初中数学苏科版九年级下册6.5 相似三角形的性质精品练习

第14讲 相似三角形的性质与图形位似（6大考点）

一．相似三角形的性质

相似三角形的定义：如果两个三角形的对应边的比相等，对应角相等，那么这两个三角形相似．

（1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．

（2）相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比；

相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比．

（3）相似三角形的面积的比等于相似比的平方．

由三角形的面积公式和相似三角形对应线段的比等于相似比可以推出相似三角形面积的比等于相似比的平方．

二．相似三角形的判定与性质

（1）相似三角形是相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等．

（2）三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有事可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可．

三．作图-相似变换

（1）两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到．

（2）相似图形的作图在没有明确规定的情况下，我们可以利用相似的基本图形“A”型和“X”型进行简单的相似变换作图．如图所示：

（3）如果题目有条件限制，可根据相似三角形的判定条件作为作图的依据．比较简单的是把原三角形的三边对应的缩小或放大一定的比例即可得到对应的相似图形．

四．位似变换

（1）位似图形的定义：

如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．

    注意：①两个图形必须是相似形；

②对应点的连线都经过同一点；

③对应边平行．

（2）位似图形与坐标

在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．

五．作图-位似变换

（1）画位似图形的一般步骤为：

①确定位似中心；②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；④顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．

借助橡皮筋、方格纸、格点图等简易工具可将图形放大或缩小，借助计算机也很好地将一个图形放大或缩小．

（2）注意：①画一个图形的位似图形时，位似中心的选择是任意的，这个点可以在图形的内部或外部或在图形上，对于具体问题要考虑画图方便且符合要求．②由于位似中心选择的任意性，因此作已知图形的位似图形的结果是不唯一的．

六．射影定理

（1）射影定理：

①直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项．

②每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．

（2）Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是斜边BC上的高，则有射影定理如下：①AD2＝BD•DC；

②AB2＝BD•BC；AC2＝CD•BC．

一．相似三角形的性质（共2小题）

1．（2022秋•苏州期中）如图，△ABC∽△A1B1C1，若，A1B1＝4，则AB的长度为（　　）

A．1 B．2 C．8 D．16

2．（2022秋•锡山区期中）P是△ABC边上的任一点（P不与A、B、C重合），过点P的一条直线截△ABC，如果截得的三角形与△ABC相似，我们称这条直线为过点P的△ABC的“相似线”．Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，当点P是边BC上一个三等分点时（PB＞PC），过点P的△ABC的“相似线”最多有 　   　条．

二．相似三角形的判定与性质（共12小题）

3．（2022秋•惠山区期中）如图，已知▱ABCD中，点E是DC边的中点，连结BD、BE、AE，AE交BD于点F，则下列结论正确的是（　　）

A．BD＝2DF B．AF＝2BF 

C．S△ABF＝2S△DEF D．S△ADF＝S△BEF

4．（2022秋•锡山区期中）如图，DE∥BC，若AD：DB＝2：3，则DE：BC＝（　　）

A．2：3 B．3：2 C．1：3 D．2：5

5．（2022秋•靖江市月考）如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝5，点D、F分别在BC、AC上，CD＝2BD，CF＝2AF，BE交AD于点F，则△AFE面积的最大值是 　   　．

6．（2022秋•惠山区校级月考）如图，在平行四边形ABCD中，CE是∠DCB的角平分线，且交AB于点E，DB与CE相交于点O．

（1）求证：△EBC是等腰三角形；

（2）已知：AB＝7，BC＝5，求的值．

7．（2022秋•惠山区期中）如图，四边形ABCD中，E在AD边上，DE＝2AE，CE∥AB，BE∥CD．

（1）求证：△ABE∽△ECD；

（2）已知△ABE面积为3，求四边形ABCD的面积．

8．（2022秋•苏州期中）如图，Rt△ABC中∠BCA＝90°，AE2＝AD•AC，点D在AC边上，以CD为直径画⊙O与AB交于点E．

（1）求证：AB是⊙O的切线；

（2）若AD＝DO＝1，求BE的长度．

9．（2022秋•苏州期中）如图，线段AD上有一点B，作BE∥AC，DE∥BC．

（1）求证：△ABC∽△BDE；

（2）若AD＝15，DE＝8，BC＝16，求AB的长度．

10．（2022秋•锡山区校级月考）如图，在△ABC中，点D在AB边上，∠B＝∠ACD，且∠A＝90°．

（1）求证：△ABC∽△ACD；

（2）若AD＝2，AB＝6．求CD的长．

11．（2022秋•太仓市期中）如图，AB是⊙O的直径，半径OC⊥AB于点O，AD平分∠BAC，交OC于点E，交于点D，连接CD，OD，给出以下四个结论：

①S△ACE＝2S△DOE；②CE＝OE；③＝2；④2CD2＝CE•AB．

其中结论正确的序号是（　　）

A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④

12．（2022秋•锡山区校级月考）如图，正方形ABCD的边长为6，点E是BC的中点，连接AE与对角线BD交于点G，连接CG并延长，交AB于点F，连接DE交CF于点H，连接AH．以下结论：①∠DEC＝∠AEB；②CF⊥DE；③AF＝BF；④＝，⑤HG＝，其中正确结论的个数是（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5

13．（2022秋•建邺区期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，点P在AB边上运动（不与点A、B重合），过点P作PQ⊥PC，交射线CA于点Q，则线段CQ长度的最小值为 　   　．

14．（2022秋•崇川区校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，点O为△BC的内心，连接OA，OC，过点O作OD∥BC交AC于点D，则OD的长为 　   　．

三．作图-相似变换（共3小题）

15．（2022春•江阴市校级月考）以下各图均是由边长为1的小正方形组成的网格，图中的点A、B、C、D均在格点上．

（1）在图①中，PC：PB＝　   　．

（2）利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法．

①如图②，在AB上找一点P，使AP＝3．

②如图③，在BD上找一点P，使△APB∽△CPD．

16．（2022秋•靖江市校级月考）在△ACB中，∠ABC＝90°，用直尺和圆规在AC上确定点D，使△BAD∽△CBD，根据作图痕迹判断，正确的是（　　）

A． B． 

C． D．

17．（2022秋•江阴市校级月考）在4×6的网格中，格点△ABC的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．

（1）填空：△ABC的面积为 　   　．

（2）请利用网格再画一个格点△DEF∽△ABC且面积最小，并将此三角形涂上阴影．（注：标上字母）

四．位似变换（共3小题）

18．（2022秋•邗江区校级月考）如图，O是位似中心，点A，B的对应点分别为点D、E，相似比为2：1，若AB＝8，则DE的长为（　　）

A．8 B．10 C．12 D．16

19．（2022秋•靖江市校级月考）在如图所示的肉眼成像的示意图中，可能没有蕴含下列哪项初中数学知识（　　）

A．平行线的性质 B．相似三角形的判定 

C．位似图形 D．旋转

20．（2021秋•溧水区期末）如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心将△OAB放大得到△OCD．若点A、C的横坐标分别为1、2，且AB＝，则线段CD的长为（　　）

A．2 B． C．4 D．2

五．作图-位似变换（共2小题）

21．（2022秋•靖江市期中）如图是6×6的网格，每个小正方形的顶点称为格点．ABC顶点A B、C均在格点上，仅用没有刻度的直尺在给定网格中按要求作图，并保留作图痕迹．

（1）在图中画出△ABC中BC边上的中线AD；

（2）在图中画出△BMN，使得△BMN与△BAC是位似图形，且点B为位似中心，点M、N分别在AB、BC边上，位似比为；

（3）若每个小正方形的边长为1，则四边形AMND的面积是 　   　．

22．（2022秋•苏州期中）如图，在平面直角坐标系中，网格的每个小方格都是边长为1的正方形，点A，B，C，的坐标分别为A（1，2），B（0，1），C（2，0），先以原点O为位似中心在第三象限画一个△A1B1C1使它与△ABC位似，且相似比2：1．

（1）画出△A1B1C1，点A1的坐标为 　   　；

（2）求△A1B1C1的面积．

六．射影定理（共2小题）

23．（2021秋•广陵区校级月考）如图在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，若AD＝2，DB＝4，则CD的长为 　   　．

24．（2021秋•沛县校级月考）如图，Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，AD＝6，BD＝3．

（1）求证△DAC∽△DCB；

（2）求DC的长．

一、单选题

1．（2021·江苏姜堰·九年级期中）两个相似三角形面积比是1：4，若小三角形的周长为8cm，则另一个三角形的周长是（    ）

A．32cm B．4cm C．16cm D．4或16cm

2．（2021·江苏江阴·九年级期中）如图，在平面直角坐标系中，正方形与正方形是以原点为位似中心的位似图形，且面积比为，点、、点在轴上，若点的坐标为，则点的坐标为　　

A． B． C． D．

3．（2021·江苏昆山·九年级期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点E在AB边上由点A向点B运动（不与点A，点B重合），过点E作EF垂直AB交直角边于F．设AE＝x，△AEF面积为y，则y关于x的函数图像大致是（    ）

A．              B．

C．                 D．

4．（2020·江苏·江阴高新区实验中学九年级月考）如图，点在射线上，点在射线上，且，．若，的面积分别为1，4，则图中三个阴影三角形面积之和为 （    ）

A．8 B．9 C．10 D．10.5

二、填空题

5．（2021·江苏姜堰·九年级期中）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，ABC的三个顶点均在格点(网格线的交点)上，以原点O为位似中心，画A1B1C1，使ABC与A1B1C1的位似比为2，则点B的对应点B1的坐标是_________．

6．（2021·江苏建邺·九年级期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝8，M是CD的中点，点P是BC上一个动点，若∠DPM的度数最大，则BP＝__．

7．（2020·江苏·睢宁县古邳中学九年级月考）如图，平面直角坐标系中有正方形和正方形，若点和点的坐标分别为，，则两个正方形的位似中心的坐标是__________．

三、解答题

8．（2021·江苏滨湖·九年级期中）如图，在平行四边形ABCD中，点E在BC上，∠C＝∠DEA．

（1）求证：△ADE∽△DEC；

（2）若CE＝2，DE＝4，求EB的长．

9．（2021·江苏锡山·九年级期中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D是AC边上的一点，DE⊥AB于点E．

（1）求证：△ABC∽△ADE；

（2）如果AC=4，BC=3，DE=2，求AD的长．

10．（2021·江苏南京·九年级期中）如图，在中，．

（1）用直尺和圆规作，使圆心在上且与、所在的直线相切（保留作图痕迹，不写作法）；

（2）若，，求的半径．

11．（2021·江苏·无锡市江南中学九年级期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，点P，Q都是斜边AB上的动点，点P从B向A运动（不与点B重合），点Q从A向B运动，BP＝AQ．点D，E分别是点A，B以Q，P为对称中心的对称点，HQ⊥AB于Q，交AC于点H，当点E到达顶点A时，P，Q同时停止运动，设BP的长为x，△HDE的面积为y．

（1）求证：△DHQ∽△ABC；

（2）求y关于x的函数解析式；

（3）当x为何值时，△HDE为等腰三角形？

12．（2021·江苏·无锡市江南中学九年级期中）如图，在平面直角坐标系中，△AOB的项点坐标分别为A（2，1）、O（0，0）、B（1，﹣2）．

（1）△AOB向左平移3个单位，向上平移1个单位，请画出平移后的△A1O1B1；

（2）以点O为位似中心，在y轴的右侧画出△AOB的一个位似△A2OB2，使它与△AOB的相似比为2：1；

（3）若△A2OB2与△A1O1B1是关于某一点Q为位似中心的位似图形，请在图中标出位似中心Q，并写出点Q的坐标．

13．（2021·江苏建邺·九年级期中）如图，D为⊙O上一点，点C是直径BA延长线上的一点，且∠CDA＝∠CBD．

（1）求证：CD是⊙O的切线；

（2）过点B作⊙O的切线BE交CD的延长线于点E，若BC＝12，AC＝4，求BE的长．

14．（2021·江苏宝应·九年级期中）如图．在△ABC中．AB＝4，D是AB上的一点（不与点A、B重合），DEBC．交于点E．设△ABC的面积为S．△DEC的面积为S′．

（1）当D是AB的中点时．求的值．

（2）若AD＝x，＝y，求y关于x的函数关系式以及自变量x的取值范围．

（3）根据y的取值范围，探索S与S′之间的大小关系．并说明理由．

15．（2019·江苏高邮·一模）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，动点P从点D出发沿DA向终点A运动，同时动点Q从点A出发沿对角线AC向终点C运动．过点P作PE∥DC，交AC于点E，动点P、Q的运动速度是每秒1个单位长度，运动时间为x秒，当点P运动到点A时，P、Q两点同时停止运动．设PE＝y；

（1）求y关于x的函数关系式；

（2）探究：当x为何值时，四边形PQBE为梯形？

（3）是否存在这样的点P和点Q，使P、Q、E为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由．

16．（2021·江苏姜堰·九年级期中）如图1，在梯形ABCD中，ADBC，BC=2AD，E为边BC的中点，请仅用无刻度的直尺作图：

（1）作BD的中点F；

（2）作BE的中点G；

（3）如图2，△BDE的中线EF、DG交于点H，若△EGH的面积为1，则四边形BGHF的面积为            ．