第06讲 实数的运算（4大考点）-七年级数学上学期考试满分全攻略(浙教版）

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第06讲 实数的运算（4大考点）
考点考向

一、实数大小的比较
正实数大于0，负实数小于0.
两个正数，绝对值大的数较大；两个负数，绝对值大的数较小.
从数轴上看，右边的点所表示的数总比左边的点所表示的数大.
二、实数的运算
有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数.
当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方运算，而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算.在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用.
考点精讲

题型一：实数的混合混算
一、填空题
1．（2021·浙江·杭州市青春中学七年级期中）计算：
（1）＝___.（2）4+＝___．（3）的立方根为 ___．
（4）如果的平方根是±3，则＝___．
【答案】     4     8     3     4
【分析】（1）根据立方根的定义求解即可；
（2）根据平方根的定义先化简，然后求解即可；
（3）根据平方根的定义先化简，再求立方根即可；
（4）根据平方根的定义先求出，然后代入求解即可．
【详解】解：（1）；
（2）；
（3）∵，
∴的立方根即为8的立方根，8的立方根为3，
∴的立方根为3；
（4）∵的平方根是±3，
∴，
∴，
∴；
故答案为：4；8；3；4．
【点睛】本题考查平方根，算术平方根以及立方根的相关计算，理解平方根与立方根的相关基本概念是解题关键．
2．（2021·浙江温州·七年级期中）如图边长为2的正方形，则图中的阴影部分面积是______．

【答案】
【分析】由图可知阴影部分的面积等于正方形面积减去圆的面积，由此求解即可．
【详解】解：根据题意可得：
S阴影＝＝．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了实数的运算，解题的关键是熟知正方形、圆的面积公式．
3．（2022·浙江宁波·七年级期末）计算： ________．
【答案】1
【分析】先化简绝对值，再加减运算即可求解．
【详解】解：∵3＜π＜4，
∴=1，
故答案为：1．
【点睛】本题考查化简绝对值、实数的加减运算，会利用绝对值的性质化简绝对值是解答的关键．
4．（2021·浙江·台州市书生中学七年级期中）若与互为相反数，则________．
【答案】-1
【分析】根据题意，可得：，所以，据此求出的值是多少，再应用代入法，求出的值是多少即可．
【详解】解：与互为相反数，
，
，
解得：，
，
故答案为：-1．
【点睛】此题主要考查了实数的混合运算，相反数的性质，立方根的性质，根据两个数的立方根互为相反数得到关于x的方程是关键点．

二、解答题
5．（2021·浙江台州·七年级期末）计算：|﹣|﹣．
【答案】
【分析】先逐项化简，再算加减即可．
【详解】解： 原式=，
故答案为：．
【点睛】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握立方根和算术平方根的定义是解答本题的关键．
6．（2021·浙江台州·七年级期末）计算：．
【答案】
【分析】先计算算术平方根、立方根、实数的乘方，再计算加减法即可得．
【详解】解：原式
．
【点睛】本题考查了算术平方根、立方根、实数的运算，熟练掌握运算法则是解题关键．
7．（2022·浙江金华·七年级期末）计算：
(1)
(2)
【答案】(1)1
(2)35

【分析】（1）原式先化简立方根，再计算除法，最后计算减法即可得到答案；
（2）原式先计算乘方和化简算术平方根，再计算乘法，最后计算加法即可得到答案．
(1)

=
=1
(2)

=
=
=
【点睛】本题主要考查了实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
8．（2022·浙江台州·七年级期中）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)12
(2)

【分析】（1）直接利用立方根以及算术平方根的性质化简得出答案；
（2）直接利用绝对值以及二次根式的性质化简得出答案．
(1)
解：原式；
(2)
解：原式．
【点睛】本题主要考查了实数运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
9．（2022·浙江台州·七年级期中）计算
【答案】
【分析】直接根据算术平方根、立方根以及绝对值的意义将原式进行化简，然后根据实数的运算法则进行计算即可．
【详解】解：
＝
＝．
【点睛】本题考查了实数的运算，熟练掌握算术平方根、立方根以及绝对值的非负性是解本题的关键．
10．（2021·浙江台州·七年级期末）计算：
【答案】
【分析】首先计算开方和绝对值，然后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．
【详解】解：
=
=
=
【点睛】此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
11．（2021·浙江·七年级期中）计算：
（1）                （2）
【答案】（1）8；（2）-1
【分析】（1）先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减；
（2）先化简各数，再作加减法．
【详解】解：（1）
=
=
=8；
（2）
=
=-1
【点睛】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握运算法则和运算顺序是解本题的关键．
12．（2022·浙江台州·七年级期中）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)1
(2)

【分析】（1）根据算术平方根和立方根化简后计算即可；
（2）去绝对值后计算即可．
（1）
解：

；
（2）


．
【点睛】本题考查了实数的运算，熟练掌握算术平方根、立方根的定义和绝对值的性质是解题关键．
题型二：程序设计与实数运算
一、填空题
1．（2021·浙江温州·七年级期末）按如图所示的程序计算，若开始输入的x为，则输出的结果为________．

【答案】15．
【分析】根据输入的为，按照运算程序，计算结果即可．
【详解】解：∵输入的为，是无理数，
∴以为边长的正方形的面积是：，
故答案是：15．
【点睛】本题考查有理数的运算，读懂题目，掌握计算法则是解题的关键．
2．（2020·浙江温州·七年级期中）如图所示是计算机程序计算，若开始输入x＝﹣3，则最后输出的结果是____．

【答案】2．
【分析】读懂计算程序，把x=－3代入，按计算程序计算，直到结果是无理数即可．
【详解】当输入x，若＝2的结果是无理数，即为输出的数，
当x＝﹣3时，2＝2，不是无理数，
因此，把x＝2再输入得，2＝2，
故答案为：2．
【点睛】本题考查实数的混合运算，掌握计算法则是关键．
3．（2021·浙江温州·七年级期中）如图，是一个计算程序，若输入a的值为，则输出的结果应为______________．

【答案】
【分析】根据计算程序列出算式，并根据求解即可．
【详解】解：根据题意，得


，
故答案为：．
【点睛】本题考查实数的混合运算，理解计算程序，正确列出算式并求解是解答的关键．

二、解答题
4．（2022·浙江台州·七年级期中）如图是一个无理数筛选器的工作流程图．

(1)当x为9时，y值为 ；
(2)如果输入0和1， （填“能”或“不能”）输出y值；
(3)当输出的y值是时，请写出满足题意的x值： ．（写出两个即可）
【答案】(1)
(2)不能
(3)5或25（答案不唯一）

【分析】（1）根据运算流程图，即可求解；
（2）根据0的算术平方根是0，1的算术平方根是1，即可判断；
（3）根据运算法则，进行逆运算即可得到满足题意的x值．
（1）
解：当输入x=9时，9的算术平方根为3，不是无理数，3的算术平方根为，
即；
故答案为：
（2）
解：当输入x=0或1时，因为0的算术平方根是0，始终是有理数，1的算术平方根是1，也始终是有理数，
所以不能输出y；
故答案为：不能
（3）
解：当时，，此时x=5；
当时，，，此时x=25；
故答案为：5或25（答案不唯一）
【点睛】本题考查了无理数以及算术平方根，正确理解工作流程图是解题的关键．
5．（2020·浙江·七年级期末）有一个数值转换器．原理如图．

（1）当输入的为81时，输出的是多少？
（2）是否存在输入有效的值后，始终输不出值？如果存在．请写出所有满足要求的的值；如果不存在，请说明理由；
（3）小明输入数据，在转换器运行程序时，屏幕显示“该操作无法运行”，请你推算输入的数据可能是什么情况？
（4）若输出的是，试判断输入的值是否唯一？若不唯一，请写出其中的两个．
【答案】（1）；（2）0或1；（3）见解析；（4）不唯一，5和25
【分析】（1）根据运算规则即可求解；
（2）根据0和1的算术平方根即可判断；
（3）根据算术平方根的定义，被开方数是非负数即可求解；
（4）找到使得输出值为的两个数即可．
【详解】解：（1）当x=81时，
=9，=3，是无理数，
故y=；
（2）当x=0或1时，始终输不出y值．
因为0，1的算术平方根是0，1，一定是有理数；
（3）∵负数没有算术平方根，
∴输入的数据可能是负数；
（4）25的算术平方根是5，5的算术平方根是，
故输入的值不唯一，例如5和25．
【点睛】此题主要考查了算术平方根，正确把握数值转换器的原理是解题关键．

题型三：新定义下的实数运算
一、单选题
1．（2022·浙江台州·七年级期中）设表示小于的最大整数，如，，则下列结论中正确的是（   ）
A． B．的最小值是0 C．的最大值是1 D．不存在实数，使
【答案】C
【分析】根据新定义，逐项判断即可求解．
【详解】解：A、，故本选项错误，不符合题意；
B、因为表示小于的最大整数，所以，故本选项错误，不符合题意；
C、因为表示小于的最大整数，所以的最大值是1，故本选项正确，符合题意；
D、存在实数，使，如，则，故本选项错误，不符合题意；
故选：C.
【点睛】本题主要考查了实数的大小比较和新定义运算，正确理解表示小于的最大整数是解题的关键．
2．（2021·浙江·七年级期末）任何实数a，可用表示不超过a的最大整数，如，现对72进行如下操作，，这样对72只需进行3次操作即可变为1，类似地，对81只需进行（    ）次操作后即可变为1．
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】根据新运算依次求出即可．
【详解】解：，，，共3次操作，
故选B．
【点睛】本题考查了估算无理数的大小，能求出每次的值是解此题的关键．
3．（2021·浙江台州·七年级阶段练习）定义新运算“⊕”：a⊕b=+（其中a、b都是有理数），例如：2⊕3=+=，那么3⊕（﹣4）的值是（　　）
A．﹣ B．﹣ C． D．
【答案】C
【详解】试题解析：3⊕（-4）
=.
故选C．
4．（2022·浙江·宁波市鄞州区咸祥镇中心初级中学七年级阶段练习）现规定一种运算：，其中，为有理数，则 等于(     )
A．a2－b B．b2－b C．b2 D．b2－a
【答案】B
【详解】

故选：B.
5．（2021·浙江·高照实验学校七年级阶段练习）对于任意不相等的两个实数a，b，定义运算：a※b＝a2﹣b2+1，例如3※2＝32﹣22+1＝6，那么（﹣5）※4的值为（　　）
A．﹣40 B．﹣32 C．18 D．10
【答案】D
【分析】直接利用题中的新定义给出的运算公式计算得出答案．
【详解】解：(-5)※4＝(﹣5)2﹣42+1＝10．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了实数运算，以及定义新运算，正确运用新定义给出的运算公式是解题关键．

二、填空题
6．（2022·浙江杭州·七年级期中）用“”定义新运算：对于任意实数a，b，都有．例如：，那么20225＝________；当m为实数时，＝________．
【答案】     26     26
【分析】首先用5的平方加上1，求出2022⊗5的值；然后用2的平方加上1，求出m⊗2的值，进而求出m⊗（m⊗2）的值即可．
【详解】解：∵对于任意实数a，b，都有a⊗b=b2+1，
∴2022⊗5=52+1=26；
当m为实数时，
m⊗（m⊗2）
=m⊗（22+1）
=m⊗5
=52+1
=25+1
=26．
故答案为：26、26．
【点睛】此题主要考查了实数的运算，以及定义新运算，解答此题的关键是要明确“⊗”的运算方法．
7．（2021·浙江·七年级期末）用“△”“·”定义新运算：对于任意有理数a，b，都有和，例如，．则_____．
【答案】
【分析】仿照定义新运算：a△b=a； a*b=b进行计算即可．
【详解】解：
=
=
故答案为：．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，本题是一种新定义的题目：先理解新定义的含义，然后根据新定义的运算法则进行运算．
8．（2021·浙江·七年级期末）对于两个不相等的实数a、b，定义一种新的运算如下，，如：，那么___________．
【答案】
【分析】先根据已知条件求出4*5的值，再求出6*（4*5）的值即可求出结果．
【详解】解：∵，
∴4*5==-3，
∴6*（4*5）=6*（-3）==.
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了实数的运算，在解题时要先明确新的运算表示的含义是本题的关键．
9．（2021·浙江·七年级期末）对实数、 ，定义运算☆如下：☆ ，
例如2☆3=.计算[2☆( )][( )☆()]= _____
【答案】1
【详解】先判断算式a☆b中，a与b的大小，转化为对应的幂运算，再进行乘法运算．
[2☆（-4）]×[（-4）☆（-2）]，
=2-4×（-4）2==1． 故答案为1．
10．（2022·浙江·七年级专题练习）观察下列等式（式子中的“！”是一种数学运算符号）
1!=1，2!=2×1，3!=3×2×1，4!=4×3×2×1，…，
那么计算：=__．
【答案】
【分析】根据“！”的运算方式列式计算即可．
【详解】解：．
【点睛】本题考查了有理数的乘法，有理数的除法，理解新定义运算“！”是解题的关键．
11．（2022·浙江绍兴·七年级期末）如，我们叫集合M．其中1，2，x叫做集合M的元素，集合中的元素具有确定性（如x必然存在），互异性（如，），无序性（即改变元素的顺序，集合不变）．若集合，我们说．已知集合，集合，若，则的值是______．
【答案】
【分析】根据集合的定义和集合相等的条件即可判断．
【详解】∵，，
∴，，
∴，即，
∴，或，，
∴或（舍去），
∴，
故答案为：．
【点睛】本题以集合为背景考查了代数式求值，关键是根据集合的定义和性质求出和的值．
12．（2021·浙江宁波·七年级期中）材料：一般地，n个相同因数a相乘：记为．如，此时3叫做以2为底的8的对数，记为（即）．那么_____，_____．
【答案】     3；     ．
【分析】由可求出，由，可分别求出，，继而可计算出结果．
【详解】解：（1）由题意可知：，
则，
（2）由题意可知：
，，
则，，
∴，
故答案为：3；．
【点睛】本题主要考查定义新运算，读懂题意，掌握运算方法是解题关键．

三、解答题
13．（2021·浙江·杭州市十三中教育集团（总校）七年级期中）定义新运算：对于任意实数a，b，都有，例如．
（1）求的值．
（2）求的平方根．
【答案】（1）21；（2）±4
【分析】（1）根据定义新运算即可求的值；
（2）根据定义新运算求的值，再计算平方根即可得出答案．
【详解】（1）由定义新运算得：；
（2）由定义新运算得：，
∴的平方根为．
【点睛】本题考查新定义的有理数运算，掌握新定义的运算法则是解题的关键．
14．（2021·浙江·杭州市弘益中学七年级期中）任何实数a，可用[a]表示不超过a的最大整数，如[4]=4，[]=1．现对72进行如下操作：72第一次[]=8，第二次[]=2，第三次[]=1，这样对72只需进行3次操作变为1．
（1）对10进行1次操作后变为_______，对200进行3次作后变为_______；
（2）对实数m恰进行2次操作后变成1，则m最小可以取到_______；
（3）若正整数m进行3次操作后变为1，求m的最大值．
【答案】（1）3；1；（2）；（3）的最大值为255
【详解】解：（1）∵，
∴，
∴，
∴对10进行1次操作后变为3；
同理可得，
∴，
同理可得，
∴，
同理可得，
∴，
∴对200进行3次作后变为1，
故答案为：3；1；
（2）设m进行第一次操作后的数为x，
∵，
∴．
∴．
∴．
∵要经过两次操作．
∴．
∴．
∴．
故答案为：．
（3）设m经过第一次操作后的数为n，经过第二次操作后的数为x，
∵，
∴．
∴．
∴．
．
∴．
∵要经过3次操作，故．
∴．
∵是整数．
∴的最大值为255．
【点睛】本题考查取整函数及无理数的估计，正确理解取整含义是求解本题的关键．
15．（2021·浙江台州·七年级期末）我们知道，负数没有算术平方根，但对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”．
例如：-9，-4，-1这三个数，，，，其结果6，3，2都是整数，所以-1，-4，-9这三个数称为“完美组合数”．
(1)-18，-8，-2这三个数是“完美组合数”吗？请说明理由．
(2)若三个数-3，m，-12是“完美组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为12，求m的值．
【答案】(1)是，理由见解析
(2)m的值为-48或-12

【分析】（1）根据新定义进行计算，即可得到答案；
（2）根据新定义的运算法则进行计算，即可求出答案．
(1)
解：∵，，，
∴18，8，2这三个数是“完美组合数”．
(2)
解：①当时，
解得：；
②当时，
解得：
综上所述，m的值为或．
【点睛】本题考查了新定义的运算法则，解题的关键是掌握新定义的运算法则进行计算．
16．（2021·浙江·七年级期中）数学中有很多的可逆的推理．如果，那么利用可逆推理，已知n可求b的运算，记为，如，
则，则．
①根据定义，填空：_________，__________．
②若有如下运算性质：．
根据运算性质填空，填空：若，则__________；___________；
③下表中与数x对应的有且只有两个是错误的，请直接找出错误并改正．
x
1.5
3
5
6
8
9
12
27










错误的式子是__________，_____________；分别改为__________，_____________．
【答案】①1，3；②0.6020；0.6990；③f（1.5），f（12）；f（1.5）=3a-b+c-1，f（12）=2-b-2c．
【分析】①根据定义可得：f（10b）=b，即可求得结论；
②根据运算性质：f（mn）=f（m）+f（n），f（）=f（n）-f（m）进行计算；
③通过9=32，27=33，可以判断f（3）是否正确，同样依据5=，假设f（5）正确，可以求得f（2）的值，即可通过f（8），f（12）作出判断．
【详解】解：①根据定义知：f（10b）=b，
∴f（10）=1，
f（103）=3．
故答案为：1，3．
②根据运算性质，得：f（4）=f（2×2）=f（2）+f（2）=2f（2）=0.3010×2=0.6020，
f（5）=f（）=f（10）-f（2）=1-0.3010=0.6990．
故答案为：0.6020；0.6990．
③若f（3）≠2a-b，则f（9）=2f（3）≠4a-2b，
f（27）=3f（3）≠6a-3b，
从而表中有三个对应的f（x）是错误的，与题设矛盾，
∴f（3）=2a-b；
若f（5）≠a+c，则f（2）=1-f（5）≠1-a-c，
∴f（8）=3f（2）≠3-3a-3c，
f（6）=f（3）+f（2）≠1+a-b-c，
表中也有三个对应的f（x）是错误的，与题设矛盾，
∴f（5）=a+c，
∴表中只有f（1.5）和f（12）的对应值是错误的，应改正为：
f（1.5）=f（）=f（3）-f（2）=（2a-b）-（1-a-c）=3a-b+c-1，
f（12）=f（）=2f（6）-f（3）=2（1+a-b-c）-（2a-b）=2-b-2c．
∵9=32，27=33，
∴f（9）=2f（3）=2（2a-b）=4a-2b，f（27）=3f（3）=3（2a-b）=6a-3b．
【点睛】本题考查了幂的应用，新定义运算等，解题的关键是深刻理解所给出的定义或规则，将它们转化为我们所熟悉的运算．

题型四：实数运算的实际应用
一、单选题
1．（2021·浙江·高照实验学校七年级阶段练习）有下列说法：①在1和2之间的无理数有且只有这两个；②实数与数轴上的点一一对应；③两个无理数的积一定是无理数；④是分数．其中正确的为（   ）
A．①②③④ B．①②④ C．②④ D．②
【答案】D
【分析】根据无理数的定义与运算、实数与数轴逐个判断即可得．
【详解】①在1和2之间的无理数有无限个，此说法错误；
②实数与数轴上的点一一对应，此说法正确；
③两个无理数的积不一定是无理数，如，此说法错误；
④是无理数，不是分数，此说法错误；
综上，说法正确的为②，
故选：D．
【点睛】本题考查了无理数的定义与运算、实数与数轴，熟练掌握运算法则和定义是解题关键．

二、填空题
2．（2020·浙江温州·七年级期中）如图，在纸面上有一数轴，点A表示的数为﹣1，点B表示的数为3，点C表示的数为．若子轩同学先将纸面以点B为中心折叠，然后再次折叠纸面使点A和点B重合，则此时数轴上与点C重合的点所表示的数是_______．

【答案】4+或6﹣或2﹣．
【分析】先求出第一次折叠与A重合的点表示的数，然后再求两点间的距离即可；同理再求出第二次折叠与C点重合的点表示的数即可．
【详解】解：第一次折叠后与A重合的点表示的数是：3+（3+1）＝7．
与C重合的点表示的数：3+（3﹣）＝6﹣．
第二次折叠，折叠点表示的数为：（3+7）＝5或（﹣1+3）＝1．
此时与数轴上的点C重合的点表示的数为：
5+（5﹣6+）＝4+或1﹣（﹣1）＝2﹣．
故答案为：4+或6﹣或2﹣．
【点睛】本题主要考查了数轴上的点和折叠问题，掌握折叠的性质是解答本题的关键．
3．（2020·浙江杭州·七年级期中）若，则______________．
【答案】
【分析】由题意根据实数运算法则化简原式，变形后即可得出答案.
【详解】解：，可知，解得.
故答案为：.
【点睛】本题考查实数的运算，熟练掌握并利用幂运算法则变形是解题的关键.
4．（2020·浙江·翠苑中学七年级期中）设x，y是有理数，且x，y满足等式，则的平方根是___________.
【答案】±1
【分析】因为x、y为有理数，所以x+2y也是有理数，根据二次根式的性质，只有同类二次根式才能合并，所以x、2y都不能与进行合并，根据实数的性质列出关系式，分别求出x、y的值再代入计算即可求解．
【详解】解：∵x、y为有理数，
∴x+2y为有理数，
∴

解得
∴=5-4=1，1的平方根是±1．
故答案为±1．
【点睛】本题考查了实数的运算，解答本题的关键是明确题意，熟悉合并同类项的法则，求出相应的x、y的值．

三、解答题
5．（2021·浙江·宁波市第七中学七年级期中）某高速公路规定汽车的行驶速度不得超过100千米/时，当发生交通事故时，交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆的行驶速度，所用的经验公式是v＝16，其中v表示车速（单位：千米/时，d表示刹车后车轮滑过的距离（单位：米），f表示摩擦系数．在一次交通事故中，经测量d＝32米，f＝2，请你判断一下，肇事汽车当时是否超速了．
【答案】肇事汽车当时的速度超出了规定的速度．
【分析】先把d=32米，f=2分别代入v=16，求出当时汽车的速度再和100千米/时比较即可解答．
【详解】解：把d=32，f=2代入v=16，
v=16=128（km/h），
∵128＞100，
∴肇事汽车当时的速度超出了规定的速度．
【点睛】本题考查了实数运算的应用，读懂题意是解题的关键，另外要熟悉实数的相关运算．
6．（2021·浙江绍兴·七年级期末）已知小正方形的边长为1，在4×4的正方形网中．
（1）求_______________．

（2）在5×5的正方形网中作一个边长为的正方形．

【答案】（1）10；（2）见解析
【分析】（1）用大正方形的面积减去四个小三角形的面积即可得出阴影部分面积；
（2）边长为的正方形，则面积为，则每个三角形的面积为，据此作图即可．
【详解】解：（1），
故答案为：10；
（2）边长为的正方形，则面积为，
则每个三角形的面积为，
则作图如下：
.
【点睛】本题主要考查了作图-应用与设计作图，解决本题的关键是利用网格求出周围四个小三角形的边长．
7．（2020·浙江·七年级期末）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．小白在草稿纸上画了一条数轴进行操作探究：
操作一：
（1）折叠纸面，若使表示的点1与﹣1表示的点重合，则﹣2表示的点与　　　　　　表示的点重合；
操作二：
（2）折叠纸面，若使1表示的点与﹣3表示的点重合，回答以下问题：
①表示的点与数　　　　　　表示的点重合；
②若数轴上A、B两点之间距离为8（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，则A、B两点表示的数分别是__________________；
操作三：
（3）在数轴上剪下9个单位长度（从﹣1到8）的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段（如图）. 若这三条线段的长度之比为1：1：2，则折痕处对应的点所表示的数可能是_________________________.

【答案】（1）2 (2)①②-5，3（3）
【分析】（1）根据对称性找到折痕的点为原点O，可以得出-2与2重合；
（2）根据对称性找到折痕的点为-1，
①设表示的点与数a表示的点重合，根据对称性列式求出a的值；
②因为AB=8，所以A到折痕的点距离为4，因为折痕对应的点为-1，由此得出A、B两点表示的数；
（3）分三种情况进行讨论：设折痕处对应的点所表示的数是x，如图1，当AB：BC：CD=1：1：2时，所以设AB=a，BC=a，CD=2a，得a+a+2a=9，a=，得出AB、BC、CD的值，计算也x的值，同理可得出如图2、3对应的x的值．
【详解】操作一，
（1）∵表示的点1与-1表示的点重合，
∴折痕为原点O，
 则-2表示的点与2表示的点重合，
操作二：
（2）∵折叠纸面，若使1表示的点与-3表示的点重合，
则折痕表示的点为-1，
 ①设表示的点与数a表示的点重合，
则-（-1）=-1-a，
a=-2-；
②∵数轴上A、B两点之间距离为8，
∴数轴上A、B两点到折痕-1的距离为4，
∵A在B的左侧，
则A、B两点表示的数分别是-5和3；
操作三：
（3）设折痕处对应的点所表示的数是x，
如图1，当AB：BC：CD=1：1：2时，

设AB=a，BC=a，CD=2a，
a+a+2a=9，
a=，
∴AB=，BC=，CD=，
x=-1++=，
如图2，当AB：BC：CD=1：2：1时，

设AB=a，BC=2a，CD=a，
a+a+2a=9，
a=，
∴AB=，BC=，CD=，
x=-1++=，
如图3，当AB：BC：CD=2：1：1时，

设AB=2a，BC=a，CD=a，
a+a+2a=9，
a=，
∴AB=，BC=CD=，
x=-1++=，
综上所述：则折痕处对应的点所表示的数可能是或或．

题型五：与实数运算相关的规律题
一、单选题
1．（2019·浙江湖州·七年级期中）如图将1、、、按下列方式排列．若规定表示第排从左向右第个数，则与表示的两数之积是（    ）．

A．1 B． C． D．
【答案】B
【分析】首先从排列图中可知：第1排有1个数，第2排有2个数，第3排有3个数，然后抽象出第5排第4个数，第15排第8个数，然后可以得到答案．
【详解】解：表示第5排从左往右第4个数是， 表示第15排第8个数，从上面排列图中可以看出奇数行1排在最中间，所以第15行最中间是1，且为第8个，所以1和 的积是．
故本题选B．
【点睛】本题是规律题的呈现，考查学生的从具体情境中抽象出一般规律，考查学生观察与归纳能力．
2．（2019·浙江·绍兴市袍江中学七年级期中）如图，是按一定规律排成的三角形数阵，按图中数阵的排列规律，第9行从左至右第5个数是(　　)

A．2 B． C．5 D．
【答案】B
【分析】根据三角形数列的特点，归纳出每一行第一个数的通用公式，即可求出第9行从左至右第5个数.
【详解】根据三角形数列的特点，归纳出每n行第一个数的通用公式是，所以，第9行从左至右第5个数是=.
故选B
【点睛】本题主要考查归纳推理的应用，根据每一行第一个数的取值规律，利用累加法求出第9行第五个数的数值是解决本题的关键，考查学生的推理能力．

二、填空题
3．（2020·浙江·七年级单元测试）将实数按如图所示的方式排列，若用表示第m排从左向右数第n个数，则与表示的两数之积是________
1（第1排）
   （第2排）
  1   （第3排）
    1  （第4排）
    1    （第5排）
【答案】2
【分析】所给一系列数是4个数一循环，看（5，4）与（11，7）是第几个数，除以4，根据余数得到相应循环的数即可．
【详解】解：∵第4排最后一个数为第10个数（1+2+3+4=10），
∴（5，4）表示第14个数（10+4=14），
∵14÷4=3…2，
∴（5，4）表示的数为，
∵第10排最后一个数为第55个数1+2+3+4+…+10==55，
∴（11，7）表示第62个数（55+7=62），
∵62÷4=15…2，
∴（11，7）表示的数为，
则（5，4）与（11，7）表示的两数之积是×=2．
故答案为：2．
【点睛】此题考查数字的变化规律与二次根式的运算，找出数字循环的特点，发现规律，解决问题．
4．（2020·浙江宁波·七年级期末）若|a﹣1|+（ab﹣2）2＝0，则…＝_____．
【答案】
【分析】先由|a﹣1|+(ab﹣2)2＝0，利用非负数的性质得出a、b的值，代入原式后，再利用裂项求和可得．
【详解】解：∵|a﹣1|+(ab﹣2)2＝0，
∴a﹣1＝0且ab﹣2＝0，
解得a＝1，b＝2，
则原式＝
＝
＝
＝，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了绝对值和平方的非负性，分式的化简求值，观察式子特征用裂项的方法，相抵消是解题的关键．
5．（2018·全国·七年级课时练习）借助计算器计算下列各题：
(1)＝_____；
(2)＝_____；
(3) ＝______；
(4) ＝______；
(5)根据上面计算的结果，发现＝______________．(用含n的式子表示)
【答案】(1)1；(2)3；(3)6；(4)10；(5)
【分析】由计算器计算得：
(1)＝1；
(2)可看做被开方数中每个加数底数的和，即1+2；
(3) =6可看做被开方数中每个加数底数的和，即1+2+3；
(4)=10可看做被开方数中每个加数底数的和，即1+2+3+4
…
所以由以上规律可得（5）=1+2+3+…+n=
【详解】解：(1)＝1；
(2)
(3) =6
(4)=10
（5）=1+2+3+…+n=
故答案是：1，3，6，10，
【点睛】此题主要考查了算术平方根的一般规律性问题，解题的关键是认真观察给出的算式总结规律．
6．（2017·浙江杭州·七年级期中）计算=______，=_____，再计算，…，猜想的结果为______________.
【答案】              
【详解】试题解析：=1+1-=
=1+-=
=1+=
=1+=
∴=

三、解答题
7．（2018·浙江杭州·七年级开学考试）已知：，求的值．
【答案】．
【分析】先根据绝对值的非负性、偶次方的非负性求出a、b的值，再代入分解，加减抵消即可得．
【详解】由绝对值的非负性、偶次方的非负性得：
解得
则原式




．
【点睛】本题考查了绝对值的非负性、偶次方的非负性、与实数运算有关的规律型问题，将所求式子进行分解，结合加减抵消法是解题关键．

巩固提升

一．选择题（共5小题）
1．（2021秋•鄞州区校级期中）化简﹣|﹣1|的值是（　　）
A．2 B．1 C．2 D．﹣1
【分析】原式利用绝对值的代数意义化简，合并即可得到结果．
【解答】解：原式＝﹣+1＝1，
故选：B．
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
2．（2021秋•江干区校级期中）下列说法正确的个数是（　　）
①最小的负整数是﹣1；
②所有无理数都能用数轴上的点表示；
③当a≤0时，|a|＝﹣a成立；
④两个无理数的和可能为有理数．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】直接利用绝对值的性质以及实数与数轴、无理数的定义分别分析得出答案．
【解答】解：①最大的负整数是﹣1，故此选项不合题意；
②所有无理数都能用数轴上的点表示，此选项符合题意；
③当a≤0时，|a|＝﹣a成立，此选项符合题意；
④两个无理数的和可能为有理数，此选项符合题意．
故选：C．
【点评】此题主要考查了绝对值的性质以及实数与数轴、无理数的定义，正确掌握相关定义是解题关键．
3．（2020秋•奉化区校级期末）下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】直接利用二次根式的性质分别化简得出答案．
【解答】解：A、＝3，故此选项错误；
B、＝3，故此选项错误；
C、＝2﹣，故此选项错误；
D、﹣＝﹣3，正确．
故选：D．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
4．（2021秋•西湖区校级期中）按如图所示的运算程序，能使输出的结果为3的是（　　）
A．a＝0，b＝3 B．a＝1，b＝2 C．a＝4，b＝1 D．a＝9，b＝0
【分析】对于每个选项，先判断a，b的大小，若a＜b，结果＝+；若a＞b，结果＝﹣．
【解答】解：A选项，∵0＜3，
∴+＝，故该选项不符合题意；
B选项，∵1＜2，
∴+＝1+，故该选项不符合题意；
C选项，∵4＞1，
∴﹣＝2﹣1＝1，故该选项不符合题意；
D选项，∵9＞0，
∴﹣＝3，故该选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了实数的运算，体现了分类讨论的数学思想，掌握若a＜b，结果＝+；若a＞b，结果＝﹣是解题的关键．
5．（2020秋•奉化区校级期末）实数a、b，c在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为（　　）

A．﹣3b B．﹣2a﹣b C．a﹣2b D．﹣b
【分析】首先根据数轴判断出a、b的正负性，然后利用绝对值的性质进行计算即可．
【解答】解：原式＝b+|a+b|﹣|a﹣b|
＝b+（﹣a﹣b）﹣（b﹣a）
＝b﹣a﹣b﹣b+a
＝﹣b，
故选：D．
【点评】此题主要考查了实数的运算，以及数轴，关键是掌握绝对值的性质．
二．填空题（共8小题）
6．（2022秋•鄞州区校级月考）可以作为“两个无理数的和仍为无理数”的反例的是 　﹣+＝0　．
【分析】直接利用实数的加减运算法则举例得出答案．
【解答】解：可以作为“两个无理数的和仍为无理数”的反例的是：﹣+＝0．
故答案为：﹣+＝0．
【点评】此题主要考查了实数的运算，正确掌握无理数的定义是解题关键．
7．（2021秋•柯桥区期末）根据图示的对话，则代数式3a+3b﹣2c+2m的值是 　19　．

【分析】直接利用互为相反数以及算术平方根、倒数的定义得出a+b＝0，c＝﹣，m＝9，进而计算得出答案．
【解答】解：由题意可得：a+b＝0，c＝﹣，m＝9，
故原式＝3（a+b）﹣2c+2m
＝3×0﹣2×（﹣）+2×9
＝0+1+18
＝19．
故答案为：19．
【点评】此题主要考查了互为相反数以及算术平方根、倒数的定义，正确掌握相关定义是解题关键．
8．（2021秋•东阳市期末）若a与b互为相反数，m与n互为倒数，k的算术平方根为，则2022a+2021b+mnb+k2的值为 　4　．
【分析】根据题意得a+b＝0，mn＝1，k＝2，整体代入求值即可．
【解答】解：∵a与b互为相反数，m与n互为倒数，k的算术平方根为，
∴a+b＝0，mn＝1，k＝2，
∴原式＝2021（a+b）+a+b+4
＝0+0+
＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了实数的运算，考查了整体思想，整体代入求值是解题的关键．
9．（2021秋•越城区期末）计算：+＝　﹣1　．
【分析】先化简各数，然后再进行计算即可．
【解答】解：+
＝﹣3+2
＝﹣1，
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了实数的运算，准确熟练地化简各数是解题的关键．
10．（2020秋•钱塘区期末）＝　2　．
【分析】原式利用平方根、立方根定义计算即可求出值．
【解答】解：原式＝4﹣2＝2，
故答案为：2
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
11．（2020秋•奉化区校级期末）化简（﹣）2+|1﹣|+的结果为　﹣1　．
【分析】根据实数的混合运算顺序和运算法则计算可得．
【解答】解：原式＝2+﹣1﹣2
＝﹣1，
故答案为：﹣1．
【点评】本题主要考查实数的运算，解题的关键是掌握实数的混合运算顺序和运算法则．
12．（2020秋•奉化区校级期末）对于任意不相等的两个数a，b，定义一种运算*如下：a*b＝，如3*2＝＝，那么12*（3*1）＝　　．
【分析】先依据定义列出算式，然后再进行计算即可．
【解答】解：∵3*1＝＝＝＝1，
∴12*（3*1）＝12*1＝＝，
故答案为：．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确理解计算公式是解题关键．
13．（2021秋•西湖区校级期中）定义新运算“☆”：a☆b＝，则12☆（3☆4）＝　13　．
【分析】直接利用已知运算公式进而化简得出答案．
【解答】解：12☆（3☆4）
＝12☆
＝12☆5
＝
＝13．
故答案为：13．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简原式是解题关键．
三．解答题（共7小题）
14．（2022•仙居县校级开学）计算：．
【分析】根据乘方运算、平方根的定义以及立方根的定义即可求出答案．
【解答】解：原式＝﹣+1+﹣4
＝﹣+﹣4+1
＝﹣3．
【点评】本题考查乘方运算、平方根的定义以及立方根的定义，本题属于基础题型．
15．（2021秋•金华期末）计算：
（1）+4÷（﹣2）；
（2）﹣12022+32×．
【分析】（1）直接利用立方根以及有理数的混合运算法则计算得出答案；
（2）直接利用有理数的乘方运算法则以及二次根式的性质、有理数的混合运算法则计算得出答案．
【解答】解：（1）原式＝3﹣2
＝1；

（2）原式＝﹣1+9×4
＝﹣1+36
＝35．
【点评】此题主要考查了有理数的乘方运算以及二次根式的性质、有理数的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
16．（2021秋•西湖区校级期中）定义新运算：对于任意实数a，b，都有a※b＝a+b2，例如7※4＝7+42＝23．
（1）求5※4的值．
（2）求7※（1※）的平方根．
【分析】（1）直接利用已知得出5※4＝5+42，求出答案即可；
（2）直接利用已知将原式变形，进而结合平方根的定义计算得出答案．
【解答】解：（1）5※4＝5+42＝5+16＝21；

（2）7※（1※）
＝7※[1+（）2]
＝7※3
＝7+32
＝7+9
＝16，
故7※（1※）的平方根为：±＝±4．
【点评】此题主要考查了实数运算以及平方根，正确掌握已知运算公式是解题关键．
17．（2021秋•西湖区校级期中）（1）若a是最大的负整数，b是绝对值最小的数，c是倒数等于它本身的正数，d是9的负平方根．
则a＝　﹣1　；b＝　0　；c＝　1　；d＝　﹣3　．
（2）若a与b互为相反数，c与d互为倒数，求3（a+b）﹣（﹣cd）3﹣2的值．
【分析】（1）直接利用负整数、绝对值、倒数、平方根的定义分别分析得出答案；
（2）直接利用相反数、互为倒数的定义得出a+b＝0，cd＝1，进而得出答案．
【解答】解：（1）∵a是最大的负整数，b是绝对值最小的数，c是倒数等于它本身的正数，d是9的负平方根，
则a＝﹣1；b＝0；c＝1；d＝﹣3．
故答案为：﹣1，0，1，﹣3；

（2）∵a与b互为相反数，c与d互为倒数，
∴a+b＝0，cd＝1，
∴3（a+b）﹣（﹣cd）3﹣2
＝3×0﹣（﹣1）3﹣2
＝0+1﹣2
＝﹣1．
【点评】此题主要考查了负整数、绝对值、倒数、平方根、相反数、互为倒数的定义，正确掌握相关定义是解题关键．
18．（2021秋•永嘉县校级月考）计算：+（）2﹣．
【分析】直接利用二次根式的性质以及立方根的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝3+2﹣
＝．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
19．（2021秋•温州期中）下列8个实数：﹣2，0，，，，（﹣2）3，（﹣3）2，π．
（1）属于无理数的有：　，π　；属于负整数的有：　﹣2，（﹣2）3　．
（2）求题中所列8个实数中的最大数与最小数的乘积．
【分析】（1）根据实数的分类解答；
（2）8个实数中的最大数是（﹣3）2与最小数是（﹣2）3，由此解答即可．
【解答】解：（1），π；﹣2，（﹣2）3．
故答案为：，π；﹣2，（﹣2）3．
（2）最大的数为（﹣3）2＝9，
最小的数为（﹣2）3＝﹣8，
所以最大数与最小数的乘积为9×（﹣8）＝﹣72．
【点评】本题主要考查了实数及其运算，属于基础题，掌握实数的分类即可填空．
20．（2021秋•永嘉县校级月考）（1）计算并化简（结果保留根号）
①|1﹣|＝　﹣1　②|﹣|＝　﹣　③|﹣|＝　﹣　④|＝　﹣　
（2）计算（结果保留根号）：|
【分析】（1）先判断绝对值符号内算式结果的正负，然后再化简绝对值即可；
（2）先化简绝对值，然后再利用加法的运算进行计算即可．
【解答】解：（1）①|1﹣|＝﹣1 ②|﹣|＝﹣；③|﹣|＝﹣； ④|﹣|＝﹣；
故答案为：①﹣1；②﹣；③﹣；④﹣．
（2）原式＝﹣+﹣+﹣+……+﹣＝﹣．
【点评】本题主要考查的是实数的运算，熟练掌握绝对值的性质是解题的关键．