河南省商丘市梁园区城乡一体化示范区博雅学校2022-2023学年九年级上学期期末数学试题

这是一份河南省商丘市梁园区城乡一体化示范区博雅学校2022-2023学年九年级上学期期末数学试题，共26页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

河南省商丘市梁园区城乡一体化示范区博雅学校2022-2023学年九年级上学期期末数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．下列方程是一元二次方程的是（    ）
A． B． C． D．
2．如图，在△ABC中，DE∥BC，若AD∶DB=3∶2，AE=6cm，则EC的长为（　  ）

A．6cm B．5cm C．4cm D．3cm
3．口袋里有若干个白球，又放进去6个黑球，这些球除颜色外其他均相同，小明每次摸出一个球并记下颜色后放回，多次摸球后发现摸到白球的频率稳定在，则口袋里的白球数很可能为（    ）
A．4 B．6 C．9 D．15
4．如图，为的弦，点B在上，若，则的度数为（    ）

A． B． C． D．
5．如图，将矩形绕点顺时针旋转到矩形的位置，旋转角为（），若，则的度数为（    ）

A． B． C． D．
6．将抛物线向左平移4个单位，再向下平移1个单位得到的抛物线解析式为（    ）
A． B． C． D．
7．已知点（-2，a），（2，b），（3，c）在函数的图象上，则下列关于a，b，c的大小关系判断中，正确的是（    ）
A．a 8．如图，正方形的边长为4，点，点B在x轴上且在点A的右侧，点C，D均在第一象限，E为的中点，反比例函数的图象L经过点D，则（    ）

A．点E在L上 B．点E在L上方 C．点E在L下方 D．以上三种情况都有可能
9．如图，等边△OAB的顶点O为坐标原点，AB∥x轴，OA=2，将等边△OAB绕原点O顺时针旋转105º至△OCD的位置，则点D的坐标为（    ）

A．(2，-2) B．(，) C．(，) D．(，)
10．如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，OA＝2，点D在OA上，连接BD，点C在弧AB上，且点C，O关于直线BD对称，连接CD，则图中阴影部分的面积是（    ）

A． B． C． D．
二、填空题
11．若反比例函数的图象分布在第二、四象限，则k的取值范围是_________．
12．如图所示，添加一个条件_________，△ADB ∽△ABC．

13．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是________．
14．已知二次函数，当时，函数有最大值，则______．
15．如图，已知是等腰直角三角形，，将线段AC绕点A逆时针旋转得到，连接，．当是等腰三角形（不含等腰直角三角形）时，______．


三、解答题
16．解方程：
(1)用配方法解方程：；
(2)用公式法解方程：．
17．有3部不同的电影A，B，C，甲、乙两人分别从中任意选择1部观看．
(1)求甲选择C部电影的概率；
(2)求甲选择A部电影，同时乙选择B部电影的概率（请用画树状图的方法解答）
18．如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在边BC上，点F在对角线AC上，∠EAC＝∠CAD，∠AFE＝∠B．

（1）求证：△AEF∽△ACD．
（2）若BE＝2，CE＝3，AC＝4，求AF的长．
19．如图，直线交轴于点M，四边形OMAE是矩形，S矩形OMAE＝4，反比例函数的图象经过点A，EA的延长线交直线于点D．

（1）求反比例函数的解析式；
（2）若点B在轴上，且AB＝AD，求点B的坐标．
20．某商场一种商品的进价为每件元，售价为每件元．每天可以销售件，为尽快减少库存，商场决定降价促销．
(1)若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件元，求两次下降的百分率；
(2)经调查，若该商品每降价1元，每天可多销售8件，那么每天要想获得最大利润，每件售价应多少元?最大利润是多少?
21．如图，已知⊙O的半径为5，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝8，．过点B作⊙O的切线BD，过点A作AD⊥BD，垂足为D．
（1）求证：∠BAD+∠C＝90°
（2）求线段AD的长．

22．如图，抛物线与轴交于A（），B（4，0），过点A的直线与该抛物线交于点C，点P是该抛物线上不与A，B重合的动点，过点P作PD⊥轴于点D，交直线AC于点E．

(1)求抛物线的解析式；
(2)当点P在直线AC的下方，且时，求点P的坐标；
(3)当直线PD为时，在直线PD上是否存在点Q，使△ECQ与△EDA相似？若存在，请求出点Q坐标；若不存在，请说明你的理由．
23．如图1，中，，点分别在边上, , 将绕点逆时针旋转（），直线相交于点．

（1）若，将绕点逆时针旋转至如图2所示的位置，则线段与的数量关系是______，位置关系是_______．
（2）若，将绕点逆时针旋转．
①（1）中的结论是否仍然成立?若成立，请仅就图3所示的情况加以证明；否则，请写出正确结论，并说明理由．
②若, 是的中点，当以为顶点的四边形是矩形时，请直接写出的长．

参考答案及解析
1．A
【分析】根据一元二次方程的定义，逐项判断即可求解．
【详解】解：A、是一元二次方程，故本选项符合题意；
B、不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
C、不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
D、不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
故选：A
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，熟练掌握含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程是一元二次方程是解题的关键．
2．C
【分析】根据平行线分线段成比例，即可求解．
【详解】解：∵DE∥BC，
∴ ，
∵AD∶DB=3∶2，AE=6cm，
∴ ，解得： ．
故选：C
【点睛】本题主要考查了成比例线段，熟练掌握平行线分线段成比例基本事实是解题的关键．
3．C
【分析】根据白球的频率得到概率，然后利用概率公式列式计算即可．
【详解】解：∵多次摸球后发现摸到白球的频率稳定在，
∴估计摸到白球的概率为，
设口袋里原有白球个，
根据题意，得：，
解得：，
经检验是原方程的解，且符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率，分式方程．解题的关键是了解白球的频率稳定在附近即为概率约为．
4．D
【分析】连接，先根据等腰三角形的性质可得，从而可得，再根据圆周角定理即可得．
【详解】解：如图，连接，

，
，
，
，
，
由圆周角定理得：，
故选：D．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题关键．
5．B
【分析】根据矩形的性质得到∠BAD=∠B=∠D=，由旋转得到∠DA=，∠=∠D=，求出∠BA=，即可求出答案.
【详解】∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=∠B=∠D=，
∵旋转角为，，
∴∠DA=，
∴∠BA=，
由旋转得∠=∠D=，
∴∠2=，
∴∠1=∠2=，
故选：B.

【点睛】此题考查矩形的性质，旋转的性质，四边形的内角和是360度，对顶角相等的性质，解题中注意综合运用各知识点.
6．D
【分析】由抛物线的平移规律：左加右减，上加下减，利用规律可得答案．
【详解】将抛物线向左平移4个单位，可得：，
再把，向下平移1个单位得到的抛物线为：，
故选：D．
【点睛】本题考查的是抛物线的平移，掌握抛物线的平移规律是解题的关键．
7．D
【分析】把点A（﹣2，a），B（2，b），C（3，c）代入函数y上求出a、b、c的值，再进行比较即可．
【详解】解：把点A（﹣2，a）代入函数y可得，a＝-3；
把点B（2，b）代入函数可得，b＝3；
把点C（3，c）代入函数可得，c=2．
∵3＞2＞-3，即b＞c＞a．
故选：D．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特点，即反比例函数图象上点的坐标一定适合此函数的解析式
8．B
【分析】根据A的坐标以及正方形的边长得到，然后利用待定系数法求得，进而求得反比例函数的图象与的交点即可得出结论．
【详解】∵正方形ABCD的边长为4，点，
∴，，，
∵反比例函数的图象L经过点D，
∴，
∴，
当时，则，
∵，
∴点E在L上方．
故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数图象与性质，掌握待定系数法是解题的关键．
9．D
【分析】过点D向x轴作垂线，垂足为E，根据等边三角形的性质以及直线平行的性质证明△EOD是等腰直角三角形，再根据等边三角形的边长以及D点在第四象限即可得到答案．
【详解】解：如图，过点D向x轴作垂线，垂足为E，

∵△OAB是等边三角形，旋转角是105°，
∴∠AOB=∠B=∠COD =60°，∠AOC=105°，
∴∠BOC=∠AOC-∠AOB=105°-60°=45°，
又∵AB∥x轴，
∴∠BOE=∠B=60°（两直线平行，内错角相等），
∴∠COE=∠BOE-∠BOC=60°-45°=15°，
∴∠EOD=∠DOC-∠COE=60°-15°=45°，
∴△EOD是等腰直角三角形，
∴
∵OD=OA=2，
∴（勾股定理），
∴
∵D点在第四象限，
∴D点的坐标为：(，)
故选D；
【点睛】本题考查了坐标与图形变化-旋转、等边三角形的性质、直线平行的性质，得到△EOD是等腰直角三角形是解题的关键．
10．B
【分析】连接OC交BD于点E，过点C作 于点F，先求出扇形AOB的面积，证明，通过解直角三角形可得出，继而求出扇形COB的面积，再由解直角三角形求出OD、CF的值，求出 ，根据阴影部分的面积扇形AOB的面积-扇形COB面积-代入即可求解．
【详解】
如图，连接OC交BD于点E，过点C作 于点F
在扇形AOB中，∠AOB＝90°，OA＝2
扇形AOB的面积
点C，O关于直线BD对称
  




在 中，


扇形COB的面积
，

阴影部分的面积扇形AOB的面积-扇形COB面积
故选：B．
【点睛】本题考查了扇形面积的计算、轴对称的性质、解直角三角形，明确题意，能够利用数形结合的思想是解题的关键．
11．k＞4
【分析】根据反比例函数的图象和性质，当4−k＜0时，图象分别位于第二、四象限，即可解得答案．
【详解】解：∵反比例函数的图象分布在第二、四象限，
∴4−k＜0，
解得k＞4，
故答案为：k＞4．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质，掌握反比例函数的图象与比例系数之间的关系是解题的关键．
12．∠ABD=∠ACB （∠ADB=∠ABC或）
【分析】根据两个三角形有公共角，添加条件即可．
【详解】解：∵∠A=∠A．
∴添加∠ABD=∠ACB 或∠ADB=∠ABC，利用两个角相等的两个三角形相似可判定；
添加，利用两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似可判定；
故答案是：∠ABD=∠ACB （∠ADB=∠ABC或）
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，解题关键是明确相似三角形的判定定理，准确添加条件．
13．且
【分析】若一元二次方程有两不等根二次项系数不为0，则根的判别式△＝b2﹣4ac＞0，建立关于m的不等式，解关于m不等式即可．
【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根，a＝m，b＝﹣1，c＝2，
∴m≠0
∴△＝b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×m ×2＞0，
解得m＜，
∴实数的取值范围是m＜且m≠0．
故答案为m＜且m≠0．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系：①△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；②△＝0⇔方程有两个相等的实数根；③△＜0⇔方程没有实数根，要注意二次项系数不为0．
14．
【分析】根据二次函数的性质，可以得到该函数的对称轴，然后再根据当时，函数有最大值，即可得到关于的方程，然后求解即可．
【详解】解：∵二次函数，
∴该函数图像对称轴是直线，
当时，当时，该函数取到最大值，
∵当时，函数有最大值，
∴，
解得：（不合题意，舍去）；
当时，当时，该函数取到最小值，
当时，
当时，，
当时，，
根据二次函数对称的性质可知：当时，函数有最大值，
又∵当时，函数有最大值，
∴，
解得．
故答案为：．
【点睛】本题考查二次函数的性质，二次函数的最值，本题采用了分类讨论的思想方法．解答的关键是明确题意，得到关于的方程．
15．30°，60°或150°
【分析】分四种情况：当CC′=BC′，点C′在△ABC的内部时，如图1，过点C′作C′D⊥BC于点D，C′E⊥AC于点E，可得C′E=AC′，得出∠C′AC=30°，即α=30°；当CC′=BC时，如图2，可证得△ACC′是等边三角形，得出∠CAC′=60°，即α=60°；当BC=BC′时，如图3，可得出∠CAC′=90°，即α=90°，此时△BCC′为等腰直角三角形与题意不含等腰直角三角形不相符，舍去；当CC′=BC′，且点C′在△ABC外部时，如图4，过点C′作C′D⊥BC于点D，过点A作AE⊥C′D于点E，得出AE=AC′，∠AC′E=30°，进而求得∠CAC′=90°+60°=150°，即α=150°．
【详解】解：当CC′=BC′，点C′在△ABC的内部时，如图1，过点C′作C′D⊥BC于点D，C′E⊥AC于点E，取A C′的中点F，连接EF，

∵CC′=BC′，C′D⊥BC，
∴CD=DB=BC，
∵∠ACB=∠C′EC=∠C′DC=90°，
∴四边形CDC′E是矩形，
∴C′E=CD，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AC=BC，
由旋转得：AC′=AC，
∴C′E=AC′，EF=A C′= C′F，
∴C′E= EF= C′F，
∴三角形C′EF是等边三角形，
∴∠EC′F=60°
∵∠AEC′=90°，
∴∠C′AC=30°，
即α=30°；
当CC′=BC时，如图2，

由旋转得：AC′=AC，
∵CC′=BC，AC=BC，
∴AC=AC′=CC′，
∴△ACC′是等边三角形，
∴∠CAC′=60°，
即α=60°；
当BC=BC′时，如图3，

由旋转得：AC′=AC，
∵BC=BC′=AC，
∴AC=BC=BC′=AC′，
∴四边形ACBC′是菱形，
∵∠ACB=90°，
∴四边形ACBC′是正方形，
∴∠CAC′=90°，
即α=90°，此时△BCC′为等腰直角三角形与题意不含等腰直角三角形不相符，舍去；
当CC′=BC′，且点C′在△ABC外部时，如图4，

过点C′作C′D⊥BC于点D，过点A作AE⊥C′D于点E，取A C′的中点F，连接EF，
则∠AED=∠CDC′=∠ACB=90°，
∴四边形ACDE是矩形，
∴AE=CD，∠CEA=90°，
∵CC′=BC′，C′D⊥BC，
∴CD=BC，
由旋转得AC′=AC，
又∵AC=BC，  
∴AE=AC′，EF=A C′=AF，
∴三角形AEF是等边三角形，
∴AE= EF= AF，
∵∠AEC′=90°，
∴∠AC′E=30°，
∴∠C′AE=60°，
∴∠CAC′=90°+60°=150°，
即α=150°；
综上所述，α=30°或60°或150°．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形性质，特殊四边形的性质等腰三角形性质，旋转变换的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形30度角的性质等知识，解题的关键是掌握旋转变换的性质，掌握特殊四边形的性质．
16．(1)，；
(2)．

【分析】（1）移项，然后在方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方，左边就是完全平方式，右边就是常数，然后利用平方根的定义即可求解．
（2）找出系数a、b、c，再计算，代入公式求解．
【详解】（1）解：
，
，
，
∴，，
解得：，；
∴方程的根为：，；
（2）解：
∵，，，
∴，
∴，
∴方程的根为：．
【点睛】本题考查一元二次方程的解法，熟练掌握各种解法并按照要求解方程是关键．
17．(1)
(2)

【分析】(1)直接根据概率公式求解即可；
(2)首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式计算可得．
【详解】（1）解：有3部不同的电影A，B，C，甲从中任意选择1部观看，
∴甲选择C部电影的概率是；
（2）画树状图为：

等可能的结果共有9种，
其中甲选择A部电影同时乙选择B部电影的结果（AB）只有1种，
所以甲选择A部电影同时乙选择B部电影的概率是
【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
18．（1）证明见详解；（2）．
【分析】（1）根据四边形ABCD是平行四边形，可得∠B=∠D， 根据∠EAC＝∠CAD，∠AFE＝∠B．得出∠AFE＝∠D即可；
（2）先求出BC=BE+CE=2+3=5，根据四边形ABCD是平行四边形，得出AD=BC=5，AD∥BC，可证AE=CE=3，根据（1）得△AEF∽△ACD，可得即求解即可．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B=∠D，
∵∠EAC＝∠CAD，∠AFE＝∠B．
∴∠AFE＝∠D．
∴△AEF∽△ACD；
（2）解：∵BE＝2，CE＝3，
∴BC=BE+CE=2+3=5，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC=5，AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACE=∠EAC，
∴AE=CE=3，
由（1）得△AEF∽△ACD，
∴即，
∴．
【点睛】本题考查平行四边形性质，等腰三角形判定，三角形相似判定与性质，线段和差，掌握平行四边形性质，等腰三角形判定，三角形相似判定与性质，线段和差是解题关键．
19．（1）；（2）点B为B1（－2，0），B2（4，0）
【分析】（1）根据直线可求出与x轴交点M的坐标，再根据S矩形OMAE＝4，可以确定点A的坐标，进而求出k的值，确定反比例函数关系式；
（2）根据一次函数的关系式求出点D的坐标，得出AD的长，于是分两种情况进行解答，即点B在点M的左侧和右侧，由勾股定理求解即可．
【详解】解：（1）求得直线与轴交点坐标为M（1，0），则OM＝1，
而S矩形OMAE＝4，即OM·AM＝4，
∴AM＝4，
∴A（1，4）；
∵反比例函数的图象过点A（1，4），
∴，
∴所求函数为；
（2）∵点D在EA延长线上，
∴直线AD：，
求得直线与直线的交点坐标为D（6，4），
∴AD＝5；
设B（，0），则BM＝，
Rt△ABM中，AB＝AD＝5，AM＝4，
∴BM＝3，即＝3，则，，
∴所求点B为B1（－2，0），B2（4，0）．
【点睛】本题考查一次函数、反比例函数的交点，理解一次函数、反比例函数图象的意义是解决问题的前提，将点的坐标代入是常用的方法．
20．(1)
(2)售价为元时，可获最大利润元

【分析】（1）设每次降价的百分率为x，根据题意列出一元二次方程即可求解；
（2）设降价元，利润为元，根据题意列出二次函数解析式，然后根据二次函数的性质即可求解．
【详解】（1）设每次降价的百分率为，由题意得
，
（不符合题意，舍去），
答：该商品连续两次下降的百分率为；
（2）设降价元，利润为元，由题意得
S=(50-30-m)(48+8m)
    
，  
，即售价为元时，可获最大利润元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，以及二次函数的应用，解决本题的关键是根据题目中的等量关系列出方程和二次函数关系式．
21．（1）证明见解析；（2）．
【分析】（1）由弦切角等于同弧所对的圆周角得：∠C＝∠ABD，再根据直角三角形两锐角互余得出结论；
（2）作弦心距，由勾股定理得：OE＝3，再证明△OEB∽△BDA，列比例式可以求AD的长．
【详解】：（1）∵BD为⊙O的切线，
∴∠C＝∠ABD，
∵AD⊥BD，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BAD+∠ABD＝90°，
∴∠C+∠BAD＝90°，
（2）连接OB，过O作OE⊥AB于E，

∴AE＝BE＝AB＝4，
由勾股定理得：OE＝＝＝3，
∵BD为⊙O的切线，
∴OB⊥BD，
∴∠OBD＝90°，
∵∠ADB＝90°，
∴AD∥OB，
∴∠DAB＝∠ABO，
∵∠D＝∠OEB＝90°，
∴△OEB∽△BDA，
∴，
∴，
∴AD＝；
则线段AD的长为．
【点睛】本题考查了切线的性质和垂径定理、以及三角形的外接圆，是常考题型，熟练掌握切线的性质和垂径定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．
22．(1)
(2)(1，-6)
(3)存在，点Q的坐标为（1，-4）或（1，-6）

【分析】（1）将点，代入，求出的值，进而可得抛物线解析式；
（2）设，则， ，则，，根据，即，求出满足要求的的值，进而可得点P的坐标；
（3）依题意联立方程得，求出满足要求的的值，进而可得点C坐标为（3，-4），由勾股定理求，由题意知，，，,，求出的值，根据，△QCE与△EDA相似，可知分两种情况求解：①当时，△EQC≌△EDA，，求出点Q的坐标；②当时，△ECQ∽△EDA，则，求出的值，进而根据，求出点Q的坐标．
【详解】（1）解：将点，代入，得，
解得：，
∴抛物线的解析式为．
（2）解：设，则， ，
∴，，
∵，
∴，
解得，，，
将代入，
∴点P的坐标为．
（3）解：存在，理由如下；
∵直线与抛物线交于A、C两点，
∴联立方程得：，
解得，
∴点C坐标为（3，-4），
由勾股定理得，，
由题意知，，，
∴,，
∴，，
∵，△QCE与△EDA相似，分两种情况求解：
①当时，
∵，
∴△EQC≌△EDA，
∴，
∴点Q的坐标为（1，-4）；
②当时，
∵△ECQ∽△EDA，
∴，即，
解得，
∴，
∴点Q的坐标为（1，-6）；
综上所述，当点Q的坐标为（1，-4）或（1，-6）时，△ECQ与△EDA相似．
【点睛】本题考查了二次函数解析式，二次函数与线段综合，二次函数与相似三角形综合，勾股定理等知识．解题的关键在于对二次函数，相似三角形知识的熟练掌握与灵活运用．
23．（1）；（2）①结论不成立．正确结论：；理由见解析；②CP的长或.
【分析】(1)利用SAS证明△ABD≌△ACE，得到BD=CE，∠ABD=∠ACE，由∠CBP+∠ACE+∠ACB=，得到∠BPC=，即BD⊥CE；
(2)①根据DE∥BC，得到，，根据∠BAD=∠CAE，，证明，得到，利用，得到，证得；
②根据，，，求得AB=，BC=2AB=2，根据是的中点，DE∥BC，得到AE=，，根据题意画出图形，利用矩形的性质及勾股定理计算得出CP的长．
【详解】(1)在中，，，
∴∠ACB=，
∴AB=AC，
∵DE∥BC，
∴∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB，
∴∠ADE=∠AED，
∴AD=AE，
由旋转得：∠BAD=∠CAE，
∴△ABD≌△ACE，
∴BD=CE，∠ABD=∠ACE，
∵∠ABC+∠ACB=，
∴∠CBP+∠ACE+∠ACB=，
∴∠BPC=，即BD⊥CE；
故答案为：BD=CE，BD⊥CE；
(2)结论不成立.结论:
如图，∵DE∥BC，
∴，
∴，，

如图3，∠BAD=∠CAE，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
②∵，，，
∴AB=，BC=2AB=2，
∵是的中点，DE∥BC，
∴AE=，，
如图1，当四边形ADPE是矩形时，则∠ADB=∠ADP=，
∵，
∴BD=，
∵PD=AE=，
∴BP=3，
∴CP=；
如图2，当四边形ADPE是矩形时，则∠AEP=∠AEC=，
∵AE=，
∴∠ACE=∠ACB=，
∴点E在线段BC上，此时点P与点B重合，
∴CP=CB=，
综上，CP的长为或．
．
【点睛】此题考查全等三角形的判定及性质，旋转的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，矩形的性质，相似三角形的判定及性质，是一道较难的综合的图形题，综合掌握各部分知识是解题的关键．