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初中数学苏科版九年级下册5.5 用二次函数解决问题精品练习
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这是一份初中数学苏科版九年级下册5.5 用二次函数解决问题精品练习，文件包含第11讲用二次函数解决问题3大考点解析版docx、第11讲用二次函数解决问题3大考点原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共93页， 欢迎下载使用。
第11讲 用二次函数解决问题（3大考点）
考点考向
二次函数综合应用主要考察学生灵活运用二次函数解析式及图像性质解决实际问题、代数问题和几何问题的综合能力，难点在于不同知识点的融会贯通， 是最近中考压轴题主要的考察题型之一．
二次函数的综合应用在中考中经常出现，常考的主要有以下几种类型：
（1）二次函数的生活应用问题，即实物抛物线型问题，若题 目中未给出坐标系，则需要建立坐标系求解，建立的原则：①所建立的坐标 系要使求出的二次函数表达式 比较简单；②使已知点所在的位置适当（如在x轴，y轴、原点、抛物线上等），方便求二次函数丶表达式和之后的计算求解 .
（2）二次函数的实际应用问题，即最值问题. 解决最值应用题要注意两点：
①设未知数，在 “当某某为何值时，什么最大（最小）”的设问中，“某某”要设为自变量，“什么”要设为函数；
②求解最值时，一定要考虑顶点（横、纵坐标）的取值是否在 自变量的取值范围内.
（3）二次函数的纯几何面积问题：由于面积等于两条边的乘积，所以几何问题的面积的最值问题通常会通过二次函数来解决.同样需注意自变量的取值范围.
（4）二次函数与一次函数相结合的应用型问题：分析问题中的数量关系，列出函数关系式；研究自变量的取值范围；确定所得的函数；检验 x的值是否在自 变量的取值范 围内，并求相关的值；解决提出的实际问题.
（5）二次函数的综合型问题，此类问题是每年中考必考题目，综合性非常强，常涉及等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、矩形、菱形、线段以及面积的最值问题.
考点精讲
一．根据实际问题列二次函数关系式（共3小题）
1．（2021秋•通州区期末）某商场第1年销售计算机5000台，如果每年的销售量比上一年增加相同的百分率x，第3年的销售量为y台，则y关于x的函数解析式为（ ）
A．y＝5000（1+2x） B．y＝5000（1+x）2
C．y＝5000+2x D．y＝5000x2
【分析】首先表示出第二年的销售量为5000（1+x），然后表示出第三年的销售量为5000（1+x）2，从而确定答案．
【解答】解：设每年的销售量比上一年增加相同的百分率x，
根据题意得：y＝5000（1+x）2，
故选：B．
【点评】本题考查了根据实际问题列二次函数的关系式，解题的关键是分别表示出第二年和第三年的销售量，难度中等．
2．（2021秋•阜宁县期末）一台机器原价50万元，如果每年的折旧率是x，两年后这台机器的价格为y万元，则y与x的函数关系式为 y＝50（1﹣x）2 ．
【分析】根据两年后机器价值＝机器原价值×（1﹣折旧率）2可得函数解析式．
【解答】解：根据题意，y与x的函数关系式为y＝50（1﹣x）2，
故答案为：y＝50（1﹣x）2．
【点评】本题主要考查根据实际问题列二次函数关系式，根据实际问题确定二次函数关系式关键是读懂题意，建立二次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定．
3．（2021秋•亭湖区校级期末）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m，水面宽4m．如图建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是 y＝﹣ ．
【分析】设出抛物线方程y＝ax2（a≠0）代入坐标求得a．
【解答】解：设出抛物线方程y＝ax2（a≠0），
由图象可知该图象经过（﹣2，﹣2）点，
故﹣2＝4a，
a＝﹣，
故y＝﹣．
【点评】本题主要考查二次函数的应用，借助二次函数解决实际问题．
二．二次函数的应用（共6小题）
4．（2022•无锡）某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为10m），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为1：2的矩形，已知栅栏的总长度为24m，设较小矩形的宽为xm（如图）．
（1）若矩形养殖场的总面积为36m2，求此时x的值；
（2）当x为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？
【分析】（1）根据题意知：较大矩形的宽为2xm，长为＝（8﹣x） m，可得（x+2x）×（8﹣x）＝36，解方程取符合题意的解，即可得x的值为2；
（2）设矩形养殖场的总面积是ym2，根据墙的长度为10，可得0＜x≤，而y＝（x+2x）×（8﹣x）＝﹣3x2+24x＝﹣3（x﹣4）2+48，由二次函数性质即得当x＝时，矩形养殖场的总面积最大，最大值为m2．
【解答】解：（1）根据题意知：较大矩形的宽为2xm，长为＝（8﹣x） m，
∴（x+2x）×（8﹣x）＝36，
解得x＝2或x＝6，
经检验，x＝6时，3x＝18＞10不符合题意，舍去，
∴x＝2，
答：此时x的值为2；
（2）设矩形养殖场的总面积是ym2，
∵墙的长度为10m，
∴0＜x≤，
根据题意得：y＝（x+2x）×（8﹣x）＝﹣3x2+24x＝﹣3（x﹣4）2+48，
∵﹣3＜0，
∴当x＝时，y取最大值，最大值为﹣3×（﹣4）2+48＝（m2），
答：当x＝时，矩形养殖场的总面积最大，最大值为m2．
【点评】本题考查一元二次方程和二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程及函数关系式．
5．（2022秋•如皋市校级月考）为了落实劳动教育，某学校邀请农科院专家指导学生进行小番茄的种植，经过试验，其平均单株产量y千克与每平方米种植的株数x（2≤x≤8，且x为整数）构成一种函数关系．每平方米种植2株时，平均单株产量为4千克；以同样的栽培条件，每平方米种植的株数每增加1株，单株产量减少0.5千克．
（1）求y关于x的函数表达式．
（2）每平方米种植多少株时，能获得最大的产量？最大产量为多少千克？
【分析】（1）由每平方米种植的株数每增加1株，单株产量减少0.5千克，即可得y＝4﹣0.5（x﹣2）＝﹣0.5x+5，
（2）设每平方米小番茄产量为W千克，由产量＝每平方米种植株数×单株产量即可列函数关系式，由二次函数性质可得答案．
【解答】解：（1）∵每平方米种植的株数每增加1株，单株产量减少0.5千克，
∴y＝4﹣0.5（x﹣2）＝﹣0.5x+5，
答：y关于x的函数表达式为y＝﹣0.5x+5，（2≤x≤8，且x为整数）；
（2）设每平方米小番茄产量为W千克，
根据题意得：W＝x（﹣0.5x+5）＝﹣0.5x2+5x＝﹣0.5（x﹣5）2+12.5，
∵﹣0.5＜0，
∴当x＝5时，W取最大值，最大值为12.5，
答：每平方米种植5株时，能获得最大的产量，最大产量为12.5千克．
【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．
6．（2022•淮安）端午节前夕，某超市从厂家分两次购进A、B两种品牌的粽子，两次进货时，两种品牌粽子的进价不变．第一次购进A品牌粽子100袋和B品牌粽子150袋，总费用为7000元；第二次购进A品牌粽子180袋和B品牌粽子120袋，总费用为8100元．
（1）求A、B两种品牌粽子每袋的进价各是多少元；
（2）当B品牌粽子销售价为每袋54元时，每天可售出20袋，为了促销，该超市决定对B品牌粽子进行降价销售．经市场调研，若每袋的销售价每降低1元，则每天的销售量将增加5袋．当B品牌粽子每袋的销售价降低多少元时，每天售出B品牌粽子所获得的利润最大？最大利润是多少元？
【分析】（1）A种品牌粽子每袋的进价是x元，B种品牌粽子每袋的进价是y元，根据两次进货情况，可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）根据：利润＝（每台实际售价﹣每台进价）×销售量，列函数关系式，配方成二次函数的顶点式可得函数的最大值；
【解答】解：（1）A种品牌粽子每袋的进价是x元，B种品牌粽子每袋的进价是y元，
根据题意得，，
解得，
答：A种品牌粽子每袋的进价是25元，B种品牌粽子每袋的进价是30元；
（2）设B品牌粽子每袋的销售价降低a元时，每天售出B品牌粽子所获得的利润最大，利润为w元，
根据题意得，w＝（54﹣a﹣30）（20+5a）＝﹣5a2+100a+480＝﹣5（a﹣10）2+980，
∵﹣5＜0，
∴当B品牌粽子每袋的销售价降低10元时，每天售出B品牌粽子所获得的利润最大，最大利润是980元．
【点评】本题主要考查二元一次方程组及二次函数的实际应用，理解题意准确抓住相等关系，据此列出方程或函数关系式是解题的关键．
7．（2022•淮阴区校级一模）近年来，电动车驾驶安全越来越被重视．某商店销售头盔，每个进价50元．经市场调研，当售价为60元时，每月可销售300个；售价每增加1元，销售量将减少10个．为了提高销售量，当售价为80元时，启用网络主播直播带货，此时售价每增加1元，需支付给主播300元．物价局对此头盔规定：售价最高不超过110元．如图中的折线ABC表示该品牌头盔的销售量y（单位：个）与售价x（单位：元）之间的函数关系．
（1）直接写出点B的坐标 （80，100） ，并求线段BC对应的函数表达式；
（2）启用网络主播直播带货后，当售价为多少元时，该商家获得的利润最大？最大利润是多少元？
【分析】（1）当x＝80时，y＝300﹣10×（80﹣60）＝100，即点B（80，100），设线段BC的表达式为：y＝kx+b，将点（80，100）、（110，250）代入上式，即可求解；
（2）当60≤x≤80时，w＝（x﹣50）（﹣10x+900）＝﹣10（x﹣70）2+4000，当80≤x≤110时，w＝（x﹣50）（5x﹣300）＝5（x﹣85）2+2875，分别求取最大值，即可求解．
【解答】解：（1）当x＝80时，y＝300﹣10×（80﹣60）＝100，即点B（80，100），
设线段BC的表达式为：y＝kx+b，
将点（80，100）、（110，250）代入上式得：，
解得，
故线段BC对应的函数表达式为：y＝5x﹣300；
故答案为：（80，100）；
（2）设启用网络主播直播带货后，获得的利润为w元，
当80≤x≤110时，w＝（x﹣50）（5x﹣300）﹣300（x﹣80）＝5（x﹣85）2+2875，当x＝110时，w取得最大值为6000，
故当80≤x≤85时，w随x的增大而减小，即w≤3000，
当85≤x≤110时，w随x的增大而增大，即w≤15250．
故当x＝110时，w的值最大；
综上，当售价为110元时，该商家获得的利润最大，最大利润为6000．
【点评】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值），也就是说二次函数的最值不一定在x＝﹣时取得．
8．（2022•如皋市二模）某商店销售一种商品，经市场调查发现：该商品的周销售量y（件）是售价x（元/件）的一次函数，其售价、周销售量、周销售利润w（元）的三组对应值如表：
售价x（元/件）
60
70
80
周销售量y（件）
100
80
60
周销售利润w（元）
2000
2400
2400
（1）求y关于x的函数解析式；
（2）直接写出该商品的进价，并求出该商品周销售利润的最大值；
（3）由于某种原因，该商品进价提高了m元/件（m＞0），物价部门规定该商品售价不得超过70元/件，该商店在今后的销售中，周销售量与售价仍然满足（1）中的函数关系．若周销售最大利润是2000元，求m的值．
【分析】（1）依题意设y＝kx+b，解方程组即可得到结论；
（2）该商品进价是50﹣1000÷100＝40，设每周获得利润w＝（x﹣40）（﹣2x+220），再利用二次函数的性质可得到结论；
（2）根据题意得，w＝（x﹣40﹣m）（﹣2x+220）＝﹣2x2+（300+2m）x﹣8800﹣220m，把x＝70，w＝2000代入函数解析式，解方程即可得到结论．
【解答】解：（1）依题意设y＝kx+b，
则有，
解得：，
所以y关于x的函数解析式为y＝﹣2x+220；
（2）该商品进价是60﹣2000÷100＝40，
设每周获得利润为w元，
则有w＝（x﹣40）（﹣2x+220）＝﹣2x2+300x﹣8800＝﹣2（x﹣75）2+1450，
∴当售价是75元/件时，周销售利润的最大利润是2450元；
（3）根据题意得，w＝（x﹣40﹣m）（﹣2x+220）＝﹣2x2+（300+2m）x﹣8800﹣220m，
∵﹣2＜0，对称轴x＞75，
∴抛物线的开口向下，
∵x≤70，∴w随x的增大而增大，
当x＝70时，w最大＝2000，
即﹣2×702+（300+2m）×70﹣8800﹣220m＝2000，
解得：m＝5．
【点评】本题考查了二次函数在实际生活中的应用，重点是掌握求最值的问题．注意：数学应用题来源于实践，用于实践，在当今社会市场经济的环境下，应掌握一些有关商品价格和利润的知识，总利润等于总收入减去总成本，然后再利用二次函数求最值．
9．（2022春•江阴市校级月考）据统计，某景区仅有A，B两个景点，售票处出示的三种购票方式如表所示：
购票方式
甲
乙
丙
可游玩景点
A
B
A和B
门票价格
100元/人
80元/人
160元/人
据预测，六月份选择甲、乙、丙三种购票方式的人数分别有2万、3万和2万．并且当甲、乙两种门票价格不变时，丙种门票价格每下降1元，将有600人原计划购买甲种门票的游客和400人原计划购买乙种门票的游客改为购买丙种门票．
①若丙种门票价格下降10元，求景区六月份的门票总收入；
②问：将丙种门票价格下降多少元时，景区六月份的门票总收入有最大值？最大值是多少万元？
【分析】①根据题意丙种门票价格下降10元，列式100×（2﹣10×0.06）+80×（3﹣10×0.04）+（160﹣10）×（2+10×0.06+10×0.04）计算，即可求景区六月份的门票总收入；
②设丙种门票价格降低m元，景区六月份的门票总收入为W万元，由题意可得W＝100（2﹣0.06x）+80（3﹣0.04x）+（160﹣x）（2+0.06x+0.04x），化简得W＝﹣0.1（x﹣24）2+817.6，然后根据二次函数的性质即可得结果．
【解答】解：①由题意得：
100×（2﹣10×0.06）+80×（3﹣10×0.04）+（160﹣10）×（2+10×0.06+10×0.04）＝798（万元）．
答：景区六月份的门票总收入为798万元；
②设丙种门票价格降低x元，景区六月份的门票总收入为W万元，
由题意，得
W＝100（2﹣0.06x）+80（3﹣0.04x）+（160﹣x）（2+0.06x+0.04x），
化简，得W＝﹣0.1（x﹣24）2+817.6，
∵﹣0.1＜0，
∴当x＝24时，W取最大值，为817.6万元．
答：当丙种门票价格下降24元时，景区六月份的门票总收入有最大值，最大值是817.6万元．
【点评】本题考查了二次函数的应用，解决本题的关键是掌握二次函数的应用．
三．二次函数综合题（共7小题）
10．（2022秋•启东市校级月考）已知二次函数y＝x2+x﹣（m为常数）．
（1）若该二次函数的图象经过点（1，2m），求m的值；
（2）求证：无论m取何值，二次函数y＝x2+x﹣的图象与x轴必有两个交点；
（3）若平行于x轴的直线与该二次函数的图象交于点A，B，且点A，B的横坐标之和大于1，求m的取值范围．
【分析】（1）把点（1，2m）代入抛物线解析式即可得解；
（2）计算判别式的值得到Δ＝+2，利用非负数的性质得到Δ＞0，然后根据判别式的意义得到结论；
（3）将平行于x轴的直线y＝n与抛物线联立得出关于x的方程，由其交点的横坐标之和大于1可得出有关m的不等式，即可求解．
【解答】（1）解：把点P（1，2m）代入抛物线y＝x2+x﹣中，得
1+＝2m，
解得：m＝；
（2）证明：∵Δ＝b2﹣4ac＝（）2﹣4×1×（﹣）
＝+2，
∵无论m取何值，m2≥0，
∴+2＞0，
∴二次函数y＝x2+x﹣图象与x轴必有两个交点．
（3）解：设平行于x轴的直线为y＝n，
∵直线y＝n与该二次函数的图象交于点A，B，
∴，
整理得，x2+x﹣﹣n＝0，
若x1，x2是方程x2+x﹣﹣n＝0的两根，则x1，x2是直线与抛物线交点A，B的横坐标，
∴x1+x2＝﹣，
由题意得，﹣＞1，
解得，m＜﹣2．
∴m的取值范围是m＜﹣2．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质；要求学生会利用判别式判断抛物线与x轴的交点情况以及灵活运用根与系数的关系解题．
11．（2022秋•启东市校级月考）定义：在平面直角坐标系中，图形G上点P（x，y）的纵坐标y与其横坐标x的差y﹣x称为P点的“坐标差”，记作Zp，而图形G上所有点的“坐标差”中的最大值称为图形G的“共享值”．
（1）①点A（5，﹣1）的“坐标差”为 ﹣6 ；
②求抛物线y＝﹣x2+7x的“共享值”；
（2）某二次函数y＝﹣x2+bx+c（c≠0）的“共享值”为﹣1，点B（m，0）与点C分别是此二次函数的图象与x轴和y轴的交点，且点B与点C的“坐标差”相等．
①直接写出m＝ ﹣c ；（用含c的式子表示）
②求此二次函数的解析式．
（3）如图，在平面直角坐标系xOy中，O为原点，点D（4，0），以OD为直径作⊙M，直线y＝x+b与⊙M相交于点E，F．请直接写出⊙M的“共享值”为 2﹣2 ．
【分析】（1）①根据“坐标差”定义即可求；
②根据“共享值”定义，利用二次函数的性质求最值即可；
（2）①根据点B与点C的“坐标差”相等，推出B（﹣c，0），②将B点坐标代入抛物线解析式可得﹣c2﹣bc+c＝0，根据二次函数y＝﹣x2+bx+c（c≠0）的“共享值”为﹣1，可求出b的值，进而确定函数解析式；
（3）利用一次函数图象上点的坐标特征可设点E的坐标为（xE，xE+b），点F的坐标为（xF，xF+b），结合“坐标差”的定义可得出ZE＝ZF，作直线y＝x+n（n＞0）与⊙M相切，设切点为N，该直线与x轴交于点Q，利用等腰直角三角形的性质可求出点Q的坐标，再利用待定系数法可求出n值，结合“共享值”的定义即可找出⊙M的“共享值”．
【解答】解：（1）①点A（5，﹣1）的“坐标差”为﹣1﹣5＝﹣6，
故答案为：﹣6；
②设P（x，y）是抛物线y＝﹣x2+7x上一点，
坐标差＝﹣x2+7x﹣x＝﹣x2+6x＝﹣（x﹣3）2+9，最大值为9，
所以抛物线y＝﹣x2+7x的“共享值”为9；
（2）①由题知C（0，c），
∵点B与点C的“坐标差”相等，
∴B（﹣c，0），
故答案为：﹣c；
②将B点坐标代入抛物线解析式，
得﹣c2﹣bc+c＝0，
∴c＝1﹣b或0（舍去），
∵二次函数y＝﹣x2+bx+c（c≠0）的“共享值”为﹣1，
∴y﹣x＝﹣x2+（b﹣1）x+1﹣b的最大值为﹣1，
∴＝﹣1，
解得b＝3，
∴c＝﹣2，
∴二次函数的表达式为y＝﹣x2+3x﹣2；
（3）∵点E，F在直线y＝x+b上，
∴设点E的坐标为（xE，xE+b），点F的坐标为（xF，xF+b），
∴ZE＝xE+b﹣xE＝b，ZF＝xF+b﹣xF＝b，
∴ZE＝ZF．
作直线y＝x+n（n＞0）与⊙M相切，设切点为N，该直线与x轴交于点Q，如图所示．
∵y﹣x＝x+n﹣x＝n，
∴当直线y＝x+n（n＞0）与⊙M相切时，y﹣x的值为⊙M的“共享值”．
∵∠NQM＝45°，MN⊥NQ，MN＝2，
∴△MNQ为等腰直角三角形，
∴MQ＝2，
∴点Q的坐标为（2﹣2，0）．
将Q（2﹣2，0）代入y＝x+n，得：0＝2﹣2+n，
解得：n＝2﹣2，
∴⊙M的“共享值”为2﹣2．
故答案为：2﹣2．
【点评】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数解析式、待定系数法求一次函数解析式、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、一次函数图象上点的坐标特征以及等腰直角三角形，解题的关键是：（1）①利用“坐标差”的定义求出点A的“坐标差”；②利用二次函数的性质求出y﹣x的最值；（2）①利用“坐标差”的定义找出m，c的关系；②利用待定系数法结合“共享值”的定义，找出关于b的方程；（3）①利用一次函数图象上点的坐标特征设出点E，F的坐标；②利用切线的性质，找出⊙M上“坐标差”最大的点．
12．（2022•淮安）如图（1），二次函数y＝﹣x2+bx+c的图像与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，3），直线l经过B、C两点．
（1）求该二次函数的表达式及其图像的顶点坐标；
（2）点P为直线l上的一点，过点P作x轴的垂线与该二次函数的图像相交于点M，再过点M作y轴的垂线与该二次函数的图像相交于另一点N，当PM＝MN时，求点P的横坐标；
（3）如图（2），点C关于x轴的对称点为点D，点P为线段BC上的一个动点，连接AP，点Q为线段AP上一点，且AQ＝3PQ，连接DQ，当3AP+4DQ的值最小时，直接写出DQ的长．
【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）设P（t，﹣t+3），则M（t，﹣t2+2t+3），N（2﹣t，﹣t2+2t+3），则PM＝|t2﹣3t|，MN＝|2﹣2t|，由题意可得方程|t2﹣3t|＝|2﹣2t|，求解方程即可；
（3）由题意可知Q点在平行于BC的线段上，设此线段与x轴的交点为G，由QG∥BC，求出点G（2，0），作A点关于GQ的对称点A'，连接AD与AP交于点Q，则3AP+4DQ＝4（DQ+AP）＝4（DQ+AQ）≥4A'D，利用对称性和∠OBC＝45°，求出A'（2，3），求出直线DA'的解析式和直线QG的解析式，联立方程组，可求点Q（，），再求DQ＝．
【解答】解：（1）将点B（3，0），C（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c，
∴，
解得，
∴y＝﹣x2+2x+3，
∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴顶点坐标（1，4）；
（2）设直线BC的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得，
∴y＝﹣x+3，
设P（t，﹣t+3），则M（t，﹣t2+2t+3），N（2﹣t，﹣t2+2t+3），
∴PM＝|t2﹣3t|，MN＝|2﹣2t|，
∵PM＝MN，
∴|t2﹣3t|＝|2﹣2t|，
解得t＝1+或t＝1﹣或t＝2+或t＝2﹣，
∴P点横坐标为1+或1﹣或2+或2﹣；
（3）∵C（0，3），D点与C点关于x轴对称，
∴D（0，﹣3），
令y＝0，则﹣x2+2x+3＝0，
解得x＝﹣1或x＝3，
∴A（﹣1，0），
∴AB＝4，
∵AQ＝3PQ，
∴Q点在平行于BC的线段上，设此线段与x轴的交点为G，
∴QG∥BC，
∴＝，
∴＝，
∴AG＝3，
∴G（2，0），
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝45°，
作A点关于GQ的对称点A'，连接AD与AP交于点Q，
∵AQ＝A'Q，
∴AQ+DQ＝A'Q+DQ≥A'D，
∴3AP+4DQ＝4（DQ+AP）＝4（DQ+AQ）≥4A'D，
∵∠QGA＝∠CBO＝45°，AA'⊥QG，
∴∠A'AG＝45°，
∵AG＝A'G，
∴∠AA'G＝45°，
∴∠AGA'＝90°，
∴A'（2，3），
设直线DA'的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得，
∴y＝3x﹣3，
同理可求直线QG的解析式为y＝﹣x+2，
联立方程组，
解得，
∴Q（，），
∴DQ＝．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，利用轴对称求最短距离的方法，解绝对值方程，待定系数法求函数的解析式是解题的关键．
13．（2022•钟楼区校级模拟）如图，已知抛物线y＝ax2+2ax+c（a＜0）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，AO＝CO，过点B的直线l与抛物线交于点D，与y轴交于点F．该抛物线的对称轴EG交直线l于点E，与x轴交于点G，且DE：EF：FB＝1：1：1．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点M为抛物线上一点，∠MDB＝2∠BCO，求点M的坐标；
（3）已知点P为抛物线对称轴上的点，满足在直线BD上存在唯一的点Q，使得∠PQG＝45°，求点P的坐标．
【分析】（1）过点D作DH⊥x轴交于H，可知DH∥EG∥FO，则HG＝GO＝OB，设OB＝t，求出A（﹣3t，0），B（t，0），C（0，3t），再由待定系数法求函数的解析式即可；
（2）设BD与y轴的交点为H，直线DM与y轴交点为F，过点F作FE⊥BD交于E，在OC上截取CG＝BG，则tan∠OGB＝tan∠FDB＝＝，设EF＝3a，则ED＝4a，求出直线BD的解析式可得∠OHB＝45°，GH＝，则EF＝EH＝3a，由此得DH＝2＝7a，进而求出F（0，），在求出直线DM的解析式为，通过联立方程组，求出M（，）；作F点关于直线BD的对称点N，设N（m，n），可得＝﹣+1①，（m+2）2+（n﹣3）2＝4+（﹣3）2②，联立①②可得，可求直线DN的解析式为y＝﹣7x﹣11，再联立方程组，能求出M（7，﹣60）；
（3）作P、Q、G三点的外接圆R，过点R作RH⊥PG交于R，则△PRG是等腰直角三角形，由题意可知圆R与直线BD相切，切点为Q，设P（﹣1，2m），则R（﹣1+m，m），再由S△BEG＝S△BER+S△GER+S△BGR，求m＝2﹣，可得P（﹣1，4﹣2）；当P点与E点重合，Q点与B点重合时，P（﹣1，2）；当P点关于x轴对称时，P（﹣1，﹣2）；Q点与直线BD与y轴的交点（0，1）重合时，∠PQG＝45°，P（﹣1，1）．
【解答】解：（1）过点D作DH⊥x轴交于H，
∴DH∥EG∥FO，
∵DE：EF：FB＝1：1：1，
∴HG＝GO＝OB，
设OB＝t，
∴BG＝2t，
∵EG是对称轴，
∴AO＝3t，
∵OC＝AO，
∴CO＝3t，
∴A（﹣3t，0），B（t，0），C（0，3t），
将A、B、C三点代入y＝ax2+2ax+c，
∴，
解得，
∴y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）由（1）可知，B（1，0），C（0，3），A（﹣3，0），D（﹣2，3），
设BD与y轴的交点为H，直线DM与y轴交点为F，过点F作FE⊥BD交于E，在OC上截取CG＝BG，
∴∠GCB＝∠CBG，
∴∠OGB＝2∠OCB，
∵∠MDB＝2∠BCO，
∴∠MDB＝∠OGB，
∴CO＝3，
∴OG＝3﹣CG，
在Rt△OBG中，CG2＝1+（3﹣GC）2，
解得CG＝，
∴OG＝，
∴tan∠OGB＝，
∴tan∠FDB＝＝，
设EF＝3a，则ED＝4a，
设直线BD的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得，
∴y＝﹣x+1，
∴H（0，1），
∴OH＝OB＝1，
∴∠OHB＝45°，GH＝，
∴EF＝EH＝3a，
∴BD＝3，
∴DH＝2＝7a，
∴a＝，
∴EF＝，
∴FH＝，
∴F（0，），
设直线DM的解析式为y＝k'x+b'，
∴，
解得，
∴y＝﹣x+，
联立方程组，
解得或，
∴M（，）；
作F点关于直线BD的对称点N，设N（m，n），
∴FN的中点为（，），
∴＝﹣+1①，
∵DN＝DF，
∴（m+2）2+（n﹣3）2＝4+（﹣3）2②，
联立①②可得，
可求直线DN的解析式为y＝﹣7x﹣11，
联立方程组，
解得或，
∴M（7，﹣60）；
综上所述：M点坐标为（，）或（7，﹣60）；
（3）作P、Q、G三点的外接圆R，过点R作RH⊥PG交于R，
∵∠PQG＝45°，
∴∠PRG＝90°，
∵PR＝RG，
∴△PRG是等腰直角三角形，
∵在直线BD上存在唯一的点Q，
∴圆R与直线BD相切，切点为Q，
设P（﹣1，2m），
∵RP＝HR＝HG＝m，
∴R（﹣1+m，m），
∴S△BEG＝S△BER+S△GER+S△BGR
＝×BR×m+BG×m+EG×m
＝m×（BE+BG+EG）
＝GE×BG，
∵B（1，0），E（﹣1，2），G（﹣1，0），
∴BE＝2，GB＝2，GE＝2，
∴m×（4+2）＝2×2，
解得m＝2﹣，
∴P（﹣1，4﹣2）；
当P点与E点重合，Q点与B点重合时，∠PQG＝45°，
∴P（﹣1，2）；
当P点关于x轴对称时，P（﹣1，﹣2）；
Q点与直线BD与y轴的交点（0，1）重合时，∠PQG＝45°，
∴P（﹣1，1）；
综上所述：P点坐标为（﹣1，4﹣2）或（﹣1，2）或（﹣1，﹣2）或（﹣1，1）．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，三角形外接圆的性质，等腰直角三角形的性质是解题的关键．
14．（2022秋•通州区校级月考）平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣2mx+m2+2m+2与x轴有两个交点．
（1）当m＝﹣2时，求抛物线与x轴交点的坐标；
（2）过点P（0，m﹣1）作直线l⊥y轴，抛物线的顶点A在直线l与x轴之间（不包含点A在直线l上），求m的范围；
（3）在（2）的条件下，设抛物线的对称轴与直线l相交于点B，求△ABO的面积最大时m的值．
【分析】（1）将m＝﹣2代入y＝x2﹣2mx+m2+2m+2中，令y＝0可得结论；
（2）先根据抛物线与x轴有两个交点可知Δ＞0，根据配方法可得点A的坐标，并根据已知列不等式可得结论；
（3）根据三角形面积公式并结合配方法可得结论．
【解答】解：（1）当m＝﹣2时，y＝x2+4x+4﹣4+2＝x2+4x+2，
当y＝0时，x2+4x+2＝0，
解得：x＝﹣2，
∴抛物线与x轴交点的坐标为（﹣2+，0）和（﹣2﹣，0）；
（2）如图1，∵抛物线y＝x2﹣2mx+m2+2m+2与x轴有两个交点，
∴Δ＝4m2﹣4×1×（m2+2m+2）＞0，
∴m＜﹣1，
∵y＝x2﹣2mx+m2+2m+2＝（x﹣m）2+2m+2，
∴顶点A的坐标为（m，2m+2），
∵过点P（0，m﹣1）作直线l⊥y轴，抛物线的顶点A在直线l与x轴之间（不包含点A在直线l上），
∴2m+2＞m﹣1，
∴m＞﹣3，
∴m的范围是：﹣3＜m＜﹣1；
（3）如图2，∵顶点A的坐标为（m，2m+2），P（0，m﹣1），
∴AB＝2m+2﹣（m﹣1）＝m+3，
∵△ABO的面积＝•AB•PB＝•（m+3）•（﹣m）＝﹣（m+）2+，
当m＝﹣时，△ABO的面积有最大值．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了抛物线与x轴的交点，配方法的应用，根的判别式，最大值问题等知识，解题的关键是运用数形结合的思想，并结合配方法解决最大值问题．
15．（2022秋•通州区校级月考）定义：若两个函数的图象关于某一点Q中心对称，则称这两个函数关于点Q互为“对称函数”．例如，函数y＝x2与y＝﹣x2关于原点O互为“对称函数”．
（1）函数y＝﹣x+1关于原点O的“对称函数”的函数解析式为 y＝x﹣1 ，函数y＝（x﹣2）2﹣1关于原点O的“对称函数”的函数解析式为 y＝﹣（x﹣2）2﹣1 ；
（2）已知函数y＝x2﹣2x与函数G关于点Q（0，1）互为“对称函数”，若函数y＝x2﹣2x与函数G的函数值y都随自变量x的增大而减小，求x的取值范围；
（3）已知点A（0，1），点B（4，1），点C（2，0），二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0），与函数N关于点C互为“对称函数”，将二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）与函数N的图象组成的图形记为W，若图形W与线段AB恰有2个公共点，直接写出a的取值范围．
【分析】（1）结合新定义利用待定系数法解答即可；
（2）利用数形结合的方法结合图象，利用新定义的规定解得即可；
（3）利用分类讨论的方法分三种情况解答：①当“对称函数”的顶点在AB上时，求得函数N的顶点坐标，利用对称性求得对称点的坐标，利用待定系数法即可求解；②当两个函数的交点在AB上时，利用两函数与x轴的交点坐标，求函数N的解析式，令y＝1，即可求得a值；③当“对称函数”经过点B时，将坐标代入函数N的解析式即可确定a的取值范围．
【解答】解：（1）∵两个函数是关于原点O的“对称函数”，
∴两个函数的点分别关于原点中心对称，
设函数y＝x+1上的任一点为（x，y），则它的对称点为（﹣x，﹣y），
将（﹣x，﹣y）代入函数y＝x+1得：
﹣y＝﹣x+1，
∴y＝x﹣1．
函数y＝x+1关于原点O的“对称函数”的函数解析式为y＝x﹣1；
同理可得，函数y＝（x﹣2）2+1关于原点O的“对称函数”的函数解析式为y＝﹣（x+2）2﹣1，
故答案为：y＝x﹣1；y＝﹣（x+2）2﹣1；
（2）函数G的解析式为y＝﹣（x+1）2+3，
如图，函数y＝x2﹣2x与函数G的函数值y都随自变量x的增大而减小，
∵“对称函数”的开口方向向下，
∴在对称轴的右侧y随自变量x的增大而减小，
函数y＝x2﹣2x在对称轴的左边y随自变量x的增大而减小，
∴函数y＝x2﹣2x与函数G的函数值y都随自变量x的增大而减小，自变量x的取值范围为﹣1＜x＜1；
（3）①当“伴随函数”的顶点在AB上时，如图，
∵y＝ax2﹣2ax﹣3a＝a（x﹣1）2﹣4a，
∴二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a的对称轴为直线x＝1，
∵点C（2，0）为对称中心，
∴函数N的对称轴为直线x＝3，
∴函数N的顶点坐标为（3，1），
∵（3，1）关于点C（2，0）对称的点为（1，﹣1），
∴将（1，﹣1）代入y＝ax2﹣2ax﹣3a得：
a﹣2a﹣3a＝﹣1，
∴a＝；
②当两个函数的交点在AB上时，如图，
二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a与x轴的交点为（﹣1，0）和（3，0），
∵点C（2，0）为对称中心，
∴函数N与x轴的交点为（5，0）和（1，0），
∴函数N的解析式为y＝﹣ax2+6ax﹣5a，
当y＝1时，
，
解得：a＝；
③当“伴随函数”经过点B时，如图，
∵点B（4，1），
∴1＝﹣a×16+6a×4﹣5a，
解得：a＝．
综上，图形W与线段AB恰有2个公共点，a的取值范围为a＝或a＝或a＞．
【点评】本题主要考查了待定系数法，二次函数的性质，抛物线与x轴的交点，中心对称图形的性质，抛物线上点的坐标的特征，本题是新定义型题目，理解新定义并熟练应用以及熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
16．（2022•天宁区校级二模）如图1，抛物线y＝x2+bx+c，点A（4，﹣3），对称轴是直线x＝2．顶点为D．抛物线与y轴交于点C，连接AC，过点A作AB⊥x轴于点B，点E是线段AC上的动点（点E不与A、C两点重合）．
（1）求抛物线的函数解析式和顶点D的坐标；
（2）若直线DE将四边形OBAC分成面积比为1：3的两个四边形，求点E的坐标；
（3）如图2，连接BE，作矩形BEFG，在点E的运动过程中，是否存在点G落在y轴上的同时点F也恰好落在抛物线上？若存在，求出此时AE的长；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）利用对称轴公式求出b＝﹣2，再将点A（4，﹣3）代入y＝x2﹣x+c，即可求函数的解析式；
（2）设E（t，﹣3），求出直线DE的解析式，设直线ED与x轴的交点为F，则F（4t﹣6，0），分两种情况讨论：当S梯形OCEF＝S矩形OCAB时，E（，﹣3）；当S梯形OCEF＝S矩形OCAB时，E（，﹣3）；
（3）过点F作MN∥y轴，过点G作GM⊥MN交于M，过点C作CN⊥MN交于N，设E（t，﹣3），分别证明△MGF≌△AEB（AAS），△MFG∽△NEF，从而求出F（t﹣4，），再将F代入抛物线的解析式即可求t＝，再求AE的长即可．
【解答】解：（1）∵抛物线的对称轴为直线x＝2，
∴﹣＝2，
解得b＝﹣1，
∴y＝x2﹣x+c，
将点A（4，﹣3）代入y＝x2﹣x+c，
∴4﹣4+c＝﹣3，
解得c＝﹣3，
∴y＝x2﹣x﹣3，
∵y＝x2﹣x﹣3＝（x﹣2）2﹣4，
∴顶点D（2，﹣4）；
（2）令x＝0，则y＝﹣3，
∴C（0，﹣3），
∵AB⊥x轴，
∴B（4，0），
设E（t，﹣3），
设直线DE的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得，
∴y＝x+，
设直线ED与x轴的交点为F，则F（4t﹣6，0），
当S梯形OCEF＝S矩形OCAB时，
∴×（4t﹣6+t）×3＝3×4×，
解得t＝，
∴E（，﹣3）；
当S梯形OCEF＝S矩形OCAB时，
∴×（4t﹣6+t）×3＝3×4×，
解得t＝，
∴E（，﹣3）；
综上所述：E点坐标为（，﹣3）或（，﹣3）；
（3）存在点G落在y轴上的同时点F也恰好落在抛物线上，理由如下：
过点F作MN∥y轴，过点G作GM⊥MN交于M，过点C作CN⊥MN交于N，
∵四边形BEFG是矩形，
∴∠GFE＝∠FEB＝90°，
∴∠MFG+∠NFE＝90°，∠MGF+∠MFG＝90°，
∴∠MGF＝∠NFE，
∵∠FEN+∠BEA＝90°，∠FEN+∠EFN＝90°，
∴∠BEA＝∠EFN，
∴∠MGF＝∠BEA，
∵FG＝BE，
∴△MGF≌△AEB（AAS），
∴MG＝AE，MF＝AB，
设E（t，﹣3），
∴AE＝4﹣t＝MG，AB＝3＝MF，
∵△MFG∽△NEF，
∴＝，即＝，
∴FN＝，
∴F（t﹣4，），
∵F在抛物线上，
∴（t﹣4）2﹣（t﹣4）﹣3＝，
解得t＝4或t＝，
∴点E不与A、C两点重合，
∴t＝，
∴AE＝4﹣＝．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，三角形全等的判定及性质，三角形相似的判定及性质是解题的关键．
巩固提升
一、单选题
1．（2021·江苏省天一中学三模）为了减少空气污染，国家要求限制塑料玩具生产，这样有时企业会被迫停产，经过调研预测，某塑料玩具生产公司一年中每月获得的利润y（万元）和月份n之间满足函数关系式y＝﹣n2+14n﹣24，则没有盈利的月份为（ ）
A．2月和12月 B．2月至12月 C．1月 D．1月、2月和12月
【答案】D
【分析】根据题意可知没有盈利时，利润为0和小于0的月份都不合适，从而可以解答本题．
【详解】解：∵y=-n2+14n-24=-（n-2）（n-12），1≤n≤12且n为整数，
∴当y=0时，n=2或n=12，
当y＜0时，n=1，
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
2．（2021·江苏·吴江经济技术开发区实验初级中学九年级月考）如图，正方形边长为4，、、、分别是、、、上的点，且．设、两点间的距离为，四边形的面积为，则与的函数图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了动点的函数图象，先判定图中的四个小直角三角形全等，再用大正方形的面积减去四个直角三角形的面积，得函数y的表达式，结合选项的图象可得答案．
【详解】解：∵正方形ABCD边长为4，AE=BF=CG=DH
∴AH=BE=CF=DG，∠A=∠B=∠C=∠D
∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG
∴y=4×4-x（4-x）×4
=16-8x+2x2
=2（x-2）2+8
∴y是x的二次函数，函数的顶点坐标为（2，8），开口向上，
从4个选项来看，开口向上的只有A和B，C和D图象开口向下，不符合题意；
但是B的顶点在x轴上，故B不符合题意，只有A符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，正确地写出函数解析式并数形结合分析是解题的关键．
3．（2021·江苏·苏州市振华中学校九年级月考）苏州市“东方之门”是由两栋超高层建筑组成的双塔连体建筑，“门”的造型是东方之门的立意基础，“门”的内侧曲线呈抛物线型，如图1，两栋建筑第八层由一条长60m的连桥连接，在该抛物线两侧距连桥150m处各有一窗户，两窗户的水平距离为30m，如图2，则此抛物线顶端O到连桥AB距离为（ ）
A．180m B．200m C．220m D．240m
【答案】B
【分析】以所在的直线为轴，以线段的垂直平分线所在的直线为轴建立平面直角坐标系，用待定系数法求得抛物线的解析式，则可知顶点的坐标，从而可得此抛物线顶端到连桥距离．
【详解】解：以所在的直线为轴，以线段的垂直平分线所在的直线为轴建立平面直角坐标系：
，，，
设抛物线的解析式为，将代入，得：
，
解得：，
，
抛物线顶端的坐标为，
此抛物线顶端到连桥距离为．
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，数形结合、熟练掌握待定系数法是解题的关键．
4．（2021·江苏吴中·二模）用一段长为20m的篱笆围成一个矩形菜园，设菜园的对角线长为xm，面积为ym2，则y与x的函数图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】设矩形的长为am，宽为bm，可得a+b＝10（m），由菜园的对角线长为xm，根据勾股定理a2+b2＝x2，由三角形成立条件与两数差平方非负性可得，由公式配方可得即可．
【详解】解：设矩形的长为am，宽为bm，
根据题意，得a+b＝20÷2＝10（m），
∵菜园的对角线长为xm，
∴a2+b2＝x2，
∵x，，
∴x2=a2+b2≥,仅当取等号，
∴x2≥2×5×5，
∴x≥，
，
∵（a+b）2＝a2+2ab+b2，
∴102＝x2+2ab，
∴，
∴0≤y＜25，且x＝时，y＝25，
∴y与x函数图象是二次函数的图象，即开口方向向下的抛物线．
故选：B．
【点睛】本题考查列二次函数解析式，自变量取值范围，完全平方公式，矩形面积，掌握列二次函数解析式，自变量取值范围，完全平方公式，矩形面积是解题关键．
5．（2021·江苏吴江·二模）用一段长为的篱笆围成一个矩形菜园，设菜园的对角线长为，面积为，则y与x的函数图像大致是（ ）
A． B．C． D．
【答案】B
【分析】设矩形的长为am，宽为bm，根据矩形的性质可得a+b=10，根据勾股定理可得a、b、x的关系，从而得出y与x的函数关系式，然后问题可求解．
【详解】解：设矩形的长为am，宽为bm，由题意得：，
∵菜园的对角线长为，
∴，
∴a2+（10-a）2=x2，
整理，得2a2-20a+100=x2，
易得≤x＜10，
∵（a+b）2=a2+2ab+b2，
∴102=x2+2ab，
∴，
∴0≤y＜25，且x=时，y=25，
∴y与x函数图象是二次函数的图象，即开口向下的抛物线；
故选B．
【点睛】本题主要考查二次函数的实际应用，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
6．（2021·江苏昆山·九年级期中）如图①，“东方之门”通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了苏州的历史文化．如图②，“门”的内侧曲线呈抛物线形，已知其底部宽度为80米，高度为200米．则离地面150米处的水平宽度（即CD的长）为（ ）
A．40米 B．30米 C．25米 D．20米
【答案】A
【分析】以底部所在的直线为轴，以线段的垂直平分线所在的直线为轴建立平面直角坐标系，用待定系数法求得外侧抛物线的解析式，则可知点、 的横坐标，从而可得的长．
【详解】解：以底部所在的直线为轴，以线段的垂直平分线所在的直线为轴建立平面直角坐标系：
，，
设抛物线的解析式为，将代入，得：
，
解得：，
抛物线的解析式为，
将代入得：，
解得：，
，，
，
故选：
【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，数形结合、熟练掌握待定系数法是解题的关键．
7．（2021·江苏海安·九年级期中）如图，在矩形中，，，动点P，Q同时从点A出发，点P沿A→B→C的路径运动，点Q沿A→D→C的路径运动，点P，Q的运动速度相同，当点P到达点C时，点Q也随之停止运动，连接．设点P的运动路程为x，为y，则y关于x的函数图象大致是（ ）
A． B．
C．D．
【答案】C
【分析】分0≤x≤3，3＜x≤4，4＜x≤7三种情况，分别画出图形，列出函数关系式，根据函数图象与性质逐项排除即可求解．
【详解】解：如图1，当0≤x≤3时，，
∴A选项错误，不合题意；
如图2，当3＜x≤4时，作QE⊥AB于E，，
∴B选项错误，不合题意；
如图3，当4＜x≤7时，，
∴选项D错误，不合题意．
故选：C
【点睛】本题为根据点的运动确定函数图象，考查了分类讨论、列函数解析式，二次函数图象、勾股定理等知识，综合性较强，根据题意分类讨论，列出函数关系式是解题关键．
二、填空题
8．（2017·江苏·创新外国语学校九年级月考）某种商品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元（，且x为整数）出售，可卖出件，若使利润最大，则每件商品的售价应为_______元．
【答案】25
【分析】本题是营销问题，基本等量关系：利润=每件利润×销售量，每件利润=每件售价-每件进价．再根据所列二次函数求最大值．
【详解】解：设利润为w元，
则w=（x-20）（30-x）=-（x-25）2+25，
∵20≤x≤30，
∴当x=25时，二次函数有最大值25，
故答案是：25．
【点睛】本题考查了把实际问题转化为二次函数，再利用二次函数的性质进行实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．
9．（2021·江苏昆山·九年级期中）如图，长为9cm，宽为6cm的大矩形被分割为7个小矩形，除矩形A，B（阴影部分）外，其余5块是形状、大小完全相同的小矩形则矩形A与矩形B面积和的最小值是____．
【答案】
【分析】设其余5块形状、大小完全相同的小矩形的短边为x，根据图形表示出矩形A与矩形B面积，求出面积和的表达式，根据二次函数的性质求解即可．
【详解】解：设其余5块形状、大小完全相同的小矩形的短边为x，
根据图中各边关系可得：
，
，
∴，
当时，，符合题意，
∴矩形A与矩形B面积和的最小值为：，
故答案为：．
【点睛】题目主要考查了矩形的性质、二次函数的应用及最值问题，理解题意，表示出两个矩形的面积是解题关键．
10．（2021·江苏昆山·一模）如图，矩形中AB＝2，AD＝5，动点P从点A出发，以1 cm/s的速度沿AD向终点D移动，设移动时间为t（s）．连接PC，以PC为一边作正方形PCEF，连接DE、DF，则面积最小值为_________．
【答案】
【分析】由题意得：AP=t，PD=5-t，可求得，由正方形的性质得到，代入计算即可求解．
【详解】解：由题意得：AP=t，PD=5-t，
∴，
∵四边形PCEF是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴当t=4时，△DEF的面积最小，最小值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查正方形的性质、二次函数与动点问题、勾股定理，解题的关键是综合利用相关知识解题．
11．（2021·江苏邗江·二模）定义：在平面直角坐标系中，O为坐标原点，设点P的坐标为，当x<0时，点P的变换点的坐标为；当时，点P的变换点的坐标为．抛物线与x轴交于点C，D（点C在点D的左侧），顶点为E，点P在该抛物线上．若点P的变换点在抛物线的对称轴上，且四边形ECP′D是菱形，则满足该条件所有n值的和为________．
【答案】-13
【分析】根据四边形ECP′D是菱形,点E与点P′关于x轴对称，可求P′（2，-n）,根据变换当点P在y轴左侧， P（-2，-n）, 当点P在y轴右侧，P（-n,-2），点P在上，或解方程即可．
【详解】解：∵四边形ECP′D是菱形,点E与点P′关于x轴对称，
∵E（2，n）,
∴P′（2，-n）,
当点P在y轴左侧，, P的坐标为，点P的变换点的坐标为；
∴P（-2，-n）,
∵点P在上，
∴，
∴；
当点P在y轴右侧，, P的坐标为，点P的变换点的坐标为．
∴P（-n,-2），
∵点P在上，
∴，
整理得，
因式分解得，
解得；
∴n=-8或-2或-3．
∴-8-2-3=-13，
故答案为-13．
【点睛】本题考查点的变换，二次函数性质，菱形性质，掌握点的变换特征，二次函数性质，菱形性质是解题关键．
12．（2021·江苏海安·九年级期中）如图，小球从长度为8m的斜面顶端由静止开始沿斜面滚下，速度每秒增加1m/s，则下列说法：①小球每秒滚动1米；②由静止开始经过1秒，小球滚动了0.5米；③小球滚动到斜面底端时需要4秒；④小球滚动的距离S与经过的时间t的关系为；其中说法正确的是__________．（填写序号）
【答案】②③④
【分析】根据题意表示出平均速度，根据滚动距离=平均速度乘以时间得出关系式，解答即可．
【详解】解：∵速度每秒增加1m/s，
∴秒后小车的速度为 m/s，
平均速度为： m/s，
∴小球滚动的距离S与经过的时间t的关系为：，故④正确；
∴小球由静止开始第秒滚动的距离为：米，故①错误，②正确；
小球滚动到斜面底端：，解得：（舍），故③正确，
故答案为：②③④．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，根据题意得出小球滚动的距离S与经过的时间t的关系是解本题的关键．
三、解答题
13．（2021·江苏昆山·九年级期中）某数学实验小组为学校制作了一个如图所示的三棱锥模型P﹣ABC，已知三条侧棱PA，PB，PC两两互相垂直，且棱PB与PC的和为6米，PB＝2PA．现要给该模型的三个侧面（即Rt△PAB，Rt△PBC，Rt△PAC）刷上油漆，已知每平方米需要刷0.5升油漆，油漆的单价为60元/升．
（1）设PA的长为x米，三个侧面的面积之和为y平方米，试求y（平方米）关于x（米）的函数关系式；
（2）若油漆工的工时费为10元/平方米，该实验小组预算总费用为410元（即油漆费和工时费）．试通过计算判断完成该模型的油漆工作是否会超出预算？
【答案】（1）y关于x的函数关系式为y=-2x2+9x；（2）完成该模型的油漆工作不会超出预算．
【分析】（1）先根据PA的长为x米，PB=2PA，PB+PC=6米，求出PB=2x米，PC=（6-2x）米，然后根据三棱锥的侧面积等于三个直角三角形面积公之和列出函数解析式即可；
（2）由（1）解析式，根据函数的性质求出最大面积，然后根据总费用=油漆费和工时费算出最大费用，然后与410比较即可．
【详解】解：（1）∵PA=x米，PB=2PA，PB+PC=6米，
∴PB=2x米，PC=（6-2x）米，
由题意，得：y=PA•PB+PA•PC+PB•PC
=x•2x+x（6-2x）+×2x（6-2x）
=x2+3x-x2+6x-2x2
=-2x2+9x，
∴y关于x的函数关系式为y=-2x2+9x；
（2）由（1）知，y=-2x2+9x=-2（x-）2+，
∵-2＜0，
∴当x=时，y有最大值，最大值，
当y取得最大值时，需要总费用为：×（0.5×60+10）=405（元），
∵405＜410，
∴完成该模型的油漆工作不会超出预算．
【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，关键是根据等量关系列出函数关系式．
14．（2021·江苏新北·九年级期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12cm，BC＝9cm．现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB向点B方向运动，如果点P的速度是2cm/s，点Q的速度是lcm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动的时间为ts，Rt△CPQ的面积Scm2．
（1）用含t的代数式表示S．
（2）当运动多少秒时，Rt△CPQ的面积等于5cm2？
【答案】（1）；（2）当运动1或5秒时，Rt△CPQ的面积等于5cm2
【分析】（1）先表示出AP=2t，CP=12-2t，再利用三角形面积公式即可求解；
（2）把S=5代入，即可求解．
【详解】解：（1）由题意得：AP=2t，CQ=t，CP=12-2t，
∴S=，即：；
（2）当S=5时，，
解得：t=1或5，
答：当运动1或5秒时，Rt△CPQ的面积等于5cm2．
【点睛】本题主要考查二次函数的实际应用以及解一元二次方程，根据数量关系，列出函数解析式是解题的关键．
15．（2021·江苏·扬州市梅岭中学九年级月考）为满足市场需求，某超市在端午节的前夕购进价格为3元/个的粽子，根据市场预测，该品牌粽子每个售价4元时，每天能出售500个，并且售价每上涨0.1元，其销售量将减少10个，为了维护消费者利益，物价部门规定，该品牌粽子的售价不能超过进价的.
（1）该品牌粽子定价为多少元时，该超市每天的销售利润为800元.
（2）该超市每天的销售利润能否达到1000元，若能，请求出该品牌每个粽子的售价，若不能，请说明理由.
【答案】（1）5元；（2）不能，理由见解析．
【分析】（1）设每个粽子的定价为x元时，由于每天的利润为800元，根据利润=（定价-进价）×销售量，列出方程求解即可．
（2）设每个粽子的定价为m元，则每天的利润为w，根据题意写出w关于m的二次函数，通过配方写成顶点式，根据二次函数的性质可得答案．
【详解】解：（1）设每个粽子的定价为x元时，每天的利润为800元，
根据题意得，(x−3)(500−10×)＝800，
解得x1=7，x2=5，
∵售价不能超过进价的200%，
∴x≤3×200%，即x≤6，
∴x=5，
∴定价为5元时，每天的利润为800元．
（2）不能．
设每个粽子的定价为m元，则每天的利润为w，则有：
w=（m-3）（500-10×）
=（m-3）（500-100m+400）
=-100（m-3）（m-9）
=-100（m2-12m+27）
=-100[（m-6）2-9]
=-100（m-6）2+900
∵二次项系数为-100＜0，m≤6，
∴∴当定价为6元时，每天的利润最大，最大的利润是900元，不能达到1000元．
【点睛】本题考查了一元二次方程和二次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系正确列式是解题的关键．
16．（2021·江苏·南通田家炳中学九年级月考）年受疫情的影响，人们就业困难，为此政府大力支持创业，地摊文化风大街小巷．大学毕业生李强在政府的扶持下投资销售一种进价为每件元的学生护眼灯．销售过程中发现，每月销售量（件）与销售单价（元）之间的关系可近似的看作次函数：．
（1）小明每月获得的利润为（元），试问当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？最大利润是多少？
（2）如果小明想要每月获得元的利润，那么销售单价应定为多少元？
【答案】（1）当销售单价定为50元时，每月可获得最大利润，最大利润是4000元；（2）小明想要每月获得元的利润，销售单价应定为40元或60元．
【分析】（1）根据总利润=每件利润×件数，列函数关系式，将其配方变为顶点式w，根据二次函数的性质即可求解；
（2）由w=3000元，建立一元二次方程，解方程即可．
【详解】解：（1）每月销售量（件）与销售单价（元）之间的关系为：．
∴w=（x-30）·y=（x-30）（-10x+700）=，
∴w，
∵a=-10＜0，函数开口向下，函数有最大值，当x=50时，w最大=4000元，
∴当销售单价定为50元时，每月可获得最大利润，最大利润是4000元；
（2）∵w=3000元，
∴w，
∴，
∴，
∴，，
经检验都符合题意，且都是原方程的解．
∴小明想要每月获得元的利润，销售单价应定为40元或60元．
【点睛】本题考查列二次函数解析式，利用函数的性质求最值，一元二次方程的解法，掌握列二次函数解析式，会用配方法化为顶点式求最值，会一元二次方程的解法是解题关键．
17．（2021·江苏射阳·九年级月考）国庆期间，某商场销售一种商品，进货价为20元/件，当售价为24元/件时，每天的销售量为200件，在销售的过程中发现：销售单价每上涨1元，每天的销量就减少10件．设销售单价为x（元/件）（x≥24），每天销售利润为y（元）．
（1）直接写出y与x的函数关系式为： ；
（2）若要使每天销售利润为1400元，求此时的销售单价；
（3）若每件小商品的售价不超过36元，求该商场每天销售此商品的最大利润．
【答案】（1）；（2）此时的销售单价为30元或34元；（3）该商场每天销售此商品的最大利润为1440元．
【分析】（1）根据题意可直接进行求解；
（2）由（1）及题意可得，进而求解方程即可；
（3）由可得该二次函数的图象开口向下，对称轴为直线，进而根据二次函数的性质可求解．
【详解】解：（1）由题意得：
y与x的函数关系式为：；
故答案为；
（2）由题意得：
，
解得：；
答：此时的销售单价为30元或34元．
（3）由可得，
∴该二次函数的图象开口向下，对称轴为直线，
∵每件小商品的售价不超过36元，
∴当时，该商场每天销售此商品的利润为最大，最大值为1440；
答：该商场每天销售此商品的最大利润为1440元．
【点睛】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质及一元二次方程的求解是解题的关键．
18．（2021·江苏·宜兴市树人中学九年级期中）某商场将每件进价为80元的A商品按每件100元出售，一天可售出128件．经过市场调查，发现这种商品的销售单价每降低2元，其日销量可增加16件．设该商品每件降价x元，商场一天可通过A商品获利润y元．
（1）求y与x之间的函数解析式（要展开化简，不必写出自变量x的取值范围）．
（2）A商品销售单价为多少时，该商场每天通过A商品所获的利润最大？
【答案】（1）y＝﹣8x2＋32x＋2560；（2）98元
【分析】（1）商品每件降价x元时单价为（100﹣x）元，销售量为（128＋8x）件，列出函数解析式，即可；
（2）把二次函数化为顶点式，进而即可求解．
【详解】解：（1）由题意得，商品每件降价x元时单价为（100﹣x）元，销售量为（128＋8x）件，
则y＝（128＋8x）（100﹣x﹣80）
＝﹣8x2＋32x＋2560，
即y与x之间的函数解析式是y＝﹣8x2＋32x＋2560；
（2）∵y＝﹣8x2＋32x＋2560＝﹣8（x﹣2）2＋2592，
∴当x＝2时，y取得最大值，此时y＝2592，
∴销售单价为：100﹣2＝98（元），
答：A商品销售单价为98元时，该商场每天通过A商品所获的利润最大．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，解决本题的关键是熟练应用销售问题的数量关系，列出函数解析式．
19．（2021·江苏东台·九年级期中）二次函数y＝x2﹣2mx的图象交x轴于原点O及点A．
感知特例（1）当m＝1时，如图1，抛物线L：y＝x2﹣2x上的点B，O，C，A，D分别关于点A中心对称的点为B′，O′，C′，A′，D′，如表：
…
B（﹣1，3）
O（0，0）
C（1，﹣1）
A（ ， ）
D（3，3）
…
…
B'（5，﹣3）
O′（4，0）
C'（3，1）
A′（2，0）
D'（1，﹣3）
…
(1)补全表格；
(2)在图1中描出表中对称后的点，再用平滑的曲线依次连接各点，得到的图象记为L'．
形成概念我们发现形如（1）中的图象L'上的点和抛物线L上的点关于点A中心对称，则称L'是L的“孔像抛物线”．例如，当m＝﹣2时，图2中的抛物线L'是抛物线L的“孔像抛物线”．
(3)探究问题当m＝﹣1时，若抛物线L与它的“孔像抛物线”L'的函数值都随着x的增大而减小，则x的取值范围为 ；
【答案】（1）(2，0)；（2）见解析；（3）
【分析】（1）根据点关于点中心对称的点与点重合，及点的坐标，即可求解；
（2）用描点法画出函数的图像即可；
（3）根据二次函数的增减性知在两条抛物线的对称轴之间，两条抛物线的函数值都随的增大而减小，由此得出结果．
【详解】解：（1）由题意可得：点关于点中心对称的点
∴点与点重合
又∵
∴
故答案为
（2）根据坐标，在坐标系中描点，连接即可，如下图：
(3) ，
对称轴为，顶点坐标为，，开口向上，当时，的函数值都随着x的增大而减小
令，即，可得
点关于点对称的点为
设，将代入得：，解得
对称轴为，，开口向下，当时，的函数值都随着x的增大而减小
综上所述：
【点睛】此题考查了二次函数的综合应用，涉及了二次函数的图像和性质，中心对称的性质和应用，待定系数法求解函数解析式，解题的关键是理解题意，运用数形结合思想解决问题．
20．（2021·江苏工业园区·九年级期中）某商场出售一种成本为20元的商品，市场调查发现，该商品每天的销售量w（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：w＝﹣2x+80．设这种商品的销售利润为y（元）．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）在不亏本的前提下，销售价在什么范围内每天的销售利润随售价增加而增大？最大利润是多少？
（3）如果物价部门规定这种产品的销售价不得高于28元/千克，该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为多少元？
【答案】（1）；（2）售价在20﹣30元时，每天的销售利润随售价的增加而增加，售价为30元/千克时每天利润最大是200元；（3）25元/千克
【分析】（1）根据销售利润为每天的销售量乘以每千克的利润，求解即可；
（2）根据二次函数的性质，求得对称轴以及最大值即可；
（3）确定销售价的范围，再根据二次函数的性质，求得最大值即可．
【详解】解：（1）销售价为x（元/千克），则销售利润为（元/千克）
则利润
故答案为
（2）由题意可得
由（1）得，
∵，开口向下，对称轴
∴当时，随的增大而增大
当时，利润最大，为元
售价在20﹣30元时，每天的销售利润随售价的增加而增加，售价为30元/千克时每天利润最大是200元．
（3）由题意可得：
令，则
解得：，
又∵
∴
当销售价定为25元/千克时，该农户每天可获得销售利润150元．
【点睛】此题考查了二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握二次函数的有关性质，理解题意找到等量关系列出函数关系式或方程．
21．（2021·江苏海安·九年级期中）2022年冬奥会即将在北京召开，某网络经销商购进了一批以冬奥会为主题的文化衫进行销售，文化衫的进价每件40元，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系如图所示，设每月获得的利润为W（元）．
（1）直接写出每月的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式，并求当销售单价为多少元时，销售这款文化衫每月所获得的利润最大？
（2）该网店的营销部结合上述情况，提出了A，B两种营销方案：
方案A：销售单价高于进价且不超过60元．
方案B：每月销售量不少于220件，且每件文化衫利润至少为35元．
请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由．
【答案】（1）y＝－10x＋1000，当销售单价为70元时，销售这款文化衫每月所获得的利润最大；（2）方案B利润最高，见解析
【分析】（1）根据一次函数的图象，得到图象上两点坐标（40，600），（80，200），利用待定系数法解题；设销售利润为W，根据销售利润=销售单价销售量，结合配方法解得利润为，再根据二次函数的最值解题；
（2）根据题意解得75≤x≤78，再根据二次函数图象的性质，解出最值即可做出判断．
【详解】解（1）：由题意：设y与x之间的函数关系式为：y＝kx＋b（k≠0），
将（40，600），（80，200）代入得：
解得，
∴y＝－10x＋1000，
由题意得：W＝（x－40）y
＝（x－40）（－10x＋1000）
＝－10x2＋1400x－40000
，
∵a＝－10＜0，
∴当x＝70时，W有最大值，W最大值＝9000（元），
答：当销售单价为70元时，销售这款文化衫每月所获得的利润最大；
（3）方案A：由题意，40＜x≤60，
方案B：由y＝－10x＋1000≥220，可得x≤78，
再由每件文化衫利润至少为35元，可得75≤x≤78，
∵a＝－10＜0，且对称轴为直线x＝70，75－70＜70－60，
当x＝75时，最大利润最高，选择方案B．
【点睛】本题考查二次函数及其应用、待定系数法法求一次函数解析式等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
第11讲 用二次函数解决问题（3大考点）
考点考向
二次函数综合应用主要考察学生灵活运用二次函数解析式及图像性质解决实际问题、代数问题和几何问题的综合能力，难点在于不同知识点的融会贯通， 是最近中考压轴题主要的考察题型之一．
二次函数的综合应用在中考中经常出现，常考的主要有以下几种类型：
（1）二次函数的生活应用问题，即实物抛物线型问题，若题 目中未给出坐标系，则需要建立坐标系求解，建立的原则：①所建立的坐标 系要使求出的二次函数表达式 比较简单；②使已知点所在的位置适当（如在x轴，y轴、原点、抛物线上等），方便求二次函数丶表达式和之后的计算求解 .
（2）二次函数的实际应用问题，即最值问题. 解决最值应用题要注意两点：
①设未知数，在 “当某某为何值时，什么最大（最小）”的设问中，“某某”要设为自变量，“什么”要设为函数；
②求解最值时，一定要考虑顶点（横、纵坐标）的取值是否在 自变量的取值范围内.
（3）二次函数的纯几何面积问题：由于面积等于两条边的乘积，所以几何问题的面积的最值问题通常会通过二次函数来解决.同样需注意自变量的取值范围.
（4）二次函数与一次函数相结合的应用型问题：分析问题中的数量关系，列出函数关系式；研究自变量的取值范围；确定所得的函数；检验 x的值是否在自 变量的取值范 围内，并求相关的值；解决提出的实际问题.
（5）二次函数的综合型问题，此类问题是每年中考必考题目，综合性非常强，常涉及等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、矩形、菱形、线段以及面积的最值问题.
考点精讲
一．根据实际问题列二次函数关系式（共3小题）
1．（2021秋•通州区期末）某商场第1年销售计算机5000台，如果每年的销售量比上一年增加相同的百分率x，第3年的销售量为y台，则y关于x的函数解析式为（ ）
A．y＝5000（1+2x） B．y＝5000（1+x）2
C．y＝5000+2x D．y＝5000x2
【分析】首先表示出第二年的销售量为5000（1+x），然后表示出第三年的销售量为5000（1+x）2，从而确定答案．
【解答】解：设每年的销售量比上一年增加相同的百分率x，
根据题意得：y＝5000（1+x）2，
故选：B．
【点评】本题考查了根据实际问题列二次函数的关系式，解题的关键是分别表示出第二年和第三年的销售量，难度中等．
2．（2021秋•阜宁县期末）一台机器原价50万元，如果每年的折旧率是x，两年后这台机器的价格为y万元，则y与x的函数关系式为 y＝50（1﹣x）2 ．
【分析】根据两年后机器价值＝机器原价值×（1﹣折旧率）2可得函数解析式．
【解答】解：根据题意，y与x的函数关系式为y＝50（1﹣x）2，
故答案为：y＝50（1﹣x）2．
【点评】本题主要考查根据实际问题列二次函数关系式，根据实际问题确定二次函数关系式关键是读懂题意，建立二次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定．
3．（2021秋•亭湖区校级期末）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m，水面宽4m．如图建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是 y＝﹣ ．
【分析】设出抛物线方程y＝ax2（a≠0）代入坐标求得a．
【解答】解：设出抛物线方程y＝ax2（a≠0），
由图象可知该图象经过（﹣2，﹣2）点，
故﹣2＝4a，
a＝﹣，
故y＝﹣．
【点评】本题主要考查二次函数的应用，借助二次函数解决实际问题．
二．二次函数的应用（共6小题）
4．（2022•无锡）某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为10m），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为1：2的矩形，已知栅栏的总长度为24m，设较小矩形的宽为xm（如图）．
（1）若矩形养殖场的总面积为36m2，求此时x的值；
（2）当x为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？
【分析】（1）根据题意知：较大矩形的宽为2xm，长为＝（8﹣x） m，可得（x+2x）×（8﹣x）＝36，解方程取符合题意的解，即可得x的值为2；
（2）设矩形养殖场的总面积是ym2，根据墙的长度为10，可得0＜x≤，而y＝（x+2x）×（8﹣x）＝﹣3x2+24x＝﹣3（x﹣4）2+48，由二次函数性质即得当x＝时，矩形养殖场的总面积最大，最大值为m2．
【解答】解：（1）根据题意知：较大矩形的宽为2xm，长为＝（8﹣x） m，
∴（x+2x）×（8﹣x）＝36，
解得x＝2或x＝6，
经检验，x＝6时，3x＝18＞10不符合题意，舍去，
∴x＝2，
答：此时x的值为2；
（2）设矩形养殖场的总面积是ym2，
∵墙的长度为10m，
∴0＜x≤，
根据题意得：y＝（x+2x）×（8﹣x）＝﹣3x2+24x＝﹣3（x﹣4）2+48，
∵﹣3＜0，
∴当x＝时，y取最大值，最大值为﹣3×（﹣4）2+48＝（m2），
答：当x＝时，矩形养殖场的总面积最大，最大值为m2．
【点评】本题考查一元二次方程和二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程及函数关系式．
5．（2022秋•如皋市校级月考）为了落实劳动教育，某学校邀请农科院专家指导学生进行小番茄的种植，经过试验，其平均单株产量y千克与每平方米种植的株数x（2≤x≤8，且x为整数）构成一种函数关系．每平方米种植2株时，平均单株产量为4千克；以同样的栽培条件，每平方米种植的株数每增加1株，单株产量减少0.5千克．
（1）求y关于x的函数表达式．
（2）每平方米种植多少株时，能获得最大的产量？最大产量为多少千克？
【分析】（1）由每平方米种植的株数每增加1株，单株产量减少0.5千克，即可得y＝4﹣0.5（x﹣2）＝﹣0.5x+5，
（2）设每平方米小番茄产量为W千克，由产量＝每平方米种植株数×单株产量即可列函数关系式，由二次函数性质可得答案．
【解答】解：（1）∵每平方米种植的株数每增加1株，单株产量减少0.5千克，
∴y＝4﹣0.5（x﹣2）＝﹣0.5x+5，
答：y关于x的函数表达式为y＝﹣0.5x+5，（2≤x≤8，且x为整数）；
（2）设每平方米小番茄产量为W千克，
根据题意得：W＝x（﹣0.5x+5）＝﹣0.5x2+5x＝﹣0.5（x﹣5）2+12.5，
∵﹣0.5＜0，
∴当x＝5时，W取最大值，最大值为12.5，
答：每平方米种植5株时，能获得最大的产量，最大产量为12.5千克．
【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．
6．（2022•淮安）端午节前夕，某超市从厂家分两次购进A、B两种品牌的粽子，两次进货时，两种品牌粽子的进价不变．第一次购进A品牌粽子100袋和B品牌粽子150袋，总费用为7000元；第二次购进A品牌粽子180袋和B品牌粽子120袋，总费用为8100元．
（1）求A、B两种品牌粽子每袋的进价各是多少元；
（2）当B品牌粽子销售价为每袋54元时，每天可售出20袋，为了促销，该超市决定对B品牌粽子进行降价销售．经市场调研，若每袋的销售价每降低1元，则每天的销售量将增加5袋．当B品牌粽子每袋的销售价降低多少元时，每天售出B品牌粽子所获得的利润最大？最大利润是多少元？
【分析】（1）A种品牌粽子每袋的进价是x元，B种品牌粽子每袋的进价是y元，根据两次进货情况，可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）根据：利润＝（每台实际售价﹣每台进价）×销售量，列函数关系式，配方成二次函数的顶点式可得函数的最大值；
【解答】解：（1）A种品牌粽子每袋的进价是x元，B种品牌粽子每袋的进价是y元，
根据题意得，，
解得，
答：A种品牌粽子每袋的进价是25元，B种品牌粽子每袋的进价是30元；
（2）设B品牌粽子每袋的销售价降低a元时，每天售出B品牌粽子所获得的利润最大，利润为w元，
根据题意得，w＝（54﹣a﹣30）（20+5a）＝﹣5a2+100a+480＝﹣5（a﹣10）2+980，
∵﹣5＜0，
∴当B品牌粽子每袋的销售价降低10元时，每天售出B品牌粽子所获得的利润最大，最大利润是980元．
【点评】本题主要考查二元一次方程组及二次函数的实际应用，理解题意准确抓住相等关系，据此列出方程或函数关系式是解题的关键．
7．（2022•淮阴区校级一模）近年来，电动车驾驶安全越来越被重视．某商店销售头盔，每个进价50元．经市场调研，当售价为60元时，每月可销售300个；售价每增加1元，销售量将减少10个．为了提高销售量，当售价为80元时，启用网络主播直播带货，此时售价每增加1元，需支付给主播300元．物价局对此头盔规定：售价最高不超过110元．如图中的折线ABC表示该品牌头盔的销售量y（单位：个）与售价x（单位：元）之间的函数关系．
（1）直接写出点B的坐标 （80，100） ，并求线段BC对应的函数表达式；
（2）启用网络主播直播带货后，当售价为多少元时，该商家获得的利润最大？最大利润是多少元？
【分析】（1）当x＝80时，y＝300﹣10×（80﹣60）＝100，即点B（80，100），设线段BC的表达式为：y＝kx+b，将点（80，100）、（110，250）代入上式，即可求解；
（2）当60≤x≤80时，w＝（x﹣50）（﹣10x+900）＝﹣10（x﹣70）2+4000，当80≤x≤110时，w＝（x﹣50）（5x﹣300）＝5（x﹣85）2+2875，分别求取最大值，即可求解．
【解答】解：（1）当x＝80时，y＝300﹣10×（80﹣60）＝100，即点B（80，100），
设线段BC的表达式为：y＝kx+b，
将点（80，100）、（110，250）代入上式得：，
解得，
故线段BC对应的函数表达式为：y＝5x﹣300；
故答案为：（80，100）；
（2）设启用网络主播直播带货后，获得的利润为w元，
当80≤x≤110时，w＝（x﹣50）（5x﹣300）﹣300（x﹣80）＝5（x﹣85）2+2875，当x＝110时，w取得最大值为6000，
故当80≤x≤85时，w随x的增大而减小，即w≤3000，
当85≤x≤110时，w随x的增大而增大，即w≤15250．
故当x＝110时，w的值最大；
综上，当售价为110元时，该商家获得的利润最大，最大利润为6000．
【点评】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值），也就是说二次函数的最值不一定在x＝﹣时取得．
8．（2022•如皋市二模）某商店销售一种商品，经市场调查发现：该商品的周销售量y（件）是售价x（元/件）的一次函数，其售价、周销售量、周销售利润w（元）的三组对应值如表：
售价x（元/件）
60
70
80
周销售量y（件）
100
80
60
周销售利润w（元）
2000
2400
2400
（1）求y关于x的函数解析式；
（2）直接写出该商品的进价，并求出该商品周销售利润的最大值；
（3）由于某种原因，该商品进价提高了m元/件（m＞0），物价部门规定该商品售价不得超过70元/件，该商店在今后的销售中，周销售量与售价仍然满足（1）中的函数关系．若周销售最大利润是2000元，求m的值．
【分析】（1）依题意设y＝kx+b，解方程组即可得到结论；
（2）该商品进价是50﹣1000÷100＝40，设每周获得利润w＝（x﹣40）（﹣2x+220），再利用二次函数的性质可得到结论；
（2）根据题意得，w＝（x﹣40﹣m）（﹣2x+220）＝﹣2x2+（300+2m）x﹣8800﹣220m，把x＝70，w＝2000代入函数解析式，解方程即可得到结论．
【解答】解：（1）依题意设y＝kx+b，
则有，
解得：，
所以y关于x的函数解析式为y＝﹣2x+220；
（2）该商品进价是60﹣2000÷100＝40，
设每周获得利润为w元，
则有w＝（x﹣40）（﹣2x+220）＝﹣2x2+300x﹣8800＝﹣2（x﹣75）2+1450，
∴当售价是75元/件时，周销售利润的最大利润是2450元；
（3）根据题意得，w＝（x﹣40﹣m）（﹣2x+220）＝﹣2x2+（300+2m）x﹣8800﹣220m，
∵﹣2＜0，对称轴x＞75，
∴抛物线的开口向下，
∵x≤70，∴w随x的增大而增大，
当x＝70时，w最大＝2000，
即﹣2×702+（300+2m）×70﹣8800﹣220m＝2000，
解得：m＝5．
【点评】本题考查了二次函数在实际生活中的应用，重点是掌握求最值的问题．注意：数学应用题来源于实践，用于实践，在当今社会市场经济的环境下，应掌握一些有关商品价格和利润的知识，总利润等于总收入减去总成本，然后再利用二次函数求最值．
9．（2022春•江阴市校级月考）据统计，某景区仅有A，B两个景点，售票处出示的三种购票方式如表所示：
购票方式
甲
乙
丙
可游玩景点
A
B
A和B
门票价格
100元/人
80元/人
160元/人
据预测，六月份选择甲、乙、丙三种购票方式的人数分别有2万、3万和2万．并且当甲、乙两种门票价格不变时，丙种门票价格每下降1元，将有600人原计划购买甲种门票的游客和400人原计划购买乙种门票的游客改为购买丙种门票．
①若丙种门票价格下降10元，求景区六月份的门票总收入；
②问：将丙种门票价格下降多少元时，景区六月份的门票总收入有最大值？最大值是多少万元？
【分析】①根据题意丙种门票价格下降10元，列式100×（2﹣10×0.06）+80×（3﹣10×0.04）+（160﹣10）×（2+10×0.06+10×0.04）计算，即可求景区六月份的门票总收入；
②设丙种门票价格降低m元，景区六月份的门票总收入为W万元，由题意可得W＝100（2﹣0.06x）+80（3﹣0.04x）+（160﹣x）（2+0.06x+0.04x），化简得W＝﹣0.1（x﹣24）2+817.6，然后根据二次函数的性质即可得结果．
【解答】解：①由题意得：
100×（2﹣10×0.06）+80×（3﹣10×0.04）+（160﹣10）×（2+10×0.06+10×0.04）＝798（万元）．
答：景区六月份的门票总收入为798万元；
②设丙种门票价格降低x元，景区六月份的门票总收入为W万元，
由题意，得
W＝100（2﹣0.06x）+80（3﹣0.04x）+（160﹣x）（2+0.06x+0.04x），
化简，得W＝﹣0.1（x﹣24）2+817.6，
∵﹣0.1＜0，
∴当x＝24时，W取最大值，为817.6万元．
答：当丙种门票价格下降24元时，景区六月份的门票总收入有最大值，最大值是817.6万元．
【点评】本题考查了二次函数的应用，解决本题的关键是掌握二次函数的应用．
三．二次函数综合题（共7小题）
10．（2022秋•启东市校级月考）已知二次函数y＝x2+x﹣（m为常数）．
（1）若该二次函数的图象经过点（1，2m），求m的值；
（2）求证：无论m取何值，二次函数y＝x2+x﹣的图象与x轴必有两个交点；
（3）若平行于x轴的直线与该二次函数的图象交于点A，B，且点A，B的横坐标之和大于1，求m的取值范围．
【分析】（1）把点（1，2m）代入抛物线解析式即可得解；
（2）计算判别式的值得到Δ＝+2，利用非负数的性质得到Δ＞0，然后根据判别式的意义得到结论；
（3）将平行于x轴的直线y＝n与抛物线联立得出关于x的方程，由其交点的横坐标之和大于1可得出有关m的不等式，即可求解．
【解答】（1）解：把点P（1，2m）代入抛物线y＝x2+x﹣中，得
1+＝2m，
解得：m＝；
（2）证明：∵Δ＝b2﹣4ac＝（）2﹣4×1×（﹣）
＝+2，
∵无论m取何值，m2≥0，
∴+2＞0，
∴二次函数y＝x2+x﹣图象与x轴必有两个交点．
（3）解：设平行于x轴的直线为y＝n，
∵直线y＝n与该二次函数的图象交于点A，B，
∴，
整理得，x2+x﹣﹣n＝0，
若x1，x2是方程x2+x﹣﹣n＝0的两根，则x1，x2是直线与抛物线交点A，B的横坐标，
∴x1+x2＝﹣，
由题意得，﹣＞1，
解得，m＜﹣2．
∴m的取值范围是m＜﹣2．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质；要求学生会利用判别式判断抛物线与x轴的交点情况以及灵活运用根与系数的关系解题．
11．（2022秋•启东市校级月考）定义：在平面直角坐标系中，图形G上点P（x，y）的纵坐标y与其横坐标x的差y﹣x称为P点的“坐标差”，记作Zp，而图形G上所有点的“坐标差”中的最大值称为图形G的“共享值”．
（1）①点A（5，﹣1）的“坐标差”为 ﹣6 ；
②求抛物线y＝﹣x2+7x的“共享值”；
（2）某二次函数y＝﹣x2+bx+c（c≠0）的“共享值”为﹣1，点B（m，0）与点C分别是此二次函数的图象与x轴和y轴的交点，且点B与点C的“坐标差”相等．
①直接写出m＝ ﹣c ；（用含c的式子表示）
②求此二次函数的解析式．
（3）如图，在平面直角坐标系xOy中，O为原点，点D（4，0），以OD为直径作⊙M，直线y＝x+b与⊙M相交于点E，F．请直接写出⊙M的“共享值”为 2﹣2 ．
【分析】（1）①根据“坐标差”定义即可求；
②根据“共享值”定义，利用二次函数的性质求最值即可；
（2）①根据点B与点C的“坐标差”相等，推出B（﹣c，0），②将B点坐标代入抛物线解析式可得﹣c2﹣bc+c＝0，根据二次函数y＝﹣x2+bx+c（c≠0）的“共享值”为﹣1，可求出b的值，进而确定函数解析式；
（3）利用一次函数图象上点的坐标特征可设点E的坐标为（xE，xE+b），点F的坐标为（xF，xF+b），结合“坐标差”的定义可得出ZE＝ZF，作直线y＝x+n（n＞0）与⊙M相切，设切点为N，该直线与x轴交于点Q，利用等腰直角三角形的性质可求出点Q的坐标，再利用待定系数法可求出n值，结合“共享值”的定义即可找出⊙M的“共享值”．
【解答】解：（1）①点A（5，﹣1）的“坐标差”为﹣1﹣5＝﹣6，
故答案为：﹣6；
②设P（x，y）是抛物线y＝﹣x2+7x上一点，
坐标差＝﹣x2+7x﹣x＝﹣x2+6x＝﹣（x﹣3）2+9，最大值为9，
所以抛物线y＝﹣x2+7x的“共享值”为9；
（2）①由题知C（0，c），
∵点B与点C的“坐标差”相等，
∴B（﹣c，0），
故答案为：﹣c；
②将B点坐标代入抛物线解析式，
得﹣c2﹣bc+c＝0，
∴c＝1﹣b或0（舍去），
∵二次函数y＝﹣x2+bx+c（c≠0）的“共享值”为﹣1，
∴y﹣x＝﹣x2+（b﹣1）x+1﹣b的最大值为﹣1，
∴＝﹣1，
解得b＝3，
∴c＝﹣2，
∴二次函数的表达式为y＝﹣x2+3x﹣2；
（3）∵点E，F在直线y＝x+b上，
∴设点E的坐标为（xE，xE+b），点F的坐标为（xF，xF+b），
∴ZE＝xE+b﹣xE＝b，ZF＝xF+b﹣xF＝b，
∴ZE＝ZF．
作直线y＝x+n（n＞0）与⊙M相切，设切点为N，该直线与x轴交于点Q，如图所示．
∵y﹣x＝x+n﹣x＝n，
∴当直线y＝x+n（n＞0）与⊙M相切时，y﹣x的值为⊙M的“共享值”．
∵∠NQM＝45°，MN⊥NQ，MN＝2，
∴△MNQ为等腰直角三角形，
∴MQ＝2，
∴点Q的坐标为（2﹣2，0）．
将Q（2﹣2，0）代入y＝x+n，得：0＝2﹣2+n，
解得：n＝2﹣2，
∴⊙M的“共享值”为2﹣2．
故答案为：2﹣2．
【点评】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数解析式、待定系数法求一次函数解析式、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、一次函数图象上点的坐标特征以及等腰直角三角形，解题的关键是：（1）①利用“坐标差”的定义求出点A的“坐标差”；②利用二次函数的性质求出y﹣x的最值；（2）①利用“坐标差”的定义找出m，c的关系；②利用待定系数法结合“共享值”的定义，找出关于b的方程；（3）①利用一次函数图象上点的坐标特征设出点E，F的坐标；②利用切线的性质，找出⊙M上“坐标差”最大的点．
12．（2022•淮安）如图（1），二次函数y＝﹣x2+bx+c的图像与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，3），直线l经过B、C两点．
（1）求该二次函数的表达式及其图像的顶点坐标；
（2）点P为直线l上的一点，过点P作x轴的垂线与该二次函数的图像相交于点M，再过点M作y轴的垂线与该二次函数的图像相交于另一点N，当PM＝MN时，求点P的横坐标；
（3）如图（2），点C关于x轴的对称点为点D，点P为线段BC上的一个动点，连接AP，点Q为线段AP上一点，且AQ＝3PQ，连接DQ，当3AP+4DQ的值最小时，直接写出DQ的长．
【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）设P（t，﹣t+3），则M（t，﹣t2+2t+3），N（2﹣t，﹣t2+2t+3），则PM＝|t2﹣3t|，MN＝|2﹣2t|，由题意可得方程|t2﹣3t|＝|2﹣2t|，求解方程即可；
（3）由题意可知Q点在平行于BC的线段上，设此线段与x轴的交点为G，由QG∥BC，求出点G（2，0），作A点关于GQ的对称点A'，连接AD与AP交于点Q，则3AP+4DQ＝4（DQ+AP）＝4（DQ+AQ）≥4A'D，利用对称性和∠OBC＝45°，求出A'（2，3），求出直线DA'的解析式和直线QG的解析式，联立方程组，可求点Q（，），再求DQ＝．
【解答】解：（1）将点B（3，0），C（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c，
∴，
解得，
∴y＝﹣x2+2x+3，
∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴顶点坐标（1，4）；
（2）设直线BC的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得，
∴y＝﹣x+3，
设P（t，﹣t+3），则M（t，﹣t2+2t+3），N（2﹣t，﹣t2+2t+3），
∴PM＝|t2﹣3t|，MN＝|2﹣2t|，
∵PM＝MN，
∴|t2﹣3t|＝|2﹣2t|，
解得t＝1+或t＝1﹣或t＝2+或t＝2﹣，
∴P点横坐标为1+或1﹣或2+或2﹣；
（3）∵C（0，3），D点与C点关于x轴对称，
∴D（0，﹣3），
令y＝0，则﹣x2+2x+3＝0，
解得x＝﹣1或x＝3，
∴A（﹣1，0），
∴AB＝4，
∵AQ＝3PQ，
∴Q点在平行于BC的线段上，设此线段与x轴的交点为G，
∴QG∥BC，
∴＝，
∴＝，
∴AG＝3，
∴G（2，0），
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝45°，
作A点关于GQ的对称点A'，连接AD与AP交于点Q，
∵AQ＝A'Q，
∴AQ+DQ＝A'Q+DQ≥A'D，
∴3AP+4DQ＝4（DQ+AP）＝4（DQ+AQ）≥4A'D，
∵∠QGA＝∠CBO＝45°，AA'⊥QG，
∴∠A'AG＝45°，
∵AG＝A'G，
∴∠AA'G＝45°，
∴∠AGA'＝90°，
∴A'（2，3），
设直线DA'的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得，
∴y＝3x﹣3，
同理可求直线QG的解析式为y＝﹣x+2，
联立方程组，
解得，
∴Q（，），
∴DQ＝．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，利用轴对称求最短距离的方法，解绝对值方程，待定系数法求函数的解析式是解题的关键．
13．（2022•钟楼区校级模拟）如图，已知抛物线y＝ax2+2ax+c（a＜0）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，AO＝CO，过点B的直线l与抛物线交于点D，与y轴交于点F．该抛物线的对称轴EG交直线l于点E，与x轴交于点G，且DE：EF：FB＝1：1：1．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点M为抛物线上一点，∠MDB＝2∠BCO，求点M的坐标；
（3）已知点P为抛物线对称轴上的点，满足在直线BD上存在唯一的点Q，使得∠PQG＝45°，求点P的坐标．
【分析】（1）过点D作DH⊥x轴交于H，可知DH∥EG∥FO，则HG＝GO＝OB，设OB＝t，求出A（﹣3t，0），B（t，0），C（0，3t），再由待定系数法求函数的解析式即可；
（2）设BD与y轴的交点为H，直线DM与y轴交点为F，过点F作FE⊥BD交于E，在OC上截取CG＝BG，则tan∠OGB＝tan∠FDB＝＝，设EF＝3a，则ED＝4a，求出直线BD的解析式可得∠OHB＝45°，GH＝，则EF＝EH＝3a，由此得DH＝2＝7a，进而求出F（0，），在求出直线DM的解析式为，通过联立方程组，求出M（，）；作F点关于直线BD的对称点N，设N（m，n），可得＝﹣+1①，（m+2）2+（n﹣3）2＝4+（﹣3）2②，联立①②可得，可求直线DN的解析式为y＝﹣7x﹣11，再联立方程组，能求出M（7，﹣60）；
（3）作P、Q、G三点的外接圆R，过点R作RH⊥PG交于R，则△PRG是等腰直角三角形，由题意可知圆R与直线BD相切，切点为Q，设P（﹣1，2m），则R（﹣1+m，m），再由S△BEG＝S△BER+S△GER+S△BGR，求m＝2﹣，可得P（﹣1，4﹣2）；当P点与E点重合，Q点与B点重合时，P（﹣1，2）；当P点关于x轴对称时，P（﹣1，﹣2）；Q点与直线BD与y轴的交点（0，1）重合时，∠PQG＝45°，P（﹣1，1）．
【解答】解：（1）过点D作DH⊥x轴交于H，
∴DH∥EG∥FO，
∵DE：EF：FB＝1：1：1，
∴HG＝GO＝OB，
设OB＝t，
∴BG＝2t，
∵EG是对称轴，
∴AO＝3t，
∵OC＝AO，
∴CO＝3t，
∴A（﹣3t，0），B（t，0），C（0，3t），
将A、B、C三点代入y＝ax2+2ax+c，
∴，
解得，
∴y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）由（1）可知，B（1，0），C（0，3），A（﹣3，0），D（﹣2，3），
设BD与y轴的交点为H，直线DM与y轴交点为F，过点F作FE⊥BD交于E，在OC上截取CG＝BG，
∴∠GCB＝∠CBG，
∴∠OGB＝2∠OCB，
∵∠MDB＝2∠BCO，
∴∠MDB＝∠OGB，
∴CO＝3，
∴OG＝3﹣CG，
在Rt△OBG中，CG2＝1+（3﹣GC）2，
解得CG＝，
∴OG＝，
∴tan∠OGB＝，
∴tan∠FDB＝＝，
设EF＝3a，则ED＝4a，
设直线BD的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得，
∴y＝﹣x+1，
∴H（0，1），
∴OH＝OB＝1，
∴∠OHB＝45°，GH＝，
∴EF＝EH＝3a，
∴BD＝3，
∴DH＝2＝7a，
∴a＝，
∴EF＝，
∴FH＝，
∴F（0，），
设直线DM的解析式为y＝k'x+b'，
∴，
解得，
∴y＝﹣x+，
联立方程组，
解得或，
∴M（，）；
作F点关于直线BD的对称点N，设N（m，n），
∴FN的中点为（，），
∴＝﹣+1①，
∵DN＝DF，
∴（m+2）2+（n﹣3）2＝4+（﹣3）2②，
联立①②可得，
可求直线DN的解析式为y＝﹣7x﹣11，
联立方程组，
解得或，
∴M（7，﹣60）；
综上所述：M点坐标为（，）或（7，﹣60）；
（3）作P、Q、G三点的外接圆R，过点R作RH⊥PG交于R，
∵∠PQG＝45°，
∴∠PRG＝90°，
∵PR＝RG，
∴△PRG是等腰直角三角形，
∵在直线BD上存在唯一的点Q，
∴圆R与直线BD相切，切点为Q，
设P（﹣1，2m），
∵RP＝HR＝HG＝m，
∴R（﹣1+m，m），
∴S△BEG＝S△BER+S△GER+S△BGR
＝×BR×m+BG×m+EG×m
＝m×（BE+BG+EG）
＝GE×BG，
∵B（1，0），E（﹣1，2），G（﹣1，0），
∴BE＝2，GB＝2，GE＝2，
∴m×（4+2）＝2×2，
解得m＝2﹣，
∴P（﹣1，4﹣2）；
当P点与E点重合，Q点与B点重合时，∠PQG＝45°，
∴P（﹣1，2）；
当P点关于x轴对称时，P（﹣1，﹣2）；
Q点与直线BD与y轴的交点（0，1）重合时，∠PQG＝45°，
∴P（﹣1，1）；
综上所述：P点坐标为（﹣1，4﹣2）或（﹣1，2）或（﹣1，﹣2）或（﹣1，1）．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，三角形外接圆的性质，等腰直角三角形的性质是解题的关键．
14．（2022秋•通州区校级月考）平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣2mx+m2+2m+2与x轴有两个交点．
（1）当m＝﹣2时，求抛物线与x轴交点的坐标；
（2）过点P（0，m﹣1）作直线l⊥y轴，抛物线的顶点A在直线l与x轴之间（不包含点A在直线l上），求m的范围；
（3）在（2）的条件下，设抛物线的对称轴与直线l相交于点B，求△ABO的面积最大时m的值．
【分析】（1）将m＝﹣2代入y＝x2﹣2mx+m2+2m+2中，令y＝0可得结论；
（2）先根据抛物线与x轴有两个交点可知Δ＞0，根据配方法可得点A的坐标，并根据已知列不等式可得结论；
（3）根据三角形面积公式并结合配方法可得结论．
【解答】解：（1）当m＝﹣2时，y＝x2+4x+4﹣4+2＝x2+4x+2，
当y＝0时，x2+4x+2＝0，
解得：x＝﹣2，
∴抛物线与x轴交点的坐标为（﹣2+，0）和（﹣2﹣，0）；
（2）如图1，∵抛物线y＝x2﹣2mx+m2+2m+2与x轴有两个交点，
∴Δ＝4m2﹣4×1×（m2+2m+2）＞0，
∴m＜﹣1，
∵y＝x2﹣2mx+m2+2m+2＝（x﹣m）2+2m+2，
∴顶点A的坐标为（m，2m+2），
∵过点P（0，m﹣1）作直线l⊥y轴，抛物线的顶点A在直线l与x轴之间（不包含点A在直线l上），
∴2m+2＞m﹣1，
∴m＞﹣3，
∴m的范围是：﹣3＜m＜﹣1；
（3）如图2，∵顶点A的坐标为（m，2m+2），P（0，m﹣1），
∴AB＝2m+2﹣（m﹣1）＝m+3，
∵△ABO的面积＝•AB•PB＝•（m+3）•（﹣m）＝﹣（m+）2+，
当m＝﹣时，△ABO的面积有最大值．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了抛物线与x轴的交点，配方法的应用，根的判别式，最大值问题等知识，解题的关键是运用数形结合的思想，并结合配方法解决最大值问题．
15．（2022秋•通州区校级月考）定义：若两个函数的图象关于某一点Q中心对称，则称这两个函数关于点Q互为“对称函数”．例如，函数y＝x2与y＝﹣x2关于原点O互为“对称函数”．
（1）函数y＝﹣x+1关于原点O的“对称函数”的函数解析式为 y＝x﹣1 ，函数y＝（x﹣2）2﹣1关于原点O的“对称函数”的函数解析式为 y＝﹣（x﹣2）2﹣1 ；
（2）已知函数y＝x2﹣2x与函数G关于点Q（0，1）互为“对称函数”，若函数y＝x2﹣2x与函数G的函数值y都随自变量x的增大而减小，求x的取值范围；
（3）已知点A（0，1），点B（4，1），点C（2，0），二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0），与函数N关于点C互为“对称函数”，将二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）与函数N的图象组成的图形记为W，若图形W与线段AB恰有2个公共点，直接写出a的取值范围．
【分析】（1）结合新定义利用待定系数法解答即可；
（2）利用数形结合的方法结合图象，利用新定义的规定解得即可；
（3）利用分类讨论的方法分三种情况解答：①当“对称函数”的顶点在AB上时，求得函数N的顶点坐标，利用对称性求得对称点的坐标，利用待定系数法即可求解；②当两个函数的交点在AB上时，利用两函数与x轴的交点坐标，求函数N的解析式，令y＝1，即可求得a值；③当“对称函数”经过点B时，将坐标代入函数N的解析式即可确定a的取值范围．
【解答】解：（1）∵两个函数是关于原点O的“对称函数”，
∴两个函数的点分别关于原点中心对称，
设函数y＝x+1上的任一点为（x，y），则它的对称点为（﹣x，﹣y），
将（﹣x，﹣y）代入函数y＝x+1得：
﹣y＝﹣x+1，
∴y＝x﹣1．
函数y＝x+1关于原点O的“对称函数”的函数解析式为y＝x﹣1；
同理可得，函数y＝（x﹣2）2+1关于原点O的“对称函数”的函数解析式为y＝﹣（x+2）2﹣1，
故答案为：y＝x﹣1；y＝﹣（x+2）2﹣1；
（2）函数G的解析式为y＝﹣（x+1）2+3，
如图，函数y＝x2﹣2x与函数G的函数值y都随自变量x的增大而减小，
∵“对称函数”的开口方向向下，
∴在对称轴的右侧y随自变量x的增大而减小，
函数y＝x2﹣2x在对称轴的左边y随自变量x的增大而减小，
∴函数y＝x2﹣2x与函数G的函数值y都随自变量x的增大而减小，自变量x的取值范围为﹣1＜x＜1；
（3）①当“伴随函数”的顶点在AB上时，如图，
∵y＝ax2﹣2ax﹣3a＝a（x﹣1）2﹣4a，
∴二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a的对称轴为直线x＝1，
∵点C（2，0）为对称中心，
∴函数N的对称轴为直线x＝3，
∴函数N的顶点坐标为（3，1），
∵（3，1）关于点C（2，0）对称的点为（1，﹣1），
∴将（1，﹣1）代入y＝ax2﹣2ax﹣3a得：
a﹣2a﹣3a＝﹣1，
∴a＝；
②当两个函数的交点在AB上时，如图，
二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a与x轴的交点为（﹣1，0）和（3，0），
∵点C（2，0）为对称中心，
∴函数N与x轴的交点为（5，0）和（1，0），
∴函数N的解析式为y＝﹣ax2+6ax﹣5a，
当y＝1时，
，
解得：a＝；
③当“伴随函数”经过点B时，如图，
∵点B（4，1），
∴1＝﹣a×16+6a×4﹣5a，
解得：a＝．
综上，图形W与线段AB恰有2个公共点，a的取值范围为a＝或a＝或a＞．
【点评】本题主要考查了待定系数法，二次函数的性质，抛物线与x轴的交点，中心对称图形的性质，抛物线上点的坐标的特征，本题是新定义型题目，理解新定义并熟练应用以及熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
16．（2022•天宁区校级二模）如图1，抛物线y＝x2+bx+c，点A（4，﹣3），对称轴是直线x＝2．顶点为D．抛物线与y轴交于点C，连接AC，过点A作AB⊥x轴于点B，点E是线段AC上的动点（点E不与A、C两点重合）．
（1）求抛物线的函数解析式和顶点D的坐标；
（2）若直线DE将四边形OBAC分成面积比为1：3的两个四边形，求点E的坐标；
（3）如图2，连接BE，作矩形BEFG，在点E的运动过程中，是否存在点G落在y轴上的同时点F也恰好落在抛物线上？若存在，求出此时AE的长；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）利用对称轴公式求出b＝﹣2，再将点A（4，﹣3）代入y＝x2﹣x+c，即可求函数的解析式；
（2）设E（t，﹣3），求出直线DE的解析式，设直线ED与x轴的交点为F，则F（4t﹣6，0），分两种情况讨论：当S梯形OCEF＝S矩形OCAB时，E（，﹣3）；当S梯形OCEF＝S矩形OCAB时，E（，﹣3）；
（3）过点F作MN∥y轴，过点G作GM⊥MN交于M，过点C作CN⊥MN交于N，设E（t，﹣3），分别证明△MGF≌△AEB（AAS），△MFG∽△NEF，从而求出F（t﹣4，），再将F代入抛物线的解析式即可求t＝，再求AE的长即可．
【解答】解：（1）∵抛物线的对称轴为直线x＝2，
∴﹣＝2，
解得b＝﹣1，
∴y＝x2﹣x+c，
将点A（4，﹣3）代入y＝x2﹣x+c，
∴4﹣4+c＝﹣3，
解得c＝﹣3，
∴y＝x2﹣x﹣3，
∵y＝x2﹣x﹣3＝（x﹣2）2﹣4，
∴顶点D（2，﹣4）；
（2）令x＝0，则y＝﹣3，
∴C（0，﹣3），
∵AB⊥x轴，
∴B（4，0），
设E（t，﹣3），
设直线DE的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得，
∴y＝x+，
设直线ED与x轴的交点为F，则F（4t﹣6，0），
当S梯形OCEF＝S矩形OCAB时，
∴×（4t﹣6+t）×3＝3×4×，
解得t＝，
∴E（，﹣3）；
当S梯形OCEF＝S矩形OCAB时，
∴×（4t﹣6+t）×3＝3×4×，
解得t＝，
∴E（，﹣3）；
综上所述：E点坐标为（，﹣3）或（，﹣3）；
（3）存在点G落在y轴上的同时点F也恰好落在抛物线上，理由如下：
过点F作MN∥y轴，过点G作GM⊥MN交于M，过点C作CN⊥MN交于N，
∵四边形BEFG是矩形，
∴∠GFE＝∠FEB＝90°，
∴∠MFG+∠NFE＝90°，∠MGF+∠MFG＝90°，
∴∠MGF＝∠NFE，
∵∠FEN+∠BEA＝90°，∠FEN+∠EFN＝90°，
∴∠BEA＝∠EFN，
∴∠MGF＝∠BEA，
∵FG＝BE，
∴△MGF≌△AEB（AAS），
∴MG＝AE，MF＝AB，
设E（t，﹣3），
∴AE＝4﹣t＝MG，AB＝3＝MF，
∵△MFG∽△NEF，
∴＝，即＝，
∴FN＝，
∴F（t﹣4，），
∵F在抛物线上，
∴（t﹣4）2﹣（t﹣4）﹣3＝，
解得t＝4或t＝，
∴点E不与A、C两点重合，
∴t＝，
∴AE＝4﹣＝．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，三角形全等的判定及性质，三角形相似的判定及性质是解题的关键．
巩固提升
一、单选题
1．（2021·江苏省天一中学三模）为了减少空气污染，国家要求限制塑料玩具生产，这样有时企业会被迫停产，经过调研预测，某塑料玩具生产公司一年中每月获得的利润y（万元）和月份n之间满足函数关系式y＝﹣n2+14n﹣24，则没有盈利的月份为（ ）
A．2月和12月 B．2月至12月 C．1月 D．1月、2月和12月
【答案】D
【分析】根据题意可知没有盈利时，利润为0和小于0的月份都不合适，从而可以解答本题．
【详解】解：∵y=-n2+14n-24=-（n-2）（n-12），1≤n≤12且n为整数，
∴当y=0时，n=2或n=12，
当y＜0时，n=1，
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
2．（2021·江苏·吴江经济技术开发区实验初级中学九年级月考）如图，正方形边长为4，、、、分别是、、、上的点，且．设、两点间的距离为，四边形的面积为，则与的函数图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了动点的函数图象，先判定图中的四个小直角三角形全等，再用大正方形的面积减去四个直角三角形的面积，得函数y的表达式，结合选项的图象可得答案．
【详解】解：∵正方形ABCD边长为4，AE=BF=CG=DH
∴AH=BE=CF=DG，∠A=∠B=∠C=∠D
∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG
∴y=4×4-x（4-x）×4
=16-8x+2x2
=2（x-2）2+8
∴y是x的二次函数，函数的顶点坐标为（2，8），开口向上，
从4个选项来看，开口向上的只有A和B，C和D图象开口向下，不符合题意；
但是B的顶点在x轴上，故B不符合题意，只有A符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，正确地写出函数解析式并数形结合分析是解题的关键．
3．（2021·江苏·苏州市振华中学校九年级月考）苏州市“东方之门”是由两栋超高层建筑组成的双塔连体建筑，“门”的造型是东方之门的立意基础，“门”的内侧曲线呈抛物线型，如图1，两栋建筑第八层由一条长60m的连桥连接，在该抛物线两侧距连桥150m处各有一窗户，两窗户的水平距离为30m，如图2，则此抛物线顶端O到连桥AB距离为（ ）
A．180m B．200m C．220m D．240m
【答案】B
【分析】以所在的直线为轴，以线段的垂直平分线所在的直线为轴建立平面直角坐标系，用待定系数法求得抛物线的解析式，则可知顶点的坐标，从而可得此抛物线顶端到连桥距离．
【详解】解：以所在的直线为轴，以线段的垂直平分线所在的直线为轴建立平面直角坐标系：
，，，
设抛物线的解析式为，将代入，得：
，
解得：，
，
抛物线顶端的坐标为，
此抛物线顶端到连桥距离为．
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，数形结合、熟练掌握待定系数法是解题的关键．
4．（2021·江苏吴中·二模）用一段长为20m的篱笆围成一个矩形菜园，设菜园的对角线长为xm，面积为ym2，则y与x的函数图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】设矩形的长为am，宽为bm，可得a+b＝10（m），由菜园的对角线长为xm，根据勾股定理a2+b2＝x2，由三角形成立条件与两数差平方非负性可得，由公式配方可得即可．
【详解】解：设矩形的长为am，宽为bm，
根据题意，得a+b＝20÷2＝10（m），
∵菜园的对角线长为xm，
∴a2+b2＝x2，
∵x，，
∴x2=a2+b2≥,仅当取等号，
∴x2≥2×5×5，
∴x≥，
，
∵（a+b）2＝a2+2ab+b2，
∴102＝x2+2ab，
∴，
∴0≤y＜25，且x＝时，y＝25，
∴y与x函数图象是二次函数的图象，即开口方向向下的抛物线．
故选：B．
【点睛】本题考查列二次函数解析式，自变量取值范围，完全平方公式，矩形面积，掌握列二次函数解析式，自变量取值范围，完全平方公式，矩形面积是解题关键．
5．（2021·江苏吴江·二模）用一段长为的篱笆围成一个矩形菜园，设菜园的对角线长为，面积为，则y与x的函数图像大致是（ ）
A． B．C． D．
【答案】B
【分析】设矩形的长为am，宽为bm，根据矩形的性质可得a+b=10，根据勾股定理可得a、b、x的关系，从而得出y与x的函数关系式，然后问题可求解．
【详解】解：设矩形的长为am，宽为bm，由题意得：，
∵菜园的对角线长为，
∴，
∴a2+（10-a）2=x2，
整理，得2a2-20a+100=x2，
易得≤x＜10，
∵（a+b）2=a2+2ab+b2，
∴102=x2+2ab，
∴，
∴0≤y＜25，且x=时，y=25，
∴y与x函数图象是二次函数的图象，即开口向下的抛物线；
故选B．
【点睛】本题主要考查二次函数的实际应用，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
6．（2021·江苏昆山·九年级期中）如图①，“东方之门”通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了苏州的历史文化．如图②，“门”的内侧曲线呈抛物线形，已知其底部宽度为80米，高度为200米．则离地面150米处的水平宽度（即CD的长）为（ ）
A．40米 B．30米 C．25米 D．20米
【答案】A
【分析】以底部所在的直线为轴，以线段的垂直平分线所在的直线为轴建立平面直角坐标系，用待定系数法求得外侧抛物线的解析式，则可知点、 的横坐标，从而可得的长．
【详解】解：以底部所在的直线为轴，以线段的垂直平分线所在的直线为轴建立平面直角坐标系：
，，
设抛物线的解析式为，将代入，得：
，
解得：，
抛物线的解析式为，
将代入得：，
解得：，
，，
，
故选：
【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，数形结合、熟练掌握待定系数法是解题的关键．
7．（2021·江苏海安·九年级期中）如图，在矩形中，，，动点P，Q同时从点A出发，点P沿A→B→C的路径运动，点Q沿A→D→C的路径运动，点P，Q的运动速度相同，当点P到达点C时，点Q也随之停止运动，连接．设点P的运动路程为x，为y，则y关于x的函数图象大致是（ ）
A． B．
C．D．
【答案】C
【分析】分0≤x≤3，3＜x≤4，4＜x≤7三种情况，分别画出图形，列出函数关系式，根据函数图象与性质逐项排除即可求解．
【详解】解：如图1，当0≤x≤3时，，
∴A选项错误，不合题意；
如图2，当3＜x≤4时，作QE⊥AB于E，，
∴B选项错误，不合题意；
如图3，当4＜x≤7时，，
∴选项D错误，不合题意．
故选：C
【点睛】本题为根据点的运动确定函数图象，考查了分类讨论、列函数解析式，二次函数图象、勾股定理等知识，综合性较强，根据题意分类讨论，列出函数关系式是解题关键．
二、填空题
8．（2017·江苏·创新外国语学校九年级月考）某种商品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元（，且x为整数）出售，可卖出件，若使利润最大，则每件商品的售价应为_______元．
【答案】25
【分析】本题是营销问题，基本等量关系：利润=每件利润×销售量，每件利润=每件售价-每件进价．再根据所列二次函数求最大值．
【详解】解：设利润为w元，
则w=（x-20）（30-x）=-（x-25）2+25，
∵20≤x≤30，
∴当x=25时，二次函数有最大值25，
故答案是：25．
【点睛】本题考查了把实际问题转化为二次函数，再利用二次函数的性质进行实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．
9．（2021·江苏昆山·九年级期中）如图，长为9cm，宽为6cm的大矩形被分割为7个小矩形，除矩形A，B（阴影部分）外，其余5块是形状、大小完全相同的小矩形则矩形A与矩形B面积和的最小值是____．
【答案】
【分析】设其余5块形状、大小完全相同的小矩形的短边为x，根据图形表示出矩形A与矩形B面积，求出面积和的表达式，根据二次函数的性质求解即可．
【详解】解：设其余5块形状、大小完全相同的小矩形的短边为x，
根据图中各边关系可得：
，
，
∴，
当时，，符合题意，
∴矩形A与矩形B面积和的最小值为：，
故答案为：．
【点睛】题目主要考查了矩形的性质、二次函数的应用及最值问题，理解题意，表示出两个矩形的面积是解题关键．
10．（2021·江苏昆山·一模）如图，矩形中AB＝2，AD＝5，动点P从点A出发，以1 cm/s的速度沿AD向终点D移动，设移动时间为t（s）．连接PC，以PC为一边作正方形PCEF，连接DE、DF，则面积最小值为_________．
【答案】
【分析】由题意得：AP=t，PD=5-t，可求得，由正方形的性质得到，代入计算即可求解．
【详解】解：由题意得：AP=t，PD=5-t，
∴，
∵四边形PCEF是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴当t=4时，△DEF的面积最小，最小值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查正方形的性质、二次函数与动点问题、勾股定理，解题的关键是综合利用相关知识解题．
11．（2021·江苏邗江·二模）定义：在平面直角坐标系中，O为坐标原点，设点P的坐标为，当x<0时，点P的变换点的坐标为；当时，点P的变换点的坐标为．抛物线与x轴交于点C，D（点C在点D的左侧），顶点为E，点P在该抛物线上．若点P的变换点在抛物线的对称轴上，且四边形ECP′D是菱形，则满足该条件所有n值的和为________．
【答案】-13
【分析】根据四边形ECP′D是菱形,点E与点P′关于x轴对称，可求P′（2，-n）,根据变换当点P在y轴左侧， P（-2，-n）, 当点P在y轴右侧，P（-n,-2），点P在上，或解方程即可．
【详解】解：∵四边形ECP′D是菱形,点E与点P′关于x轴对称，
∵E（2，n）,
∴P′（2，-n）,
当点P在y轴左侧，, P的坐标为，点P的变换点的坐标为；
∴P（-2，-n）,
∵点P在上，
∴，
∴；
当点P在y轴右侧，, P的坐标为，点P的变换点的坐标为．
∴P（-n,-2），
∵点P在上，
∴，
整理得，
因式分解得，
解得；
∴n=-8或-2或-3．
∴-8-2-3=-13，
故答案为-13．
【点睛】本题考查点的变换，二次函数性质，菱形性质，掌握点的变换特征，二次函数性质，菱形性质是解题关键．
12．（2021·江苏海安·九年级期中）如图，小球从长度为8m的斜面顶端由静止开始沿斜面滚下，速度每秒增加1m/s，则下列说法：①小球每秒滚动1米；②由静止开始经过1秒，小球滚动了0.5米；③小球滚动到斜面底端时需要4秒；④小球滚动的距离S与经过的时间t的关系为；其中说法正确的是__________．（填写序号）
【答案】②③④
【分析】根据题意表示出平均速度，根据滚动距离=平均速度乘以时间得出关系式，解答即可．
【详解】解：∵速度每秒增加1m/s，
∴秒后小车的速度为 m/s，
平均速度为： m/s，
∴小球滚动的距离S与经过的时间t的关系为：，故④正确；
∴小球由静止开始第秒滚动的距离为：米，故①错误，②正确；
小球滚动到斜面底端：，解得：（舍），故③正确，
故答案为：②③④．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，根据题意得出小球滚动的距离S与经过的时间t的关系是解本题的关键．
三、解答题
13．（2021·江苏昆山·九年级期中）某数学实验小组为学校制作了一个如图所示的三棱锥模型P﹣ABC，已知三条侧棱PA，PB，PC两两互相垂直，且棱PB与PC的和为6米，PB＝2PA．现要给该模型的三个侧面（即Rt△PAB，Rt△PBC，Rt△PAC）刷上油漆，已知每平方米需要刷0.5升油漆，油漆的单价为60元/升．
（1）设PA的长为x米，三个侧面的面积之和为y平方米，试求y（平方米）关于x（米）的函数关系式；
（2）若油漆工的工时费为10元/平方米，该实验小组预算总费用为410元（即油漆费和工时费）．试通过计算判断完成该模型的油漆工作是否会超出预算？
【答案】（1）y关于x的函数关系式为y=-2x2+9x；（2）完成该模型的油漆工作不会超出预算．
【分析】（1）先根据PA的长为x米，PB=2PA，PB+PC=6米，求出PB=2x米，PC=（6-2x）米，然后根据三棱锥的侧面积等于三个直角三角形面积公之和列出函数解析式即可；
（2）由（1）解析式，根据函数的性质求出最大面积，然后根据总费用=油漆费和工时费算出最大费用，然后与410比较即可．
【详解】解：（1）∵PA=x米，PB=2PA，PB+PC=6米，
∴PB=2x米，PC=（6-2x）米，
由题意，得：y=PA•PB+PA•PC+PB•PC
=x•2x+x（6-2x）+×2x（6-2x）
=x2+3x-x2+6x-2x2
=-2x2+9x，
∴y关于x的函数关系式为y=-2x2+9x；
（2）由（1）知，y=-2x2+9x=-2（x-）2+，
∵-2＜0，
∴当x=时，y有最大值，最大值，
当y取得最大值时，需要总费用为：×（0.5×60+10）=405（元），
∵405＜410，
∴完成该模型的油漆工作不会超出预算．
【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，关键是根据等量关系列出函数关系式．
14．（2021·江苏新北·九年级期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12cm，BC＝9cm．现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB向点B方向运动，如果点P的速度是2cm/s，点Q的速度是lcm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动的时间为ts，Rt△CPQ的面积Scm2．
（1）用含t的代数式表示S．
（2）当运动多少秒时，Rt△CPQ的面积等于5cm2？
【答案】（1）；（2）当运动1或5秒时，Rt△CPQ的面积等于5cm2
【分析】（1）先表示出AP=2t，CP=12-2t，再利用三角形面积公式即可求解；
（2）把S=5代入，即可求解．
【详解】解：（1）由题意得：AP=2t，CQ=t，CP=12-2t，
∴S=，即：；
（2）当S=5时，，
解得：t=1或5，
答：当运动1或5秒时，Rt△CPQ的面积等于5cm2．
【点睛】本题主要考查二次函数的实际应用以及解一元二次方程，根据数量关系，列出函数解析式是解题的关键．
15．（2021·江苏·扬州市梅岭中学九年级月考）为满足市场需求，某超市在端午节的前夕购进价格为3元/个的粽子，根据市场预测，该品牌粽子每个售价4元时，每天能出售500个，并且售价每上涨0.1元，其销售量将减少10个，为了维护消费者利益，物价部门规定，该品牌粽子的售价不能超过进价的.
（1）该品牌粽子定价为多少元时，该超市每天的销售利润为800元.
（2）该超市每天的销售利润能否达到1000元，若能，请求出该品牌每个粽子的售价，若不能，请说明理由.
【答案】（1）5元；（2）不能，理由见解析．
【分析】（1）设每个粽子的定价为x元时，由于每天的利润为800元，根据利润=（定价-进价）×销售量，列出方程求解即可．
（2）设每个粽子的定价为m元，则每天的利润为w，根据题意写出w关于m的二次函数，通过配方写成顶点式，根据二次函数的性质可得答案．
【详解】解：（1）设每个粽子的定价为x元时，每天的利润为800元，
根据题意得，(x−3)(500−10×)＝800，
解得x1=7，x2=5，
∵售价不能超过进价的200%，
∴x≤3×200%，即x≤6，
∴x=5，
∴定价为5元时，每天的利润为800元．
（2）不能．
设每个粽子的定价为m元，则每天的利润为w，则有：
w=（m-3）（500-10×）
=（m-3）（500-100m+400）
=-100（m-3）（m-9）
=-100（m2-12m+27）
=-100[（m-6）2-9]
=-100（m-6）2+900
∵二次项系数为-100＜0，m≤6，
∴∴当定价为6元时，每天的利润最大，最大的利润是900元，不能达到1000元．
【点睛】本题考查了一元二次方程和二次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系正确列式是解题的关键．
16．（2021·江苏·南通田家炳中学九年级月考）年受疫情的影响，人们就业困难，为此政府大力支持创业，地摊文化风大街小巷．大学毕业生李强在政府的扶持下投资销售一种进价为每件元的学生护眼灯．销售过程中发现，每月销售量（件）与销售单价（元）之间的关系可近似的看作次函数：．
（1）小明每月获得的利润为（元），试问当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？最大利润是多少？
（2）如果小明想要每月获得元的利润，那么销售单价应定为多少元？
【答案】（1）当销售单价定为50元时，每月可获得最大利润，最大利润是4000元；（2）小明想要每月获得元的利润，销售单价应定为40元或60元．
【分析】（1）根据总利润=每件利润×件数，列函数关系式，将其配方变为顶点式w，根据二次函数的性质即可求解；
（2）由w=3000元，建立一元二次方程，解方程即可．
【详解】解：（1）每月销售量（件）与销售单价（元）之间的关系为：．
∴w=（x-30）·y=（x-30）（-10x+700）=，
∴w，
∵a=-10＜0，函数开口向下，函数有最大值，当x=50时，w最大=4000元，
∴当销售单价定为50元时，每月可获得最大利润，最大利润是4000元；
（2）∵w=3000元，
∴w，
∴，
∴，
∴，，
经检验都符合题意，且都是原方程的解．
∴小明想要每月获得元的利润，销售单价应定为40元或60元．
【点睛】本题考查列二次函数解析式，利用函数的性质求最值，一元二次方程的解法，掌握列二次函数解析式，会用配方法化为顶点式求最值，会一元二次方程的解法是解题关键．
17．（2021·江苏射阳·九年级月考）国庆期间，某商场销售一种商品，进货价为20元/件，当售价为24元/件时，每天的销售量为200件，在销售的过程中发现：销售单价每上涨1元，每天的销量就减少10件．设销售单价为x（元/件）（x≥24），每天销售利润为y（元）．
（1）直接写出y与x的函数关系式为： ；
（2）若要使每天销售利润为1400元，求此时的销售单价；
（3）若每件小商品的售价不超过36元，求该商场每天销售此商品的最大利润．
【答案】（1）；（2）此时的销售单价为30元或34元；（3）该商场每天销售此商品的最大利润为1440元．
【分析】（1）根据题意可直接进行求解；
（2）由（1）及题意可得，进而求解方程即可；
（3）由可得该二次函数的图象开口向下，对称轴为直线，进而根据二次函数的性质可求解．
【详解】解：（1）由题意得：
y与x的函数关系式为：；
故答案为；
（2）由题意得：
，
解得：；
答：此时的销售单价为30元或34元．
（3）由可得，
∴该二次函数的图象开口向下，对称轴为直线，
∵每件小商品的售价不超过36元，
∴当时，该商场每天销售此商品的利润为最大，最大值为1440；
答：该商场每天销售此商品的最大利润为1440元．
【点睛】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质及一元二次方程的求解是解题的关键．
18．（2021·江苏·宜兴市树人中学九年级期中）某商场将每件进价为80元的A商品按每件100元出售，一天可售出128件．经过市场调查，发现这种商品的销售单价每降低2元，其日销量可增加16件．设该商品每件降价x元，商场一天可通过A商品获利润y元．
（1）求y与x之间的函数解析式（要展开化简，不必写出自变量x的取值范围）．
（2）A商品销售单价为多少时，该商场每天通过A商品所获的利润最大？
【答案】（1）y＝﹣8x2＋32x＋2560；（2）98元
【分析】（1）商品每件降价x元时单价为（100﹣x）元，销售量为（128＋8x）件，列出函数解析式，即可；
（2）把二次函数化为顶点式，进而即可求解．
【详解】解：（1）由题意得，商品每件降价x元时单价为（100﹣x）元，销售量为（128＋8x）件，
则y＝（128＋8x）（100﹣x﹣80）
＝﹣8x2＋32x＋2560，
即y与x之间的函数解析式是y＝﹣8x2＋32x＋2560；
（2）∵y＝﹣8x2＋32x＋2560＝﹣8（x﹣2）2＋2592，
∴当x＝2时，y取得最大值，此时y＝2592，
∴销售单价为：100﹣2＝98（元），
答：A商品销售单价为98元时，该商场每天通过A商品所获的利润最大．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，解决本题的关键是熟练应用销售问题的数量关系，列出函数解析式．
19．（2021·江苏东台·九年级期中）二次函数y＝x2﹣2mx的图象交x轴于原点O及点A．
感知特例（1）当m＝1时，如图1，抛物线L：y＝x2﹣2x上的点B，O，C，A，D分别关于点A中心对称的点为B′，O′，C′，A′，D′，如表：
…
B（﹣1，3）
O（0，0）
C（1，﹣1）
A（ ， ）
D（3，3）
…
…
B'（5，﹣3）
O′（4，0）
C'（3，1）
A′（2，0）
D'（1，﹣3）
…
(1)补全表格；
(2)在图1中描出表中对称后的点，再用平滑的曲线依次连接各点，得到的图象记为L'．
形成概念我们发现形如（1）中的图象L'上的点和抛物线L上的点关于点A中心对称，则称L'是L的“孔像抛物线”．例如，当m＝﹣2时，图2中的抛物线L'是抛物线L的“孔像抛物线”．
(3)探究问题当m＝﹣1时，若抛物线L与它的“孔像抛物线”L'的函数值都随着x的增大而减小，则x的取值范围为 ；
【答案】（1）(2，0)；（2）见解析；（3）
【分析】（1）根据点关于点中心对称的点与点重合，及点的坐标，即可求解；
（2）用描点法画出函数的图像即可；
（3）根据二次函数的增减性知在两条抛物线的对称轴之间，两条抛物线的函数值都随的增大而减小，由此得出结果．
【详解】解：（1）由题意可得：点关于点中心对称的点
∴点与点重合
又∵
∴
故答案为
（2）根据坐标，在坐标系中描点，连接即可，如下图：
(3) ，
对称轴为，顶点坐标为，，开口向上，当时，的函数值都随着x的增大而减小
令，即，可得
点关于点对称的点为
设，将代入得：，解得
对称轴为，，开口向下，当时，的函数值都随着x的增大而减小
综上所述：
【点睛】此题考查了二次函数的综合应用，涉及了二次函数的图像和性质，中心对称的性质和应用，待定系数法求解函数解析式，解题的关键是理解题意，运用数形结合思想解决问题．
20．（2021·江苏工业园区·九年级期中）某商场出售一种成本为20元的商品，市场调查发现，该商品每天的销售量w（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：w＝﹣2x+80．设这种商品的销售利润为y（元）．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）在不亏本的前提下，销售价在什么范围内每天的销售利润随售价增加而增大？最大利润是多少？
（3）如果物价部门规定这种产品的销售价不得高于28元/千克，该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为多少元？
【答案】（1）；（2）售价在20﹣30元时，每天的销售利润随售价的增加而增加，售价为30元/千克时每天利润最大是200元；（3）25元/千克
【分析】（1）根据销售利润为每天的销售量乘以每千克的利润，求解即可；
（2）根据二次函数的性质，求得对称轴以及最大值即可；
（3）确定销售价的范围，再根据二次函数的性质，求得最大值即可．
【详解】解：（1）销售价为x（元/千克），则销售利润为（元/千克）
则利润
故答案为
（2）由题意可得
由（1）得，
∵，开口向下，对称轴
∴当时，随的增大而增大
当时，利润最大，为元
售价在20﹣30元时，每天的销售利润随售价的增加而增加，售价为30元/千克时每天利润最大是200元．
（3）由题意可得：
令，则
解得：，
又∵
∴
当销售价定为25元/千克时，该农户每天可获得销售利润150元．
【点睛】此题考查了二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握二次函数的有关性质，理解题意找到等量关系列出函数关系式或方程．
21．（2021·江苏海安·九年级期中）2022年冬奥会即将在北京召开，某网络经销商购进了一批以冬奥会为主题的文化衫进行销售，文化衫的进价每件40元，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系如图所示，设每月获得的利润为W（元）．
（1）直接写出每月的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式，并求当销售单价为多少元时，销售这款文化衫每月所获得的利润最大？
（2）该网店的营销部结合上述情况，提出了A，B两种营销方案：
方案A：销售单价高于进价且不超过60元．
方案B：每月销售量不少于220件，且每件文化衫利润至少为35元．
请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由．
【答案】（1）y＝－10x＋1000，当销售单价为70元时，销售这款文化衫每月所获得的利润最大；（2）方案B利润最高，见解析
【分析】（1）根据一次函数的图象，得到图象上两点坐标（40，600），（80，200），利用待定系数法解题；设销售利润为W，根据销售利润=销售单价销售量，结合配方法解得利润为，再根据二次函数的最值解题；
（2）根据题意解得75≤x≤78，再根据二次函数图象的性质，解出最值即可做出判断．
【详解】解（1）：由题意：设y与x之间的函数关系式为：y＝kx＋b（k≠0），
将（40，600），（80，200）代入得：
解得，
∴y＝－10x＋1000，
由题意得：W＝（x－40）y
＝（x－40）（－10x＋1000）
＝－10x2＋1400x－40000
，
∵a＝－10＜0，
∴当x＝70时，W有最大值，W最大值＝9000（元），
答：当销售单价为70元时，销售这款文化衫每月所获得的利润最大；
（3）方案A：由题意，40＜x≤60，
方案B：由y＝－10x＋1000≥220，可得x≤78，
再由每件文化衫利润至少为35元，可得75≤x≤78，
∵a＝－10＜0，且对称轴为直线x＝70，75－70＜70－60，
当x＝75时，最大利润最高，选择方案B．
【点睛】本题考查二次函数及其应用、待定系数法法求一次函数解析式等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
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