河南省南阳市卧龙区第十三中学校2022-2023学年八年级上学期期末数学试题

河南省南阳市卧龙区第十三中学校2022-2023学年八年级上学期期末数学试题

一、单选题

1．在实数，，0，中，最小的实数是（    ）．

A． B． C．0 D．

2．在实数、、0、、3.1415、、、、6.1010010001…（相邻两个1之间的0依次增加1个）中，无理数的个数为（   ）

A．3个 B．4个 C．5个 D．6个

3．下列各式中，计算正确的是（　　）

A． B． C． D．

4．根据图 ①的面积可以说明的多项式乘法运算是，那么根据图 ②的面积可以说明的多项式乘法运算是（    ）

A． B．

C． D．

5．下列条件中，不能判定是直角三角形的是（    ）

A． B．

C． D．

6．如果二次三项式可分解为，则的值为(    )

A． B． C．3 D．5

7．下列选项中的尺规作图（各图中的点P都在△ABC的边上），能推出PA＝PC的是（　　）

A． B．

C． D．

8．如图，分别以的三边为斜边向外作等腰直角三角形，若斜边，则图中阴影部分的面积为（    ）

A．4 B．8 C．10 D．12

9．如图，有一个池塘，其底面是边长为10尺的正方形，一个芦苇AB生长在它的中央，高出水面部分BC为1尺．如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的．则这根芦苇的长度是（　　）

A．10尺 B．11尺 C．12尺 D．13尺

10．如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转得到．若点恰好落在边上，且，则的度数为（  ）

A． B． C． D．

二、填空题

11．已知m-n=6，mn=1，则=________

12．现规定一种新运算：a*b＝，如：16*2＝＝4，则25*2﹣125*3＝___．

13．用如图所示的正方形和长方形卡片若干张，拼成一个长为，宽为的矩形，需要B类卡片______张．

14．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，则__________．

15．如图，已知四边形中，厘米，厘米，厘米，，点E为线段的中点．如果点P在线段上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上由C点向D点运动．当点Q的运动速度为______厘米/秒时，能够使与以C、P、Q三点所构成的三角形全等．

三、解答题

16．计算：（1）；（2）﹣14﹣2×（﹣3）2+

17．因式分解：

(1)

(2)

18．化简求值：，其中.

19．如图，中，点在边上，，将线段绕点旋转到的位置，使得，连接，与交于点．

(1)求证：；

(2)若，，求的度数．

20．央视热播节目“朗读者”激发了学生的阅读兴趣．某校为满足学生的阅读需求，欲购进一批学生喜欢的图书，学校组织学生会成员随机抽取部分学生进行问卷调查，被调查学生须从“文史类、社科类、小说类、生活类”中选择自己喜欢的一类，根据调查结果绘制了统计图（未完成），请根据图中信息，解答下列问题：

（1）此次共调查了　   　名学生；

（2）将条形统计图补充完整；

（3）图2中“小说类”所在扇形的圆心角为　   　度；

（4）若该校共有学生2500人，估计该校喜欢“社科类”书籍的学生人数．

21．阅读下列题目的解题过程：

已知a、b、c为△ABC的三边，且满足a2c2﹣b2c2=a4﹣b4，试判断△ABC的形状．

解：∵a2c2﹣b2c2=a4﹣b4 （A）

∴c2（a2﹣b2）=（a2+b2）（a2﹣b2） （B）

∴c2=a2+b2 （C）

∴△ABC是直角三角形

问：（1）上述解题过程，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号：　   　；

（2）错误的原因为：　   　；

（3）本题正确的结论为：　   　．

22．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，若点P从点A出发，以每秒2cm的速度沿折线A→C→B→A运动，设运动时间为t秒（t＞0）．

(1)若点P在AC上，且满足PA＝PB时，求出此时t的值；

(2)若点P恰好在∠BAC的角平分线上，求t的值．

23．（1）【问题背景】如图1：在四边形中，，，，E、F分别是上的点，且，试探究图中线段之间的数量关系．

小王同学探究此问题的方法是：延长到点G，使，连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是      ．

（2）【探索延伸】如图2，若在四边形中，，E、F分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由．

（3）【学以致用】如图3，四边形是边长为5的正方形，，直接写出的周长

参考答案及解析

1．D

【分析】正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．

【详解】∵，

∴在实数，，0，中，最小的实数是，

故选：D．

【点睛】此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正实数＞0＞负实数，两个负实数绝对值大的反而小．

2．A

【分析】根据无理数是无限不循环小数，可得答案．

【详解】解：，，

无理数有：，，相邻两个1之间的0依次增加1个，共3个．

故选A．

【点睛】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．

3．D

【分析】分别根据合并同类项的法则、同底数幂的乘法法则、幂的乘方法则以及同底数幂除法法则解答即可．

【详解】解：A、与不是同类项，故不能合并，故选项A不合题意；

B、，故选项B不合题意；

C、，故选项C不符合题意；

D、，故选项D符合题意．

故选：D．

【点睛】本题主要考查了幂的运算性质以及合并同类项的法则，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．

4．A

【分析】根据图形表示出大长方形的面积为：，同时利用等面积法，用小长方形面积之和表示大长方形的面积为，即可得到答案．

【详解】大长方形的面积为：，

小长方形面积之和为：，

∵大长方形的面积小长方形面积之和，

∴

故选：A

【点睛】本题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

5．D

【分析】A．根据三角形内角和定理可计算出各角的度数，于是可作出判断；

B．根据勾股定理逆定理可可作出判断；

C．根据勾股定理逆定理可可作出判断；

D．根据三角形内角和定理可计算出各角的度数，于是可作出判断.

【详解】解：A、∵∠A=∠B+∠C，∠A+∠B+∠C=180°，

∴∠A=90°，

∴△ABC为直角三角形，故此选项不合题意；

B、∵52+122=132，

∴能构成直角三角形，故此选项不符合题意；

C、∵a2=（b+c）（b-c），即a2=b2-c2，

∴b2=a2+c2，

∴能构成直角三角形，故此选项不符合题意；

D、设∠A=3x°，∠B=4x°，∠C=5x°，

3x+4x+5x=180，

解得：x=15，

则5x°=75°，

∴△ABC不是直角三角形，故此选项符合题意．

故选：D．

【点睛】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．

6．B

【分析】利用多项式的乘法运算法则展开，然后根据对应项的系数相等列式求出a、b的值，然后代入代数式进行计算即可得解．

【详解】解：=x2+（b-1）x-b，

∵二次三项式可分解为，

∴a=b-1，-b=2，

∴a=-3,b=-2.

∴=-5.

故选B.

【点睛】本题考查了因式分解的意义，因式分解与整式的乘法互为逆运算，根据对应项系数相等列式是解题的关键．

7．D

【分析】根据尺规作图痕迹进行判断，即可得到图形中相等的线段．

【详解】解：A．由此作图知CA＝CP，不符合题意；

B．由此作图知BA＝BP，不符合题意；

C．由此作图知∠ABP＝∠CBP，不能得到PA＝PC，不符合题意；

D．由此作图知PA＝PC，符合题意；

故选：D．

【点睛】本题考查了基本作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．

8．B

【分析】根据等腰直角三角形的性质和勾股定理求得，，再根据勾股定理可得，最后根据三角形面积公式进行求解即可．

【详解】在Rt△ABD中，

∴

∴

同理，

在Rt△ABC中，

∴

故答案为：B．

【点睛】本题考查了阴影部分的面积问题，掌握等腰直角三角形的性质、勾股定理是解题的关键．

9．D

【分析】我们可以将其转化为数学几何图形，可知边长为10尺的正方形，则＝5尺，设出AB＝＝x尺，表示出水深AC，根据勾股定理列出方程，求出的方程的解即可得到芦苇的长.

【详解】解：设芦苇长AB＝＝x尺，则水深AC＝（x﹣1）尺，

因为边长为10尺的正方形，所以＝5尺

在Rt△AB'C中，52+（x﹣1）2＝x2，

解之得x＝13，

即芦苇长13尺．

故选D．

【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，熟练运用数形结合的解题思想是解题关键.

10．C

【分析】根据旋转的性质得出边和角相等，找到角之间的关系，再根据三角形内角和定理进行求解，即可求出答案．

【详解】解：设=x°.

根据旋转的性质，得∠C=∠= x°，=AC, =AB.

∴∠=∠B.

∵，∴∠C=∠CA=x°.

∴∠=∠C+∠CA=2x°.

∴∠B=2x°.

∵∠C+∠B+∠CAB=180°，，

∴x+2x+108=180.

解得x=24.

∴的度数为24°.

故选：C.

【点睛】本题考查了三角形内角和定理，旋转的性质的应用及等腰三角形得性质.

11．38

【分析】根据完全平方公式即可解题．

【详解】解：∵，m-n=6，mn=1，

∴，

∴，

故答案为：38．

【点睛】本题考查了完全平方公式的运用，解题的关键是正确运用．

12．0

【分析】直接利用二次根式的性质以及立方根的性质分别化简，再利用有理数的加减运算法则计算得出答案．

【详解】25*2﹣125*3

＝﹣

＝5﹣5

＝0．

故答案为：0．

【点睛】此题主要考查了二次根式的性质以及立方根的性质，正确化简各数是解题关键．

13．5

【分析】利用长乘宽，求出长方形面积，找出各个面积对应卡片，即可找出相应的数量．

【详解】解：长方形面积长宽，

，

由题可知：A类面积，类面积，类面积，

需要A类，类，类卡片分别是3，5，2．

故答案为5．

【点睛】本题主要考查了多项式乘多项式的运算，找出对应卡片面积的系数，分别对应，即可找出所需卡片数量．

14．20

【分析】由垂美四边形的定义可得AC⊥BD，再利用勾股定理得到AD2+BC2=AB2+CD2，从而求解.

【详解】∵四边形ABCD是垂美四边形，

∴AC⊥BD，

∴∠AOD=∠AOB=∠BOC=∠COD=90°，

由勾股定理得，AD2+BC2=AO2+DO2+BO2+CO2，

AB2+CD2=AO2+BO2+CO2+DO2，

∴AD2+BC2=AB2+CD2，

∵AD=2，BC=4，

∴AD2+BC2=22+42=20，

故答案为：20.

【点睛】本题主要考查四边形的应用，解题的关键是理解新定义，并熟练运用勾股定理.

15．或

【分析】分两种情况讨论，依据全等三角形的对应边相等，即可得到点Q的运动速度．

【详解】解：设点P运动的时间为t秒，则，，

∵，

∴①当，时，，

此时，

解得，

∴，

此时，点Q的运动速度为厘米/秒；

②当，时，，

此时，，

解得，

∴点Q的运动速度为厘米/秒；

综上所述，点Q的运动速度为3厘米/秒或厘米/秒时，能够使与以C、P、Q三点所构成的三角形全等．

故答案为：或．

【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用．解决问题的关键是掌握全等三角形的对应边相等．

16．（1）﹣；（2）﹣10

【分析】(1) 根据实数的混合运算,先计算乘方,再计算加减可得;

(2) 根据乘方、二次根式化简分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．

【详解】（1）原式=2﹣2﹣=﹣；

（2）原式=﹣1﹣18+9=﹣10．

【点睛】本题考查了实数的混合运算:先算乘方或开方,再算乘除,然后进行加减运算;有括号先算括号.

17．(1)

(2)

【分析】（1）根据平方差公式进行因式分解即可；

（2）先提公因式，然后再利用完全平方公式进行因式分解．

【详解】（1）解：原式；

（2）解：原式．

【点睛】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键．

18．，5

【分析】利用平方差公式，完全平方公式和去括号的法则对原式进行展开化简，然后将代入求值即可．

【详解】原式=

=

=

将代入得原式=3×2-1=5．

【点睛】本题考查了平方差公式，完全平方公式和去括号，掌握运算法则是解题关键．

19．(1)见解析

(2)

【分析】（1）已知，所以，又因为，，所以，所以；

（2）利用等腰三角形内角和定理，求出，所以，由（1）可知，所以，又因为，

，所以．

【详解】（1）∵

∴

∵，

∴（SAS）

∴

（2）∵线段绕点旋转得到

∴

∵

∴

又∵，

∴

∴

【点睛】本题主要考查全等三角形的证明与性质，等腰三角形的性质，旋转性质等知识点，基础知识扎实是解题的关键．

20．（1）200；（2）补图见解析；（3）126；（4）300人

【分析】（1）由76÷38%，可得总人数；

（2）结合扇形图，分别求出人数，再画图；

（3）先算社科类百分比，再求小说百分比，再求对应圆心角；

（4）用社科类百分比×2500可得．

【详解】解：（1）此次共调查的人数人；

（2）生活类的人数人，

小说类的人数为人，

补全图形，如下图：

（3）由样本数据可知喜欢“社科类”书籍的学生人数占了总人数的12%，

故答案为：126

（4）由样本数据可知喜欢“社科类”书籍的学生人数占了总人数的12%，

∴该校共有学生2500人，估计该校喜欢“社科类”书籍的学生人数：

2500×12%=300人．

故：该校喜欢“社科类”书籍的学生人数约为300人.

【点睛】本题考查了扇形统计图，条形统计图，用样本估计总体，解题关键是从统计图获取信息．

21．（1）C；（2）没有考虑a=b的情况；（3）△ABC是等腰三角形或直角三角形．

【分析】（1）根据等式的性质进行判断即可；

（2）根据题目中B到C可知没有考虑a=b的情况；

（3）根据a=b，写出正确的结论即可．

【详解】解：（1）由题目中的解答步骤可得，

错误步骤的代号为：C，

故答案为C；

（2）错误的原因为：等式两边同时除以一个整式时，没有考虑除数不为0，即没有考虑a=b的情况，

故答案为没有考虑a=b的情况；

（3）由（2）可知，本题正确的结论为：△ABC是等腰三角形或直角三角形，

故答案为△ABC是等腰三角形或直角三角形．

【点睛】本题考查因式分解的应用、勾股定理的逆定理，解答本题的关键是明确题意，写出相应的结论，注意考虑问题要全面．

22．(1)t＝

(2)t＝或12

【分析】（1）连接PB，根据勾股定理得到即可得到结论．

（2）过P作PE⊥AB，根据角平分线的性质和勾股定理，列方程进行解答即可．

【详解】（1）解：连接PB，如图所示：

∵∠ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，

∴AC＝＝8（cm），

∵CP2+BC2＝PB2，

∵PA＝PB＝2tcm，

∴（8﹣2t）2+62＝（2t）2，

∴t＝．

（2）当点P在∠BAC的平分线上时，过点P作PE⊥AB于点E，如图所示：

∵∠C=90°，

∴，

∵AP平分∠BAC，

∴，

此时BP＝（14﹣2t）cm，PE＝PC＝（2t﹣8）cm，BE＝10﹣8＝2（cm），

在Rt△BEP中，PE2+BE2＝BP2，

即：（2t﹣8）2+22＝（14﹣2t）2，

解得：t＝，

当t＝12时，点P与A重合，也符合条件，

∴当t＝或12时，点P恰好在∠BAC的平分线上．

【点睛】本题主要考查了勾股定理，角平分线的性质，难度适中．利用分类讨论的思想是解（2）题的关键．

23．（1）；（2）成立，见解析；（3）10

【分析】（1）延长到点G．使．连接，即可证明，可得，再证明，可得，即可解题；

（2）延长到点G．使．连接，即可证明，可得，再证明，可得，即可解题；

（3）延长，截取，连接，根据定理可得出，故可得出，再由 可得出，故，由定理可得，故，故的周长，由此可得出结论．

【详解】（1）解：如图1，

在和中，

∵，

∴

∴

∵

∴

∴

在和中，

∵，

∴

∴

∵

∴

故答案为：

（2）解：结论仍然成立；

理由：如图2，延长到点G．使．连接，

在和中，

∵，

∴

∴

∵

∴

∴

在和中，

∵，

∴

∴

∵

∴；

（3）解：如图3，延长到点G，截取，连接，

在与中，

∵，

∴

∴

∵

∴

∴

在与中，

∵，

∴

∴

∴的周长

【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解题的关键．