2023眉山北外附属东坡外国语学校高一上学期9月月考数学试题含解析

北外东坡高2025届2022-2023学年度上期9月月考

数学

本试卷分选择题和非选择题两部分.第Ⅰ卷（选择题）第1页，第Ⅱ卷（非选择题）第2页，共2页；满分150分，考试时间120分钟

注意事项：

1、答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、班级、准考证号写在答题卡上；

2、选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，不能答在试卷上，非选择题部分用0.5mm的黑色签字笔在答题卡相应位置作答！

第Ⅰ卷（选择题共60分）

一、单选题

1. 下列关系中正确的个数是（    ）

①    ②    ③    ④

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

【答案】A

【解析】

【分析】根据集合的概念、数集的表示判断．

【详解】是有理数，是实数，不是正整数，是无理数，当然不是整数．只有①正确．

故选：A．

【点睛】本题考查元素与集合的关系，掌握常用数集的表示是解题关键．

2. 命题“，”的否定为（    ）

A. ， B. ，

C. ， D. ，

【答案】A

【解析】

【分析】

由含有一个量词的命题的否定的定义进行求解即可．

【详解】命题“，”的否定为“，”

故选：A

3. 用图形直观表示集合的运算关系，最早是由瑞士数学家欧拉所创，故将表示集合运算关系的图形称为“欧拉图”．后来，英国逻辑学家约翰•韦恩在欧拉图的基础上创建了世人所熟知的“韦恩图”．则图中的阴影部分表示的集合为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据阴影部分在集合AB的公共部分，且不在集合C中可得答案.

【详解】解：由图可知，阴影部分在集合AB的公共部分，且不在集合C中，

故图中的阴影部分表示的集合为.

故选：D.

4. 将一根长为的绳子截成两段，已知其中一段的长度为m，若两段绳子长度之差不小于，则所满足的不等关系为（    ）

A.  B. 或

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】直接表示出另一段，列不等式组即可得到答案.

【详解】由题意,可知另一段绳子的长度为.

因为两段绳子长度之差不小于，所以，

化简得：.

故选：D

5. 若x，，则的一个充分不必要条件（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据充分与必要条件的推导关系逐个选项判断即可

【详解】根据充分与必要条件的关系可知，设：“”的一个充分不必要条件为，则能推出，但不能推出；

对A，“”不能推出“”，故A错误；

对B，“”能推出 “”，且“”不能推出“”，故B正确；

对C，“”不能推出“”，故C错误；

对D，“”不能推出“”，故D错误

故选：B

【点睛】本题主要考查了充分与必要条件的辨析，充分条件能推出必要条件，必要条件不能推出充分条件，属于基础题

6. 已知集合，则集合A的真子集个数为（    ）

A. 32 B. 4 C. 5 D. 31

【答案】D

【解析】

【分析】由条件确定集合A的元素个数，再求集合A的真子集个数.

【详解】∵

∴为12的正约数，又，

∴ ，4，3，2，0

∴集合，

∴ 集合A的真子集个数为31，

故选：D.

7. 若集合A＝{x|x＝2k＋1，k∈Z}，B＝{x|x＝2k－1，k∈Z}，C＝{x|x＝4k－1，k∈Z}，则A，B，C的关系是（    ）

A. CA＝B B. A⊆C⊆B

C. A＝BC D. B⊆A⊆C

【答案】A

【解析】

【分析】由整数的整除性，可得A、B都表示奇数集，C表示除以4余3的整数．将A、B、C尽可能形式表达统一，由此利用集合间的关系求解．

【详解】∵A＝{x|x＝2(k＋1)－1，kZ}，B＝{x|x＝2k－1，kZ}，C＝{x|x＝2·2k－1，kZ}，

,C集合中只能取偶数，

故选：A.

8. 对于集合、，定义集合运算且，给出下列三个结论：（1）；（2）；（3）若，则；则其中所有正确结论的序号是（    ）

A. （1）（2） B. （1）（3） C. （2）（3） D. （1）（2）（3）

【答案】D

【解析】

【分析】由韦恩图分别表示集合，，，再逐一判断（1）（2）（3）即可得正确选项.

【详解】如图：若，不具有包含关系，由韦恩图分别表示集合，，，

若，具有包含关系，不妨设是的真子集，

对于（1）: 图中，，图中，所以，

故（1）正确；

对于（2）：图中，成立，

图中，，，

所以成立，故（2）正确；

对于（3）：若，则；故（3）正确；

所以其中所有正确结论的序号是（1）（2）（3），

故选：D.

二､多选题（全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）

9. （多选）下列命题的否定中，是全称量词命题且为真命题的是（    ）

A. ， B. 所有的正方形都是矩形

C. ， D. 至少有一个实数x，使

【答案】AC

【解析】

【分析】AC.原命题的否定是全称量词命题,原命题的否定为真命题，所以该选项符合题意；B. 原命题为全称量词命题，其否定为存在量词命题. 所以该选项不符合题意；D. 原命题的否定不是真命题，所以该选项不符合题意.

【详解】A.原命题的否定为：，，是全称量词命题；因为，所以原命题的否定为真命题，所以该选项符合题意；

B. 原命题为全称量词命题，其否定为存在量词命题. 所以该选项不符合题意；

C. 原命题为存在量词命题，所以其否定为全称量词命题，对于方程，，所以，所以原命题为假命题，即其否定为真命题，所以该选项符合题意；.

D. 原命题的否定为：对于任意实数x，都有，如时，，所以原命题的否定不是真命题，所以该选项不符合题意.

故选：AC

10. 已知集合，，则为（    ）

A. 2 B.  C. 5 D.

【答案】BC

【解析】

【分析】结合元素与集合的关系，集合元素的互异性来求得的值.

【详解】依题意，

当时，或，

若，则，符合题意；

若，则，对于集合，不满足集合元素的互异性，所以不符合.

当时，或，

若，则，对于集合，不满足集合元素的互异性，所以不符合.

若，则，符合题意.

综上所述，的值为或.

故选：BC

11. 下面命题正确的是（    ）

A. “”是“”充分不必要条件

B. 命题“若，则”的否定是“ 存在，则”.

C. 设，则“且”是“”的必要而不充分条件

D. 设，则“”是“”的必要不充分条件

【答案】BD

【解析】

【分析】对于A ，C ，D，根据充分条件、必要条件的概念逐项判断可得答案；

对于B，根据全称命题的否定是特称命题可得B正确.

【详解】对于A，因为或，所以不能推出；能够推出，所以“”是“”的必要不充分条件.故A不正确；

对于B，因为命题“若，则”的否定是“ 存在，则”.故B正确；

对于C，因为且可以推出，而不能推出且，所以“且”是“”的充分不必要条件.故C不正确；

对于D，因为不能推出，能够推出，所以“”是“”的必要不充分条件.故D正确.

故选：BD

12. 给定集合，若对于任意，，有，且，则称集合A为闭集合，以下结论正确的是（    ）

A. 集合为闭集合；

B. 集合为闭集合；

C. 集合为闭集合；

D. 若集合为闭集合，则为闭集合．

【答案】AC

【解析】

【分析】根据闭集合的定义和集合知识综合的问题,分别判断,且是否满足即可得到结论.

【详解】对于A：按照闭集合的定义，故A正确;

对于B：当时,.故不是闭集合.故B错误;

对于C：由于任意两个3的倍数,它们的和、差仍是3的倍数,故是闭集合.故C正确;

对于D：假设,.不妨取,但是, ,则不是闭集合.故D错误.

故选：AC

第Ⅱ卷（选择题共90分）

二、填空题（每题5分，共计20分）

13. 设P，Q为两个非空实数集合，定义集合，若，，则A中元素的个数是______.

【答案】8

【解析】

【分析】根据已知条件写出的所有元素即可．

【详解】解：，，；

，，；

，，；

，，；

，，；

，，；

，，；

，，；

，，；

集合中元素的个数为8．

故答案为：8.

14. 若x∈R，则与的大小关系为________.

【答案】

【解析】

【分析】利用作差比较法,将化简后代数式与0比较大小,得出结论.

【详解】∵－＝＝≤0，∴≤.

故答案为:

【点睛】本题考查不等式的应用,考查作差法比较大小,考查学生的计算能力,属于基础题.

15. 若“，”是真命题，则实数m的最小值为______．

【答案】1

【解析】

【分析】由题意将不等式恒成立转化为最值问题，接着求出函数的最大值，从而，从而实数m的最小值为1.

【详解】由题意：对，恒成立

所以，

因为是开口向下的抛物线，对称轴是，

所以，

.

故答案为：1.

【点睛】对于恒成立问题，常用到以下两个结论：

(1)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max；

(2)a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min.

16. 高一某班共有54人，每名学生要从物理、化学、生物、历史、地理、政治这六门课程中选择3门进行学习.已知选择物理、化学、生物的学生各有至少25人，这三门学科均不选的有8人.这三门课程均选的8人，三门中任选两门课程的均至少有15人.三门中只选物理与只选化学均至少有6人，那么该班选择物理与化学但未选生物的学生至多有______人.

【答案】9

【解析】

【分析】根据题意，设学生54人看成集合，选择物理的人组成集合，选择化学的人组成集合，选择生物的人组成集合，选择物理与化学但未选生物的人组成集合，结合Venn图可知，要使区域的人数最多，其他区域人数最少即可，进而可求解.

【详解】把学生54人看成集合，选择物理的人组成集合，选择化学的人组成集合，选择生物的人组成集合，选择物理与化学但未选生物的人组成集合.

要使选择物理与化学但未选生物的学生人数最多，除这三门课程都不选的8人，则结合Venn图可知，其他区域人数均为最少，即得到只选物理与只选化学均至少6人，只选生物的最少25人，做出下图，得该班选择物理与化学但未选生物的学生至多有9人.

故答案为：9.

三、解答题（6个大题，共计70分）

17. （1）已知，求的取值范围；

（2）已知，求证：.

【答案】（1）；（2）证明见解析

【解析】

【分析】对于（1）（2），分别利用不等式的性质求解和证明.

【详解】（1）.

且，

.

∴的取值范围为.

（2）因为，

所以，

因为，所以，

所以，

所以，

所以

18 已知集合，.

（1）求；

（2）若全集，求及.

【答案】（1）；   

（2）；或.

【解析】

【分析】（1）利用交集的定义运算即得；

（2）根据补集及交集的定义运算即得.

小问1详解】

∵，，

∴；

【小问2详解】

因为，，

所以，又，

∴，

∵，

所以或，

∴或.

19. （1）当时，求的最大值；

（2）已知，求的最大值.

【答案】（1）；（2）

【解析】

【分析】（1）利用基本不等式求出最大值；（2）变形后利用基本不等式求出最大值.

【详解】（1）.

（当且仅当，即时等号成立）

的最大值为.

（2）.

（当且仅当，即时等号成立）

∴的最大值为.

20. 已知集合.

（1）若集合，且，求的值；

（2）若集合，且A∩C＝C，求a的取值范围.

【答案】（1）5    （2）﹛或﹜

【解析】

【分析】（1）利用集合相等的条件求a的值，但要注意验证；

（2）由A∩C＝C得C⊆A，再利用集合子集的元素关系求解.

【小问1详解】

由x2﹣8x+12＝0得x＝2或x＝6，∴A＝{2，6}，

因为A＝B，所以，

解得，

故a＝5.

【小问2详解】

因为A∩C＝C，所以C⊆A.

当C＝∅时，△＝1﹣24a＜0，解得a；

当C＝{2}时，1﹣24a＝0且22a﹣2+6＝0，此时无解；

当C＝{6}时，1﹣24a＝0.且62a﹣6+6＝0，此时无解或a＝0.

综上，a的取值范围为.

21. 已知集合，，是否存在实数，使得是成立的______？

（1）当横线部分内容为“充要条件”时，若问题中的存在，求出的取值范围，若问题中的不存在，请说明理由？

（2）请在①充分不必要条件②必要不充分条件这两个条件中任选一个补充在上面的问题中横线部分．若问题中的存在，求出的取值范围，若问题中的不存在，请说明理由．

【答案】（1）不存在满足条件的，理由见解析   

（2）若选①，问题中的存在，且的取值集合，若选②，问题中的存在，且的取值集合.

【解析】

【分析】（1）转化为，根据两个集合相等列式可求出结果；

（2）若选①，根据是的真子集列式可求出结果；若选②，根据是的真子集列式可求出结果.

【小问1详解】

当横线部分内容为“充要条件”时，则，则且，方程组无解.

∴不存在满足条件的.

【小问2详解】

若选①，则是的真子集，则且（两等号不同时取），且，解得，

∴问题中的存在，且的取值集合.

选②，则是的真子集，

当时，，即，满足是的真子集；

当时，，即，由是的真子集，得且（两等号不同时取），解得；

综上所述：.

所以问题中的存在，且的取值集合.

22. （1）已知集合， ，求；

（2）已知集合，若，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】（1）先解出集合，再求；（2）把题意转化为关于的方程存在负根，根据根的分布列不等式组，求出的取值范围.

【详解】（1）.

因为，所以.

（2），所以.

即关于的方程存在负根.

当关于的方程有两负根时，需满足，无解；

当关于的方程有一负根，另一根为0时，此时需满足，解得：.不符合题意；

当关于的方程有一负根，一正根时，需满足，解得：.

所以实数m的取值范围为.