数在增加，故小丽的说法错误；
（2）2011年保障房的套数为：750×（1＋20%）＝900（套），
2008年保障房的套数为：x（1＋20%）＝600，则x＝500，
如图所示：

（3）这5年平均每年新建保障房的套数为：
（500＋600＋750＋900＋1170）÷5＝784（套），
答：这5年平均每年新建保障房的套数为784套．
【点睛】此题主要考查了条形图与折线图的综合应用，正确由两图得出正确信息是解题关键．
13．（2021·江苏镇江·九年级）学校组织学生参加科普知识问答竞赛，每班抽25名同学参加比赛，成绩分别为A，B，C，D四个等级，其中相应等级的得分依次记为100分、90分、80分、70分，学校将八年级一班和二班的成绩整理并绘成统计图，如图所示：

（1）将一班竞赛成绩统计图补充完整；
（2）求出二班竞赛成绩的平均数；
（3）若八一班共有40人，请根据本次调查结果，估计八一班得分在80分以上（含80分）的人数．
【答案】（1）图见解析；（2）分；（3）估计八一班得分在80分以上（含80分）的人数为32人．
【分析】（1）先利用一班调查的总人数减去等级的人数可得等级的人数，再补全条形统计图即可；
（2）先求出四个等级的人数，再利用平均数的计算公式即可得；
（3）利用40乘以三个等级所占百分比即可得．
【详解】解：（1）一班等级的人数为（人），
则补全条形统计图如下：

（2）二班等级的人数为（人），
二班等级的人数为（人），
二班等级的人数为（人），
二班等级的人数为（人），
则二班竞赛成绩的平均数为（分），
答：二班竞赛成绩的平均数为分；
（3）（人），
答：估计八一班得分在80分以上（含80分）的人数为32人．
【点睛】本题考查了条形统计图和扇形统计图、平均数等知识点，熟练掌握统计调查的相关知识是解题关键．
14．（2021·江苏）下表是某地某个月中午12时的气温（单位：℃）的统计数据．
某地某个月中午12时的气温频数分布表
组别
气温分组
频数
1

1
2

5
3

6
4

8
5

10
方法指导
数据分组后，一个小组的组中值是指这个小组的两个端点的数的平均数，例如：第1小组的组中值为．根据频数分布表求加权平均数时，统计中常用各组的组中值代表各组的实际数据，把各组的频数看作相应组中值的权．
根据统计的数据，回答下列问题：
（1）该地该月中午12时的气温的中位数落在第_________组内；
（2）求该地该月中午12时的平均气温．
【答案】（1）4；（2）24.8℃
【分析】（1）根据中位数的求法即可求得；
（2）根据题意求出组中值，然后根据加权平均数的公式求得
【详解】（1）共天，中位数落在第15,16天，所以在第4组；
（2）分别计算出各组数据的组中值，
第一组组中值，第二组组中值，第三组组中值
第四组组中值，第五组组中值
∴（℃）
因此，该地该月中午12时的平均气温为24.8℃．
【点睛】本题考查了中位数的求法，加权平均数的求法，中位数的求法：数据从大到小或从小到大排好顺序以后，若为偶数个数，就是最中间的两个数加起来除以2，即两个数的平均数;若为奇数个数，就是中间个数；加权平均数计算公式为：，其中f1，f2，…，fk代表各数据的权；理解题意运用公式是解题关键．
15．（2021·仪征市实验初中九年级月考）国家规定“中小学生每天在校体育活动时间不低于1小时”，为了解学生参加体育活动的情况，调查了某校八年级甲、乙两班学生每天参加体育锻炼的时间，并将调查结果制成如下的频数分布表和频数分布直方图（数据包括左端点不包括右端点）．甲班学生每天参加体育活动时间频数分布表
分组（单位： h）
频数

2

10

14

12

2

请你根据图表所提供的信息解答下列问题：
（1）如果每天在校体育活动时间不低于1小时为“达标”，求甲班学生每天在校体育活动时间的达标率；
（2）乙班学生每天参加体育活动时间的中位数落在哪一组？
（3）请选择一个适当的统计量，对甲、乙两班学生每天参加体育活动的时间进行评价．
【答案】（1）；（2）这一组；（3）见解析．
【分析】（1）根据定义计算出总人数，达标人数计算即可；
（2）计算出总人数，确定中位数，结合每组的人数判断即可；
（3）计算两个班的达标率比较即可．
【详解】1）甲班的达标率为：；
（2）乙班的总人数为：5+16+10+7+2=40,
∴中位数是第20,21个的平均数，
∴中位数应该落在这一组；
（3）乙班的达标率为：＜，
∴甲班学生每天参加体育活动的效果好．
【点睛】本题考查了频数分布直方图，频数分布表，中位数，熟练掌握频数直方图的意义，中位数的计算方法是解题的关键．
16．（2021·江苏玄武区·九年级期中）某校举办了一次题为“致敬最美逆行者”的演讲比赛．甲、乙两组学生成绩分布的折线统计图如图（学生成绩均为整数）：

（1）根据以上信息，填空：
组别
平均数/分
中位数/分
方差/分2
甲
7
　　
2.8
乙
　　
7
　　
（2）如果学校准备选派其中一组参加区级比赛，你认为选派哪一组参赛更好？为什么？
【答案】（1）6.5，7，1.8；（2）乙组，理由见解析．
【分析】（1）根据中位数、平均数和方差的计算公式分别进行解答，即可得出答案；
（2）从中位数和方差的意义两方面进行分析，即可得出答案．
【详解】解：（1）甲组：4分的有1人，6分有4人，7分的有1人，8分的有2人，9分的有1人，10分的有1人，
把这些数从小大排列为4、6、6、6、6、7、8、8、9、10，则中位数是：＝6.5（分），
乙组：5分的有2人，6分有1人，7分的有4人，8分的有1人，9分的有2人，
平均数是：（5+5+6+7+7+7+7+8+9+9）＝7（分），
乙组的方差是：[2×（5﹣7）2+（6﹣7）2+4×（7﹣7）2+（8﹣7）2+2×（9﹣7）2]＝1.8．
故答案为：6.5，7，1.8；
（2）因为乙组的中位数高于甲组，且乙组的方差小于甲组的方差，比甲组的成绩稳定，所以应派乙组参赛更好．
【点睛】本题主要考查了平均数，中位数和方差，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
17．（2021·江苏）2020年12月4日是第七个国家宪法日，也是第三个“宪法宣传周”．甲、乙两班各选派5名学生参加学校宪法知识竞赛（满分100分），成绩如下：
甲班：96，92，94，97，96；
乙班：90，98，97，98，92．
通过数据分析，列表如下：
班级
平均分
中位数
众数
方差
甲班
95
a
96
c
乙班
95
97
b
11.2
（1）________，________，________；
（2）如果要从这两个班中选择一个班的学生代表学校参加市宪法知识竞赛，你认为选哪个班的学生更合适？为什么？
【答案】（1）96，98，3.2；（2）选甲班的学生更合适，理由见解析（答案不唯一）
【分析】（1）根据中位数、众数、方差的定义进行求解即可得到答案；
（2）根据（1）中的数据可知，平均数两者相同，但是甲班的方差更小，即可得到答案.
【详解】解：（1）甲班的成绩从小到大排列为：92、94、96、96、97
∴它的中位数为96
∴
∵乙班中数据98出现的次数最多
∴它的众数为98
∴
∴；
（2）答：我认为选甲班的学生更合适．理由：由表格中数据可知，甲、乙两班学生成绩的平均分相同，但甲班学生成绩的方差小于乙班，甲班学生成绩更整齐．
【点睛】本题主要考查了中位数，众数和方差的定义，以及用方差做决策，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.

18．（2021·江苏泰州中学附属初中九年级）某校组建了射击兴趣小组，甲、乙两人连续8次射击成绩如下列图、表所示（统计图中乙的第8次射击成绩缺失）．

甲、乙两人连续8次射击成绩统计表

平均成绩（环）
中位数（环）
方差（）
甲
_______
7.5
_______
乙
6
_______
3.5
（1）补全统计图和统计表；
（2）如果你是教练，要从甲、乙两人中选一位参加比赛，你会选谁？写出你这样选择的2条理由．
【答案】（1）补全图形见解析，统计表：；（2）答案不唯一，理由见解析
【分析】（1）先根据平均数的含义，求解乙第次成绩为：环，再求解甲成绩的平均数，根据方差公式求解甲成绩的方差，根据中位数的含义求解乙成绩的中位数，从而可补全图表；
（2）从平均数与方差的角度分析，可得甲有优势，从最好成绩与发展趋势的角度分析，乙有优势，从而可得答案．
【详解】解：（1）乙的第次成绩为：
甲的平均成绩为：
甲的成绩的方差为：
由乙的成绩为：
所以：乙成绩的中位数为：
补全图表如下：

甲、乙两人连续8次射击成绩统计表

平均成绩（环）
中位数（环）
方差（）
甲
7
7.5
1.25
乙
6
6
3.5
（2）选法一：选甲．
理由：①因为，所以，所以甲的实力更强；
②因为，所以，所以甲的发挥更稳定．
选法二：选乙．
理由：①因为乙的最好成绩是9环，而甲的最好成绩是8环，所以乙更有希望取得高分；
②因为甲连续8次射击成绩（单位：环）依次是，从第5次开始成绩逐渐下滑，而乙连续8次射击成绩（单位：环）依次是，整体呈现上升趋势，所以乙更有潜力．
【点睛】本题考查的是折线统计图与统计表，平均数，众数，中位数，方差的含义，掌握从图表中获取信息，进行计算并做出分析决策是解题的关键．
19．（2021·江苏徐州市·中考真题）某市近年参加初中学业水平考试的人数（以下简称“中考人数”）的情况如图所示．

根据图中信息，解决下列问题：
（1）这11年间，该市中考人数的中位数是______________万人；
（2）与上年相比，该市中考人数增加最多的年份是____________年；
（3）下列选项中，与该市2022年中考人数最有可能接近的是（ ）
A. 12.8万人 ； B. 14.0万人；C. 15.3万人
（4）2019年上半年，该市七、八、九三个年级的学生总数约为（ ）
A. 23.1万人；B. 28.1万人；C. 34.4万人
（5）该市2019年上半年七、八、九三个年级的数学教师共有4000人，若保持数学教师与学生的人数之比不变，根据（3）（4）的结论，该市2020年上半年七、八、九三个年级的数学教师较上年同期增加多少人（结果取整数）？
【答案】（1）7.6；（2）2020；（3）C；（4）C；（5）721
【分析】（1）先把11个数据进行排序，再根据中位数的定定义，求解即可；
（2）先算出相邻两年增加的人数，进而即可得到答案；
（3）根据2021年与2020年中考人数的差，即可推出2022年中考人数；
（4）通过2019年中考，2021年中考， 2020年中考人数，即可得到答案；
（5）先算出2020年上半年学生人数，再根据比例求出求出2020年数学教师人数，进而即可得到增加的教师人数．
【详解】解：（1）∵11个数据从大到小排列：13.7，11.6，10.3，9.1，8.6，7.6，7.4，6.8，6.6，6.2，6.1，
∴中位数为：7.6，
故答案是：7.6；
（2）∵6.6-6.1=0.5，7.4-6.6=0.8，9.1-7.4=1.7，11.6-9.1=2.5，13.7-11.6=2.1，
∴该市中考人数增加最多的年份是2020年，
故答案是：2020；
（3）∵2021年与2020年中考人数相差2.1万，
∴2022年与2021年中考人数相差约2.1万，
∴2022年中考人数为15.3万人最合适，
故选C；
（4）∵2019年七年级同学在2021年中考，八年级同学在2020年中考，
∴2019年上半年，七八九年级总人数为：9.1+11.6+13.7=34.4（万）
故选C；
（5）由题意得：2020年上半年学生人数约为11.6+13.7+15.3=40.6，
∴（人）
答：该市2020年上半年七、八、九三个年级的数学教师较上年同期增加721人．
【点睛】本题主要考查折线统计图，中位数，通过折线统计图，准确提取数据，掌握中位数的定义，是解题的关键．
20．（2021·江苏南通·中考真题）某农业科技部门为了解甲、乙两种新品西瓜的品质（大小、甜度等），进行了抽样调查．在相同条件下，随机抽取了两种西瓜各7份样品，对西瓜的品质进行评分（百分制），并对数据进行收集、整理，下面给出两种西瓜得分的统计图表．
甲、乙两种西瓜得分表
序号
1
2
3
4
5
6
7
甲种西瓜（分）
75
85
86
88
90
96
96
乙种西瓜（分）
80
83
87
90
90
92
94

甲、乙两种西瓜得分统计表

平均数
中位数
众数
甲种西瓜
88
a
96
乙种西瓜
88
90
b
（1）___________，___________；
（2）从方差的角度看，___________种西瓜的得分较稳定（填“甲”或“乙”）；
（3）小明认为甲种西瓜的品质较好些，小军认为乙种西瓜的品质较好些．请结合统计图表中的信息分别写出他们的理由．
【答案】（1）a=88，b=90；（2）乙；（3）见解析
【分析】（1）根据中位数、众数的意义求解即可；
（2）根据数据大小波动情况，直观可得答案；
（3）从方差、中位数、众数的比较得出答案．
【详解】解：（1）甲品种西瓜测评得分从小到大排列处在中间位置的一个数是88，所以中位数是88，即a=88，
将乙品种西瓜的测评得分出现次数最多的是90分，因此众数是90，即b=90，
故答案为：a=88，b=90；
（2）由甲、乙两种西瓜的测评得分的大小波动情况，直观可得S乙2＜S甲2，
故答案为：乙；
（3）小明认为甲种西瓜的品质较好些，是因为甲的得分众数比乙的得分众数高；小军认为乙种西瓜的品质较好些，是因为乙的得分方差小和得分中位数比甲的高．
【点睛】本题考查统计表，中位数、众数、平均数，理解中位数、众数、平均数的意义和计算方法是正确解答的前提．