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第7章 锐角三角函数（基础、典型、易错、压轴）分类专项训练-九年级数学考试满分全攻略（苏科版）
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第7章 锐角三角函数（基础、典型、易错、压轴）分类专项训练
【基础】
一、单选题
1．（2022·江苏·洪泽新区中学九年级阶段练习）如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=5，AC=12，则tanB等于（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·江苏淮安·九年级期末）在Rt△ABC中，各边都扩大5倍，则锐角A的正切函数值（ ）
A．不变 B．扩大5倍 C．缩小5倍 D．不能确定
3．（2022·江苏泰州·九年级期末）如图，在4×4的正方形方格中，和的顶点都在边长为1的小正方形的格点上，则的值为（ ）
A． B． C． D．3
4．（2022·江苏·靖江市滨江学校九年级阶段练习）如图，在4×4正方形网格中，点A、B、C为网格交点，AD⊥BC，垂足为D，则sin∠BAD的值为（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·江苏·无锡市钱桥中学九年级阶段练习）在Rt△ACB中，∠C＝90°，AB＝8，sinA＝，则BC的长为（ ）
A．6 B．7.5 C．8 D．12.5
6．（2022·江苏·苏州中学九年级阶段练习）已知一个不等臂跷跷板AB长3米，支撑柱OH垂直地面，当AB的一端A着地时，AB与地面夹角的正弦值为，如图1；当AB的另一端B着地时，AB与地面夹角的正弦值为，如图2，则支撑柱OH的高为（ ）米．
A．0.4 B．0.5 C． D．0.6
7．（2022·江苏省锡山高级中学实验学校九年级期中）的值为（ ）
A． B． C． D．
8．（2022·江苏·苏州中学九年级阶段练习）点关于y轴对称的点的坐标是（ ）．
A． B．
C． D．
9．（2022·江苏盐城·九年级期末）在中，，，，则的（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
10．（2022·江苏泰州·九年级期末）在△ABC中，AB=4，BC=5，sinB =，则△ABC的面积等于（ ）
A．15 B． C．6 D．
11．（2022·江苏无锡·九年级期中）小明沿斜坡AB上行40m，其上升的垂直高度CB为20米，则斜坡AB的坡度为（ ）
A．30° B． C． D．
二、填空题
12．（2022·江苏省锡山高级中学实验学校九年级期中）在中，，是斜边上的中线，，，则的值是______．
13．（2022·江苏·靖江市滨江学校九年级阶段练习）如果是锐角，且，那么的值是 _____．
14．（2022·江苏省锡山高级中学实验学校九年级期中）已知是锐角，，则=______°．
15．（2022·江苏淮安·九年级期末）比较大小：sin50°_____sin60°（填“＞”或“＜”）．
16．（2022·江苏·洪泽新区中学九年级阶段练习）若一斜坡的坡角为60°，则它的坡度 ________
三、解答题
17．（2022·江苏淮安·九年级阶段练习）已知：如图，在中，求的值．
18．（2022·江苏·盐城市大丰区实验初级中学益民路分校九年级阶段练习）计算：．
19．（2022·江苏·九年级专题练习）计算：4°．
20．（2022·江苏·苏州高新区第一初级中学校九年级阶段练习）在中，，分别是，，的对边．
(1)已知，，求；
(2)已知，，求．
21．（2022·江苏·沛县教师发展中心九年级阶段练习）如图要测量古塔的高度，在塔前平地上点、处观测塔尖，仰角分别为和，、之间的距离为21m，求古塔的高度．（结果取整数．参考数据：，，）
【典型】
一、单选题
1．（2021·江苏·九年级专题练习）下列计算错误的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
2．（2022·江苏南通·九年级期末）如图，直线与抛物线交于，两点，点是轴上的一个动点，当的周长最小时，_．
三、解答题
3．（2022·江苏·扬州市江都区实验初级中学一模）如图是一座人行天桥的引桥部分的示意图，上桥通道由两段互相平行并且与地面成37°角的楼梯AD、 BE和一段水平平台DE构成．已知天桥高度BC≈4.8米，引桥水平跨度AC=8米．
（1）求水平平台DE的长度；
（2）若与地面垂直的平台立枉MN的高度为3米，求两段楼梯AD与BE的长度之比．
（参考：sin37°=0.60，cos37°=0.80，tan37°=0.75）
4．（2021·江苏·九年级专题练习）美丽的黄河宛如一条玉带穿城而过，沿河两岸的滨河路风情线是兰州最美的景观之一．数学课外实践活动中，小林在南滨河路上的A，B两点处，利用测角仪分别对北岸的一观景亭D进行了测量．如图，测得∠DAC=45°，∠DBC=65°．若AB=132米，求观景亭D到南滨河路AC的距离约为多少米？（结果精确到1米，参考数据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14）
5．（2021·江苏·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴，y轴，交于A、B两点，点C是BO的中点且
（1）求直线AC的解析式；
（2）若点M是直线AC的一点，当时，求点M的坐标.
6．（2021·江苏盐城·一模）如图，抛物线交轴于、两点，其中点坐标为，与轴交于点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图①，连接，点在抛物线上，且满足．求点的坐标；
（3）如图②，点为轴下方抛物线上任意一点，点是抛物线对称轴与轴的交点，直线、分别交抛物线的对称轴于点、．请问是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．
7．（2021·江苏·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，已知点，和，请按下列要求画图并填空．
（1）平移线段，使点平移到点，画出平移后所得的线段，并写出点的坐标为______；
（2）将线段绕点逆时针旋转，画出旋转后所得的线段，并直接写出的值为______；
（3）在轴上找出点，使的周长最小，并直接写出点的坐标为______．
8．（2022·江苏徐州·一模）如图，已知抛物线与轴交于点，点，与轴交于点，顶点为点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若过点的直线交线段于点，且，求的正切值；
(3)若点在抛物线上，点在轴上，当以点、、、为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出点的坐标．
9．（2022·江苏·江阴市周庄中学一模）如图，在Rt中，，是的平分线，以为直径的交边于点E，连接，过点D作，交于点F．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求线段的长．
【易错】
一．选择题（共1小题）
1．（2022秋•惠山区校级月考）如图，在△ABC中，点O是角平分线AD、BE的交点，若AB＝AC＝10，BC＝12，则tan∠OBD的值是（ ）
A． B．2 C． D．
二．填空题（共4小题）
2．（2022春•泰兴市校级月考）在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C对边，若3a＝4b，则sinB的值是 ．
3．（2022•钟楼区校级模拟）已知sinθ＝，则锐角θ＝ ．
4．（2022•宝应县一模）如图，某超市在一楼至二楼之间安装有电梯，天花板与地面平行．请你根据图中数据计算回答，电梯最大通行高度BC为 m．（参考数据：sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51）
5．（2022•泗阳县一模）在锐角△ABC中，AB＝8，∠B＝60°，AC＝7，∠C＝α．则cosα＝ ．
三．解答题（共13小题）
6．（2022•宜兴市校级二模）计算：
（1）（）﹣1+sin30°﹣（1﹣π）0． （2）a（2﹣a）+（a+1）（a﹣1）．
7．（1）计算：﹣|﹣|+（﹣2）﹣1﹣3tan45°； （2）化简：（a+b）2﹣（2a+b）（2a﹣b）．
8．（2022•洪泽区一模）如图，一条河的两岸平行，小刚在A点处观测河对岸C点的一棵树，测得∠CAE＝60°；他沿河岸走了30米到达B点，此时观测河对岸D点的另一棵树，测得∠DBE＝45°，已知河宽50米，求两棵树之间的距离．（结果保留根号）
9．（2022•如皋市一模）人字折叠梯完全打开后如图1所示，B，C是折叠梯的两个着地点，D是折叠梯最高级踏板的固定点．图2是它的示意图，已知AB＝AC，BD＝140cm，∠BAC＝42°，求点D离地面的高DE．（结果取整数，参考数据：sin69°≈0.93，cos69°≈0.36，tan69°≈2.61）
10．（2022•淮安）如图，湖边A、B两点由两段笔直的观景栈道AC和CB相连．为了计算A、B两点之间的距离，经测量得：∠BAC＝37°，∠ABC＝58°，AC＝80米，求A、B两点之间的距离．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60）
11．（2022•泰州）小强在物理课上学过平面镜成像知识后，在老师的带领下到某厂房做验证实验．如图，老师在该厂房顶部安装一平面镜MN，MN与墙面AB所成的角∠MNB＝118°，厂房高AB＝8m，房顶AM与水平地面平行，小强在点M的正下方C处从平面镜观察，能看到的水平地面上最远处D到他的距离CD是多少？（结果精确到0.1m，参考数据：sin34°≈0.56，tan34°≈0.68，tan56°≈1.48）
12．（2022•高新区二模）图①是某车站的一组智能通道闸机，当行人通过时智能闸机会自动识别行人身份，识别成功后，两侧的圆弧翼闸会收回到两侧闸机箱内，这时行人即可通过．图②是两圆弧翼展开时的截面图，扇形BAC和EDF是闸机的“圆弧翼”，两圆弧翼成轴对称，BC和EF均垂直于地面，闸机通道的宽度（即BC与EF之间的距离）是66.4cm，半径BA＝ED＝60cm，点A与点D在同一水平线上，且它们之间的距离为10cm．
（1）求闸机的“两圆弧翼扇形”展开最大时的圆心角的度数（即∠ABC或∠DEF的度数）；
参考数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53，sin33°≈0.55，cos33°≈0.84，tan33°≈0.65
（2）经实践调查，一个智能闸机的平均检票速度是一个人工检票口平均检票速度的2倍，300人的团队通过一个智能闸机口比通过一个人工检票口可节约5分钟，求一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数和一个人工捡票口平均每分钟检票人数．
13．（2022•玄武区一模）如图①，某款线上教学设备由底座，支撑臂AB，连杆BC，悬臂CD和安装在D处的摄像头组成．如图②是该款设备放置在水平桌面l上的示意图．已知支撑臂AB⊥l，AB＝15cm，BC＝30cm，测量得∠ABC＝148°，∠BCD＝28°，AE＝9cm．求摄像头到桌面l的距离DE的长（结果精确到0.1cm）．（参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60，≈1.73）
14．（2022•天宁区模拟）常州市某校数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度CD．如图所示，一架水平飞行的无人机在A处测得正前方河流的左岸C处的俯角为α，无人机沿水平线AF方向继续飞行25米至B处，测得正前方河流右岸D处的俯角为30°．线段AM的长为无人机距地面的垂直高度，点M、C、D在同一条直线上．其中tanα＝2，MC＝米．
（1）求无人机的飞行高度AM；（结果保留根号）
（2）求河流的宽度CD．（结果精确到1米，参考数据：≈1.41，≈1.73）
15．（2022•邳州市一模）如图1是一台手机支架，图2是其侧面示意图，AB，BC可分别绕点A，B转动，测量知BC＝10cm，AB＝20cm．当AB，BC转动到∠BAE＝60°，∠ABC＝50°时，求点C到AE的距离．（结果保留小数点后一位，参考数据：sin70°≈0.94，）
16．（2022•高邮市模拟）如图1，某商场门口放置一台可伸缩的测温仪，底座AB与地面垂直，底座高AB＝30cm，连杆BC＝CD＝80cm，BC、CD与AB始终在同一平面内．
（1）如图2，转动连杆CD使∠BCD成平角，转动连杆BC使∠ABC＝145°，求连杆CD的端点D离地面的高度DE．
（2）如图3，将图2中的连杆BC固定，把连杆CD绕点C逆时针旋转20°，此时连杆端点D离地面l的高度减小了多少？（参考数据：sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7）
17．（2022•宿豫区二模）图1是疫情期间测温员用“额温枪”对学生测温时的实景图，图2是其侧面示意图，其中枪柄BC与手臂MC始终在同一直线上，枪身BA与额头保持垂直，量得胳膊MN＝30cm，MB＝44cm，肘关节M与枪身端点A之间的水平宽度为26.1cm（即MP的长度），∠ABM＝113.6°．
（1）求枪身BA的长度；
（2）测温时规定枪身端点A与额头距离范围为3cm～5cm．在图2中，若测得∠BMN＝68.6°，学生与测温员之间距离为50cm．问此时枪身端点A与学生额头的距离是否在规定范围内？并说明理由．（结果保留小数点后一位）（参考数据sin66.4°≈0.92，cos66.4°≈0.4，tan66.4°≈2.29，）
18．（2022•秦淮区二模）如图，一条宽为0.5km的河的两岸PQ，MN互相平行，河上有两座垂直于河岸的桥CD，EF．测得公路AC的长为6km，公路AC，AE与河岸PQ的夹角分别为45°，71.6°，公路BD，BF与河岸MN的夹角分别为60°，30°．
（1）求两座桥CD，EF之间的距离（精确到0.1km）；
（2）比较路径①：A﹣C﹣D﹣B和路径②：A﹣E﹣F﹣B的长短，则较短路径为 （填序号），两路径相差 km（精确到0.1km）．（参考数据：tan71.6°≈3.0，≈1.41，≈1.73，≈2.24．）
【压轴】
一、填空题
1．（2022·江苏·南京钟英中学九年级阶段练习）是边长为5的等边三角形，是边长为3的等边三角形，直线BD与直线AE交于点F．如图，将绕点C旋转1周，在这个旋转过程中，线段AF长度的最小值是___________．
2．（2022·江苏·盐城市大丰区实验初级中学益民路分校九年级阶段练习）如图1，它是一个几何探究工具，其中△ABC 内接于⊙G，AB 是⊙G 的直径，AB=4，AC=2，现将制作的几何探究工具放在平面直角坐标系中（如图 2），然后点A 在 x 轴上由点 O 开始向右滑动，点 B 在 y 轴上也随之向点 O 滑动（如图 3），并且保持点 O 在⊙G 上，当点 B 滑动至与点 O 重合时运动结束、在整个运动过程中， 点 C 运动的路程是_____．
二、解答题
3．（2022·江苏·建湖县汇杰初级中学三模）小华同学利用折纸探究图形折叠过程中所蕴含的数学道理，点为矩形纸片边上一点，小华将沿着折叠至，已知，请你帮助小华解决下列问题：
操作与实践：
如图1，当点与点重合时，与交于点，求的面积．
探究与发现：
如图2，当点为中点时，与交于点，求的长；
拓展与延伸：
线段、射线分别与线段交于点，小华在折叠的过程中发现的形状随着长度的变化而变化，当为直角三角形时，求的长．
4．（2022·江苏省锡山高级中学实验学校九年级期中）如图，已知⊙M与坐标轴分别交于，，，D，经过点A的直线l与y轴交于点．
(1)① ；②点M的坐标为 ；
(2)当直线l与⊙M相切时，求m的值；
(3)当时，点Q为直线l（除点A外）上的动点，且，请直接写出满足条件的Q点的横坐标．
5．（2022·江苏淮安·中考真题）在数学兴趣小组活动中，同学们对菱形的折叠问题进行了探究．如图（1），在菱形中，为锐角，为中点，连接，将菱形沿折叠，得到四边形，点的对应点为点，点的对应点为点．
(1)【观察发现】与的位置关系是______；
(2)【思考表达】连接，判断与是否相等，并说明理由；
(3)如图（2），延长交于点，连接，请探究的度数，并说明理由；
(4)【综合运用】如图（3），当时，连接，延长交于点，连接，请写出、、之间的数量关系，并说明理由．
6．（2022·江苏·苏州市吴江区铜罗中学九年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OC在x轴上，OA在y轴上，，，两动点P、Q分别从O、B两点同时出发，点P以每秒个单位长度的速度沿线段OC向点C运动，点Q以每秒2个单位长度的速度沿着线段BO向点O运动，当点P运动到点C时，P、Q同时停止，设这两个点运动时间为t （s），
(1)直接写出点A、B的坐标；
(2)当的面积为时，求t的值；
(3)在运动过程中，是否存在P、Q两点，使得沿它的一边翻折，翻折前后两个三角形组成的四边形为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
7．（2022·江苏·盐城市鹿鸣路初级中学九年级阶段练习）已知，如图：正方形ABCD，，动点E以个单位每秒的速度从点A出发向终点C运动，同时动点F以2个单位每秒的速度从点B出发，沿射线BC向右运动．当点E到达点C时，点E、点F同时停止运动．连接EF，以EF为直径作⊙O，该圆与直线AC的另一个交点为点G．设运动时间为t．
(1)当点F在BC边上运动时，如图①，
①填空：_____，_____（用含有t的代数式表示）；
②连接DE，DF，求证：△DEF是等腰直角三角形．
(2)在运动的过程中，线段EG的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出这个定值．
(3)在运动的过程中，要使得圆心O始终在正方形ABCD的内部（不含边界），请直接写出点t的取值范围．
8．（2022·江苏省南菁高级中学实验学校九年级阶段练习）如图，射线上有一点，点是射线上异于的一点，过作，且，过点作，交射线于在射线取点，使得，连接并延长，交射线于点设．
(1)当在点右侧时，求、的长；用关于的代数式表示，
(2)求当为何值时，是等腰三角形；
(3)设的长度为，请求出关于函数表达式，并写出自变量的取值范围．
9．（2022·江苏·淮安市淮安区教师发展中心学科研训处模拟预测）（1）如图1，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝39°，连接AC，BD交于点M．填空：的值为 ，∠AMB的度数为 ；
（2）如图2，在△OAB和△OCD中，∠AOB＝∠COD＝90°，∠OBA＝∠ODC＝60°，连接AC交BD的延长线于点M．请判断的值，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，将△OCD绕点O在平面内旋转，AC，BD所在直线交于点M，若OD＝1，OB＝；点Q为CD的中点，则在旋转的过程中，AQ的最大值为 ．
第7章 锐角三角函数（基础、典型、易错、压轴）分类专项训练
【基础】
一、单选题
1．（2022·江苏·洪泽新区中学九年级阶段练习）如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=5，AC=12，则tanB等于（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·江苏淮安·九年级期末）在Rt△ABC中，各边都扩大5倍，则锐角A的正切函数值（ ）
A．不变 B．扩大5倍 C．缩小5倍 D．不能确定
3．（2022·江苏泰州·九年级期末）如图，在4×4的正方形方格中，和的顶点都在边长为1的小正方形的格点上，则的值为（ ）
A． B． C． D．3
4．（2022·江苏·靖江市滨江学校九年级阶段练习）如图，在4×4正方形网格中，点A、B、C为网格交点，AD⊥BC，垂足为D，则sin∠BAD的值为（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·江苏·无锡市钱桥中学九年级阶段练习）在Rt△ACB中，∠C＝90°，AB＝8，sinA＝，则BC的长为（ ）
A．6 B．7.5 C．8 D．12.5
6．（2022·江苏·苏州中学九年级阶段练习）已知一个不等臂跷跷板AB长3米，支撑柱OH垂直地面，当AB的一端A着地时，AB与地面夹角的正弦值为，如图1；当AB的另一端B着地时，AB与地面夹角的正弦值为，如图2，则支撑柱OH的高为（ ）米．
A．0.4 B．0.5 C． D．0.6
7．（2022·江苏省锡山高级中学实验学校九年级期中）的值为（ ）
A． B． C． D．
8．（2022·江苏·苏州中学九年级阶段练习）点关于y轴对称的点的坐标是（ ）．
A． B．
C． D．
9．（2022·江苏盐城·九年级期末）在中，，，，则的（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
10．（2022·江苏泰州·九年级期末）在△ABC中，AB=4，BC=5，sinB =，则△ABC的面积等于（ ）
A．15 B． C．6 D．
11．（2022·江苏无锡·九年级期中）小明沿斜坡AB上行40m，其上升的垂直高度CB为20米，则斜坡AB的坡度为（ ）
A．30° B． C． D．
二、填空题
12．（2022·江苏省锡山高级中学实验学校九年级期中）在中，，是斜边上的中线，，，则的值是______．
13．（2022·江苏·靖江市滨江学校九年级阶段练习）如果是锐角，且，那么的值是 _____．
14．（2022·江苏省锡山高级中学实验学校九年级期中）已知是锐角，，则=______°．
15．（2022·江苏淮安·九年级期末）比较大小：sin50°_____sin60°（填“＞”或“＜”）．
16．（2022·江苏·洪泽新区中学九年级阶段练习）若一斜坡的坡角为60°，则它的坡度 ________
三、解答题
17．（2022·江苏淮安·九年级阶段练习）已知：如图，在中，求的值．
18．（2022·江苏·盐城市大丰区实验初级中学益民路分校九年级阶段练习）计算：．
19．（2022·江苏·九年级专题练习）计算：4°．
20．（2022·江苏·苏州高新区第一初级中学校九年级阶段练习）在中，，分别是，，的对边．
(1)已知，，求；
(2)已知，，求．
21．（2022·江苏·沛县教师发展中心九年级阶段练习）如图要测量古塔的高度，在塔前平地上点、处观测塔尖，仰角分别为和，、之间的距离为21m，求古塔的高度．（结果取整数．参考数据：，，）
【典型】
一、单选题
1．（2021·江苏·九年级专题练习）下列计算错误的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
2．（2022·江苏南通·九年级期末）如图，直线与抛物线交于，两点，点是轴上的一个动点，当的周长最小时，_．
三、解答题
3．（2022·江苏·扬州市江都区实验初级中学一模）如图是一座人行天桥的引桥部分的示意图，上桥通道由两段互相平行并且与地面成37°角的楼梯AD、 BE和一段水平平台DE构成．已知天桥高度BC≈4.8米，引桥水平跨度AC=8米．
（1）求水平平台DE的长度；
（2）若与地面垂直的平台立枉MN的高度为3米，求两段楼梯AD与BE的长度之比．
（参考：sin37°=0.60，cos37°=0.80，tan37°=0.75）
4．（2021·江苏·九年级专题练习）美丽的黄河宛如一条玉带穿城而过，沿河两岸的滨河路风情线是兰州最美的景观之一．数学课外实践活动中，小林在南滨河路上的A，B两点处，利用测角仪分别对北岸的一观景亭D进行了测量．如图，测得∠DAC=45°，∠DBC=65°．若AB=132米，求观景亭D到南滨河路AC的距离约为多少米？（结果精确到1米，参考数据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14）
5．（2021·江苏·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴，y轴，交于A、B两点，点C是BO的中点且
（1）求直线AC的解析式；
（2）若点M是直线AC的一点，当时，求点M的坐标.
6．（2021·江苏盐城·一模）如图，抛物线交轴于、两点，其中点坐标为，与轴交于点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图①，连接，点在抛物线上，且满足．求点的坐标；
（3）如图②，点为轴下方抛物线上任意一点，点是抛物线对称轴与轴的交点，直线、分别交抛物线的对称轴于点、．请问是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．
7．（2021·江苏·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，已知点，和，请按下列要求画图并填空．
（1）平移线段，使点平移到点，画出平移后所得的线段，并写出点的坐标为______；
（2）将线段绕点逆时针旋转，画出旋转后所得的线段，并直接写出的值为______；
（3）在轴上找出点，使的周长最小，并直接写出点的坐标为______．
8．（2022·江苏徐州·一模）如图，已知抛物线与轴交于点，点，与轴交于点，顶点为点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若过点的直线交线段于点，且，求的正切值；
(3)若点在抛物线上，点在轴上，当以点、、、为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出点的坐标．
9．（2022·江苏·江阴市周庄中学一模）如图，在Rt中，，是的平分线，以为直径的交边于点E，连接，过点D作，交于点F．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求线段的长．
【易错】
一．选择题（共1小题）
1．（2022秋•惠山区校级月考）如图，在△ABC中，点O是角平分线AD、BE的交点，若AB＝AC＝10，BC＝12，则tan∠OBD的值是（ ）
A． B．2 C． D．
二．填空题（共4小题）
2．（2022春•泰兴市校级月考）在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C对边，若3a＝4b，则sinB的值是 ．
3．（2022•钟楼区校级模拟）已知sinθ＝，则锐角θ＝ ．
4．（2022•宝应县一模）如图，某超市在一楼至二楼之间安装有电梯，天花板与地面平行．请你根据图中数据计算回答，电梯最大通行高度BC为 m．（参考数据：sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51）
5．（2022•泗阳县一模）在锐角△ABC中，AB＝8，∠B＝60°，AC＝7，∠C＝α．则cosα＝ ．
三．解答题（共13小题）
6．（2022•宜兴市校级二模）计算：
（1）（）﹣1+sin30°﹣（1﹣π）0． （2）a（2﹣a）+（a+1）（a﹣1）．
7．（1）计算：﹣|﹣|+（﹣2）﹣1﹣3tan45°； （2）化简：（a+b）2﹣（2a+b）（2a﹣b）．
8．（2022•洪泽区一模）如图，一条河的两岸平行，小刚在A点处观测河对岸C点的一棵树，测得∠CAE＝60°；他沿河岸走了30米到达B点，此时观测河对岸D点的另一棵树，测得∠DBE＝45°，已知河宽50米，求两棵树之间的距离．（结果保留根号）
9．（2022•如皋市一模）人字折叠梯完全打开后如图1所示，B，C是折叠梯的两个着地点，D是折叠梯最高级踏板的固定点．图2是它的示意图，已知AB＝AC，BD＝140cm，∠BAC＝42°，求点D离地面的高DE．（结果取整数，参考数据：sin69°≈0.93，cos69°≈0.36，tan69°≈2.61）
10．（2022•淮安）如图，湖边A、B两点由两段笔直的观景栈道AC和CB相连．为了计算A、B两点之间的距离，经测量得：∠BAC＝37°，∠ABC＝58°，AC＝80米，求A、B两点之间的距离．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60）
11．（2022•泰州）小强在物理课上学过平面镜成像知识后，在老师的带领下到某厂房做验证实验．如图，老师在该厂房顶部安装一平面镜MN，MN与墙面AB所成的角∠MNB＝118°，厂房高AB＝8m，房顶AM与水平地面平行，小强在点M的正下方C处从平面镜观察，能看到的水平地面上最远处D到他的距离CD是多少？（结果精确到0.1m，参考数据：sin34°≈0.56，tan34°≈0.68，tan56°≈1.48）
12．（2022•高新区二模）图①是某车站的一组智能通道闸机，当行人通过时智能闸机会自动识别行人身份，识别成功后，两侧的圆弧翼闸会收回到两侧闸机箱内，这时行人即可通过．图②是两圆弧翼展开时的截面图，扇形BAC和EDF是闸机的“圆弧翼”，两圆弧翼成轴对称，BC和EF均垂直于地面，闸机通道的宽度（即BC与EF之间的距离）是66.4cm，半径BA＝ED＝60cm，点A与点D在同一水平线上，且它们之间的距离为10cm．
（1）求闸机的“两圆弧翼扇形”展开最大时的圆心角的度数（即∠ABC或∠DEF的度数）；
参考数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53，sin33°≈0.55，cos33°≈0.84，tan33°≈0.65
（2）经实践调查，一个智能闸机的平均检票速度是一个人工检票口平均检票速度的2倍，300人的团队通过一个智能闸机口比通过一个人工检票口可节约5分钟，求一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数和一个人工捡票口平均每分钟检票人数．
13．（2022•玄武区一模）如图①，某款线上教学设备由底座，支撑臂AB，连杆BC，悬臂CD和安装在D处的摄像头组成．如图②是该款设备放置在水平桌面l上的示意图．已知支撑臂AB⊥l，AB＝15cm，BC＝30cm，测量得∠ABC＝148°，∠BCD＝28°，AE＝9cm．求摄像头到桌面l的距离DE的长（结果精确到0.1cm）．（参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60，≈1.73）
14．（2022•天宁区模拟）常州市某校数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度CD．如图所示，一架水平飞行的无人机在A处测得正前方河流的左岸C处的俯角为α，无人机沿水平线AF方向继续飞行25米至B处，测得正前方河流右岸D处的俯角为30°．线段AM的长为无人机距地面的垂直高度，点M、C、D在同一条直线上．其中tanα＝2，MC＝米．
（1）求无人机的飞行高度AM；（结果保留根号）
（2）求河流的宽度CD．（结果精确到1米，参考数据：≈1.41，≈1.73）
15．（2022•邳州市一模）如图1是一台手机支架，图2是其侧面示意图，AB，BC可分别绕点A，B转动，测量知BC＝10cm，AB＝20cm．当AB，BC转动到∠BAE＝60°，∠ABC＝50°时，求点C到AE的距离．（结果保留小数点后一位，参考数据：sin70°≈0.94，）
16．（2022•高邮市模拟）如图1，某商场门口放置一台可伸缩的测温仪，底座AB与地面垂直，底座高AB＝30cm，连杆BC＝CD＝80cm，BC、CD与AB始终在同一平面内．
（1）如图2，转动连杆CD使∠BCD成平角，转动连杆BC使∠ABC＝145°，求连杆CD的端点D离地面的高度DE．
（2）如图3，将图2中的连杆BC固定，把连杆CD绕点C逆时针旋转20°，此时连杆端点D离地面l的高度减小了多少？（参考数据：sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7）
17．（2022•宿豫区二模）图1是疫情期间测温员用“额温枪”对学生测温时的实景图，图2是其侧面示意图，其中枪柄BC与手臂MC始终在同一直线上，枪身BA与额头保持垂直，量得胳膊MN＝30cm，MB＝44cm，肘关节M与枪身端点A之间的水平宽度为26.1cm（即MP的长度），∠ABM＝113.6°．
（1）求枪身BA的长度；
（2）测温时规定枪身端点A与额头距离范围为3cm～5cm．在图2中，若测得∠BMN＝68.6°，学生与测温员之间距离为50cm．问此时枪身端点A与学生额头的距离是否在规定范围内？并说明理由．（结果保留小数点后一位）（参考数据sin66.4°≈0.92，cos66.4°≈0.4，tan66.4°≈2.29，）
18．（2022•秦淮区二模）如图，一条宽为0.5km的河的两岸PQ，MN互相平行，河上有两座垂直于河岸的桥CD，EF．测得公路AC的长为6km，公路AC，AE与河岸PQ的夹角分别为45°，71.6°，公路BD，BF与河岸MN的夹角分别为60°，30°．
（1）求两座桥CD，EF之间的距离（精确到0.1km）；
（2）比较路径①：A﹣C﹣D﹣B和路径②：A﹣E﹣F﹣B的长短，则较短路径为 （填序号），两路径相差 km（精确到0.1km）．（参考数据：tan71.6°≈3.0，≈1.41，≈1.73，≈2.24．）
【压轴】
一、填空题
1．（2022·江苏·南京钟英中学九年级阶段练习）是边长为5的等边三角形，是边长为3的等边三角形，直线BD与直线AE交于点F．如图，将绕点C旋转1周，在这个旋转过程中，线段AF长度的最小值是___________．
2．（2022·江苏·盐城市大丰区实验初级中学益民路分校九年级阶段练习）如图1，它是一个几何探究工具，其中△ABC 内接于⊙G，AB 是⊙G 的直径，AB=4，AC=2，现将制作的几何探究工具放在平面直角坐标系中（如图 2），然后点A 在 x 轴上由点 O 开始向右滑动，点 B 在 y 轴上也随之向点 O 滑动（如图 3），并且保持点 O 在⊙G 上，当点 B 滑动至与点 O 重合时运动结束、在整个运动过程中， 点 C 运动的路程是_____．
二、解答题
3．（2022·江苏·建湖县汇杰初级中学三模）小华同学利用折纸探究图形折叠过程中所蕴含的数学道理，点为矩形纸片边上一点，小华将沿着折叠至，已知，请你帮助小华解决下列问题：
操作与实践：
如图1，当点与点重合时，与交于点，求的面积．
探究与发现：
如图2，当点为中点时，与交于点，求的长；
拓展与延伸：
线段、射线分别与线段交于点，小华在折叠的过程中发现的形状随着长度的变化而变化，当为直角三角形时，求的长．
4．（2022·江苏省锡山高级中学实验学校九年级期中）如图，已知⊙M与坐标轴分别交于，，，D，经过点A的直线l与y轴交于点．
(1)① ；②点M的坐标为 ；
(2)当直线l与⊙M相切时，求m的值；
(3)当时，点Q为直线l（除点A外）上的动点，且，请直接写出满足条件的Q点的横坐标．
5．（2022·江苏淮安·中考真题）在数学兴趣小组活动中，同学们对菱形的折叠问题进行了探究．如图（1），在菱形中，为锐角，为中点，连接，将菱形沿折叠，得到四边形，点的对应点为点，点的对应点为点．
(1)【观察发现】与的位置关系是______；
(2)【思考表达】连接，判断与是否相等，并说明理由；
(3)如图（2），延长交于点，连接，请探究的度数，并说明理由；
(4)【综合运用】如图（3），当时，连接，延长交于点，连接，请写出、、之间的数量关系，并说明理由．
6．（2022·江苏·苏州市吴江区铜罗中学九年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OC在x轴上，OA在y轴上，，，两动点P、Q分别从O、B两点同时出发，点P以每秒个单位长度的速度沿线段OC向点C运动，点Q以每秒2个单位长度的速度沿着线段BO向点O运动，当点P运动到点C时，P、Q同时停止，设这两个点运动时间为t （s），
(1)直接写出点A、B的坐标；
(2)当的面积为时，求t的值；
(3)在运动过程中，是否存在P、Q两点，使得沿它的一边翻折，翻折前后两个三角形组成的四边形为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
7．（2022·江苏·盐城市鹿鸣路初级中学九年级阶段练习）已知，如图：正方形ABCD，，动点E以个单位每秒的速度从点A出发向终点C运动，同时动点F以2个单位每秒的速度从点B出发，沿射线BC向右运动．当点E到达点C时，点E、点F同时停止运动．连接EF，以EF为直径作⊙O，该圆与直线AC的另一个交点为点G．设运动时间为t．
(1)当点F在BC边上运动时，如图①，
①填空：_____，_____（用含有t的代数式表示）；
②连接DE，DF，求证：△DEF是等腰直角三角形．
(2)在运动的过程中，线段EG的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出这个定值．
(3)在运动的过程中，要使得圆心O始终在正方形ABCD的内部（不含边界），请直接写出点t的取值范围．
8．（2022·江苏省南菁高级中学实验学校九年级阶段练习）如图，射线上有一点，点是射线上异于的一点，过作，且，过点作，交射线于在射线取点，使得，连接并延长，交射线于点设．
(1)当在点右侧时，求、的长；用关于的代数式表示，
(2)求当为何值时，是等腰三角形；
(3)设的长度为，请求出关于函数表达式，并写出自变量的取值范围．
9．（2022·江苏·淮安市淮安区教师发展中心学科研训处模拟预测）（1）如图1，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝39°，连接AC，BD交于点M．填空：的值为 ，∠AMB的度数为 ；
（2）如图2，在△OAB和△OCD中，∠AOB＝∠COD＝90°，∠OBA＝∠ODC＝60°，连接AC交BD的延长线于点M．请判断的值，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，将△OCD绕点O在平面内旋转，AC，BD所在直线交于点M，若OD＝1，OB＝；点Q为CD的中点，则在旋转的过程中，AQ的最大值为 ．
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